Oct 10, 2012

Elegi Menggapai "Ontology of Mathematics"

By Marsigit
Yogyakarta State University

Ross, D.S. (2003) states that there are some ontological questions in the Philosophy of Mathematics:

What is the origin of mathematical objects? In what way do mathematical objects exist? Have they always been present as 'Platonic' abstractions, or do they require a mind to bring them into existence? Can mathematical objects exist in the absence of matter or things to count?.

Since the beginning of Western philosophy 1, there are important philosophical problems: Do numbers and other mathematical entities exist independently on human cognition?

If they exist dependently on human cognition then how do we explain the extraordinary applicability of mathematics to science and practical affairs? If they exist independently on human cognition then what kind of things are they and how can we know about them? And what is the relationship between mathematics and logic?

The first question is a metaphysical question with close affinities to questions about the existence of other entities such as universals, properties and values.

According to many philosophers, if such entities exist then they do beyond the space and time, and they lack of causal powers. They are often termed abstract as opposed to concrete entities.

If we accept the existence of abstract mathematical objects then an adequate epistemology of mathematics must explain how we can know them; of course, proofs seem to be the main source of justification for mathematical propositions but proofs depend on axioms and so the question of how we can know the truth of the axioms remains.

It is advocated especially by Stuart Mill J. in Hempel C.G. (2001) that mathematics itself is an empirical science which differs from the other branches such as astronomy, physics, chemistry, etc., mainly in two respects: its subject matter is more general than that of any other field of scientific research, and its propositions have been tested and confirmed to a greater extent than those of even the most firmly established sections of astronomy or physics.

According to Stuart Mill J., the degree to which the laws of mathematics have been born out by the past experiences of mankind is so unjustifiable that we have come to think of mathematical theorems as qualitatively different from the well confirmed hypotheses or theories of other branches of science in which we consider them as certain, while other theories are thought of as at best as very probable or very highly confirmed and of course this view is open to serious objections.

While Hempel C.G. himself acknowledges that, from empirical hypothesis, it is possible to derive predictions to the effect that under certain specified conditions, certain specified observable phenomena will occur; the actual occurrence of these phenomena constitutes confirming evidence.

It 2 was concluded that an empirical hypothesis is theoretically un-confirmable that is possible to indicate what kind of evidence would disconfirm the hypothesis; if this is actually an empirical generalization of past experiences, then it must be possible to state what kind of evidence would oblige us to concede the hypothesis not generally true after all.

The mathematical propositions are true simply by virtue of definitions or of similar stipulations which determine the meaning of the key terms involved. Soehakso, RMJT, guides that mathematics validation naturally requires no empirical evidence; they can be shown to be true by a mere analysis of the meaning attached to the terms which occur in.

The exactness and rigor of mathematics 3 means that the understanding of mathematics follows the logical development of important peculiar mathematical methods, and of course is acquainted with major results especially in “foundations”.

The validity of mathematics, as it was stated by Hempel C.G., rests neither on its alleged self-evidential character nor on any empirical basis, but it also derives from the stipulations which determine the meaning of the mathematical concepts, and that the propositions of mathematics are therefore essentially "true by definition."

The rigorous 4 development of a mathematical theory proceeds not simply from a set of definitions but rather from a set of non-definitional propositions which are not proved within the theory.

Hempel states that there are the postulates or axioms of the theory and formulated in terms of certain basic or primitive concepts for which no definitions are provided within the theory.

The postulates themselves represent "implicit definitions" of the primitive terms while the postulates do limit, in a specific sense, the meanings that can possibly be ascribed to the primitives, any self-consistent postulate system admits. 5

Once the primitive terms and the postulates 6 have been laid down the entire theory is completely determined. Hence, every term of the mathematical theory is definable in terms of the primitives, and every proposition of the theory is logically deducible from the postulates.

Hempel adds that to be entirely precise, it is necessary to specify the principles of logic used in the proof of the propositions; these principles can be stated quite explicitly and fall into primitive sentences or postulates of logic.

Accordingly, any fact that we can derive from the axioms needs not be an axiom; anything that we cannot derive from the axioms and for which we also cannot derive 7 the negation might reasonably added as an axiom.

Hempel concludes that by combining the analyses of the aspects of the Peano system, the thesis of logicism was accepted that Mathematics is a branch of logic due to all the concepts of mathematics i.e. arithmetic, algebra, and analysis can be defined in terms of four concepts of pure logic and all the theorems of mathematics can be deduced from those definitions by means of the principles of logic.

1 Posy, C., 1992, “Philosophy of Mathematics”, Retrieved 2004
2 In Hempel, C.G., 2001, “On the Nature of Mathematical Truth”, Retrieved 2004
3 Soehakso, RMJT, 1989, “Some Thought on Philosophy and Mathematics”, Yogyakarta: Regional Conference South East Asian Mathematical Society, p.3
4 In Hempel, C.G., 2001, “On the Nature of Mathematical Truth”, Retrieved 2004
5 Ibid
6 Ibid.
7 Ibid.


  1. Heni Lilia Dewi
    Pascasarjana Pendidikan Matematika 2016/ Kelas C

    There is no doubt that mathematics is a structured science. As Soehakso's statement that the truth of mathematical propositions only by definitions or axioms previously proven. While Hempel said that the empirical hypothesis is required to obtain a prediction which states that under certain conditions, for example through observation.

  2. Cendekia Ad Dien
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Ontologi matematika terkait pertanyaan mengenai asal usul objek matematika dan eksistensi objek matematika. Banyak filsuf yang mengemukakan bahwa jika objek itu ada (eksis) maka objek tersebut berada di luar ruang dan waktu, kekurangan daya kausal, dan sering disebut objek abstrak sebagai lawan dari objek konkret. Jika eksistensi dari objek matematika yang abstrak dapat diterima, maka epistemologi matematika harus cukup dapat menjelaskan bagaimana cara mengetahui objek tersebut (terkait dengan validitas kebenaran matematika).

  3. Wahyu Lestari
    PPs Pendidikan Matematika 2016 Kelas D

    Secara filsafat ontologi matematika mempersoalkan dan mengkaji berbagai hal yang berkaitan dengan matematika sebagai ilmu pengetahuan. Memiliki prosedur aturan ilmiah yakni merumuskan pernyataan (pengamatan), perumusan generalisasi, pembuktian generalisasi empiris dan pengembangan teori. Ontologi Matematika berusaha memahami keseluruhan dari kenyataan matematika, yaitu segala matematika yang ada dan mungkin ada.
    Salah satu contoh dari ontology matematika adalah kajian tentang hakikat obyek matematika dan bagaimana cara memperoleh obyek matematika tersebut. dan Stuart Mill J. menyatakan bahwa matematika itu sendiri adalah ilmu empiris yang berbeda dengan cabang-cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dan lain-lain, terutama dalam dua hal: materi pelajarannya lebih umum daripada bidang penelitian ilmiah lainnya, Proposisi telah diuji dan dikonfirmasikan sampai batas yang lebih tinggi daripada bagian astronomi atau fisika yang paling mapan.

  4. Syahlan Romadon
    PM C 2016/ 16709251047

    Ontologi berkaitan dengan subjek kajian suatu ilmu. Menurut plato, objek matematika berada di dalam pikiran manusia, sehingga bersifat ideal. Menurut Aristoteles, objek matematika berada di luar pikiran, sehingga bersifat konkret. Menurut Leibniz, kebenaran matematika tidak hanya ada di dunia ini atau dunia dalam bentuk ideal, namun juga di dunia yang mungkin ada. Menurut Immanuel Kant, matematika merupakan deskripsi ruang dan waktu, konsep matematika hanya membutuhkan konsistensi namun konstruksi konsep yang demikian melibatkan ruang yang memiliki struktur tertentu.

  5. Sumandri
    S2 pendidikan Matematika 2016

    Filsafat khusus mengenai ontologi dalam mempelajari matematika, yaitu (1) aliran logistik yang dipelopori oleh Immanuel Kant(1724 – 1804) yang mengatakan bahwa matematika merupakan cara logis (logistik) yang salahatau benarnya dapat ditentukan tanpa mempelajari dunia empiris; (2) aliranintuisionis yang dipelopori oleh Jan Brouwer (1881 – 1966) mengatakan bahwa matematika bersifat intuisionis; (3) aliran formalis yang dipeloporioleh David Hilbert (1862 – 1943) mengatakan bahwa matematika merupakan pengetahuan tentang struktur formal dari lambang. Kaum formalis menekankan pada aspek formal dari matematika sebagai bahasa lambang dan mengusahakan konsistensi dalam penggunaan matematika sebagai bahasa lambang. Maksudnya, matematika bersifat logis karena berfungsi sebagai sarana berfikir. Matematika bersifat intuisi karena hakekat sebuah bilangan harus dapat dibentuk melalui kegiatan intuitif dalam berhitung dan menghitung. Terakhir matematika juga bersifat formal karena merupakan abstraksi yang ditulis dalam bahasa lambang.


    Ontologi adalah ilmu tentang yang ada. Ontologi matematika berusaha memahami keseluruhan dari kenyataan matematika. Ross, DS (2003) menyatakan bahwa ada beberapa pertanyaan ontologis dalam Filsafat Matematika: Apa hakekat objek matematika? Dengan cara bagaimana memperoleh objek matematika tersebut? Apakah objek matematika merupakan ide seperti yang dipikirkan plato? Dapatkah objek matematika ada tanpa adanya objek lain?

  7. Sehar Trihatun
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Pertanyaan-pertanyaan mengenai ontologi matematika berkaitan dengan hakikat matematika itu sendiri. Apakah matematika bergantung pada pemikiran manusia, jika matematika bergantung pada pemikiran manusia maka bagaimana matematika dapat menjelaskan penerapan matematika terhadap sains maupun hal-hal yang bersifat praktis lainnya. Sedangkan jika matematika tidak bergantung pada pemikiran manusia, bagaimana manusia dapat mengenali dan mengetahui matematika. Dalam matematika objeknya seringkali bersifat abstrak, dan mengetahui kebenaran dari suatu objek yang abstrak tersebut adalah dengan cara pembuktian, pembuktian menjadi sumber utama untuk membenarkan suatu proposisi matematika. Tetapi pembuktian matematika ini sangat bergantung pada aksioma-aksioma , sedangkan kita tidak tahu bagaimana kebenaran dari aksioma-aksioma itu sendiri, karena aksioma memang tidak dibuktikan kebenarannya.

  8. Lihar Raudina Izzati
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Ontologi membahas keberadaan sesuatu yang bersifat konkret. Secara sederhana ontologi bisa dirumuskan sebagai ilmu yang mempelajari realitas atau kenyataan kongkret secara kritis. Ontologi matematika merupakan segala aspek yang ada dalam ilmu matematika yang bersifat kongkret. Contoh dari ontologi matematika adalah segala sesuatu yang ada dalam matematika, seperti misalnya teorema-teorema. Teorema di dalam matematika akan dibuktikan secara logis, terstruktur, dan sistematis. Pembuktian teorema inilah yang merupakan salah satu contoh ontologi matematika.

  9. Primaningtyas Nur Arifah
    Pend. Matematika S2 kelas C 2016
    Assalamu’alaikum. Matematika adalah cabang logika karena semua konsep matematika yaitu aritmatika, aljabar, dan analisis dapat didefinisikan dalam empat konsep logika murni dan semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut dengan menggunakan prinsip-prinsip logika. . Matematika itu sendiri adalah ilmu empiris yang berbeda dengan cabang-cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dan lain-lain, terutama dalam dua hal: materi pelajarannya lebih umum daripada bidang penelitian ilmiah lainnya, dan proposisi-proposisinya telah diuji.

  10. Helva Elentriana
    PPS Pend Matematika Kelas D 2016

    Menurut bahasa, ontologi berasal dari Bahasa Yunani, yaitu On/Ontos=ada, dan Logos=ilmu. Jadi, ontologi adalah ilmu tentang yang ada. Ontologi adalah ilmu yang membahas tentang hakikat yang ada, yang merupakan ultimate reality baik yang berbentuk jasmani/konkret maupun rohani/abstrak. Atau dengan kata lain lebih sederhana, ontologi adalah hakekat atau objek. Sehingga, ontologi matematika mempelajari segala sesuatu yang ada pada matematika sehingga obyek-obyek matematika dapat dipahami atau dipelajari bahkan dikembangkan sesuai dengan hakekatnya. Atau dapat dinyatakan bahwa ontologi matematika membahas tentang hakikat matematika (apa itu matematika) dan objek matematika. Objek matematika dipandang berbeda oleh beberapa filsuf seperti logika, objek abstrak dan lain-lain.

  11. Loviga Denny Pratama
    S2 P.Mat D

    Saya berpandangan bahwa matematika ditinjau dari aspek ontologi, dimana aspek ontologi telah berpandangan untuk mengkaji bagaimana mencari inti yang cermat dari setiap kenyataan yang ditemukan, membahas apa yang kita ingin ketahui, seberapa jauh kita ingin tahu, menyelidiki sifat dasar dari apa yang nyata secara fundamental. Dari pembahasan tersebut maka aka tercipta matematika yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari.

  12. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS

    Menurut Ross DS (2003), contoh dari pertanyaan ontologi matematika yaitu darimana objek matematika itu berasal? Bagaimana objek filsafat itu ada? Apakah mereka ada seperti halnya abstraksi Platonis atau memerlukan pikiran untuk membuatnya ada? Dapatkah obyek matematika ada tanpa perhitungan? Hempel menyimpulkan bahwa dengan menggabungkan analisis aspek dari sistem Peano, tesis logicism diterima bahwa Matematika merupakan cabang dari logika karena semua konsep matematika yaitu aritmatika, aljabar, dan analisis dapat didefinisikan dalam hal empat konsep logika murni dan semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut dengan prinsip-prinsip logika.

  13. Lana Sugiarti
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Menurut pemahaman saya, artikel tersebut menjelaskan tentang Stuart Mill dan Hempel yang berpendapat bahwa matematika itu sendiri adalah ilmu empiris yang berbeda dengan cabang-cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dan lain-lain, terutama dalam dua hal, materi pelajarannya lebih umum daripada bidang penelitian ilmiah lainnya. Proposisi telah diuji dan dikonfirmasikan sampai batas yang lebih tinggi daripada bagian astronomi atau fisika. Proposisi matematika benar hanya berdasarkan definisi atau ketentuan serupa yang menentukan arti istilah utama yang terlibat. Soehakso membimbing agar validasi matematika secara alami tidak memerlukan bukti empiris. Mereka dapat ditunjukkan benar dengan analisis belaka tentang makna yang melekat pada istilah yang terjadi.

  14. Nurwanti Adi Rahayu
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Ontologi merupakan teori mengenai apa yang ada, dan membahas tentang yang ada, yang tidak terikat oleh satu perwujudan tertentu.
    Eksistensi dari entitas-entitas matematika juga menjadi bahan pemikiran filsafat. Adapun metode-metode yang digunakan antara lain abstraksi fisik yang dimana berpusat pada suatu obyek.
    Selanjutnya abstraksi bentuk adalah sekumpulan obyek yang sejenis, sedangakn abstraksi metafisik adalah sifat obyek yang general.

  15. Kunny Kunhertanti
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    J. Stuart Mill berpendapat bahwa sejauh mana hukum-hukum matematika telah dilahirkan oleh pengalaman masa lalu umat manusia sehingga tidak dapat dibenarkan bahwa kita telah datang untuk berpikir tentang teorema matematika secara kualitatif berbeda dari hipotesis juga dikonfirmasi atau teori-teori dari cabang lainnya ilmu pengetahuan. Pemikiran-pemikiran seperti itu pasti akan selalu berkembang seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan di dunia ini.

  16. Annisa Hasanah
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Dalam tulisan tersebut, Hempel mengatakan bahwa Matematika merupakan cabang dari ilmu logika. Hal ini dikarenakan semua konsep dalam matematika, seperti aljabar,aritmatika,dsb dapat didefinisikan dalam konsep dari logika murni. Selain itu semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut melalui prinsip-prinsip logika.

  17. Windi Agustiar Basuki
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Ontology matematika berkaitan dengan beberapa hal berikut diantaranya apa itu pengetahuan matematika? Apakah basis/ landasan pengetahuan matematika? Apa yang dikaji dalam matematika?

  18. Yosepha Patricia Wua Laja
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Objek formal ontologi adalah ‘yang ada’ dalam konteks filsafat ilmu. Ontologi membahas ‘yang ada’ yang universal, menampilkan pemikiran secara universal. Ontologi berupaya mencari inti yang termuat dalam setiap kenyataan. Ontologi berasal dari istilah Yunani yang terdiri dari dua kata yaitu On yang berarti “ada” dan Logos yang berarti ilmu. Asmal Bakhtiar (2005 : 134) mengartikan ontologi sebagai ilmu yang membahas mengenai hakikat yang ada. Dalam ilmu filsafat sebuah ada tidak diadakan oleh dirinya sendiri, tetapi oleh ada lainnya (situasi maupun pihak lain) sebagai penyebab ada (causa prima). Sementara itu menurut Jalaluddin dan Abdullah (2012:77), ontologi berarti ilmu hakikat yang menyelidiki alam nyata dan bagaimana keadaan yang sebenarnya, apakah hakikat di balik alam nyata ini. Ontologi menyelidiki hakikat dari segala sesuatu dari alam nyata yang sangat terbatas bagi pancaindra kita. Bagaimana realita yang ada ini, apakah materi saja, apakah wujud sesuatu ini bersifat tetap, kekal tanpa perubahan, apakah realita satu unsur (monoisme), dua unsur (dualisme), ataukah terdiri dari unsur yang banyak (pluralisme).

  19. Yosepha Patricia Wua Laja
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Objek formal ontologi dalam pendidikan matematika adalah hakikat keberadaan tentang objek apa yang dikaji dalam pendidikan matematika, dikaitkan dengan esensi atau dasar-dasar atau prinsip bahasan utama dalam pendidikan matematika. Sehingga munculah beberapa pertanyaan “Kenapa penting matematika harus diajarkan ?”, “Apa yang dikaji dalam pendidikan matematika ?”, “Prinsip apa saja dalam pendidikan matematika?”, “Apa pentingnya pendidikan matematika bagi manusia dan dunia?”.