By Marsigit
Yogyakarta State University
Ross, D.S. (2003) states that there are some ontological questions in the Philosophy of Mathematics:
What is the origin of mathematical objects? In what way do mathematical objects exist? Have they always been present as 'Platonic' abstractions, or do they require a mind to bring them into existence? Can mathematical objects exist in the absence of matter or things to count?.
Since the beginning of Western philosophy 1, there are important philosophical problems: Do numbers and other mathematical entities exist independently on human cognition?
If they exist dependently on human cognition then how do we explain the extraordinary applicability of mathematics to science and practical affairs? If they exist independently on human cognition then what kind of things are they and how can we know about them? And what is the relationship between mathematics and logic?
The first question is a metaphysical question with close affinities to questions about the existence of other entities such as universals, properties and values.
According to many philosophers, if such entities exist then they do beyond the space and time, and they lack of causal powers. They are often termed abstract as opposed to concrete entities.
If we accept the existence of abstract mathematical objects then an adequate epistemology of mathematics must explain how we can know them; of course, proofs seem to be the main source of justification for mathematical propositions but proofs depend on axioms and so the question of how we can know the truth of the axioms remains.
It is advocated especially by Stuart Mill J. in Hempel C.G. (2001) that mathematics itself is an empirical science which differs from the other branches such as astronomy, physics, chemistry, etc., mainly in two respects: its subject matter is more general than that of any other field of scientific research, and its propositions have been tested and confirmed to a greater extent than those of even the most firmly established sections of astronomy or physics.
According to Stuart Mill J., the degree to which the laws of mathematics have been born out by the past experiences of mankind is so unjustifiable that we have come to think of mathematical theorems as qualitatively different from the well confirmed hypotheses or theories of other branches of science in which we consider them as certain, while other theories are thought of as at best as very probable or very highly confirmed and of course this view is open to serious objections.
While Hempel C.G. himself acknowledges that, from empirical hypothesis, it is possible to derive predictions to the effect that under certain specified conditions, certain specified observable phenomena will occur; the actual occurrence of these phenomena constitutes confirming evidence.
It 2 was concluded that an empirical hypothesis is theoretically un-confirmable that is possible to indicate what kind of evidence would disconfirm the hypothesis; if this is actually an empirical generalization of past experiences, then it must be possible to state what kind of evidence would oblige us to concede the hypothesis not generally true after all.
The mathematical propositions are true simply by virtue of definitions or of similar stipulations which determine the meaning of the key terms involved. Soehakso, RMJT, guides that mathematics validation naturally requires no empirical evidence; they can be shown to be true by a mere analysis of the meaning attached to the terms which occur in.
The exactness and rigor of mathematics 3 means that the understanding of mathematics follows the logical development of important peculiar mathematical methods, and of course is acquainted with major results especially in “foundations”.
The validity of mathematics, as it was stated by Hempel C.G., rests neither on its alleged self-evidential character nor on any empirical basis, but it also derives from the stipulations which determine the meaning of the mathematical concepts, and that the propositions of mathematics are therefore essentially "true by definition."
The rigorous 4 development of a mathematical theory proceeds not simply from a set of definitions but rather from a set of non-definitional propositions which are not proved within the theory.
Hempel states that there are the postulates or axioms of the theory and formulated in terms of certain basic or primitive concepts for which no definitions are provided within the theory.
The postulates themselves represent "implicit definitions" of the primitive terms while the postulates do limit, in a specific sense, the meanings that can possibly be ascribed to the primitives, any self-consistent postulate system admits. 5
Once the primitive terms and the postulates 6 have been laid down the entire theory is completely determined. Hence, every term of the mathematical theory is definable in terms of the primitives, and every proposition of the theory is logically deducible from the postulates.
Hempel adds that to be entirely precise, it is necessary to specify the principles of logic used in the proof of the propositions; these principles can be stated quite explicitly and fall into primitive sentences or postulates of logic.
Accordingly, any fact that we can derive from the axioms needs not be an axiom; anything that we cannot derive from the axioms and for which we also cannot derive 7 the negation might reasonably added as an axiom.
Hempel concludes that by combining the analyses of the aspects of the Peano system, the thesis of logicism was accepted that Mathematics is a branch of logic due to all the concepts of mathematics i.e. arithmetic, algebra, and analysis can be defined in terms of four concepts of pure logic and all the theorems of mathematics can be deduced from those definitions by means of the principles of logic.
References:
1 Posy, C., 1992, “Philosophy of Mathematics”, Retrieved 2004
2 In Hempel, C.G., 2001, “On the Nature of Mathematical Truth”, Retrieved 2004
3 Soehakso, RMJT, 1989, “Some Thought on Philosophy and Mathematics”, Yogyakarta: Regional Conference South East Asian Mathematical Society, p.3
4 In Hempel, C.G., 2001, “On the Nature of Mathematical Truth”, Retrieved 2004
5 Ibid
6 Ibid.
7 Ibid.
Ibrohim Aji Kusuma
ReplyDelete18709251018
S2 PMA 2018
Hempel CG (2001) menyatakan bahwa matematika itu sendiri adalah ilmu empiris yang berbeda dari cabang-cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dll, terutama dalam dua hal: materi pelajaran yang lebih umum daripada bidang lain dari penelitian ilmiah, dan yang telah diuji dan dikonfirmasi ke tingkat yang lebih tinggi daripada astronomi atau fisika. Validitas matematika, seperti yang dinyatakan oleh Hempel CG, terletak bukan di dugaan bukti yang tidak terdapat pada setiap dasar empiris, tetapi juga berasal dari ketentuan yang menentukan arti dari konsep-konsep matematika dan benar menurut definisi.
Luthfannisa Afif Nabila
ReplyDelete18709251031
S2 Pendidikan Matematika B 2018
Assalamu'alaikum Warohmatullohi Wabarokatuh
Ross berpendapat bahwa terdapat beberapa pertanyaan ontologis dalam Falsafah Matematika yaitu Apa asal-usul benda-benda matematika? Dalam cara apa objek matematika ada? Apakah mereka selalu hadir sebagai abstraksi 'Platonis', atau apakah mereka membutuhkan pikiran untuk mewujudkannya? Dapatkah benda-benda matematika ada tanpa materi atau hal-hal yang perlu dihitung?. Sejak permulaan filsafat Barat, terdapat masalah filosofis yang penting: Apakah angka dan entitas matematika lainnya ada secara independen pada kognisi manusia? Jika mereka bergantung pada kognisi manusia, maka bagaimana kita menjelaskan penerapan matematika yang luar biasa terhadap sains dan urusan praktis? Jika mereka ada secara mandiri pada kognisi manusia maka hal-hal apa yang mereka dan bagaimana kita bisa tahu tentang mereka? Dan apa hubungan antara matematika dan logika? Jika kita menerima keberadaan objek matematika abstrak maka epistemologi matematika yang memadai harus menjelaskan bagaimana kita dapat mengetahuinya; tentu saja, bukti-bukti tampaknya menjadi sumber utama pembenaran untuk proposisi matematika tetapi bukti-bukti tergantung pada aksioma dan pertanyaan tentang bagaimana kita dapat mengetahui kebenaran dari aksioma tetap. Stuart Mill berpendapat bahwa matematika itu sendiri adalah ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dll, terutama dalam dua hal yaitu materi pelajarannya lebih umum daripada bidang lain dari penelitian ilmiah, dan proposisi telah diuji dan dikonfirmasikan pada tingkat yang lebih besar daripada bagian astronomi atau fisika yang paling mantap. Hempel menyatakan bahwa ada postulat atau aksioma teori dan dirumuskan dalam hal konsep dasar atau primitif tertentu yang tidak ada definisi yang disediakan dalam teori.
Wassalamu'alaikum Warohmatullohi Wabarokatuh.
Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
ReplyDeleteBesse Rahmi Alimin
18709251039
S2 Pendidikan Matematika 2018
Terkait topik bahasan mengenai Elegi Menggapai "Ontology of Mathematics" bahwa sejauh mana hukum matematika telah lahir oleh pengalaman masa lalu umat manusia sangat tidak dapat dibenarkan sehingga kita menganggap teorema matematika secara kualitatif berbeda dari hipotesis atau teori yang dikonfirmasi dengan baik dari cabang lain. sains di mana kita menganggapnya sebagai pasti, sementara teori-teori lain dianggap sebagai yang paling mungkin atau sangat kuat dikonfirmasi dan tentu saja pandangan ini terbuka untuk keberatan yang serius.
Terima Kasih
Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
ReplyDeleteBesse Rahmi Alimin
18709251039
S2 Pendidikan Matematika 2018
Selanjutnya, dituliskan bahwa fakta apa pun yang dapat kita peroleh dari aksioma tidak harus berupa aksioma; segala sesuatu yang tidak dapat kita peroleh dari aksioma-aksioma dan yang kita juga tidak dapat memperolehnya 7 negasi mungkin secara wajar ditambahkan sebagai aksioma. Sehingga dengan menggabungkan analisis dari aspek sistem Peano, tesis logikaisme diterima bahwa Matematika adalah cabang logika karena semua konsep matematika yaitu. aritmatika, aljabar, dan analisis dapat didefinisikan dalam empat konsep logika murni dan semua teorema matematika yang dapat diturunkan dari definisi tersebut melalui prinsip-prinsip logika.
Terima Kasih
Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
ReplyDeleteBesse Rahmi Alimin
18709251039
S2 Pendidikan Matematika 2018
Seperti yang dikatakan oleh saudari Nabila bahwa "Jika kita menerima keberadaan objek matematika abstrak maka epistemologi matematika yang memadai harus menjelaskan bagaimana kita dapat mengetahuinya; tentu saja, bukti-bukti tampaknya menjadi sumber utama pembenaran untuk proposisi matematika tetapi bukti-bukti tergantung pada aksioma dan pertanyaan tentang bagaimana kita dapat mengetahui kebenaran dari aksioma tetap. Stuart Mill berpendapat bahwa matematika itu sendiri adalah ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dll, terutama dalam dua hal yaitu materi pelajarannya lebih umum daripada bidang lain dari penelitian ilmiah, dan proposisi telah diuji dan dikonfirmasikan pada tingkat yang lebih besar daripada bagian astronomi atau fisika yang paling mantap. Hempel menyatakan bahwa ada postulat atau aksioma teori dan dirumuskan dalam hal konsep dasar atau primitif tertentu yang tidak ada definisi yang disediakan dalam teori", dari analogi tersebut sepertinya mengarah pada paham teorema dan aksioma.
Terima Kasih
Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
Fabri Hidayatullah
ReplyDelete18709251028
S2 Pendidikan Matematika B 2018
Berdasarkan bacaan tersebut, terdapat beberapa pertanyaan ontologif di dalam filsafat matematika. Seperti asal mula objek matematis, dalam cara apa objek matematika ada, dan lain-lain. Menurut beberapa filsuf, jika suatu wujud ada maka objek tersebut melebihi ruang dan waktu, dan tidak mempunyai kekuatan kausal. Objek tersebut merupakan objek yang abstrak sebagai kebalikan dari wujud konkret. Menurut Hempel dengan tesis logisisme, matematika adalah cabang dari logika yang berhubungan dengan semua konsep matematika, misalnya aritmatika, aljabar, dan analisis dapat didefinisikan dalam istilah dari empat konsep dari logika murni dan semua teorema matematika dapat ditarik kesimpulan dari definisi tersebut dengan makna prinsip logika.
Amalia Nur Rachman
ReplyDelete18709251042
S2 Pendidikan Matematika B UNY 2018
Ontologi matematika adalah segala hal yang menyangkut dan berhubungan dengan matematika. Dalam elegi di atas ontologi matematika dapat dicapai dengan adanya urutan yang sistematis berawal dari hipotesis empiris yang menunjukkan sebuah bukti, berlanjut ke proporsi matematika, ketepatan dan ketelitian, validitas, dalil, aksioma, logika beserta negasinya, sehingga penggabungan analisis aspek dari semua konsep matematika dapat didefinisikan dalam logika dan teorema dengan cara prinsip-prinsip logika
Dini Arrum Putri
ReplyDelete18709251003
S2 P Math A 2018
Ontologi matametika merupakan suatu hal yang membahas apapun yang berhubungan dengan matematika. Menyangkut pertanyaan di atas dapatkan objek matematika ada tanpa adanya materi atal hal-hal yang hitung? matematika ilmu yang umum karenanya matematika berkaitan dengan pengetahuan yang lain. Dalam pembelajaran konsep matematika itu haruslah di pahami tidak hanya sekadar dilihat dan dihapal, hapal konsep bukan berarti dapat menyelesaikan persoalan matematika namun jika memahami konsep dan latar belakang dari konsep tersebut maka dapat menyelesaikan persoalan matematika sehingga objek matematika tidak hanya sekadar hal-hal tentang berhitung, namun salah satu objek matematika adalah bagaimana dapat memahami ilmu matematika sebagai cara bernala dan berpikir secara logis.
Janu Arlinwibowo
ReplyDelete18701261012
PEP 2018
Matematika bekerja melalui pemikiran-pemikiran yang berpangkal pada suatu yang aturan. Hakekat matematika merupakan suatu komponen yang harus dipahami oleh setiap pemakainya. Dalam proses belajar matematika sendiri adalah merupakan proses berjalan melalui dengan hakekat. Dalam menyelesaikan suatu permasalahan matematika seseorang harus kembali pada hakekat agar dapat memecahkan masalah tersebut. Namun terkadang dalam dunia pendidikan guru hanya memberikan ilmu pada tengahnya, atau bahkan ujungnya saja. Pangkal ilmu yang sebagai hakekat tidak dijelaskan secara mendalam sehingga kedepannya menmbulkan berbagai masalah pemahaman pada siswa.
Rochyati
ReplyDelete19709251074
S2 P. Mat D 2019
Dalam tulisan tersebut, Hempel mengatakan bahwa Matematika merupakan cabang dari ilmu logika. Hal ini dikarenakan semua konsep dalam matematika, seperti aljabar,aritmatika,dsb dapat didefinisikan dalam konsep dari logika murni. Selain itu semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut melalui prinsip-prinsip logika.