Oct 13, 2012

Wilkins’ and Hempel’s Notions of the Nature of Mathematics




By Marsigit
Yogyakarta State University

Wilkins, D.R., 2004, described some definitions of what is mathematics from different mathematicians.


The logician Whitehead 1 perceived that mathematics in its widest significance is the development of all types of formal, necessary, deductive reasoning; Boole 2 thought that it is not the essence of mathematics to be conversant with the ideas of number and quantity; Poincare 3 insisted that later generations will regard set theory as a disease from which one has recovered; Kant 4 argued that the science of mathematics presents the most brilliant example of how pure reason may successfully enlarge its domain with the aid of experience; Von Neumann 5 believed that most of the best mathematical inspiration comes from experience; Gauss 6 stated that he has had the results for a long time, but he does not know yet know how to arrive at them; Riemann 7 claimed that if he only had the theorems, then he could find the proofs easily enough; Kaplansky 8 expressed that the most interesting moments are not where something is proved but where a new concept is involved; Weyl 9 stated that God exists since mathematics is consistent and the devil exists since we can't prove this consistency; Hilbert 10 concluded that mathematical science is an indivisible whole, an organization whose vitality depends on the connections between its parts, and the advancement in mathematics is made by simplification of methods, the disappearance of old procedures which have lost their usefulness and the unification of fields until then foreign; while Henkin 11 insisted that the number and rate of applications of mathematics is increasing and the equipment the students need to enable unforeseen applications, is not specialized mathematics but that core of the most general kind which will enable them to investigate new applications.

Hempel, C.G., 2001, advocated especially by John Stuart Mill that mathematics is itself an empirical science which differs from the other branches such as astronomy, physics, chemistry, etc., mainly in two respects: its subject matter is more general than that of any other field of scientific research, and its propositions have been tested and confirmed to a greater extent than those of even the most firmly established sections of astronomy or physics. Accordingly, the degree to which the laws of mathematics have been borne out by the past experiences of mankind is so overwhelming unjustifiably that we have come to think of mathematical theorems as qualitatively different from the well confirmed hypotheses or theories of other branches of science in which we consider them as certain, while other theories are thought of as at best as very probable or very highly confirmed. And of course this view is open to serious objections.

Hempel, C.G., 2001, elaborated that from a hypothesis which is empirical in character, it is possible to derive predictions to the effect that under certain specified conditions certain specified observable phenomena will occur; the actual occurrence of these phenomena constitutes confirming evidence, their non-occurrence disconfirming evidence for the hypothesis. He concluded that an empirical hypothesis is theoretically un-confirmable that is possible to indicate what kind of evidence would disconfirm the hypothesis; if this is actually an empirical generalization of past experiences, then it must be possible to state what kind of evidence would oblige us to concede the hypothesis was not generally true after all; and if any disconfirming evidence for the given proposition can be thought of. According to him, the mathematical propositions are true simply by virtue of definitions or of similar stipulations which determine the meaning of the key terms involved; their validation naturally requires no empirical evidence; they can be shown to be true by a mere analysis of the meaning attached to the terms which occur in them.

Hempel, C.G., 2001, argued so far that the validity of mathematics rests neither on its alleged self-evidential character nor on any empirical basis, but derives from the stipulations which determine the meaning of the mathematical concepts, and that the propositions of mathematics are therefore essentially "true by definition." He claimed that the rigorous development of a mathematical theory proceeds not simply from a set of definitions but rather from a set of non-definitional propositions which are not proved within the theory; these are the postulates or axioms of the theory and formulated in terms of certain basic or primitive concepts for which no definitions are provided within the theory; the postulates themselves represent "implicit definitions" of the primitive terms while the postulates do limit, in a specific sense, the meanings that can possibly be ascribed to the primitives, any self-consistent postulate system admits.

Hempel, C.G., 2001, further stated that once the primitive terms and the postulates have been laid down, the entire theory is completely determined. He summed up that every term of the mathematical theory is definable in terms of the primitives, and every proposition of the theory is logically deducible from the postulates; to be entirely precise, it is necessary also to specify the principles of logic which are to be used in the proof of the propositions. He claimed that these principles can be stated quite explicitly and fall into primitive sentences or postulates of logic. By combining the analyses of the aspects of the Peano system, Hempel 12 accepted the thesis of logicism that Mathematics is a branch of logic due to all the concepts of mathematics, i.e., of arithmetic, algebra, and analysis, can be defined in terms of four concepts of pure logic; and all the theorems of mathematics can be deduced from those definitions by means of the principles of logic.

References:
1 In Wilkins , D.R., 2004, Types of Mathematics, http://www.maths.tcd.ie/~dwilkins/
2Ibid.
3 Ibid.
4 Ibid.
5 Ibid.
6 Ibid.
7 Ibid.
8 Ibid.
9 Ibid.
10 Ibid.
11Ibid.
12Hempel, C.G., 2001, On the Nature of Mathematical Truth, http://www.ltn.lv/ ~podniek/gt.htm

15 comments:

  1. Nur Dwi Laili K
    17709251059
    PPs Pendidikan Matematika C

    Dalam tulisan Prof. Marsigit tersebut, Wilkins banyak menjelaskan tentang definisi-definisi matematika dari beberapa matematikawan yang berbeda. Salah satu definisi yang menarik adalah pendapat Von Neumann yang percaya bahwa sebagian besar inspirasi matematika berasal dari pengalaman. Definisi ini menjadikan matematika terasa dekat dengan kehidupan sehari-hari. Dan sebenarnya banyak kita jumpai bahwa konsep-konsep matematika berasal dari kehidupan, salah satunya dalam kehidupan masyarakat yunani.

    ReplyDelete
  2. Irham Baskoro
    17709251004
    S2|Pendidikan Matematika A 2017|UNY

    Saya setuju dengan Hempel yang menyatakan bahwa matematika itu merupakan ilmu pengetahuan empiris yang berbeda dari pada cabang-cabang ilmu pengetahuan yang lain seperti astronomi, fisika, kimia dan sebagainya. Subjek matematika lebih umum dibandingkan ilmu-ilmu yang lain. Menurut saya cakupan matematika itu lebih luas. Sementara astronomi, fisika, dan kimia, mengambil sebagian dari materi atau konsep matematika untuk membahas dan memperdalam konsepnya masing-masing.

    ReplyDelete
  3. Nama: Hendrawansyah
    NIM: 17701251030
    S2 PEP 2017 Kelas B

    Assalamualaikum wr wb

    Saya melihat bahwa Hempel memaksakan logika masuk ke ranah matemaitka.Sepertinya ia tetap bersih kukuh dengan mengklaim bahwa matematika merupakan fakta yang empiris.Penghakimannya dengan menatap pada pengalamn masa lalu.Oleh karena itu, pada dasarnya benar di dalam matematika menurutnya yang diterjemahkan benar menurut definisi dengan tidak melibatkan akal pikiran secara penuh. Pastinya ini merupakan klaim sepihak tanpa menimbang-nimbang faktor yang lain.

    ReplyDelete
  4. I Nyoman Indhi Wiradika
    17701251023
    PEP B

    Saya menyoroti pendapat dari Hempel yang menyatakan bahwa validitas matematika tidak bergantung pada karakter dugaan dirinya sendiri atau basis empiris, namun berasal dari ketentuan yang menentukan makna konsep matematika, dan bahwa proposisi matematika adalah Oleh karena itu pada dasarnya "benar menurut definisi." Yang jadi pertanyaan saya mengapa bisa seperti itu? bukankah matematika tergolong sebagai ilmu harus memenuhi standar keilmuan yaitu empirisme dan pembuktian?

    ReplyDelete
  5. Nama: Dian Andarwati
    NIM: 17709251063
    Kelas: Pendidikan Matematika (S2) Kelas C

    Assalamu’alaikum.Wilkins menjelaskan bahwa terdapat beberapa definisi tentang matematika yang berbeda-beda. Hempel menegaskan bahwa matematika merupakan ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain terutama dalam materi pelajaran dan proposisi yang telah diuji dan dikonfirmasi ke tingkat yang lebih besar. Dengan demikian, sejauh mana hukum-hukum matematika telah dibuktikan oleh pengalaman masa lalu umat manusia begitu luar biasa bahwa kita telah dibenarkan olh teorema matematika dalam bentuk kualitatif berbeda dari hipotesis baik dari cabang lain.

    ReplyDelete
  6. Yusrina Wardani
    17709251057
    PPs PMAT C 2017
    Hempel mengakui bahwa dari hipotesis empiris dapat dimungkinkan untuk memperoleh prediksi yang menyatakan bahwa dalam kondisi tertentu tertentu, gejala yang tampak tertentu yang ditentukan akan terjadi; kejadian yang sebenarnya dari fenomena ini merupakan mengkonfirmasikan bukti.

    ReplyDelete
  7. Yusrina Wardani
    17709251057
    PPs PMAT C 2017
    Objek matematika ada di dalam pikiran yang terbebas dari ruang dan waktu. Hal ini sejalan dengan pendapat menurut banyak filsuf, jika entitas tersebut ada maka mereka lakukan di luar ruang dan waktu, dan mereka tidak memiliki kekuasaan kausal. Mereka sering disebut abstrak sebagai lawan entitas konkret.

    ReplyDelete
  8. Muh Wildanul Firdaus
    17709251047
    Pendidikan matematika S2 kls C

    Setelah membaca elegi ini, saya melihat banyak para ilmuwan matematika yang memberikan pendefinisian beragam tentang matematika. Terlepas dari itu, ini merupakan sesuatu yang lumrah terjadi. Persepsi yang diberikan mungkin berdasarkan kepiawaiannya yang dihadirkan lewat pengalamannya masing-masing. Saya jadi terpengaruh dengan pendapatnya Hembel yang mengatakan bahwa “perkembangan teori matematika yang ketat tidak hanya berasal dari seperangkat definisi tetapi lebih dari seperangkat proposisi non-definisi yang tidak terbukti dalam teori”.Ini berarti harus ada hubungan yang sebaliknya bagaimana membuktikan suatu non definisi yang tak mampu dijangkau oleh teori.

    ReplyDelete
  9. Tri Wulaningrum
    17701251032
    PEP S2 B

    Saya tertarik pada salah satu gagasan pikir di antara para ahli di atas. Dia adalah Weyl, yang menurut pemahaman saya setelah membaca artikel di atas, Weyl menyampaikan bahwa kebenaran pengetahuan matematika ada apabila konsep dalam matematika yang sedang dibicarakan adalah konsisten. Pernyataan tersebut memperkokoh pengetahuan yang saya miliki tentang matematika (berdasarkan bacaan sebelumnya), yaitu bahwa matematika adalah ilmu yang berisi tentang ketetapan dan kepastian. Akan tetapi, saya juga sedikit bingung, bukankah semua ilmu itu bersifat tentatif dan kita menyadarinya? Maka bagaimana mempertahankan konsistensi suatu ilmu di tengah garis tentatifnya ilmu tersebut.

    ReplyDelete
  10. Junianto
    PM C
    17709251065

    Tujuan pembelajaran matematika salah satunya adalah melatih pola pikir dan penalaran matematis. Selain itu, belajar menyelesaikan soal pemecahan masalah akan melatih kita untuk memecahkan masalah dalam kehidupan secara logis dan masuk akal. Maka dari itu, terkadang keabstrakan matematika membuat kita bingung apa gunanya dalam kehidupan. Sebenanrnya pemikirannya lah yang berguna dalam kehidupan kita bukan objeknya secara langsung. Bagaimana kita bisa berpikir logis, kritis dan mengedepankan teori-teori yang ada itulah yang berguna dalam kehidupan kita.

    ReplyDelete
  11. Ahli logika Whitehead 1 menganggap bahwa matematika dalam arti paling luas adalah pengembangan semua jenis penalaran formal, perlu penalaran secara deduktif. Penalaran deduktif adalah cara pengambilan kesimpulan dengan penegertian umum ke pengertian khusus. Kemudian Boole berpikir bahwa bukan inti matematika untuk memahami gagasan jumlah dan kuantitas. Saya sepaka dengan itu karena terlalu sederhana jika matematika hanya mempelajari konsep jumlah dan kuantitas.

    ReplyDelete
  12. Menurut Hempel, ia menyatakan bahwa sekali istilah primitif dan dalil-dalil yang telah ditetapkan, seluruh teori sepenuhnya ditentukan. Ia menegaskan bahwa matematika merupakan ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dll, terutama dalam dua hal: materi pelajaran adalah lebih umum daripada apapun lainnya dari penelitian ilmiah, dan proposisi yang telah diuji dan dikonfirmasi ke tingkat yang lebih besar dibandingkan beberapa bagian yang paling mapan astronomi atau fisika. Dengan demikian, sejauh mana hukum-hukum matematika telah dibuktikan oleh pengalaman masa lalu umat manusia begitu luar biasa bahwa kita telah dibenarkan oleh teorema matematika dalam bentuk kualitatif berbeda dari hipotesis baik dari cabang lain.

    ReplyDelete

  13. Isoka Amanah Kurnia
    17709251051
    PPs Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    According to Hempel, from an empirical hypothesis in a character it may be possible to obtain a prediction which states that under certain conditions the apparent apparent phenomena will occur, the actual event of this phenomenon is in the form of confirming the evidence. Furthermore, according to Hempel, the mathematical proposition is true only by definition or similar provisions that determine the meaning of key terms involved; the validation experienced does not require any empirical evidence and can be shown to be true by way of being analyzed.

    ReplyDelete
  14. Auliaul Fitrah Samsuddin
    17709251013
    PPs P.Mat A 2017
    Terima kasih atas postingannya Prof. Menurut Hempel, matematika adalah ilmu empirik yang berbeda dari cabang ilmu yang lain, seperti astronomi, fisika, kimia, dll. Perbedaan tersebut, yakni : materinya lebih umum dibandingkan penelitian di cabang ilmu lain dan dalilnya telah terbukti pada jangkauan yang lebih luas.

    ReplyDelete
  15. Atik Rodiawati
    17709251025
    S2 Pendidikan Matematika B 2017

    Wilkin memberikan sifat matematika dengan menyajikan menurut pendapat-pendapat para ahli. Sehingga sifat matematika menurut Wilkin merupakan sesuatu yang fleksibel, dia dapat menjadi penalaran deduktif, bahkan matematika berasal dari pengalaman. Sedangkan menurut Hempel, sifat matematika benar-benar bersifat a priori, analitik dan konsisten. Semua sifatnya harus sesuai dengan definisi.

    ReplyDelete