Oct 13, 2012

Wilkins’ and Hempel’s Notions of the Nature of Mathematics




By Marsigit
Yogyakarta State University

Wilkins, D.R., 2004, described some definitions of what is mathematics from different mathematicians.


The logician Whitehead 1 perceived that mathematics in its widest significance is the development of all types of formal, necessary, deductive reasoning; Boole 2 thought that it is not the essence of mathematics to be conversant with the ideas of number and quantity; Poincare 3 insisted that later generations will regard set theory as a disease from which one has recovered; Kant 4 argued that the science of mathematics presents the most brilliant example of how pure reason may successfully enlarge its domain with the aid of experience; Von Neumann 5 believed that most of the best mathematical inspiration comes from experience; Gauss 6 stated that he has had the results for a long time, but he does not know yet know how to arrive at them; Riemann 7 claimed that if he only had the theorems, then he could find the proofs easily enough; Kaplansky 8 expressed that the most interesting moments are not where something is proved but where a new concept is involved; Weyl 9 stated that God exists since mathematics is consistent and the devil exists since we can't prove this consistency; Hilbert 10 concluded that mathematical science is an indivisible whole, an organization whose vitality depends on the connections between its parts, and the advancement in mathematics is made by simplification of methods, the disappearance of old procedures which have lost their usefulness and the unification of fields until then foreign; while Henkin 11 insisted that the number and rate of applications of mathematics is increasing and the equipment the students need to enable unforeseen applications, is not specialized mathematics but that core of the most general kind which will enable them to investigate new applications.

Hempel, C.G., 2001, advocated especially by John Stuart Mill that mathematics is itself an empirical science which differs from the other branches such as astronomy, physics, chemistry, etc., mainly in two respects: its subject matter is more general than that of any other field of scientific research, and its propositions have been tested and confirmed to a greater extent than those of even the most firmly established sections of astronomy or physics. Accordingly, the degree to which the laws of mathematics have been borne out by the past experiences of mankind is so overwhelming unjustifiably that we have come to think of mathematical theorems as qualitatively different from the well confirmed hypotheses or theories of other branches of science in which we consider them as certain, while other theories are thought of as at best as very probable or very highly confirmed. And of course this view is open to serious objections.

Hempel, C.G., 2001, elaborated that from a hypothesis which is empirical in character, it is possible to derive predictions to the effect that under certain specified conditions certain specified observable phenomena will occur; the actual occurrence of these phenomena constitutes confirming evidence, their non-occurrence disconfirming evidence for the hypothesis. He concluded that an empirical hypothesis is theoretically un-confirmable that is possible to indicate what kind of evidence would disconfirm the hypothesis; if this is actually an empirical generalization of past experiences, then it must be possible to state what kind of evidence would oblige us to concede the hypothesis was not generally true after all; and if any disconfirming evidence for the given proposition can be thought of. According to him, the mathematical propositions are true simply by virtue of definitions or of similar stipulations which determine the meaning of the key terms involved; their validation naturally requires no empirical evidence; they can be shown to be true by a mere analysis of the meaning attached to the terms which occur in them.

Hempel, C.G., 2001, argued so far that the validity of mathematics rests neither on its alleged self-evidential character nor on any empirical basis, but derives from the stipulations which determine the meaning of the mathematical concepts, and that the propositions of mathematics are therefore essentially "true by definition." He claimed that the rigorous development of a mathematical theory proceeds not simply from a set of definitions but rather from a set of non-definitional propositions which are not proved within the theory; these are the postulates or axioms of the theory and formulated in terms of certain basic or primitive concepts for which no definitions are provided within the theory; the postulates themselves represent "implicit definitions" of the primitive terms while the postulates do limit, in a specific sense, the meanings that can possibly be ascribed to the primitives, any self-consistent postulate system admits.

Hempel, C.G., 2001, further stated that once the primitive terms and the postulates have been laid down, the entire theory is completely determined. He summed up that every term of the mathematical theory is definable in terms of the primitives, and every proposition of the theory is logically deducible from the postulates; to be entirely precise, it is necessary also to specify the principles of logic which are to be used in the proof of the propositions. He claimed that these principles can be stated quite explicitly and fall into primitive sentences or postulates of logic. By combining the analyses of the aspects of the Peano system, Hempel 12 accepted the thesis of logicism that Mathematics is a branch of logic due to all the concepts of mathematics, i.e., of arithmetic, algebra, and analysis, can be defined in terms of four concepts of pure logic; and all the theorems of mathematics can be deduced from those definitions by means of the principles of logic.

References:
1 In Wilkins , D.R., 2004, Types of Mathematics, http://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/
2Ibid.
3 Ibid.
4 Ibid.
5 Ibid.
6 Ibid.
7 Ibid.
8 Ibid.
9 Ibid.
10 Ibid.
11Ibid.
12Hempel, C.G., 2001, On the Nature of Mathematical Truth, http://www.ltn.lv/ ~podniek/gt.htm

14 comments:

  1. Anggoro Yugo Pamungkas
    18709251026
    S2 Pend.Matematika B 2018

    Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
    Berdasarkan artikel diatas, Wilkins menjelaskan bahwa terdapat beberapa definisi tentang matematika yang berbeda-beda. Sedangkan Hempel menegaskan kembali apa yang telah dikemukakan oleh John Stuart Mill bahwa matematika itu sendiri merupakan ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dll, terutama dalam dua hal yaitu materi pelajaran matematika lebih umum daripada apapun lainnya dari penelitian ilmiah, dan proposisi matematika telah diuji dan dikonfirmasi ke tingkat yang lebih besar dibandingkan beberapa bagian yang paling mapan astronomi atau fisika. Dan Hempel menerima tesis dari logicism bahwa Matematika adalah cabang dari logika karena semua konsep matematika, yaitu aritmatika, aljabar analisis, dan, dapat didefinisikan dalam empat konsep dari logika murni, dan semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut melalui prinsip-prinsip logika.

    ReplyDelete
  2. Diana Prastiwi
    18709251004
    S2 P. Mat A 2018

    Hempel menjelaskan bahwa matematika merupakan cabang dari kelogisan. Hal ini dikarenakan semua konsep matematika seperti aljabar, analisis, aritmetika bisa didefinisikan dalam empat konsep logis murni dan semua teorema matematika bisa di tarik kesimpulan dari banyak definisi prinsip prinsip logis. logis atau dpat dijelaskan merupakan proses yang dilalui dalam matematika untuk mencari penyelesaian.

    ReplyDelete
  3. Luthfannisa Afif Nabila
    18709251031
    S2 Pendidikan Matematika B 2018
    Assalamu'alaikum Warohmatullohi Wabarokatuh.
    Dari artikel diatas dikatakan bahwa Hempel menyimpulkan bahwa setiap istilah dari teori matematika dapat didefinisikan dalam hal primitif, dan setiap proposisi teori secara logis dapat dideduksi dari postulat. Selain itu, perlu juga untuk menentukan prinsip-prinsip logika yang akan digunakan dalam bukti proposisi. Beliau mengklaim bahwa prinsip-prinsip ini dapat dinyatakan secara eksplisit dan jatuh ke dalam kalimat primitif atau postulat logika. Dengan menggabungkan analisis aspek dari Sistem Peano, Hempel menerima pernyataan paham logika bahwa Matematika adalah cabang logika karena semua konsep matematika seperti aritmatika, aljabar, dan analisis dapat didefinisikan dalam hal empat konsep logika murni dan semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut dengan menggunakan prinsip-prinsip logika.
    Wassalamu'alaikum Warohmatullohi Wabarokatuh.

    ReplyDelete
  4. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  5. Bayuk Nusantara Kr.J.T
    18701261006

    Saya cenderung untuk sepakat dengan pernyataan yang disimpulkan oleh Hempel bahwa matematika merupakan cabang dari logika untuk semua konsep matematiika seperti aritmetika, aljabar, dan analisis. Dan semua teorema matematika dapat ditarik kesimpulannya berdasarkan prinsip-prinsip logika.

    ReplyDelete
  6. Seftika Anggraini
    18709251016
    S2 PM A 2018

    Menurut Hempel, matematika merupakan ilmu empiric yang berbeda dengan cabang ilmu yang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dan lain-lain. Perbedaan ini terutama terletak pada dua aspek, yaitu subjek permasalahan yang dibahas lebih umum dan proposisinya telah diuji dan dikonfirmasi lebih luas daripada penelitian ilmiah yang lain. Matematika lebih umum daripada ilmu-ilmu yang lain sehingga matematika dapat digunakan dalam ilmu-ilmu yang lain.
    Terima kasih

    ReplyDelete
  7. Dini Arrum Putri
    18709251003
    S2 P Math A 2018

    Disimpulkan bahwa matematika itu ilmu konkret yang berdasarkan logika artinya sifatnya logis. Semua memperlukan pembuktian untuk bisa dikatakan benar yang disebut sebagai teorema, namun beberapa konsep yang tidak perlu memiliki pembuktian namanya aksioma karena definisinya dianggap sudah jelas. Itulah kenapa matematika disebut sebagai sumber dari segala pengetahuan.

    ReplyDelete
  8. Fabri Hidayatullah
    18709251028
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Sifat dasar matematika salah satunya berkaitan dengan hipotesis empiris yang diungkapkan oleh Hempel. Hempel menjelaskan bahwa dari karakter hipotesis yang empiris, mungkin untuk memperoleh prediksi terhadap pengaruh bahwa di bawah kepastian kondisi yang tetap, fenomena yang dapat diobservasi akan terjadi. Kejadian aktual pada fenomena ini membentuk pembuktian yang memperkuat, sebaliknya ketidaktimbulan tidak memperkuat bukti terhadap hipotesis. Ia menyatakan bahwa hipoteis empiris tidak dapat diperkuat secara teoritis, terdapat kemungkinan untuk mengindikasikan jenis oembuktian yang tidak akan memperkuat hipotesis. Menurutnya, proposisi matematika ialah benar hanya dengan kemurnian definisi atau kemurnian ketetapan yang mirip yang menentukan makna dari istilah kunci yang terlibat. Validasinya secara alami membutuhkan bukti yang empiris.

    ReplyDelete
  9. Fany Isti Bigo
    18709251020
    PPs UNY PM A 2018

    Artikel Wilkins’ and Hempel’s Notions of the Nature of Mathematics memaparkan pandangan-pandangan ahli mengenai sifat-sifat dari matematika. Dari artikel ini dijelaskan bahwa Hempel menerima tesis logicism bahwa Matematika merupakan cabang dari logika karena semua konsep matematika, yaitu, aritmatika, aljabar, dan analisis, dapat didefinisikan dalam hal empat konsep logika murni; dan semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut dengan cara prinsip-prinsip logika. Menurut Jujun S. Suriasumantri (2003:199), matematika pada garis besarnya merupakan pengetahuan yang disusun secara konsisten berdasarkan logika deduktif. Bertand Russel dan Whitehead dalam karyanya mencoba membuktikan bahwa dalil-dalil matematika pada dasarnya adalan pernyataan logika meskipun tidak seluruhnya berhasil.

    ReplyDelete
  10. Amalia Nur Rachman
    18709251042
    S2 Pendidikan Matematika B UNY 2018

    Dari artikel di atas, Wilkin menunjukkan beberapa ulasan dari para ahli matematika, seperti Whitehead, Boole, Poincare, Immanuel Kant, Von Neumann, Gauss, Riemann, Kaplansky, Weyl, Hilbert, dan Henkin yang memberikan gambaran tentang hakikat matematika. Sedangkan Hempel menyatakan bahwa matematika merupakan ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain seperti astronomi, kimia, dll jika dipandang dari materi dan pengujian proporsi terhadap sebuah penelitian ilmiah

    ReplyDelete
  11. Rosi Anista
    18709251040
    S2 Pendidikan Matematika B

    Hempel menyimpulkan bahwa setiap istilah teori matematika dapat didefinisikan dalam hal primitif, dan setiap proposisi teori secara logis dapat dikurangkan dari postulat; untuk menjadi sepenuhnya tepat, perlu juga untuk menentukan prinsip-prinsip logika yang akan digunakan dalam bukti proposisi.

    ReplyDelete
  12. Septia Ayu Pratiwi
    18709251029
    S2 Pendidikan Matematika 2018

    Hempel, C.G menyimpulkan bahwa setiap istilah teori matematika dapat didefinisikan dalam hal primitif, dan setiap proposisi teori secara logis dapat dikurangkan dari postulat, dalam hal ini juga diperlukan untuk menentukan prinsip-prinsip logika yang akan digunakan dalam bukti proposisi. Dia mengklaim bahwa prinsip-prinsip ini dapat dinyatakan secara eksplisit dan jatuh ke dalam kalimat primitif atau postulat logika. Dengan menggabungkan analisis aspek-aspek sistem Peano, Hempel menerima tesis dari logika yang menyatakan bahwa Matematika adalah cabang logika karena semua konsep matematika, yaitu, aritmatika, aljabar, dan analisis, dapat didefinisikan dalam hal empat konsep logika murni; dan semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut melalui prinsip-prinsip logika.

    ReplyDelete
  13. Janu Arlinwibowo
    18701261012
    PEP 2018

    Matematika merupakan suatu ilmu pengetahuan yang berasal dari suatu fakta empiris. Namun matematika memiliki nilai khas tersendiri sehingga membedakannya dengan cabang ilmu lain seperti fisika, kimia, astronomi dan sebagainya. Logika matematika selalu mengarahkan seseorang untuk berpikir secara absolute, bahkan kadang mengabsolutkan walau di lapangan sangat sulit untuk mencari relevansinya. Oleh karena itu definisi awal menjadi suatu hal yang krusial dalam matematika, dimana definisi ini akan menjadi landasan setiap matematikawan untuk menarik kesimpulan.

    ReplyDelete
  14. Wow! this is Amazing! Do you know your hidden name meaning ? Click here to find your hidden name meaning

    ReplyDelete