Oct 13, 2012

The System of Mathematics: Peterson’s and Hempel’s Notions




By Marsigit
Yogyakarta State University

Peterson, I., 1998, elaborated that at the beginning of the 20th century, the great German mathematician David Hilbert (1862-1943) advocated an ambitious program to formulate a system of axioms and rules of


inference that would encompass all mathematics, from basic arithmetic to advanced calculus; his dream was to codify the methods of mathematical reasoning and put them within a single framework. Hilbert1 insisted that such a formal system of axioms and rules should be consistent, meaning that one can't prove an assertion and its opposite at the same time; he also wanted a scheme that is complete, meaning that one can always prove a given assertion either true or false. Hilbert2 argued that there had to be a clear-cut mechanical procedure for deciding whether a certain proposition follows from a given set of axioms; hence, given a well-defined system of axioms and appropriate rules of inference, it would be possible, though not actually practical, to run through all possible propositions, starting with the shortest sequences of symbols, and to check which ones are valid. In principle, such a decision procedure would automatically generate all possible theorems in mathematics.3

On the other hand, it was elaborated that formal mathematics builds on formal logic; 4it reduces mathematical relationships to questions of set membership; the only undefined primitive object in formal mathematics is the empty set that contains nothing at all. It was claimed that almost every mathematical abstraction that has ever been investigated can be derived as a set of the axioms of set theory and almost every mathematical proof ever constructed can be made assuming nothing beyond those axioms. 5It was also stated that if infinity is a potential and never a completed reality then infinite sets do not exist; therefore, mathematicians try to define the most general infinite structures imaginable because that seems to give the most bang for the buck; if no infinite sets exist this would be the construction of a fantasy. Further, 6it was claimed that mathematics should be directly connected to properties of nondeterministic programs in a potentially infinite universe; this would limit extensions to a fragment of the countable ordinals and the sets that can be constructed from them. The objects definable within a formal mathematical system no matter what axioms of infinity it includes are countable; and that a formal system can be interpreted as a computer program for generating theorems in which such a program can output all of the names of the objects or sets definable with the system. Further, all real numbers and for that matter larger cardinals that can ever be defined in any mathematical system that finite creatures create will be countable; they will not be countable from within the system.7

Peterson, I., 1998, noted that what Hilbert was saying is that we can solve a problem if we are clever enough and work at it long enough; and mathematician Gregory J. Chaitin and Thomas J. Watson didn't believe that in principle there was any limit to what mathematics could achieve. However, in the 1930s, 8Kurt Godel (1906-1978) proved that no such decision procedure is possible for any system of logic made up of axioms and propositions sufficiently sophisticated to encompass the kinds of problems that mathematicians work on every day; he showed that if we assume that the mathematical system is consistent, then we can show that it is incomplete. 9Peterson said that in Godel's realm, no matter what the system of axioms or rules is, there will always be some assertion that can be neither proved nor invalidated within the system; indeed, mathematics is full of conjectures assertions awaiting proof with no assurance that definitive answers even exist.

Chaitin10 proved that no program can generate a number more complex than itself; in other words, a 1-pound theory can no more produce a 10-pound theorem than a 100-pound pregnant woman can birth a 200-pound child. Conversely, Chaitin11 also showed that it is impossible for a program to prove that a number more complex than the program is random; hence, to the extent that the human mind is a kind of computer, there may be a type of complexity so deep and subtle that our intellect could never grasp it; whatever order may lie in the depths would be inaccessible, and it would always appear to us as randomness. At the same time, proving that a sequence is random also presents insurmountable difficulties; there's no way to be sure that we haven't overlooked a hint of order that would allow even a small compression in the computer program that produces the sequence. Peterson, I., 1998, stated that Chaitin's result suggests that we are far more likely to find randomness than order within certain domains of mathematics; indeed, his complexity version of Godel's theorem states that although almost all numbers are random, there is no formal axiomatic system that will allow us to prove this fact.

Further, Peterson, I., 1998, concluded that Chaitin's work suggests that there is an infinite number of mathematical statements that one can make about, say, arithmetic that can't be reduced to the axioms of arithmetic, so there's no way to prove whether the statements are true or false by using arithmetic; in Chaitin's view, that's practically the same as saying that the structure of arithmetic is random. Chaitin12 summed up that they are mathematical facts which are analogous to the outcome of a coin toss and we can never actually prove logically whether they are true; he added that in the same way that it is impossible to predict the exact moment at which an individual atom undergoes radioactive decay, mathematics is powerless to answer particular questions; while physicists can still make reliable predictions about averages over large ensembles of atoms, mathematicians may in some cases be limited to a similar approach; that makes mathematics much more of an experimental science than many mathematicians would be willing to admit.

Hempel, C.G., 2001, argued that any self-consistent postulate system of mathematics admits, nevertheless, many different interpretations of the primitive terms , whereas a set of definitions in the strict sense of the word determines the meanings of the definienda in a unique fashion. The much broader system of Peano’s postulate thus obtained is still incomplete in the sense that not every number in it has a square root, and more generally, not every algebraic equation whose coefficients are all numbers of the system has a solution in the system; this suggests further expansions of the number system by the introduction of real and finally of complex numbers. Hempel13 concluded that on the basis of this postulate the various arithmetical and algebraic operations can be defined for the numbers of the new system, the concepts of function, of limit, of derivative and integral can be introduced, and the familiar theorems pertaining to these concepts can be proved, so that finally the huge system of mathematics as here delimited rests on the narrow basis of Peano's system; every concept of mathematics can be defined by means of Peano's three primitives, and every proposition of mathematics can be deduced from the five postulates enriched by the definitions of the non-primitive terms; these deductions can be carried out, in most cases, by means of nothing more than the principles of formal logic; the proof of some theorems concerning real numbers, however, requires one assumption which is not usually included among the latter and this is the so-called axiom of choice in which it asserts that given a class of mutually exclusive classes, none of which is empty, there exists at least one class which has exactly one element in common with each of the given classes.

Hempel, C.G., 2001, claimed that by virtue of this principle and the rules of formal logic, the content of all of mathematics can thus be derived from Peano's modest system i.e. a remarkable achievement in systematising the content of mathematics and clarifying the foundations of its validity. According to him, the Peano system permits of many different interpretations, whereas in everyday as well as in scientific language, we attach one specific meaning to the concepts of arithmetic. Hempel14 insisted that if therefore mathematics is to be a correct theory of the mathematical concepts in their intended meaning, it is not sufficient for its validation to have shown that the entire system is derivable from the Peano postulates plus suitable definitions; rather, we have to inquire further whether the Peano postulates are actually true when the primitives are understood in their customary meaning. If the definitions here characterized are carefully written out i.e. this is one of the cases where the techniques of symbolic, or mathematical, logic prove indispensable, it is seen that the definiens of every one of them contains exclusively terms from the field of pure logic. In fact, it is possible to state the customary interpretation of Peano's' primitives, and thus also the meaning of every concept definable by means of them, and that includes every concept of mathematics:

-- in terms of the following seven expressions (in addition to variables such as "x" and "C"): not, and, if -- then; for every object x it is the case that . . .; there is some object x such that . . .; x is an element of class C; the class of all things x such that . . . And it is even possible to reduce the number of logical concepts needed to a mere four: The first three of the concepts just mentioned are all definable in terms of "neither--nor," and the fifth is definable by means of the fourth and "neither--nor." Thus, all the concepts of mathematics prove definable in terms of four concepts of pure logic.The definition of one of the more complex concepts of mathematics in terms of the four primitives just mentioned may well fill hundreds or even thousands of pages; but clearly this affects in no way the theoretical importance of the result just obtained; it does, however, show the great convenience and indeed practical indispensability for mathematics of having a large system of highly complex defined concepts available. 15

Hempel, C.G., 2001, notified that a stable self-contained system of basic principles is the distinctive feature of mathematical theories; a mathematical model of some natural process or a technical device is essentially a stable model that can be investigated independently of its "original" and, thus, the similarity of the model and the "original" is only a limited one; only such models can be investigated by mathematicians. Hempel16 thought that any attempt to refine the model i.e. to change its definition in order to obtain more similarity with the "original", leads to a new model that must remain stable again, to enable a mathematical investigation of it; hence, mathematical theories are the part of science we could continue to do if we woke up tomorrow and discovered the universe was gone. Hempel17 argued that a mathematical model, because it is stable, is not bound firmly to its "original" source; it may appear that some model is constructed badly, in the sense of the correspondence to their "original" source, yet its mathematical investigation goes on successfully. According to him, since a mathematical model is defined very precisely, it "does not need" its "original" source any more. One can change some model or obtaining a new model not only for the sake of the correspondence to the "original" source, but also for a mere experiment. In this way people may obtain easily various models that do not have any real "originals", an even entire branches of mathematics have been developed that do not have and cannot have any applications to real problems. Hempel18 claimed that the stable self-contained character of mathematical models makes such "mutations" possible and even inevitable and no other branch of science knows such problems.

Hempel, C.G., 2001, noted that, in mathematics, theorems of any theory consist, as a rule, of two parts - the premise and the conclusion; therefore, the conclusion of a theorem is derived not only from a fixed set of axioms, but also from a premise that is specific to this particular theorem; and this premise is it not an extension of the fixed system of principles. He perceived that Mathematical theories are open for new notions; thus, in the Calculus after the notion of continuity the following connected notions were introduced: break points, uniform continuity, Lipschitz's conditions, etc. and all this does not contradict the thesis about the fixed character of principles axioms and rules of inference, yet it does not allow "working mathematicians" to regard mathematical theories as fixed ones. On the other hand, 19Burris, 1997, believed that the science of mathematics finds itself necessarily and essentially based on abstraction, since mathematicians never empirically test, for example, putting 200 mice and 200 mice to create 400 mice; the fact that all of mathematics is abstract was one of the motives of intuitionists to think mathematics is a sole product of the mind; however, their inference that because we do not empirically prove a mathematical statement, it is only a figment of imagination, was wrong. While 20Shapiro, S., 2000, indicated that Mathematical logic and, in particular, model theory can perhaps be construed as a theory that quantifies over structures; to say that a class of sentences is satisfiable may be to say that there is a structure that satisfies it. It is more common to construe the variables of model theory as ranging over sets. According to him, sets are currently taken to be places within the set-theoretical-hierarchy-structure. Thus, like any other branch of mathematics, model theory is seen as the study of a particular structure; the thesis that mathematics can be reduced to set theory amounts to a claim that any given mathematical structure except that of set theory itself can be modeled in the set-theoretic structure and, moreover, that the latter captures the relevant relationships between structures.21

References:
1 In Peterson, I., 1998, The Limits of Mathematics, The Mathematical Association of America, http://www.sciencenews.org/)
2Ibid.
3 Ibid.
4 In -------, 2004,Formal mathematics, Mountain Math Software, webmaster@mtnmath.com
5 Ibid.
6 Ibid.
7 Ibid.
8 In Peterson, I., 1998, The Limits of Mathematics, The Mathematical Association of America,9 http://www.sciencenews.org/)
10 Ibid.
11Ibid.
12Ibid.
13Ibid.
14Hempel, C.G., 2001, On the Nature of Mathematical Truth, http://www.ltn.lv/ ~podniek/gt.htm
15Ibid.
16Ibid.
17Ibid.
18Ibid.
19 Ibid.
20 Ibid.
21 Ibid

22 comments:

  1. Anggoro Yugo Pamungkas
    18709251026
    S2 Pend.Matematika B 2018

    Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
    Berdasarkan artikel diatas, Peterson menjelaskan bahwa pada awal abad ke-20, Seorang matematikawan Jerman yaitu David Hilbert menganjurkan program yang ambisius untuk merumuskan suatu sistem aksioma dan aturan inferensi yang akan mencakup semua matematika, dari dasar aritmatika hingga mahir kalkulus; impiannya adalah menyusun metode penalaran matematika dan menempatkan mereka dalam kerangka tunggal. Sedangkan Hempel menyimpulkan bahwa pada dasar dari dalil operasi aritmatika dan aljabar berbagai dapat didefinisikan untuk jumlah sistem baru, konsep fungsi, limit, turunan dan integral dapat diperkenalkan, dan teorema berkaitan erat dengan konsep-konsep matematika dapat dibuktikan, sehingga akhirnya sistem besar matematika dibatasi bertumpu pada dasar yang sempit dari sistem Peano.

    ReplyDelete
  2. Diana Prastiwi
    18709251004
    S2 P. Mat A 2018

    Berdasarkan artikel diatas, Peterson menyatakan bahwa matematika lemah dalam menjawab pertanyaan pertanyaan tertentu. Seperti hal hal yang berkaitan dengan kefisikaan, sehingga ilmu yang dianggap ilmu eksperimental adalah fisika bukan matematika. Sedangkan Hempel menjelaskan bahwa matematika mempunyai banyak teorema yang digunakan sebagai peraturan dari dua bagian (premis dan kesimpulan). Oleh karena itu, kesimpulan dari sebuah teorema didapatkan tidak hanya dari seperangkat aksioma tetap tapi juga dari premis yang juga spesifik pada teorema tertentu. Hampel menyebutkan bahwa matematika harus ada makna dari kehidupannya, tidak hanya divalidasi untuk menarik bahwa siswa cocok atau tidak cocok dengan suatu teori. maka dibutuhkan uji lanjut dengan mempertimbangan berbagai faktor yang ada.

    ReplyDelete
  3. Luthfannisa Afif Nabila
    18709251031
    S2 Pendidikan Matematika B 2018
    Assalamu'alaikum Warohmatullohi Wabarokatuh.
    Dari artikel diatas dikatakan bahwa Hempel mencatat bahwa dalam matematika, teorema dari setiap teori terdiri sebagai aturan dari dua bagian yaitu premis dan kesimpulan. Oleh karena itu, kesimpulan teorema berasal tidak hanya dari seperangkat aksioma tetap, tetapi juga dari premis yang khusus untuk teorema khusus dan premis bukan merupakan perpanjangan dari sistem prinsip yang tetap. Beliau menganggap bahwa teori-teori matematika terbuka untuk gagasan-gagasan baru. Di sisi lain, Burris percaya bahwasanya ilmu matematika perlu menemukan kebutuhan dan essensialnya sendiri berdasarkan pada abstraksi karena matematikawan tidak pernah menguji secara empiris, misalnya, menempatkan 200 tikus dan 200 tikus untuk menciptakan 400 tikus. Fakta bahwa semua matematika adalah abstrak adalah salah satu motif ahli intuisi untuk berpikir matematika adalah satu-satunya produk dari pikiran. Namun, kesimpulan mereka bahwa karena kami tidak secara empiris membuktikan pernyataan matematis, itu hanya isapan jempol belaka dan itu salah. Sementara Shapiro menunjukkan bahwa logika Matematika dan khususnya teori model mungkin dapat ditafsirkan sebagai teori yang mengkuantifikasi struktur. Jadi, seperti cabang matematika lainnya, teori model dipandang sebagai studi tentang struktur tertentu. Pernyataan bahwa matematika dapat direduksi menjadi sejumlah teori model untuk mengklaim bahwa struktur matematis tertentu kecuali teori model itu sendiri dapat dimodelkan dalam struktur teori model dan lebih jauh lagi bahwa dapat menangkap hubungan yang relevan antara struktur.
    Wassalamu'alaikum Warohmatullohi Wabarokatuh.

    ReplyDelete
  4. Bayuk Nusantara Kr.J.T
    18701261006

    Peterson menyimpulkan bahwa ada jumlah tak terbatas dari pernyataan matematika contohnya, aritmatika yang tidak dapat direduksi menjadi aksioma aritmatika, sehingga tidak ada cara untuk membuktikan apakah pernyataan benar atau salah dengan menggunakan aritmatika; Sementara Hempel, menyatakan bahwa, dalam matematika, teorema dari teori apapun terdiri atas suatu aturan dua bagian - premis dan kesimpulan; Oleh karena itu, kesimpulan dari teorema berasal tidak hanya dari suatu himpunan aksioma, tetapi juga dari premis yang khusus untuk teorema tertentu; dan premis ini bukanlah sistem tetap dari sebuah prinsip.

    ReplyDelete
  5. Fany Isti Bigo
    18709251020
    PPs UNY PM A 2018

    Tulisan The System of Mathematics: Peterson’s and Hempel’s Notions memaparkan pandangan-pandangan dari Peterson dan Hempel tentang pembuktian dengan aksioma dalam teorema matematika. Teorema-teorema dalam matematika dapat dibuktikan berdasarkan aksioma yang sudah ada dan berdasarkan pada premis dan kesimpulan. Peterson menjelaskan bahwa ahli matematika Jerman besar David Hilbert menganjurkan program ambisius untuk merumuskan sistem aksioma dan aturan kesimpulan yang akan mencakup semua matematika, dari aritmatika dasar untuk kalkulus lanjutan. Hempel, CG, 2001, mencatat bahwa, dalam matematika, teorema teori apapun sebagai suatu peraturan dari dua bagian yaitu premis dan kesimpulan. Oleh karena itu, kesimpulan dari teorema berasal tidak hanya dari satu set tetap aksioma, tetapi juga dari premis yang khusus untuk teorema tertentu; dan premis ini tidak merupakan perpanjangan dari sistem tetap dari sebuah prinsip.

    ReplyDelete
  6. Dini Arrum Putri
    18709251003
    S2 P Math A 2018

    Matematika dijadikan sebagai sarana prasarana berpikir deduktif. Dimana dalam semua pembelajaran matematika, dibutuhkan adanya sebuah pembuktian untuk mengetahui kebenaran tersebut sesuai dengan pendapat hempel bahwa matematika memiliki banyak teorema yang digunakan sebagai peraturan dalam memecahkan masalah matematika. Matematika pun dijadikan sebagai sumber dari segala pengetahuan dimana segala pengetahuan memiliki kaitan erat dengat ilmu pengetahuan lainnya seperti fisika.

    ReplyDelete
  7. Seftika Anggraini
    18709251016
    S2 PM A 2018

    Dalam logika matematika, dikenal yang namanya premis dan kesimpulan. Premis yang ada diperlukan untuk memberikan kesimpulan yang lebih tepat dan spesifik sesuai dengan keperluannya. Logika ini tidak hanya digunakan dalam matematika, namun juga dalam kehidupan sehari-hari. Terkadang kita memerlukan premis tambahan untuk memberikan penyimpulan yang lebih spesifik.
    Terima kasih

    ReplyDelete
  8. Diana Prastiwi
    18709251004
    S2 P. Mat A 2018

    Petersons mengatakan bahwa matematika itu lemah untuk menjawab pertanyaan pertanyaan tertentu. Pengambilan kesimpulan yang berlaku dalam konsep matematika tidaklah jauh dari logika. Logika yang berkembang juga meliputi pemikiran rasional. Matematika itu ilmu yang struktur. dari Hampel matematika itu diterima dengan valid sesuai dengan indiktor-indikaor dalam matematika itu sendiri. seperti darikonsep matemtika, definisi yang harus dibuktikan

    ReplyDelete
  9. Fabri Hidayatullah
    18709251028
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Hempel mayatakan bahwa dengan kemurnian prinsip dan aturan logika formal, semua materi matematika dapat diperoleh dari sistem model Peano. Menurutnya, sistem peano memberikan kesempatan pada interpretasi yang berbeda, karena di dalam kehidupan sehari-hari seperti dalam bahasa ilmiah, kita melekatkan satu makna yang spesifik terhadap konsep aritmatika. Hempel menyatakan bahwa matematika menjadi teori yang benar pada konsep matematika di dalam makna yang diperuntukannya, hal tersebut tidak cukup untuk memvalidasinya untuk menunjukkan bahwa seluruh siswa dapat diperoleh dari Postulat paeno dan definisi yang cocok. Kita harus menyelidiki lebih lanjut apakah postolat Paeno benar-benar benar ketika primitif dipahami di dalam makna biasa.

    ReplyDelete
  10. Agnes Teresa Panjaitan
    S2 pendidikan matematika A 2018
    18709251013

    Peterson mengemukakan bahwa matematika adalah ilmu yang tidak secara kuat menjawab beberapa pertanyaan tertentu. Dalam kategori ilmu eksperimental, matematika tidak tergolong didalamnya namun posisi tersebut ditempati oleh fisika. Menurut Hempel matematika berkaitan dengan peraturan dari dari dua bagian (premis dan kesimpulan). Hampel juga menambahkan bahwa dalam matematika harus terdapat makna kehidupannya, artinya pembelajaran melibatkan apa yang terjadi dalam kehidupan siswa.

    ReplyDelete
  11. Amalia Nur Rachman
    18709251042
    S2 Pendidikan Matematika B UNY 2018

    Dalam matematika, teorema terdiri dari dua bagian yaitu premis dan kesimpulan. Kesimpulan dari sebuah teorema memperhatikan pula premis-premis yang menyertainya, tidak hanya diperoleh dari aksioma-aksioma sebelumnya. Teori-teori matematika terbuka untuk setiap gagasan baru. Teorema-teorema dalam matematika semakin berkembangnya seiring berjalannya waktu. Hal ini berarti pengembangan matematika tidak terbatas pada ruang dan waktu. Matematika juga tidak terbatas pada sebuah ruang karena merupakan objek yang bersifat abstrak

    ReplyDelete
  12. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018
    Terkait topik bahasan mengenai The System of Mathematics: Peterson’s and Hempel’s Notions
    bahwa
    kesimpulan yang akan mencakup semua matematika, dari aritmatika dasar hingga kalkulus lanjut; Mimpinya adalah menyusun metode-metode penalaran matematis dan menempatkannya dalam satu kerangka kerja, mengingat sistem aksioma yang terdefinisi dengan baik dan aturan inferensi yang tepat, akan mungkin, meskipun tidak benar-benar praktis, untuk menjalankan semua proposisi yang mungkin, dimulai dengan urutan simbol terpendek, dan untuk memeriksa mana yang valid. Pada prinsipnya, prosedur pengambilan keputusan seperti itu secara otomatis akan menghasilkan semua teorema yang mungkin ada dalam matematika, Di sisi lain, diuraikan bahwa matematika formal dibangun di atas logika formal.
    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete
  13. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018
    Selanjutnya, menunjukkan bahwa ada sejumlah pernyataan matematis yang tak terbatas yang dapat dibuat tentang, katakanlah, aritmatika yang tidak dapat direduksi menjadi aksioma aritmatika, sehingga tidak ada cara untuk membuktikan apakah pernyataan itu benar atau salah dengan menggunakan aritmatika, serta dikatakan juga bahwa setiap sistem postulat matematika yang konsisten sendiri mengakui, secara tiba-tiba, banyak interpretasi yang berbeda dari istilah primitif, sedangkan seperangkat definisi dalam arti kata yang ketat menentukan makna definisi dalam mode yang unik.
    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete
  14. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018
    Dituliskan juga bahwa dalam matematika, teorema teori apa pun terdiri, sebagai aturan, dari dua bagian - janji dan kesimpulan; oleh karena itu, kesimpulan teorema diperoleh tidak hanya dari seperangkat aksioma yang tetap, tetapi juga dari janji yang spesifik untuk teorema khusus ini; dan janji ini bukan perpanjangan dari sistem prinsip tetap, dan juga matematika dapat direduksi menjadi teori set adalah klaim bahwa setiap struktur matematika yang diberikan kecuali bahwa teori set itu sendiri dapat dimodelkan dalam set-theoretic structure dan, lebih lanjut, bahwa yang terakhir menangkap hubungan yang relevan antara struktur.

    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete
  15. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018
    Seperti yang dikatakan oleh Dini bahwa "Matematika dijadikan sebagai sarana prasarana berpikir deduktif. Dimana dalam semua pembelajaran matematika, dibutuhkan adanya sebuah pembuktian untuk mengetahui kebenaran tersebut sesuai dengan pendapat hempel bahwa matematika memiliki banyak teorema yang digunakan sebagai peraturan dalam memecahkan masalah matematika", pernyataan tersebut sepertinya mengarah pada sistem pembelajaran mengenai matematika yang dipelajari menggunakan metode pembuktian menggunakan teorema, aksioma, dan defenisi.
    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete
  16. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018
    Seperti yang dikatakan oleh Saudari Amel bahwa "pengembangan matematika tidak terbatas pada ruang dan waktu. Matematika juga tidak terbatas pada sebuah ruang karena merupakan objek yang bersifat abstrak", pernyataan tersebut sepertinya mengarah pada keistimewaan dari matematika.

    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete
  17. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018
    Seperti yang dikatakan oleh Seftika bahwa " Terkadang kita memerlukan premis tambahan untuk memberikan penyimpulan yang lebih spesifik", maksud dari pernyataan tersebut sepertinya mengarah pada memastikan kebenaran dari suatu pembenaran.
    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete
  18. Nur Afni
    18709251027
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.
    setiap konsep matematika dapat didefinisikan melalui tiga primitif Peano, dan setiap proposisi matematika dapat disimpulkan dari lima postulat yang diperkaya dengan definisi istilah non-primitif; pengurangan ini dapat dilakukan, dalam banyak kasus, dengan cara tidak lebih dari prinsip-prinsip logika formal; bukti beberapa teorema tentang bilangan real, bagaimanapun, memerlukan satu asumsi yang biasanya tidak termasuk di antara yang terakhir dan ini adalah apa yang disebut aksioma pilihan di mana ia menegaskan bahwa diberikan kelas kelas yang saling eksklusif, tidak ada yang kosong , ada setidaknya satu kelas yang memiliki tepat satu elemen yang sama dengan masing-masing kelas yang diberikan. terimakasih

    ReplyDelete
  19. Rosi Anista
    18709251040
    S2 Pendidikan Matematika B

    Dari tulisan di atas yang dapat saya simpulkan bahwa pada prinsipnya, prosedur pengambilan keputusan atau penetapan suatu konsep matematika secara otomatis akan menghasilkan semua teorema yang mungkin ada dalam matematika. hampir setiap abstraksi matematis yang pernah diselidiki dapat diturunkan sebagai sekumpulan aksioma teori himpunan dan hampir setiap bukti matematis yang pernah dibuat dapat dibuat dengan asumsi tidak ada yang melampaui aksioma tersebut.

    ReplyDelete
  20. Septia Ayu Pratiwi
    18709251029
    S2 Pendidikan Matematika 2018

    Hempel, C.G., 2001, mencatat bahwa dalam matematika teorema-teorama dari teori itu terdiri dari dua bagian yaitu premis dan kesimpulan. Oleh karena itu, kesimpulan teorema yang diturunkan tidak hanya berasal dari seperangkat aksioma yang tetap, tetapi juga dari premis yang spesifik dan premis ini bukan perpanjangan dari sistem prinsip tetap. Hempel juga menambahkan bahwa dalam matematika harus terkandung makna kehidupan. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa membelajarkan matematika kepada siswa juga melibatkan dengan apa yang terjadi dalam kehidupan siswa sehingga pembelajaran matematika menjadi lebih bermakna.

    ReplyDelete
  21. Janu Arlinwibowo
    18701261012
    PEP 2018

    Hampel, CG mengemukakan bahwa dalam suatu ilmu matematika selalu terdapat unsur-unsur yang berkaitan antara satu dengan yang lain. Termasuk di dalamnya adalah suatu teori matematika yang menurut Hempel merupakan bagian dari berbagai premis. Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa teorema itu tidak terlahir hanya dari satu aksioma saja. Dasar inilah yang selanjutnya mendasari berbagai macam pihak dalam memandang matematika sebagai suatu ilmu yang sistematik. Dalam memberikan pemahaman matematika haruslah dalam rute yang baik dan benar, melalui hirarki yang tepat sehingga ilmu dapat tersampaikan dengan baik.

    ReplyDelete