Oct 13, 2012

Thompson’s Notions of the Fallacies of Mathematical Intuition




By Marsigit
Yogyakarta State University

Thompson, P.,1993, elaborated that those who are eager to argue how futile it is to try and demarcate or even seek out an epistemologically safe subsystem of pure intuitive propositions which could be used as the basis for an unproblematic branch of mathematics, also tend to emphasize how often we fail to discriminate


reliable intuitions from processes known, post facto, to lead to false beliefs. Thompson 1 argued that in his attack on various popular accounts of intuition, insofar as they claim that intuition provides us with an incorrigible a priori knowledge of mathematics, Philip Kitcher cites several episodes from the history of mathematics when mathematicians have hailed something as intuitively self-evident to give it much the same status as we give to the Zermelo-Fraenkel axioms of set theory, subsequently turned out to be false. Thompson 2 exposed that when Frege toke any property to determine a set in which this is by no means the only case of its kind; and the great Gauss and Cauchy went astray by surrendering themselves to the guidance of intuition, and earlier still many mathematicians of the 18th century believed in the self-evidence of the law of continuity which states that what holds up to the limit, also holds at the limit; this also turns out to be a natural fallacy. Thompson 3 argued that this lead to disconcerting cases show that we cannot always apply Gödel's wedge and discriminate reliable or even a priori intuitions from processes known to lead to false beliefs.

Further, Thompson, P.,1993, insisted that in cases where experience suggests that the intuitive belief we have formed is misguided and this provides a stumbling-block for the thesis that our intuitions occupy the position of being a privileged warrant, by their very nature, for our beliefs, and somehow continue to justify them, whatever recalcitrant experience we come up against; similarly, the set-theoretical paradoxes threaten not so much the possibility of mathematical knowledge, as they now threaten either an a priori, or any other unduly perspicuous account of its nature. Thompson 4 concluded that these fallacies of intuition then, have gained a significant in the contemporary epistemology of mathematics, in which Georg Kreisel suggests that it has been somewhat overplayed; he claimed that this, no doubt, results from our memory bias which makes us, for the most part, recall surprises, memorable cases in which strong initial impressions were later disconfirmed, and ultimately it also leads to an overestimate of the dangers of intuitive thinking; he then stated:

Favourite examples of intuition going astray are often cases of over-simplifications, of applying schemas too generously where their domain of application has to be more finally demarcated. This happened when the Weierstrass M-test undermined the epistemic status of most proofs with casual interchanges of limits in double-limit or integral-summation processes, and, similarly, Zermelo's separation axiom was designed to allow limited comprehension on previously-constructed sets. Some intuitive beliefs have in fact been falsified by the progress of science - for example, the belief that at any given moment, a physical object is in a certain location and moving at a certain speed (pre-Heisenberg), or the pre-relativistic belief that time doesn't slow down when you travel at ten miles an hour. But the feeling is, that these examples only replace one form of intuitive justification with a finer one, so that in scientific contexts intuitive beliefs must be tested like any other hypothesis - they are equally defeasible, can be outweighed by theoretical evidence, and, like any other hypothesis, they can be overthrown. In the words of Imre Lakatos why not honestly admit mathematical fallibility, and try to defend the dignity of fallible knowledge from cynical scepticism, rather than delude ourselves that we can invisibly mend the latest tear in the fabric of our 'ultimate' intuitions? 5

Next, Thompson, P.,1993, in the sense of catching strong postulates in a broader intuitive net, insisted that there are several types of cut-off arguments which seem devastating against any ramifying plan such as that advocated by Gödel; by way of illustration, one of Gödel's original arguments in favor of the un-solvability of the generalized continuum problem, seemed to indicate intuitively that the continuum hypothesis will ultimately turn out to be wrong, while, on the other hand, we know that its disproof is demonstrably impossible, on the basis of the axioms being used today. Thompson 6 indicated that even our schematic means of definition in creating an apparently substantial hierarchy by recursion of our intuitive operations over the countable ordinals, guarantees that we have insidiously conferred an unwanted simplicity on what point-sets we are equipped with, to act as feedstock for ramifying our intuition. Thompson 7 also indicated that in-building the cognitive tendency, which hampers our attempts to ramify our intuition, we extend our mathematics into strongly-axiomatized domains, where new principles have a much freer rein than before, so that the potential domain of their application outstrips what we can readily specify using our old schemas, even suitably bolstered by using transfinite induction, or recursion, as ramifiers. Thompson 8 argued that, consequently, any familiarity we pretend to develop with these domains will be largely mediated by schemas developed on the subsystem, which we must therefore guard ourselves against cashing - as far as is consciously possible that is in the surrounding global domain. Thompson 9 summed up that inability to escape from intuiting formally simple subsystems of those domains into which we extend our mathematics, guarantees that the progress of ramifying our intuition will inevitably be skeletal.

Further, Thompson, P.,1993, argued that the progressive insinuation into the epistemologically-safer sub-domains of mathematics, can be partially held back by a revisionist struggle, such as that advocated by Hermann Weyl which consists of successively: updating, altering and refining our naive intuitions to diminish Frege's qualm; and subsequently decreasing the shortfall between our formal systems and the intuitions of the day, which they claim to represent i.e. reducing Brouwer's qualm. Thompson 10 claimed by this way, the conclusions will not be intuitively false, but simply not intuitively true, and the candidates for appraisal will behave like targets which are no longer just very far from the archer, but no longer even visible at all. In the sense of the analysts distance themselves from geometrical intuition and its role in extension problems, Thompson 11 insisted that the 19th century belief that our geometrical prejudices should be isolated and withdrawn from the formal presentation of proofs in analysis, led to the idea that our basic intuitions were too weak to have any decisive role to play in the subsequent development of mathematics; this, however, often meant that we had now begun to notice when inappropriate schemas were being used, or that we had become impatient on noticing that their unquestionable success at the conjectural stage.

References:
1 Thompson, P.,1993, The Nature And Role Of Intuition In Mathematical Epistemology, University College, Oxford University, U.K
2Ibid.
3Ibid.
4Ibid.
5Ibid.
6Ibid.
7Ibid.
8Ibid.
9 Ibid.
10 Ibid.
11 Ibid.

14 comments:

  1. Anggoro Yugo Pamungkas
    18709251026
    S2 Pend.Matematika B 2018

    Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
    Berdasarkan artikel diatas, Thompson menyatakan bahwa telah mengakui peran keragu-raguan dalam penggunaan bahasa yang bila diterapkan pada prinsip matematika menjadi aneh tapi nyata; berlawanan dengan apa-apa yang terdapat pada kontinum dari intuitif palsu dan mencegah intuitif yang benar benar, tergantung pada kekuatan dugaan kita akan lebih cenderung untuk membuat menentangnya, jika kita tidak melihatnya, dan telah dimenangkan oleh, buktinya, dan memang, untuk mengejutkan kita, kita sering menemukan, pada saat kita menjumpai paradoks, bagaimana intuisi kita lemah dan tak berdaya. Thompson menyatakan bahwa gagasan tentang intuisi kita harus baik, tegas dan benar, berasal teori yang menyatakan bahwa kemampuan indera merupakan kemampuan primitif yang diwariskan dari gaya filsafat Rene Descartes yang mencari kebenaran absolut tentang segala sesuai yang tidak tergoyahkan, yang telah menolak semua pembenaran lainnya kecuali kebenaran diri yang menemukan bahwa dirinya yang ada adalah dirinya yang sedang memikirkannya.

    ReplyDelete
  2. Ibrohim Aji Kusuma
    18709251018
    S2 PMA 2018

    Thompson P, 1993 menjelaskan bahwa mereka yang memperdebatkan tentang kesia-siaan untuk mencoba dan membatasi atau bahkan mencari subsistem epistemologis dengan proposisi intuitif murni yang aman, dapat digunakan sebagai dasar untuk cabang matematika yang bermasalah, dan cenderung menekankan untuk membedakan seberapa sering kita gagal.

    ReplyDelete
  3. Diana Prastiwi
    18709251004
    S2 P. Mat A 2018

    Menurut Thompson, menyatakan bahwa intuisi akan memeberikan arah yang salah dan karena intuisi hanya sebauh perkiraan, serta merupakan penyedia halangan terhadap suatu tesis. Sehingga perlu melebarkan matematika ke domain aksioma yang lebih kuat agar bisa dikombinasikan dengan induksi transfinite, rekursi sebagai pembatas.

    ReplyDelete
  4. Luthfannisa Afif Nabila
    18709251031
    S2 Pendidikan Matematika B 2018
    Assalamu'alaikum Warohmatullohi Wabarokatuh.
    Dari elegi diatas dikatakan bahwa Thompson bersikeras bahwa pada abad ke-19 yakin bahwa prasangka geometri kita harus diisolasi dan ditarik dari pembuktian formal dalam analisis, mengarah pada gagasan bahwa intuisi dasar terlalu lemah untuk memiliki peran yang menentukan untuk dimainkan dalam perkembangan matematika selanjutnya. Ini berarti bahwa kita sekarang mulai memperhatikan ketika skema yang tidak tepat digunakan, atau bahwa kita telah menjadi tidak sabar untuk menyadari bahwa kesuksesan mereka yang tidak dapat dipertanyakan pada tahap terkaan. Dari penjelasan diatas terkait pembuktian formal dalam analisis, apakah yang dimaksudkan adalah pembuktian dengan cara menganalisis? Contohnya saja kegiatan analisis ialah ketika kita diminta menghafal urutan 5432187654321. Tentu kita tidak dapat menghafal angka sebanyak itu, sehingga kita dalam hal ini menganalisis “oh ternyata angkanya bergerak mundur dari 5 ke 1 lalu dari 8 ke 6 lalu diulangi lagi 5 ke 1, bukankah begitu? Itulah salah satu kegiatan menganalisis, lalu bagaimana dengan pembuktian formal dalam analisis? Apakah pembuktian formal dengan analisis misalnya saja dalam mata kuliah analisis real? Karena dalam mata kuliah analisis real kita diminta membuktikan suatu teorema dengan analisis. Apakah begitu yang dimaksudkan? Namun, apakah dalam filsafat ada pembuktian formal dengan analisis? Jika ada, bagaimana penerapannya dalam filsafat? Terima kasih.
    Wassalamu'alaikum Warohmatullohi Wabarokatuh.

    ReplyDelete
  5. Bayuk Nusantara Kr.J.T
    18701261006

    Kecenderungan Thompson disini adalah bahwa matematika bisa keliru jika mengikuti intusi dalam memikirkan struktur dalam matematika. Sejauh yang saya pahami ttg intuisi dalam matematika adalah, meng"konkrit"kan matematika yang abstrak keluar dari pikiran, namun yang keluar itu bukanlah matematika namun hanyalah buah dari pemikiran matematika. Sehingga agak keliru memang jika hal yang ada diluar yang membentuk kognisi dan logika matematika manusia.

    ReplyDelete
  6. Fany Isti Bigo
    18709251020
    PPs UNY PM A 2018

    Artikel ini memaparkan pandangan Thompson mengenai kekeliruan dari intuitif matematika. Thompson menyimpulkan bahwa kekeliruan intuisi telah mendapatkan signifikan dalam epistemologi kontemporer matematika. Di mana Georg Kreisel menunjukkan bahwa intuisi ini berlebihan dan mengklaim bahwa tidak diragukan lagi, hasil dari bias ingatan kita yang membuat kita sebagian besar mengingat kejutan, kasus mengesankan di mana kesan pertama yang kuat yang kemudian dibenarkan, dan akhirnya juga mengarah ke terlalu tinggi akan bahaya pemikiran intuitif. Thompson menyatakan bahwa jika intuisi dalam matematika memiliki karakteristik sebagai elemen yang tumbuh dalam akal kita, sebuah fleksibilitas intelektual dengan menyajikan konsep tentang struktur abstrak dan hubungan antar struktur, maka kita harus mengakui bahwa isinya adalah variabel dan tergantung pada kekuatan budaya dalam banyak cara yang sama seperti setiap unsur budaya lainnya.

    ReplyDelete
  7. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  8. Fabri Hidayatullah
    18709251028
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Thompson menyatakan bahwa dalam serangannya terhadap berbagai anggapan tentang intuisi, sejauh mereka menyatakan bahwa intuisi menyediakan pengetahuan apriori matematika yang tidak dapat diperbaiki. Thompson juga menyatakan bahwa dalam permasalahan dimana pengalaman menyarankan bahwa kepercayaan intuitif yang kita bentuk ialah menunjukkan ke arah yang salah dan hal ini menyediakan sandungan terhadap tesis bahwa intuisi kita menduduki posisi wewenang yang memiliki hak yang istimewa dengan sifat-sifat dasarnya, untuk kepercayaan kita, dan melanjutkan untuk membenarkannya, apapun pengalaman kita. Menurutnya, pendapat yang keliru dari intuisi ini memberikan keuntungan terhadap epistemologi matematika kontemporer. Hal ini menyebabkan penaksiran yang terlalu tinggi dari bahaya pemikiran intuituf.

    ReplyDelete
  9. Amalia Nur Rachman
    18709251042
    S2 Pendidikan Matematika B UNY 2018

    Menurut Thompson, skema merupakan sebuah sarana dalam pembentukan definisi. Di sisi lain, intuisi juga berperan dalam pembentukan hierarki pemahaman seseorang. Sehingga dapat disimpulkan bahwa melepaskan intuisi dari sebuah subsistem domain yang sederhana menuju ke hal yang lebih kompleks akan memberikan pengetahuan tentang matematika yang lebih mendalam. Untuk mencapai pemahaman matematika yang lebih luas maka kemajuan intuisi dalam pembentukan pemahaman merupakan hal dasar yang harus dikembangkan

    ReplyDelete
  10. Nur Afni
    18709251027
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.
    Thompson 4 menyimpulkan bahwa kekeliruan intuisi ini kemudian, telah memperoleh signifikansi dalam epistemologi matematika kontemporer, di mana Georg Kreisel menyatakan bahwa itu agak berlebihan; dia mengklaim bahwa ini, tidak diragukan lagi, hasil dari bias ingatan kita yang membuat kita, sebagian besar, mengingat kejutan, kasus-kasus yang mengesankan di mana kesan awal yang kuat kemudian diputuskan, dan pada akhirnya itu juga mengarah pada perkiraan yang terlalu tinggi akan bahaya pemikiran intuitif. terimakasih

    ReplyDelete
  11. Rosi Anista
    18709251040
    S2 Pendidikan Matematika B

    Thompson menyebutkan bahwa dalam permasalahan di mana pengalaman menunjukkan bahwa keyakinan intuitif yang dibentuk salah dan hal tersebut memberikan penyelesaian bagi dugaan bahwa intuisi menempati posisi sebagai keinginan atau kehendak oleh manusia itu sendiri. Keyakinan kita kemudian terus membenarkan apa pun pengalaman yang kita hadapi, sama halnya seperti yang sekarang mengancam baik apriori, atau catatan lain yang terlalu mencolok tentang sifat pengetahuan itu sendiri.

    ReplyDelete
  12. Septia Ayu Pratiwi
    18709251029
    S2 Pendidikan Matematika 2018

    Thompson, P mengatakan bahwa berdebat merupakan hal yang sia-sia jika ingin membatasi atau bahkan mencari susbsistem epistimologi yang aman dari proposisi intuisi murni yang dapat digunakan sebagai dasar untuk cabang matematika yang tidak bermasalah. Oleh sebab itu diperlukan pembahasan matematika yang lebih luas untuk mengetahui esensi matematika yang sesungguhnya.

    ReplyDelete
  13. Janu Arlinwibowo
    18701261012
    PEP 2018

    Pada tahun 1993 Thompson, menegaskan bahwa dalam kasus di mana pengalaman menunjukkan keyakinan intuitif kita telah terbentuk adalah menyesatkan. matematika merupakan suatu ilmu yang memiliki cirri khas dibanding ilmu lain, dalam pengembangannya membutuhkan berbagai pemikiran logis danc cerdas. Dalam proses analisi dan penatikan kesimpulan, memunculkan ide baru mengenai teori yang akan dilahirkan.

    ReplyDelete