Oct 13, 2012

Wilkins’ and Hempel’s Notions of the Nature of Mathematics




By Marsigit
Yogyakarta State University

Wilkins, D.R., 2004, described some definitions of what is mathematics from different mathematicians.


The logician Whitehead 1 perceived that mathematics in its widest significance is the development of all types of formal, necessary, deductive reasoning; Boole 2 thought that it is not the essence of mathematics to be conversant with the ideas of number and quantity; Poincare 3 insisted that later generations will regard set theory as a disease from which one has recovered; Kant 4 argued that the science of mathematics presents the most brilliant example of how pure reason may successfully enlarge its domain with the aid of experience; Von Neumann 5 believed that most of the best mathematical inspiration comes from experience; Gauss 6 stated that he has had the results for a long time, but he does not know yet know how to arrive at them; Riemann 7 claimed that if he only had the theorems, then he could find the proofs easily enough; Kaplansky 8 expressed that the most interesting moments are not where something is proved but where a new concept is involved; Weyl 9 stated that God exists since mathematics is consistent and the devil exists since we can't prove this consistency; Hilbert 10 concluded that mathematical science is an indivisible whole, an organization whose vitality depends on the connections between its parts, and the advancement in mathematics is made by simplification of methods, the disappearance of old procedures which have lost their usefulness and the unification of fields until then foreign; while Henkin 11 insisted that the number and rate of applications of mathematics is increasing and the equipment the students need to enable unforeseen applications, is not specialized mathematics but that core of the most general kind which will enable them to investigate new applications.

Hempel, C.G., 2001, advocated especially by John Stuart Mill that mathematics is itself an empirical science which differs from the other branches such as astronomy, physics, chemistry, etc., mainly in two respects: its subject matter is more general than that of any other field of scientific research, and its propositions have been tested and confirmed to a greater extent than those of even the most firmly established sections of astronomy or physics. Accordingly, the degree to which the laws of mathematics have been borne out by the past experiences of mankind is so overwhelming unjustifiably that we have come to think of mathematical theorems as qualitatively different from the well confirmed hypotheses or theories of other branches of science in which we consider them as certain, while other theories are thought of as at best as very probable or very highly confirmed. And of course this view is open to serious objections.

Hempel, C.G., 2001, elaborated that from a hypothesis which is empirical in character, it is possible to derive predictions to the effect that under certain specified conditions certain specified observable phenomena will occur; the actual occurrence of these phenomena constitutes confirming evidence, their non-occurrence disconfirming evidence for the hypothesis. He concluded that an empirical hypothesis is theoretically un-confirmable that is possible to indicate what kind of evidence would disconfirm the hypothesis; if this is actually an empirical generalization of past experiences, then it must be possible to state what kind of evidence would oblige us to concede the hypothesis was not generally true after all; and if any disconfirming evidence for the given proposition can be thought of. According to him, the mathematical propositions are true simply by virtue of definitions or of similar stipulations which determine the meaning of the key terms involved; their validation naturally requires no empirical evidence; they can be shown to be true by a mere analysis of the meaning attached to the terms which occur in them.

Hempel, C.G., 2001, argued so far that the validity of mathematics rests neither on its alleged self-evidential character nor on any empirical basis, but derives from the stipulations which determine the meaning of the mathematical concepts, and that the propositions of mathematics are therefore essentially "true by definition." He claimed that the rigorous development of a mathematical theory proceeds not simply from a set of definitions but rather from a set of non-definitional propositions which are not proved within the theory; these are the postulates or axioms of the theory and formulated in terms of certain basic or primitive concepts for which no definitions are provided within the theory; the postulates themselves represent "implicit definitions" of the primitive terms while the postulates do limit, in a specific sense, the meanings that can possibly be ascribed to the primitives, any self-consistent postulate system admits.

Hempel, C.G., 2001, further stated that once the primitive terms and the postulates have been laid down, the entire theory is completely determined. He summed up that every term of the mathematical theory is definable in terms of the primitives, and every proposition of the theory is logically deducible from the postulates; to be entirely precise, it is necessary also to specify the principles of logic which are to be used in the proof of the propositions. He claimed that these principles can be stated quite explicitly and fall into primitive sentences or postulates of logic. By combining the analyses of the aspects of the Peano system, Hempel 12 accepted the thesis of logicism that Mathematics is a branch of logic due to all the concepts of mathematics, i.e., of arithmetic, algebra, and analysis, can be defined in terms of four concepts of pure logic; and all the theorems of mathematics can be deduced from those definitions by means of the principles of logic.

References:
1 In Wilkins , D.R., 2004, Types of Mathematics, http://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/
2Ibid.
3 Ibid.
4 Ibid.
5 Ibid.
6 Ibid.
7 Ibid.
8 Ibid.
9 Ibid.
10 Ibid.
11Ibid.
12Hempel, C.G., 2001, On the Nature of Mathematical Truth, http://www.ltn.lv/ ~podniek/gt.htm

5 comments:

  1. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)

    Pandangan Wilkins’ mengenai Nature dari Matematika:
    1. matematika dalam arti yang paling luas adalah pengembangan semua jenis pengetahuan yang bersifat formal dan penalarannya bersifat deduktif.
    2. matematika adalah ide-ide tentang jumlah dan kuantitas.
    3. matematika merupakan contoh yang paling cemerlang tentang bagaimana akal murni berhasil bisa memperoleh kesuksesannya dengan bantuan pengalaman.
    4.Von Neumann percaya bahwa sebagian besar inspirasi matematika terbaik berasal dari pengalaman.
    6. Riemann menyatakan bahwa jika dia hanya memiliki teorema, maka ia bisa menemukan bukti cukup mudah.
    7. Kaplansky menyatakan bahwa saat yang paling menarik adalah bukan di mana sesuatu terbukti tapi di mana konsep baru ditemukan.
    8. Weyl menyatakan bahwa Tuhan ada karena matematika adalah konsisten dan iblis ada karena kita tidak dapat membuktikan matematika konsistensi ini.
    9. Hilbert menyimpulkan bahwa ilmu matematika adalah kesatuan yang konsisten, yaitu sebuah struktur yang tergantung pada vitalitas hubungan antara bagian-bagiannya, dan penemuan dalam matematika dibuat dengan penyederhanaan metode, menghilangnya prosedur lama yang telah kehilangan kegunaannya dan penyatuan kembali unsur-unsurnya untuk menemukan konsep baru.

    ReplyDelete
  2. Saepul Watan
    16709251057
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Artikel Wilkins’ and Hempel’s Notions of the Nature of Mathematics memaparkan pandangan-pandangan ahli mengenai sifat-sifat dari matematika. Dari artikel ini dijelaskan bahwa Hempel menerima tesis logicism bahwa Matematika merupakan cabang dari logika karena semua konsep matematika, yaitu, aritmatika, aljabar, dan analisis, dapat didefinisikan dalam hal empat konsep logika murni; dan semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut dengan cara prinsip-prinsip logika. matematika pada garis besarnya merupakan pengetahuan yang disusun secara konsisten berdasarkan logika deduktif. Bertand Russel dan Whitehead dalam karyanya mencoba membuktikan bahwa dalil-dalil matematika pada dasarnya adalan pernyataan logika meskipun tidak seluruhnya berhasil.

    ReplyDelete
  3. Wahyu Lestari
    16709251074
    PPs Pendidikan Matematika 2016 Kelas D

    dari artikel di atas, Ahli logika Whitehead 1 menganggap bahwa matematika dalam arti paling luas adalah pengembangan semua jenis penalaran formal, perlu, deduktif;
    Boole 2 berpikir bahwa bukan esensi matematika untuk bisa memahami gagasan jumlah dan kuantitas;
    Poincare 3 bersikeras bahwa generasi selanjutnya akan menganggap teori yang ditetapkan sebagai penyakit dari mana seseorang telah pulih;
    Kant 4 berpendapat bahwa ilmu matematika menyajikan contoh paling cemerlang tentang bagaimana alasan murni berhasil memperluas wilayahnya dengan bantuan pengalaman;
    Von Neumann 5 percaya bahwa sebagian besar inspirasi matematis terbaik berasal dari pengalaman;
    Gauss 6 menyatakan bahwa ia telah memiliki hasil untuk waktu yang lama, tetapi ia tidak tahu belum tahu bagaimana untuk sampai pada mereka;
    Riemann 7 mengklaim bahwa jika dia hanya memiliki teorema, maka dia bisa menemukan buktinya dengan cukup mudah;
    Kaplansky 8 menyatakan bahwa saat-saat yang paling menarik bukanlah di mana sesuatu terbukti, tetapi di mana konsep baru dilibatkan;
    Weyl 9 menyatakan bahwa Tuhan ada sejak matematika konsisten dan iblis ada karena kita tidak bisa membuktikan konsistensi ini;
    Hilbert 10 menyimpulkan bahwa ilmu matematika adalah keseluruhan yang tidak dapat dibagi, sebuah organisasi yang vitalitasnya bergantung pada hubungan antara bagian-bagiannya, dan kemajuan dalam matematika dibuat dengan penyederhanaan metode, hilangnya prosedur lama yang telah kehilangan kegunaan dan penyatuan bidang Sampai saat itu asing;
    Sementara Henkin 11 bersikeras bahwa jumlah dan tingkat penerapan matematika semakin meningkat dan peralatan yang dibutuhkan siswa untuk memungkinkan aplikasi yang tidak terduga, bukanlah matematika khusus, tapi inti dari jenis yang paling umum yang memungkinkan mereka menyelidiki aplikasi baru.

    ReplyDelete
  4. Wahyu Lestari
    16709251074
    PPs Pendidikan Matematika 2016 Kelas D

    Hempel, C.G., 2001, menguraikan bahwa dari sebuah hipotesis yang bersifat empiris, adalah mungkin untuk menurunkan prediksi mengenai efek bahwa dalam kondisi tertentu, fenomena tertentu yang dapat diamati tertentu akan terjadi; Kejadian sebenarnya dari fenomena ini merupakan bukti yang membenarkan, bukti kegagalan mereka untuk mengkonfirmasi hipotesis tersebut. Dia menyimpulkan bahwa hipotesis empiris secara teoritis tidak dapat dikonfirmasi, yang memungkinkan untuk menunjukkan jenis bukti yang akan menolak hipotesis tersebut; Jika ini benar-benar generalisasi empiris pengalaman masa lalu, maka harus dimungkinkan untuk menyatakan bukti seperti apa yang akan mewajibkan kita untuk mengakui hipotesis tersebut pada umumnya tidak benar sebelumnya; Dan jika ada bukti disconfirming untuk proposisi yang diberikan dapat dipikirkan. Menurutnya, proposisi matematika benar hanya berdasarkan definisi atau ketentuan serupa yang menentukan makna istilah kunci yang terlibat; Validasi mereka secara alami tidak memerlukan bukti empiris; Mereka dapat ditunjukkan benar dengan analisis belaka tentang makna yang melekat pada istilah-istilah yang terjadi di dalamnya.

    ReplyDelete
  5. Sumandri
    16709251072
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Wilkins, DR, 2004, menjelaskan bahwa terdapat beberapa definisi tentang matematika yang berbeda-beda. Ahli logika Whitehead menyatakan bahwa matematika dalam arti yang paling luas adalah pengembangan semua jenis pengetahuan yang bersifat formal dan penalarannya bersifat deduktif. Boole berpendapat bahwa itu matematika adalah ide-ide tentang jumlah dan kuantitas. Kant mengemukakan bahwa ilmu matematika merupakan contoh yang paling cemerlang tentang bagaimana akal murni berhasil bisa memperoleh kesuksesannya dengan bantuan pengalaman. Von Neumann percaya bahwa sebagian besar inspirasi matematika terbaik berasal dari pengalaman. Riemann menyatakan bahwa jika dia hanya memiliki teorema, maka ia bisa menemukan bukti cukup mudah. Kaplansky menyatakan bahwa saat yang paling menarik adalah bukan di mana sesuatu terbukti tapi di mana konsep baru ditemukan.Hempel, CG, 2001, menegaskan kembali apa yang telah dikemukakan oleh John Stuart Mill bahwa matematika itu sendiri merupakan ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dll, terutama dalam dua hal: materi pelajaran adalah lebih umum daripada apapun lainnya dari penelitian ilmiah, dan proposisi yang telah diuji dan dikonfirmasi ke tingkat yang lebih besar dibandingkan beberapa bagian yang paling mapan astronomi atau fisika. Dengan demikian, sejauh mana hukum-hukum matematika telah dibuktikan oleh pengalaman masa lalu umat manusia begitu luar biasa bahwa kita telah dibenarkan olh teorema matematika dalam bentuk kualitatif berbeda dari hipotesis baik dari cabang lain.

    ReplyDelete