Oct 10, 2012

Elegi Menggapai "Ontology of Mathematics"




By Marsigit
Yogyakarta State University


Ross, D.S. (2003) states that there are some ontological questions in the Philosophy of Mathematics:

What is the origin of mathematical objects? In what way do mathematical objects exist? Have they always been present as 'Platonic' abstractions, or do they require a mind to bring them into existence? Can mathematical objects exist in the absence of matter or things to count?.



Since the beginning of Western philosophy 1, there are important philosophical problems: Do numbers and other mathematical entities exist independently on human cognition?

If they exist dependently on human cognition then how do we explain the extraordinary applicability of mathematics to science and practical affairs? If they exist independently on human cognition then what kind of things are they and how can we know about them? And what is the relationship between mathematics and logic?

The first question is a metaphysical question with close affinities to questions about the existence of other entities such as universals, properties and values.

According to many philosophers, if such entities exist then they do beyond the space and time, and they lack of causal powers. They are often termed abstract as opposed to concrete entities.

If we accept the existence of abstract mathematical objects then an adequate epistemology of mathematics must explain how we can know them; of course, proofs seem to be the main source of justification for mathematical propositions but proofs depend on axioms and so the question of how we can know the truth of the axioms remains.

It is advocated especially by Stuart Mill J. in Hempel C.G. (2001) that mathematics itself is an empirical science which differs from the other branches such as astronomy, physics, chemistry, etc., mainly in two respects: its subject matter is more general than that of any other field of scientific research, and its propositions have been tested and confirmed to a greater extent than those of even the most firmly established sections of astronomy or physics.

According to Stuart Mill J., the degree to which the laws of mathematics have been born out by the past experiences of mankind is so unjustifiable that we have come to think of mathematical theorems as qualitatively different from the well confirmed hypotheses or theories of other branches of science in which we consider them as certain, while other theories are thought of as at best as very probable or very highly confirmed and of course this view is open to serious objections.

While Hempel C.G. himself acknowledges that, from empirical hypothesis, it is possible to derive predictions to the effect that under certain specified conditions, certain specified observable phenomena will occur; the actual occurrence of these phenomena constitutes confirming evidence.

It 2 was concluded that an empirical hypothesis is theoretically un-confirmable that is possible to indicate what kind of evidence would disconfirm the hypothesis; if this is actually an empirical generalization of past experiences, then it must be possible to state what kind of evidence would oblige us to concede the hypothesis not generally true after all.

The mathematical propositions are true simply by virtue of definitions or of similar stipulations which determine the meaning of the key terms involved. Soehakso, RMJT, guides that mathematics validation naturally requires no empirical evidence; they can be shown to be true by a mere analysis of the meaning attached to the terms which occur in.

The exactness and rigor of mathematics 3 means that the understanding of mathematics follows the logical development of important peculiar mathematical methods, and of course is acquainted with major results especially in “foundations”.

The validity of mathematics, as it was stated by Hempel C.G., rests neither on its alleged self-evidential character nor on any empirical basis, but it also derives from the stipulations which determine the meaning of the mathematical concepts, and that the propositions of mathematics are therefore essentially "true by definition."

The rigorous 4 development of a mathematical theory proceeds not simply from a set of definitions but rather from a set of non-definitional propositions which are not proved within the theory.

Hempel states that there are the postulates or axioms of the theory and formulated in terms of certain basic or primitive concepts for which no definitions are provided within the theory.

The postulates themselves represent "implicit definitions" of the primitive terms while the postulates do limit, in a specific sense, the meanings that can possibly be ascribed to the primitives, any self-consistent postulate system admits. 5

Once the primitive terms and the postulates 6 have been laid down the entire theory is completely determined. Hence, every term of the mathematical theory is definable in terms of the primitives, and every proposition of the theory is logically deducible from the postulates.

Hempel adds that to be entirely precise, it is necessary to specify the principles of logic used in the proof of the propositions; these principles can be stated quite explicitly and fall into primitive sentences or postulates of logic.

Accordingly, any fact that we can derive from the axioms needs not be an axiom; anything that we cannot derive from the axioms and for which we also cannot derive 7 the negation might reasonably added as an axiom.

Hempel concludes that by combining the analyses of the aspects of the Peano system, the thesis of logicism was accepted that Mathematics is a branch of logic due to all the concepts of mathematics i.e. arithmetic, algebra, and analysis can be defined in terms of four concepts of pure logic and all the theorems of mathematics can be deduced from those definitions by means of the principles of logic.

References:
1 Posy, C., 1992, “Philosophy of Mathematics”, Retrieved 2004
2 In Hempel, C.G., 2001, “On the Nature of Mathematical Truth”, Retrieved 2004
3 Soehakso, RMJT, 1989, “Some Thought on Philosophy and Mathematics”, Yogyakarta: Regional Conference South East Asian Mathematical Society, p.3
4 In Hempel, C.G., 2001, “On the Nature of Mathematical Truth”, Retrieved 2004
5 Ibid
6 Ibid.
7 Ibid.

10 comments:

  1. Kartika Pramudita
    17701251021
    PEP S2 B

    Dalam matematika tentu timbul berbagai pertanyaan untuk memperdalam tentang matematika, dan juga cara-cara memperoleh kebenaran suatu pernyataan dalam matematika. Matematika yang abstrak harus diketahui dengan cara pembuktian. Untuk membuktikan matematika yang abstrak maka diperlukan aksioma.
    Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa matematika berkaitan dengan logika, setiap cabang dalam matematika merupakan aktivitas logika.

    ReplyDelete
  2. Tri Wulaningrum
    17701251032
    PEP S2 B

    Setiap hal di dunia ini tersusun secara epistemologi, ontologi, dan aksiologi. Ontologi sendiri ialah suatu ilmu tentang ada, ilmu tentang keberadaan objek kajian. Maka ontologi matematika sudah pasti akan berkaitan dengan pertanyaan-pertanyaan mendasar tentang keberadaan matematika, seperti bagaimana hakikat matematika? Apa saja materi penyusun matematika? dan pertanyaan mendasar lainnya yang berusaha untuk mengetahui keberadaan matematika. Maka, untuk menggali ontologi matematika, dapat dilakukan dengan melakukan "research" terhadap objek kajian matematika secara sederana tapi detail dan mendalam. Dengan melakukan suatu "research" sama halnya kita sedang melakukan tahap pembuktian pada objek kajian matematika. Semuanya dilakukan untuk mengetahui matematika secara ontologi.

    ReplyDelete
  3. Firman Indra Pamungkas
    17709251048
    S2 Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    Assalamualaikum Warohmatullah Wabarokatuh
    Ontologi berkaitan dengan subjek kajian suatu ilmu. Menurut plato, objek matematika berada di dalam pikiran manusia, sehingga bersifat ideal. Menurut Aristoteles, objek matematika berada di luar pikiran, sehingga bersifat konkret. Menurut Leibniz, kebenaran matematika tidak hanya ada di dunia ini atau dunia dalam bentuk ideal, namun juga di dunia yang mungkin ada. Menurut Immanuel Kant, matematika merupakan deskripsi ruang dan waktu, konsep matematika hanya membutuhkan konsistensi namun konstruksi konsep yang demikian melibatkan ruang yang memiliki struktur tertentu.

    ReplyDelete
  4. I Nyoman Indhi Wiradika
    17701251023
    PEP B

    Untuk dapat menggali ilmu secara dalam maka diperlukan pertanyaan ontologies. Matematika adalah sains terstruktur sehingga kebenaran proposisi matematika dapat dibuktikan melalui definisi atau aksioma yang telah terbukti sebelumnya. Hipotesis empiris diperlukan untuk mendapatkan prediksi yang menyatakan pembuktian.

    ReplyDelete
  5. Muh Wildanul Firdaus
    17709251047
    Pendidikan matematika S2 kls C

    Terdapat berbagai pendapat mengenai matematika dari para ahli matematika. Mereka memiliki teori berdasarkan pendapat mereka masing-masing. Dari artikel tersebut ada istilah ontologi. Di mana Ontologi adalah ilmu yang mempelajari realitas atau kenyataan konkret secara kritis, sifat menjadi, keberadaan, serta kategori dasar keberadaan dan hubungan mereka. Jadi untuk merealisasikan matematika dalam kegiatan sehari-hari siswa guru harus membantu dan memfasilitasi siswanya untuk menggapai ontologi matematika dengan mengembangkan konsep mereka dalam matematika.

    ReplyDelete
  6. Nama: Dian Andarwati
    NIM: 17709251063
    Kelas: Pendidikan Matematika (S2) Kelas C

    Assalamu’alaikum. Matematika adalah cabang logika karena semua konsep matematika yaitu aritmatika, aljabar, dan analisis dapat didefinisikan dalam empat konsep logika murni dan semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut dengan menggunakan prinsip-prinsip logika. . Matematika itu sendiri adalah ilmu empiris yang berbeda dengan cabang-cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dan lain-lain, terutama dalam dua hal: materi pelajarannya lebih umum daripada bidang penelitian ilmiah lainnya, dan proposisi-proposisinya telah diuji

    ReplyDelete
  7. Ulivia Isnawati Kusuma
    17709251015
    PPs Pend Mat A 2017

    Ontologi membahas hakekat sesuatu yang kongkret. Karena kebanyakan orang belum bisa membedakan antara penampakan dan kenyatan. Secara sederhana ontologi dirumuskan sebagai ilmu yang mempelajari realitas. Ontologi matematika merupakan segala aspek yang ada dalam ilmu matematika seperti teorema-teorema. Teorema di dalam matematika itu juga dibuktikan kebenrannya secara logis dan sistematis. Pembuktian teorema itu yang merupakan ontologi matematika.

    ReplyDelete
  8. Isoka Amanah Kurnia
    17709251051
    PPs Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    Ketika membahas ontologi maka secara tidak langsung kita berusaha mencari inti yang termuat dalam setiap kenyataan. Dalam ontologi matematika, hal yang paling sering dipersoalkan adalah cakupan dari pernyataan matematika yang meliputi dunia nyata (realita) atau tidak. Matematika jika ditinjau dari aspek ontologi membahas apa yang kita ingin ketahui, seberapa jauh kita ingin tahu, menyelidiki sifat dasar dari apa yang nyata secara fundamental. Dari pandangan tersebut maka dapat disimpulkan matematika bertujuan untuk mengurangi ketidakpastian dalam bahasa verbal.

    ReplyDelete
  9. Dewi Thufaila
    17709251054
    Pendidikan Matematika Pascasarjana C 2017

    Assalamualaikum.wr.wb
    Terdapat berbagai pendapat mengenai matematika dari para ahli matematika. Mereka memiliki teori berdasarkan pendapat mereka masing-masing. Dari artikel tersebut ada istilah ontologi. Di mana Ontologi adalah ilmu yang mempelajari realitas atau kenyataan konkret secara kritis, sifat menjadi, keberadaan, serta kategori dasar keberadaan dan hubungan mereka.
    Wassalamualaikum.wr.wb

    ReplyDelete
  10. Dewi Thufaila
    17709251054
    Pendidikan Matematika Pascasarjana C 2017

    Assalamualaikum.wr.wb
    Ontologi adalah ilmu yang mempelajari realitas atau kenyataan konkret secara kritis, sifat menjadi, keberadaan, serta kategori dasar keberadaan dan hubungan mereka. Jadi untuk merealisasikan matematika dalam kegiatan sehari-hari siswa guru harus membantu dan memfasilitasi siswanya untuk menggapai ontologi matematika dengan mengembangkan konsep mereka dalam matematika.
    Wassalamualaikum.wr.wb

    ReplyDelete