## Oct 10, 2012

### Elegi Menggapai 'The Foundations of Mathematics'

By Marsigit
Yogyakarta State University

The search for foundations of mathematics is in line with the search for philosophical foundation in general. The aspects of the foundation of mathematics can be traced through the tread of philosophical history and mathematics history as well. Hersh, R. elaborates that the foundations of mathematics 1 have ancient roots; the philosophers behind Frege are Hilbert, Brouwer, Immanuel Kant. The philosopher behind Kant is

Gottfried Leibniz; the philosophers behind Leibniz are Baruch Spin¬oza and Rene Descartes. The philosophers behind all of them are Thomas Aquinas, Augustine of Hippo, Plato, and the great grandfather of foundationism-Pythagoras.
The term "foundations of mathematics" 2 is sometimes used for certain fields of mathematics itself, namely for mathematical logic, axiomatic set theory, proof theory and model theory. The search for foundations of mathematics is however also the central question of the philosophy of mathematics: on what ultimate basis can mathematical statements be called "true"? Hersh R. describes that , the name "foundationism" was invented by a prolific name-giver, Imre Lakatos. Gottlob Frege, Bertrand Russell, Luitjens Brouwer and David Hilbert, are all hooked on the same delusion that mathematics must have a firm foundation; however, they differ on what the foundation should be. The currently foundation of mathematics 3 is, characteristically as more formalistic approach, based on axiomatic set theory and formal logic; and therefore, all mathematical theorems today can be formulated as theorems of set theory.
Hersh R. (1997) writes that the truth of a mathematical statement, in the current view, is then nothing but the claim that the statement can be derived from the axioms of set theory using the rules of formal logic. However, this formalistic 4 approach does not explain several issues such as: why we should use the axioms we do and not some others, why we should employ the logical rules we do and not some other, why "true" mathematical statements appear to be true in the physical world. The above mentioned notion of formalistic truth could also turn out to be rather pointless; it is perfectly possible that all statements, even contradictions, can be derived from the axioms of set theory. Moreover, as a consequence of Gödel's second incompleteness theorem, we can never be sure that this is not the case.

References:
1 Hersh, R., 1997, “What is Mathematics, Really?”, London: Jonathan Cape, p. 91
2 …….., “Foundations of mathematics”, Retrieved 2004 < http://www.wikipedia.org/>
3 Hersh, R., 1997, “What is Mathematics, Really?”, London: Jonathan Cape, p.91
4 Ibid. p. 256

1. Lihar Raudina Izzati
16709251046
P. Mat C 2016 PPs UNY

Salah satu unsur esensial matematika adalah bagian yang melandasi bangunan ilmu Matematika itu, yang dewasa ini disebut landasan matematika. Landasan matematika tidak hanya berfungsi sebagai penyokong atau penopang bangunan matematika, tetapi juga sebagai sarana yang diperlukan untuk membangun dan mengembangkan matematika itu sendiri. Misalnya bisakah teorema-teorema atau rumus dipercaya kebenarannya tanpa pembuktian formal atau penalaran?

2. Sehar Trihatun
16709251043
S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

Membahas mengenai fondasi dari matematika atau dasar dari matematika, maka kita dapat menelusurinya melalui filsafat dan sejarah-matematika dari zaman dahulu. Pencarian mengenai dasar dari matematika merupakan salah satu pertanyaan utama filsafat matematika, yaitu atas dasar apa suatu pernyataan matematika dapat dianggap benar? Kebenaran matematika saat ini lebih mengutamakan kebenaran yang dapat diturunkan dari suatu aksioma-aksioma tertentu melalui logika-logika formal, sehingga kebenaran-kebenaran matematika sejatinya dapat dibentuk sebagai suatu teori himpunan. Sekarang pertanyaan kenapa kebenaran pernyataan matematika harus mengikuti aksioma-aksioma, darimanakah aksioma-aksioma ini diturunkan dan bagaimanakah kebenaran dari aksioma-aksioma tersebut? Hal tersebut seringkali tidak diperdebatkan, karena aksioma dianggap sebagai suatu akar dari pemikiran dari pernyataan-pernyataan matematis yang diturunkannya.

3. Primaningtyas Nur Arifah
16709251042
Pend. Matematika S2 kelas C 2016
Assalamu’alaikum. Fondasi matematika merupakan investigasi matematis mengenai konsekuensi-konsekuensi dari teori-teori filsafat dasar tentang natur dari matematika itu sendiri. Fondasi matematika dapat di pahami juga sebagai suatu studi tentang konsep-konsep dasar matematis dan bagaimana keseluruhannya membentuk sebuah hierarki konsep dan struktur yang lebih kompleks, khususnya struktur dasar yang penting yang membangun suatu bahasa matematika yang juga sering disebut sebagai konsep-konsep matematis, dengan tetap memperhatikan aspek-aspek filsafat dan kesatuan dari matematika.

4. Sylviyani Hardiarti
16709251069
S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

Pembahasan mengenai fondasi matematika dapat ditelusuri melalui jejak rekam sejarah filsafat dan sejarah matematika itu sendiri. Dasar dari matematika adalah logika formal matematika dan teori himpunan aksiomatik. Sampai saat ini, semua ilmu matematika yang ada dapat dibuktikan dengan dua landasan yang ada ini.

5. PUTRI RAHAYU S
S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA_D 2016
16709251070

Elegi di atas menjelaskan mengenai landasan matematika menurut pandangan Hersh. Hersh R. (1997) menulis bahwa kebenaran pernyataan matematika dalam tampilan ini bukan apa-apa kecuali klaim bahwa pernyataan tersebut dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan menggunakan aturan logika formal. Namun pendekatan folmalistik ini, tidak menjelaskan beberapa issue seperti; mengapa kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukannya yang lain, mengapa kita harus menerapkan aturan logika yang kita lakukan dan bukan yang lain, dan mengapa pernyataan "true" matematika tampaknya benar di dunia fisik.

16709251067
S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

Matematika dapat dikatakan sebagai ilmu tertua yang ada di muka bumi. Hal ini didasarkan karena matematika sebagai ilmu lahir seiring dengan keberadaan manusia.
Banyak kajian matematika yang dilakukan oleh filsuf. Namun banyak juga matematikawan yangmerangkap menjadi seorang filsuf.
Filsafat matematika dapat dianggap sebagai cabang dari filsafat ilmu, di samping disiplin ilmu seperti filsafat fisika dan filsafat biologi.

7. Anwar Rifa’i
PMAT C 2016 PPS
16709251061

Dari postingan di atas , Hersh R. (1997 ) menulis bahwa kebenaran pernyataan matematika, dalam pandangan saat ini, kemudian ada klaim bahwa pernyataan tersebut dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan menggunakan aturan logika formal. Namun, secara formal 4 pendekatan ini tidak menjelaskan beberapa masalah seperti : mengapa kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan orang lain, mengapa kita harus menerapkan aturan logika yang kita lakukan dan tidak yang lain, mengapa pernyataan matematika yang benar lainnya tampak benar di dunia fisik .

8. Sumandri
16709251072
S2 Pendidikan Matematika D 2016

Untuk mengetahui pondasi dasar matematika sebenarnya sama dengan mencari pondasi dasar dari filsafat secara umum. Pondasi dasar matematika dapat dicari melalui sejarah filosofis dan sejarah matematika. Hersh, R. menguraikan bahwa dasar-dasar matematika memiliki akar yang sudah lama Dasar matematika saat ini, secara khas lebih bersifat pendekatan formalistik, berdasarkan teori aksiomatis dan logika formal. Dan karena itu, semua teorema matematika saat ini dapat dirumuskan sebagai teorema teori himpunan.

9. Lana Sugiarti
16709251062
PPs Pendidikan Matematika D 2016

Dari artikel tersebut, saya dapat mengambil kesimpulan bahwa pencarian untuk dasar matematika bagaimanapun juga merupakan pertanyaan utama filsafat matematika, pada dasar dasar apa pernyataan matematis dapat disebut benar? Hersh R. menjelaskan bahwa, nama foundationisme ditemukan oleh pemberi nama yang produktif, Imre Lakatos. Gottlob Frege, Bertrand Russell, Luitjens Brouwer dan David Hilbert, semuanya terpikat pada khayalan yang sama bahwa matematika harus memiliki dasar yang kuat. Namun, mereka berbeda pada pondasi seharusnya. Dasar matematika saat ini, secara khas lebih bersifat pendekatan formalistik, berdasarkan teori aksiomatis dan logika formal. Dan karena itu, semua teorema matematika saat ini dapat dirumuskan sebagai teorema teori himpunan. Namun, pendekatan formalistik ini tidak menjelaskan beberapa masalah seperti: mengapa kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa kita harus menggunakan peraturan logis yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa pernyataan matematika sebenarnya tampak seperti benar di dunia nyata.

10. Annisa Hasanah
16709251051
PPs Pendidikan Matematika C 2016

Berdasarkan artikel diatas, istilah "dasar matematika" kadang-kadang digunakan untuk bidang-bidang tertentu dari matematika itu sendiri, yaitu untuk logika matematika, teori himpunan aksiomatik, bukti teori dan teori Model.

11. Windi Agustiar Basuki
16709251055
S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

Foundation of mathematics khususnya yang berkaitan dengan konsep – konsep asas foundamental yang mempergunakan dalam matematika. Tiga aliran dalam landasan matematika yaitu logisisme, formalism dan intuisionisme.

12. Yosepha Patricia Wua Laja
16709251080
S2 Pendidikan Matematika D 2016

Hersh R. (1997) menulis bahwa kebenaran pernyataan matematis, dalam pandangan saat ini, tidak lain adalah pernyataan bahwa pernyataan tersebut dapat diturunkan dari aksioma teori yang ditetapkan menggunakan aturan logika formal. Namun, pendekatan formalistik ini tidak menjelaskan beberapa masalah seperti: mengapa kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa kita harus menggunakan peraturan logis yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa pernyataan matematika "sebenarnya" tampak seperti Benar di dunia fisik. Gagasan tentang kebenaran formalistik yang disebutkan di atas juga bisa berubah menjadi tidak ada gunanya; Sangat mungkin bahwa semua pernyataan, bahkan kontradiksi, dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan. Selain itu, sebagai konsekuensi dari teorema ketidaklengkapan Gödel yang kedua, kita tidak dapat memastikan bahwa ini tidak terjadi.

16709251065
S2 Pendidikan Matematika D

Hersh R. (1997) menulis bahwa kebenaran pernyataan matematis, dalam pandangan saat ini, tidak lain adalah pernyataan bahwa pernyataan tersebut dapat diturunkan dari aksioma teori yang ditetapkan menggunakan aturan logika formal. Namun, pendekatan formalistik ini tidak menjelaskan beberapa masalah seperti: mengapa kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa kita harus menggunakan peraturan logis yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa pernyataan matematika "sebenarnya" tampak seperti Benar di dunia fisik. Gagasan tentang kebenaran formalistik yang disebutkan di atas juga bisa berubah menjadi tidak ada gunanya; Sangat mungkin bahwa semua pernyataan, bahkan kontradiksi, dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan. Selain itu, sebagai konsekuensi dari teorema ketidaklengkapan Gödel yang kedua, kita tidak dapat memastikan bahwa ini tidak terjadi.

14. Wahyu Lestari
16709251074
PPs Pendidikan Matematika 2016 Kelas D

Dasar matematika dapat dipahami sebagai studi tentang konsep-konsep matematika dasar (jumlah, angka geometris, set, fungsi, dll) dan bagaimana mereka membentuk hierarki dan struktur konsep yang lebih kompleks, terutama struktur fundamental yang penting untuk membentuk bahasa matematika (rumus, teori dan model mereka memberikan makna pada rumus, definisi, bukti, algoritma, dll) juga disebut konsep metamathematical, dengan aspek filosofis dan kesatuan matematika.
Dasar matematika secara keseluruhan tidak bertujuan mengandung dasar-dasar setiap topik matematika. Umumnya, dasar-dasar bidang studi mengacu pada analisis sistematis lebih atau kurang dari konsep yang paling dasar atau fundamental, kesatuan konseptual atau konsep hirarki, yang dapat membantu untuk menghubungkannya dengan seluruh manusia pengetahuan.

15. Dessy Rasihen
16709251063
S2 P.MAT D

Menurut Kant matematika sebagai ilmu akan mungkin bila konsepnya dibangun berdasarkan intuisi matematika dan ruang waktu. Konstruksi konsep matematika berdasarkan intuisi ruang dan waktu akan menghasilkan matematika sebagai ilmu yang sintetik apriori. Menurut Kant, jika matematika dikembangkan hanya dengan metode analitik, maka tidak akan menghasilkan konsep baru, namun hanyalah matematika sebagai fiksi ilmiah. Lebih jauh Kant berpandangan bahwa matematika tidak hanya dikembangkan dengan konsep aposteori karena matematika akan menjadi empiris. Namun, data yang berasal dari pengalaman empiris diperlukan untuk penginderaan dalam mengeksplorasi konsep matematika yang apriori

16. Ratih Eka Safitri
16709251059
PPs Pendidikan Matematika C 2016

Elegi Menggapai 'The Foundations of Mathematics', tentang landasan matematika. Landasan matematika adalah dari sejarah filsafat dan sejarah matematika itu sendiri. Dasar matematika saat ini adalah karakteristik sebagai pendekatan yang lebih formalistik, berdasarkan teori himpunan aksiomatik dan logika formal, oleh karena itu, semua teorema matematika saat ini dapat dirumuskan sebagai teorema teori himpunan.
Hersh R. ( 1997) menulis bahwa kebenaran pernyataan matematika, dalam tampilan yang aktif dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan menggunakan aturan logika formal. Kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan orang lain, Kita juga harus menerapkan aturan logika yang kita lakukan dan bukan yang lain, karena "kebenaran" dari pernyataan matematika tampaknya benar di dunia fisik. Namun, pernyataan tersebut seperti sia-sia karena sangat mungkin bahwa semua pernyataan, bahkan kontradiksi, dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan.

17. Kunny Kunhertanti
16709251060
PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

Dasar matematika adalah logika formal matematika dan teori himpunan aksiomatik. Sampai saat ini semua ilmu matematika yang ada dapat dibuktikan dengan dua landasan yang ada ini. Fondasi matematika juga bisa dipahami sebagai studi tentang konsep-konsep dasar matematis dan bagaimana semua hal itu membentuk hirarki konsep dan struktur yang lebih kompleks lagi.

18. Syaifulloh Bakhri
16709251049
S2 Pendidikan Matematika C 2016

Assalamu’alaikum wr.wb.
Dasar matematika tidak terlepas dari unsur-unsur berikut: pertama, logika karena setiap permasalahan dalam matematika itu memuat logika, untuk mendapatkan hasil yang valid perlu logika berpikir yang tepat. Kedua, teori himpunan aksiomatik karena bilangan-bilangan yang terhimpun akan membentuk himpunan dimana pembentukannya sesuai konsep dalam matematika. Ketiga, pendekatan formal untuk mengetahui kebenaran dari suatu pernyataan.

19. Ardeniyansah
16709251053
S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

Assalamualaikum wr. . wb.
Pengetahuan matematika di satu sisi bersifat subserve yakni hasil dari sintesis pengalaman inderawi disisi lain bersifat superserve yakni mengetahui apriori sebagai hasil konsep matematika dikarenakan dalam pikiran kita sudah terdapat kategori yang memungkinkan untuk memahami matematika tersebut, memandang matematika dari benda aslinya dengan cara mengidealisasi atau mencari hal yang benar, maka dengan idealisasi kita dapat membuat definisi menemukan struktur matematika, menemukan logika, menemukan teorema, dan melakukan hipotesis. karya besar telah dicapai oleh para filsuf dan matematisi dengan diletakanya logika sebagai pondamen matematika dan ditemukan pula pernyataan-pernyataan yang seolah-olah bertentangan dengan pendapat umum atau kebenaran, tetapi kenyataan mengandung kebenaran.

20. Wahyu Berti Rahmantiwi
PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
16709251045

Dasar-dasar matematika dicetuskan oleh Frege, Hilbert, Brouwer, Immanuel Kant, Gottfried Leibniz, Spin-oza dan Rene Descartes yang digunakan untuk bidang matematika tertentu, yaitu untuk logika matematika, teori aksiomatis, teori bukti dan teori model. Pendekatan dasar matematika yaitu pendekatan formalistik, teori aksiomatis dan logika formal. Semua pernyataan mempunyai kontradiksi yang dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan. Dasar-dasar dalam matematika saling berhubungan. Sedangkan dasar dari filsafat ialah ontologi, epistemologi dan aksiologi.

16709251067
S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

Pengetahuan ilmu alam diperoleh dengan menggunakan metode induktif. Artinya diperoleh dari pengalaman-pengalaman kemudian diambil kesimpulan.
Sedangkan pengetahuan matematika diperoleh dengan cara yang berbeda dengan deduksi dari prinsip-prinsip dasar.
Teori-teori ilmu-ilmu alam tampaknya kurang tepat dan lebih terbuka untuk revisi dari teori matematika. Matematika merupakan ilmu deduktif, yang berbeda dengan ilmu lain.
Penyelesaian masalah-masalah yang dihadapi tidak didasari atas pengalaman seperti halnya yang terdapat di dalam ilmu-ilmu empiris, melainkan didasarkan atas deduksi-deduksi (penjabaran-penjabaran.

22. Tri Wulaningrum
17701251032
PEP S2 B

Menggapai fondasi matematika sama halnya dengan menggapai landasan filsafat. Diawali dengan pertanyaan mendasar tentang keberadaan matematika itu sendiri. Dasar matematika dan dasar filsafat dicari mulai dari awal keberadaannya (sejarah) maupun tahap perkembangannya. Mempelajari dasar-dasar matematika akan membawa kita sebagai pembelajar untuk memahami matematika seutuhnya. Jadi apa yang kita kerjakan saat ini tidak terlepas dari misi atau aspek utama yang memang ingin direalisasikan oleh filsafat matematika itu sendiri. Filsafat dan matematika, menjadi filsafat mateatika, menjadi dua perpaduan yang dicari dan diresapi menggunakan metode berpikir krits dan reflektif.

23. Trisylia Ida Pramesti
17709251010
S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2017
FILSAFAT ILMU

Untuk mengatahui dasar filsafat atau hakikat akan sesuatu kita tidak akan jauh pula yang namanya sejarah. Termasuk untuk mengetahui dasar filsafat matematika. Hersh, R. adalah tokoh dasar matematika yang pertama. Lalu kemudian baru muncul dasar matematika generasi kedua yang berkaitan dengan yaitu untuk logika matematika, teori himpunan aksiomatik, bukti teori dan model teori. Kemudian generasi ketiga mengatakan khas sebagai pendekatan yang lebih formal, berdasarkan teori set aksiomatik dan logika formal.

24. Muh Wildanul Firdaus
17709251047
Pendidikan matematika S2 kls C

terdapat tiga hal mengenai pondasi matematika yaitu ontologi, epistemologi dan aksiologi. Seperti yang telah disampaikan oleh Paul Ernest mengenai berbagai pertanyaan terkait pendidikan matematika, sehingga memunculkan gagasan bahwa pondasi pendidikan matematika menyajikan pembenaran untuk mendapatkan status dan dasar untuk pendidikan matematika, yaitu dalam hal ontologi, epistemologi dan aksiologi.

25. Nama: Dian Andarwati
NIM: 17709251063
Kelas: Pendidikan Matematika (S2) Kelas C

Assalamu’alaikum. Fondasi matematika merupakan investigasi matematis mengenai konsekuensi-konsekuensi dari teori-teori filsafat dasar tentang natur dari matematika itu sendiri. Fondasi matematika dapat di pahami juga sebagai suatu studi tentang konsep-konsep dasar matematis dan bagaimana keseluruhannya membentuk sebuah hierarki konsep dan struktur yang lebih kompleks, khususnya struktur dasar yang penting yang membangun suatu bahasa matematika yang juga sering disebut sebagai konsep-konsep matematis, dengan tetap memperhatikan aspek-aspek filsafat dan kesatuan dari matematika.

26. Kartika Pramudita
17701251021
PEP S2 B

Untuk menentukan dasar matematika perlu waktu yang lama dengan berbagai macam perdebatan pendapat yang muncul. Sebelum seorang ilmuwan matematika pasti ada ilmuwan yang mendahuluinya begitu seterusnya. Para ilmuwan berusaha untuk menetapkan dasar matematika yang dapat diterapkan tanpa ada persoalan atasnya. Namun, pada kenyataannya kaum formalis telah menetapkan formal sebagai dasar dari matematika sehingga setiap matematika harus diturunkan dari aksioma, ternyata suatu saat ditemukan adanya ketidaklengkapan karena tidak mampu menjelaskan mengapa harus menggunakan aturan logis dan tidak aturan yang lainnya.

27. Dewi Thufaila
17709251054
Pendidikan Matematika Pascasarjana C 2017

Assalamualaikum.wr.wb

Pencarian dasar matematika ini sejalan dengan mencari landasan filosofis pada umumnya. Aspek dasar matematika dapat ditelusuri melalui tapak sejarah filsafat dan sejarah matematika juga. Hersh, R. menjelaskan bahwa dasar matematika 1 memiliki akar kuno; para filsuf belakang Frege adalah Hilbert, Brouwer, Immanuel Kant. Filsuf balik Kant adalah Gottfried Leibniz; para filsuf belakang Leibniz adalah Baruch Spin¬oza dan Rene Descartes. Para filsuf balik semua dari mereka adalah Thomas Aquinas, Agustinus dari Hippo, Plato, dan kakek besar foundationism-Pythagoras.
Istilah "dasar matematika" kadang-kadang digunakan untuk bidang-bidang tertentu dari matematika itu sendiri, yaitu untuk logika matematika, teori himpunan aksiomatik, bukti teori

Wassalamualaikum.wr.wb

28. Isoka Amanah Kurnia
17709251051
PPs Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

According to Kant mathematics as a science can be recognized when the concept is built on mathematical intuition in space and time. The construction of mathematical concepts based on space and time intuition will produce mathematics as an a priori synthetic science. According to Kant, if mathematics was developed only by analytic methods, it would not produce a new concept, but only mathematics as science fiction. Kant further argues that mathematics is not only developed with the concept of aposteori because mathematics will become empirical. However, data derived from empirical experience is necessary for sensing in exploring a priori mathematical concepts

29. Luluk Mauluah
S3 Dikdas 17706261012

Eric Temple Bell menyebut matematika dengan 2 istilah paradoksal sekaligus pada tahun 1951. Dia menyebutnya: Mathematics, Queen & Servant of science. Buku tersebut merypakan kompilasi 2 karya yang pertama : The Queen of the sciences tahun 1931 dan The Handmaiden of the sciences , 1937. Dua istilah paradoksal matematika sebagai Ratu sekaligus Pelayan ilmu maksudnya adalah, bahwa matematika dapat dibagi menjadi 2 area bahasan pokok yaitu areaatematika murni dan matematika terapan.