Oct 10, 2012

Elegi Menggapai 'The Foundations of Mathematics'




By Marsigit
Yogyakarta State University

The search for foundations of mathematics is in line with the search for philosophical foundation in general. The aspects of the foundation of mathematics can be traced through the tread of philosophical history and mathematics history as well. Hersh, R. elaborates that the foundations of mathematics 1 have ancient roots; the philosophers behind Frege are Hilbert, Brouwer, Immanuel Kant. The philosopher behind Kant is


Gottfried Leibniz; the philosophers behind Leibniz are Baruch Spin¬oza and Rene Descartes. The philosophers behind all of them are Thomas Aquinas, Augustine of Hippo, Plato, and the great grandfather of foundationism-Pythagoras.
The term "foundations of mathematics" 2 is sometimes used for certain fields of mathematics itself, namely for mathematical logic, axiomatic set theory, proof theory and model theory. The search for foundations of mathematics is however also the central question of the philosophy of mathematics: on what ultimate basis can mathematical statements be called "true"? Hersh R. describes that , the name "foundationism" was invented by a prolific name-giver, Imre Lakatos. Gottlob Frege, Bertrand Russell, Luitjens Brouwer and David Hilbert, are all hooked on the same delusion that mathematics must have a firm foundation; however, they differ on what the foundation should be. The currently foundation of mathematics 3 is, characteristically as more formalistic approach, based on axiomatic set theory and formal logic; and therefore, all mathematical theorems today can be formulated as theorems of set theory.
Hersh R. (1997) writes that the truth of a mathematical statement, in the current view, is then nothing but the claim that the statement can be derived from the axioms of set theory using the rules of formal logic. However, this formalistic 4 approach does not explain several issues such as: why we should use the axioms we do and not some others, why we should employ the logical rules we do and not some other, why "true" mathematical statements appear to be true in the physical world. The above mentioned notion of formalistic truth could also turn out to be rather pointless; it is perfectly possible that all statements, even contradictions, can be derived from the axioms of set theory. Moreover, as a consequence of Gödel's second incompleteness theorem, we can never be sure that this is not the case.

References:
1 Hersh, R., 1997, “What is Mathematics, Really?”, London: Jonathan Cape, p. 91
2 …….., “Foundations of mathematics”, Retrieved 2004 < http://www.wikipedia.org/>
3 Hersh, R., 1997, “What is Mathematics, Really?”, London: Jonathan Cape, p.91
4 Ibid. p. 256

23 comments:

  1. Cendekia Ad Dien
    16709251044
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Pembahasan mengenai fondasi matematika dapat ditelusuri melalui jejak rekam sejarah filsafat dan sejarah matematika itu sendiri. Pencarian akan fondasi matematika menjadi pertanyaan utama dari filsafat matematika yaitu atas dasar atau fondasi apa pernyataan matematika dikatakan “benar”. Hal ini lah yang masih menjadi perdebatan para matematikawan dan para filsuf terhadap apa yang menjadi fondasi tunggal dalam matematika. Namun, saat ini fondasi matematika lebih bersifat pendekatan formalistik meski konsekuensinya juga terjadi inkonsisten dan kontradiktif dalam matematika dimana hal tersebut seharusnya dihindari.

    ReplyDelete
  2. Wahyu Lestari
    16709251074
    PPs Pendidikan Matematika 2016 Kelas D

    dari artikel di jelaskan Hersh R. (1997) menulis bahwa kebenaran pernyataan matematis, dalam pandangan saat ini, tidak lain adalah pernyataan bahwa pernyataan tersebut dapat diturunkan dari aksioma teori yang ditetapkan menggunakan aturan logika formal. Namun, pendekatan formalistik ini tidak menjelaskan beberapa masalah seperti: mengapa kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa kita harus menggunakan peraturan logis yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa pernyataan matematika "sebenarnya" tampak seperti Benar di dunia fisik. Gagasan tentang kebenaran formalistik yang disebutkan di atas juga bisa berubah menjadi tidak ada gunanya; Sangat mungkin bahwa semua pernyataan, bahkan kontradiksi, dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan. Selain itu, sebagai konsekuensi dari teorema ketidaklengkapan Gödel yang kedua, kita tidak dapat memastikan bahwa ini tidak terjadi.

    ReplyDelete
  3. Lihar Raudina Izzati
    16709251046
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Salah satu unsur esensial matematika adalah bagian yang melandasi bangunan ilmu Matematika itu, yang dewasa ini disebut landasan matematika. Landasan matematika tidak hanya berfungsi sebagai penyokong atau penopang bangunan matematika, tetapi juga sebagai sarana yang diperlukan untuk membangun dan mengembangkan matematika itu sendiri. Misalnya bisakah teorema-teorema atau rumus dipercaya kebenarannya tanpa pembuktian formal atau penalaran?

    ReplyDelete
  4. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Membahas mengenai fondasi dari matematika atau dasar dari matematika, maka kita dapat menelusurinya melalui filsafat dan sejarah-matematika dari zaman dahulu. Pencarian mengenai dasar dari matematika merupakan salah satu pertanyaan utama filsafat matematika, yaitu atas dasar apa suatu pernyataan matematika dapat dianggap benar? Kebenaran matematika saat ini lebih mengutamakan kebenaran yang dapat diturunkan dari suatu aksioma-aksioma tertentu melalui logika-logika formal, sehingga kebenaran-kebenaran matematika sejatinya dapat dibentuk sebagai suatu teori himpunan. Sekarang pertanyaan kenapa kebenaran pernyataan matematika harus mengikuti aksioma-aksioma, darimanakah aksioma-aksioma ini diturunkan dan bagaimanakah kebenaran dari aksioma-aksioma tersebut? Hal tersebut seringkali tidak diperdebatkan, karena aksioma dianggap sebagai suatu akar dari pemikiran dari pernyataan-pernyataan matematis yang diturunkannya.

    ReplyDelete
  5. Primaningtyas Nur Arifah
    16709251042
    Pend. Matematika S2 kelas C 2016
    Assalamu’alaikum. Fondasi matematika merupakan investigasi matematis mengenai konsekuensi-konsekuensi dari teori-teori filsafat dasar tentang natur dari matematika itu sendiri. Fondasi matematika dapat di pahami juga sebagai suatu studi tentang konsep-konsep dasar matematis dan bagaimana keseluruhannya membentuk sebuah hierarki konsep dan struktur yang lebih kompleks, khususnya struktur dasar yang penting yang membangun suatu bahasa matematika yang juga sering disebut sebagai konsep-konsep matematis, dengan tetap memperhatikan aspek-aspek filsafat dan kesatuan dari matematika.

    ReplyDelete
  6. Sylviyani Hardiarti
    16709251069
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Pembahasan mengenai fondasi matematika dapat ditelusuri melalui jejak rekam sejarah filsafat dan sejarah matematika itu sendiri. Dasar dari matematika adalah logika formal matematika dan teori himpunan aksiomatik. Sampai saat ini, semua ilmu matematika yang ada dapat dibuktikan dengan dua landasan yang ada ini.

    ReplyDelete
  7. PUTRI RAHAYU S
    S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA_D 2016
    16709251070

    Elegi di atas menjelaskan mengenai landasan matematika menurut pandangan Hersh. Hersh R. (1997) menulis bahwa kebenaran pernyataan matematika dalam tampilan ini bukan apa-apa kecuali klaim bahwa pernyataan tersebut dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan menggunakan aturan logika formal. Namun pendekatan folmalistik ini, tidak menjelaskan beberapa issue seperti; mengapa kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukannya yang lain, mengapa kita harus menerapkan aturan logika yang kita lakukan dan bukan yang lain, dan mengapa pernyataan "true" matematika tampaknya benar di dunia fisik.

    ReplyDelete
  8. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Matematika dapat dikatakan sebagai ilmu tertua yang ada di muka bumi. Hal ini didasarkan karena matematika sebagai ilmu lahir seiring dengan keberadaan manusia.
    Banyak kajian matematika yang dilakukan oleh filsuf. Namun banyak juga matematikawan yangmerangkap menjadi seorang filsuf.
    Filsafat matematika dapat dianggap sebagai cabang dari filsafat ilmu, di samping disiplin ilmu seperti filsafat fisika dan filsafat biologi.

    ReplyDelete
  9. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS
    16709251061

    Dari postingan di atas , Hersh R. (1997 ) menulis bahwa kebenaran pernyataan matematika, dalam pandangan saat ini, kemudian ada klaim bahwa pernyataan tersebut dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan menggunakan aturan logika formal. Namun, secara formal 4 pendekatan ini tidak menjelaskan beberapa masalah seperti : mengapa kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan orang lain, mengapa kita harus menerapkan aturan logika yang kita lakukan dan tidak yang lain, mengapa pernyataan matematika yang benar lainnya tampak benar di dunia fisik .

    ReplyDelete
  10. Sumandri
    16709251072
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Untuk mengetahui pondasi dasar matematika sebenarnya sama dengan mencari pondasi dasar dari filsafat secara umum. Pondasi dasar matematika dapat dicari melalui sejarah filosofis dan sejarah matematika. Hersh, R. menguraikan bahwa dasar-dasar matematika memiliki akar yang sudah lama Dasar matematika saat ini, secara khas lebih bersifat pendekatan formalistik, berdasarkan teori aksiomatis dan logika formal. Dan karena itu, semua teorema matematika saat ini dapat dirumuskan sebagai teorema teori himpunan.

    ReplyDelete
  11. Lana Sugiarti
    16709251062
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Dari artikel tersebut, saya dapat mengambil kesimpulan bahwa pencarian untuk dasar matematika bagaimanapun juga merupakan pertanyaan utama filsafat matematika, pada dasar dasar apa pernyataan matematis dapat disebut benar? Hersh R. menjelaskan bahwa, nama foundationisme ditemukan oleh pemberi nama yang produktif, Imre Lakatos. Gottlob Frege, Bertrand Russell, Luitjens Brouwer dan David Hilbert, semuanya terpikat pada khayalan yang sama bahwa matematika harus memiliki dasar yang kuat. Namun, mereka berbeda pada pondasi seharusnya. Dasar matematika saat ini, secara khas lebih bersifat pendekatan formalistik, berdasarkan teori aksiomatis dan logika formal. Dan karena itu, semua teorema matematika saat ini dapat dirumuskan sebagai teorema teori himpunan. Namun, pendekatan formalistik ini tidak menjelaskan beberapa masalah seperti: mengapa kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa kita harus menggunakan peraturan logis yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa pernyataan matematika sebenarnya tampak seperti benar di dunia nyata.

    ReplyDelete
  12. Annisa Hasanah
    16709251051
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Berdasarkan artikel diatas, istilah "dasar matematika" kadang-kadang digunakan untuk bidang-bidang tertentu dari matematika itu sendiri, yaitu untuk logika matematika, teori himpunan aksiomatik, bukti teori dan teori Model.

    ReplyDelete
  13. Windi Agustiar Basuki
    16709251055
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Foundation of mathematics khususnya yang berkaitan dengan konsep – konsep asas foundamental yang mempergunakan dalam matematika. Tiga aliran dalam landasan matematika yaitu logisisme, formalism dan intuisionisme.

    ReplyDelete
  14. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Hersh R. (1997) menulis bahwa kebenaran pernyataan matematis, dalam pandangan saat ini, tidak lain adalah pernyataan bahwa pernyataan tersebut dapat diturunkan dari aksioma teori yang ditetapkan menggunakan aturan logika formal. Namun, pendekatan formalistik ini tidak menjelaskan beberapa masalah seperti: mengapa kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa kita harus menggunakan peraturan logis yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa pernyataan matematika "sebenarnya" tampak seperti Benar di dunia fisik. Gagasan tentang kebenaran formalistik yang disebutkan di atas juga bisa berubah menjadi tidak ada gunanya; Sangat mungkin bahwa semua pernyataan, bahkan kontradiksi, dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan. Selain itu, sebagai konsekuensi dari teorema ketidaklengkapan Gödel yang kedua, kita tidak dapat memastikan bahwa ini tidak terjadi.

    ReplyDelete
  15. Ahmad Wafa Nizami
    16709251065
    S2 Pendidikan Matematika D

    Hersh R. (1997) menulis bahwa kebenaran pernyataan matematis, dalam pandangan saat ini, tidak lain adalah pernyataan bahwa pernyataan tersebut dapat diturunkan dari aksioma teori yang ditetapkan menggunakan aturan logika formal. Namun, pendekatan formalistik ini tidak menjelaskan beberapa masalah seperti: mengapa kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa kita harus menggunakan peraturan logis yang kita lakukan dan bukan yang lain, mengapa pernyataan matematika "sebenarnya" tampak seperti Benar di dunia fisik. Gagasan tentang kebenaran formalistik yang disebutkan di atas juga bisa berubah menjadi tidak ada gunanya; Sangat mungkin bahwa semua pernyataan, bahkan kontradiksi, dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan. Selain itu, sebagai konsekuensi dari teorema ketidaklengkapan Gödel yang kedua, kita tidak dapat memastikan bahwa ini tidak terjadi.

    ReplyDelete
  16. Wahyu Lestari
    16709251074
    PPs Pendidikan Matematika 2016 Kelas D

    Dasar matematika dapat dipahami sebagai studi tentang konsep-konsep matematika dasar (jumlah, angka geometris, set, fungsi, dll) dan bagaimana mereka membentuk hierarki dan struktur konsep yang lebih kompleks, terutama struktur fundamental yang penting untuk membentuk bahasa matematika (rumus, teori dan model mereka memberikan makna pada rumus, definisi, bukti, algoritma, dll) juga disebut konsep metamathematical, dengan aspek filosofis dan kesatuan matematika.
    Dasar matematika secara keseluruhan tidak bertujuan mengandung dasar-dasar setiap topik matematika. Umumnya, dasar-dasar bidang studi mengacu pada analisis sistematis lebih atau kurang dari konsep yang paling dasar atau fundamental, kesatuan konseptual atau konsep hirarki, yang dapat membantu untuk menghubungkannya dengan seluruh manusia pengetahuan.

    ReplyDelete
  17. Dessy Rasihen
    16709251063
    S2 P.MAT D

    Menurut Kant matematika sebagai ilmu akan mungkin bila konsepnya dibangun berdasarkan intuisi matematika dan ruang waktu. Konstruksi konsep matematika berdasarkan intuisi ruang dan waktu akan menghasilkan matematika sebagai ilmu yang sintetik apriori. Menurut Kant, jika matematika dikembangkan hanya dengan metode analitik, maka tidak akan menghasilkan konsep baru, namun hanyalah matematika sebagai fiksi ilmiah. Lebih jauh Kant berpandangan bahwa matematika tidak hanya dikembangkan dengan konsep aposteori karena matematika akan menjadi empiris. Namun, data yang berasal dari pengalaman empiris diperlukan untuk penginderaan dalam mengeksplorasi konsep matematika yang apriori

    ReplyDelete
  18. Ratih Eka Safitri
    16709251059
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Elegi Menggapai 'The Foundations of Mathematics', tentang landasan matematika. Landasan matematika adalah dari sejarah filsafat dan sejarah matematika itu sendiri. Dasar matematika saat ini adalah karakteristik sebagai pendekatan yang lebih formalistik, berdasarkan teori himpunan aksiomatik dan logika formal, oleh karena itu, semua teorema matematika saat ini dapat dirumuskan sebagai teorema teori himpunan.
    Hersh R. ( 1997) menulis bahwa kebenaran pernyataan matematika, dalam tampilan yang aktif dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan menggunakan aturan logika formal. Kita harus menggunakan aksioma yang kita lakukan dan bukan orang lain, Kita juga harus menerapkan aturan logika yang kita lakukan dan bukan yang lain, karena "kebenaran" dari pernyataan matematika tampaknya benar di dunia fisik. Namun, pernyataan tersebut seperti sia-sia karena sangat mungkin bahwa semua pernyataan, bahkan kontradiksi, dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan.

    ReplyDelete
  19. Kunny Kunhertanti
    16709251060
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Dasar matematika adalah logika formal matematika dan teori himpunan aksiomatik. Sampai saat ini semua ilmu matematika yang ada dapat dibuktikan dengan dua landasan yang ada ini. Fondasi matematika juga bisa dipahami sebagai studi tentang konsep-konsep dasar matematis dan bagaimana semua hal itu membentuk hirarki konsep dan struktur yang lebih kompleks lagi.

    ReplyDelete
  20. Syaifulloh Bakhri
    16709251049
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Assalamu’alaikum wr.wb.
    Dasar matematika tidak terlepas dari unsur-unsur berikut: pertama, logika karena setiap permasalahan dalam matematika itu memuat logika, untuk mendapatkan hasil yang valid perlu logika berpikir yang tepat. Kedua, teori himpunan aksiomatik karena bilangan-bilangan yang terhimpun akan membentuk himpunan dimana pembentukannya sesuai konsep dalam matematika. Ketiga, pendekatan formal untuk mengetahui kebenaran dari suatu pernyataan.

    ReplyDelete
  21. Ardeniyansah
    16709251053
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Pengetahuan matematika di satu sisi bersifat subserve yakni hasil dari sintesis pengalaman inderawi disisi lain bersifat superserve yakni mengetahui apriori sebagai hasil konsep matematika dikarenakan dalam pikiran kita sudah terdapat kategori yang memungkinkan untuk memahami matematika tersebut, memandang matematika dari benda aslinya dengan cara mengidealisasi atau mencari hal yang benar, maka dengan idealisasi kita dapat membuat definisi menemukan struktur matematika, menemukan logika, menemukan teorema, dan melakukan hipotesis. karya besar telah dicapai oleh para filsuf dan matematisi dengan diletakanya logika sebagai pondamen matematika dan ditemukan pula pernyataan-pernyataan yang seolah-olah bertentangan dengan pendapat umum atau kebenaran, tetapi kenyataan mengandung kebenaran.

    ReplyDelete
  22. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Dasar-dasar matematika dicetuskan oleh Frege, Hilbert, Brouwer, Immanuel Kant, Gottfried Leibniz, Spin-oza dan Rene Descartes yang digunakan untuk bidang matematika tertentu, yaitu untuk logika matematika, teori aksiomatis, teori bukti dan teori model. Pendekatan dasar matematika yaitu pendekatan formalistik, teori aksiomatis dan logika formal. Semua pernyataan mempunyai kontradiksi yang dapat diturunkan dari aksioma teori himpunan. Dasar-dasar dalam matematika saling berhubungan. Sedangkan dasar dari filsafat ialah ontologi, epistemologi dan aksiologi.

    ReplyDelete
  23. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Pengetahuan ilmu alam diperoleh dengan menggunakan metode induktif. Artinya diperoleh dari pengalaman-pengalaman kemudian diambil kesimpulan.
    Sedangkan pengetahuan matematika diperoleh dengan cara yang berbeda dengan deduksi dari prinsip-prinsip dasar.
    Teori-teori ilmu-ilmu alam tampaknya kurang tepat dan lebih terbuka untuk revisi dari teori matematika. Matematika merupakan ilmu deduktif, yang berbeda dengan ilmu lain.
    Penyelesaian masalah-masalah yang dihadapi tidak didasari atas pengalaman seperti halnya yang terdapat di dalam ilmu-ilmu empiris, melainkan didasarkan atas deduksi-deduksi (penjabaran-penjabaran.

    ReplyDelete