Oct 13, 2012

Thompson’s Nurturing of Mathematical Intuition




By Marsigit
Yogyakarta State University

Gödel 1 explained our surprise at the emergence of paradoxes such as Peano's construction of space-filling curves, or Weierstrass's discovery of continuous but nowhere-differentiable functions, by accusing us of


carelessly mixing our pre-theoretic intuitions, with our more refined, analytic and topological ones; such a clash, between familiar geometry, say, and the set-theoretic reduction of point-sets, will undoubtedly arise at some stage; the paradoxical appearance can be explained by a lack of agreement between our intuitive geometrical concepts and the set-theoretical ones occurring in the theorem; therefore, he suggested that we must drive a wedge between our pre-formal and formal intuitions, in the hope of separating out errors coming from using the pre-theoretical intuition. However, Thompson, P.,1993, insisted that Gödel suggestion exercises in discrimination seems notoriously difficult to carry out, especially when it is tempting to refine intuitions of one generation; he claimed that far from being a once-and-for-all clarification of our logical optics, they have historically either turned out to be fallacies, or at best become the naivest intuitions of the next. On the other hand, Thompson 2 indicated that when Frege speaks that the truths of Euclidean geometry, as governing all that is spatially intuitable, looks as though, at last, we may have found a domain in which our intuitions are constrained and held within strict and well-defined bounds. He insisted that while the patterns we are trained to recognise are codified as schemas, the schemas we are most keen to apply are occasionally poorly-tuned, not suitable for the context, or totally in default when we project them into new situations; they may be indispensable as a heuristic, but the fact that they are so familiar often seduces us into the jaws of paradox.

Thompson, P.,1993, further claimed that if intuition in mathematics is properly characterized as a living growing element of our intellect, an intellectual versatility with our present concepts about abstract structures and the relations between these structures, we must recognize that its content is variable and subject to cultural forces in much the same way as any other cultural element. Thompson 3 insisted that even the symbols designed for the expression and development of mathematics have variable meanings, often representing different things in the 19th and 20th centuries, by virtue of the underlying evolution of mathematical thought; it must therefore remain an important strategy to aim to develop an increasingly versatile and expressive medium for the representation of familiar ideas. Further, Thompson argued that as working mathematicians, with increasingly abstract material, it seems that the ability to reason formally, which requires the explicit formulation of ideas, together with the ability to show ideas to be logically derivable from other and more generally accepted ideas, are great assets in broadening the scope and range of the schemas which become second nature to us, and are instrumental in extending the familiar territory of our intuition. Thompson 4 then summed up that during all but a vanishingly small proportion of the time spent in investigative mathematics, we seem to be somewhere between having no evidence at all for our conclusions, and actually knowing them; second, that during this time, intuition often comes to the forefront, both as a source of conjecture, and of epistemic support; third, that our intuitive judgments in these situations are often biased, but in a predictable manner. Ultimately, Thompson 5 concluded that although any satisfactory analysis of the role of intuition in mathematics should recognize it as a versatility in measuring up new situations, or even conjecturing them, using a rich repository of recurrent and strategically-important schemas or conceptual structures, painstakingly abstracted from sensory experience by the intellect, constrained by the languages available to us at the time, and influenced by the accumulated resources of our cultural and scientific heritage: what intuition does not do is constitute an insight gained by reason, through some remarkable clairvoyant power that is an insight, which, for Gödel, seemingly paved the way towards a crystal-clear apocalyptic vision of mathematics, or, for Descartes, paved the way into the ultimate structure of the human mind.

References:
1. Thompson, P.,1993, The Nature And Role Of Intuition In Mathematical Epistemology, University College, Oxford University, U.K,
2Ibid.
3Ibid.
4Ibid.
5Ibid.

23 comments:

  1. Diana Prastiwi
    18709251004
    S2 P. Mat A 2018

    Hampir 99% hidup kita digerakkan awal oleh intuisi. Dalam matematika, intuisi sangat memotivasi dan membantu siswa dalam belajar, memecahkan masalah berdiskusi dll. Intuisi itu sangat penting.Karena intuisi matematika itu untuk pertama dalam menduga suatu penyelesaian, dengan intuisi yang kita punya sehingga kita bergerak untuk membuktikan apakah praduga atau perkiraan kita debnar dengan pembuktian atau tidak, sehingga dari kita bergerak dan berfikir ini akan menjadikan siswa lebih bersemngat dan lebih merasa tertantang oleh diri mereka seniri untuk mengebangkan suatu kemampuan mereka sendiri.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
      Besse Rahmi Alimin
      18709251039
      S2 Pendidikan Matematika 2018
      Terkait pernyataan dari Saudari Diana bahwa "Intuisi itu sangat penting.Karena intuisi matematika itu untuk pertama dalam menduga suatu penyelesaian, dengan intuisi yang kita punya sehingga kita bergerak untuk membuktikan apakah praduga atau perkiraan kita debnar dengan pembuktian atau tidak, sehingga dari kita bergerak dan berfikir ini akan menjadikan siswa lebih bersemngat dan lebih merasa tertantang oleh diri mereka seniri untuk mengebangkan suatu kemampuan mereka sendiri", dari pernyataan tersebut sepertinya mengarah pada hukum sebab akibat.
      Terima Kasih
      Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

      Delete
  2. Bayuk Nusantara Kr.J.T
    18701261006

    Intuisi dalam pembelajaran bisa dimaknai sebagai proses siswa dalam emmahami gejala-gejala alam yang memiliki hubungan dengan matematika seperti sistem, pola, dan keteraturan. Ketika pembentukan kognisi matematika seorang anak telah berkembang, mereka telah mampu melihat pola-pola dan teraturan alam beserta sistemnya yang tidak lepas dari logika. Kejadian pada paradox tidak mampu dilihat secara nyata memang namun tidak pula menyalahi hukum dan prinsip logika. Sehingga intuisi yang mungkin berupa imajinasi dalam menggambarkan bagaiaman kejadian pada paradox sehingg mampu dilihat permasalahnnya.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
      Besse Rahmi Alimin
      18709251039
      S2 Pendidikan Matematika 2018

      Terkait pernyataan dari saudara Bayuk bahwa " Sehingga intuisi yang mungkin berupa imajinasi dalam menggambarkan bagaiaman kejadian pada paradox sehingg mampu dilihat permasalahnnya", sepertinya mengarah pada penjabaran intuisi sebagai suatu proses abstraksi yang menghasilkan konsep.
      Terima Kasih
      Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

      Delete
  3. Dini Arrum Putri
    18709251003
    S2 P Math A 2018

    Intuisi dalam matematika dapat diartikan sebagai suatu praduga, firasat, pemikiran awal tanpa perlu kita harus bernalar. Tentu saja dalam belajar matematika siswa perlu memiliki intuisi untuk memecahkan berbagai masalah terkait masalah sehari hari. Dalam menyelesaikan masalah tersebut siswa perlu membuktikan praduga praduga awalnya secara sistematis sehingga dikatakan benar karena memiliki bukti.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
      Besse Rahmi Alimin
      18709251039
      S2 Pendidikan Matematika 2018
      Terkait pernyataan dari saudari Dini bahwa "Tentu saja dalam belajar matematika siswa perlu memiliki intuisi untuk memecahkan berbagai masalah terkait masalah sehari hari. Dalam menyelesaikan masalah tersebut siswa perlu membuktikan praduga praduga awalnya secara sistematis sehingga dikatakan benar karena memiliki bukti", pernyataan tersebut sepertinya bermaksud menguraikan intuisi berdasarkan yang ada dan mungkin ada dalam pikirannya dan kemudian dikorelasikan dengan cara siswa dalam menyelasaikan masalah.
      Terima Kasih
      Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

      Delete
  4. Fany Isti Bigo
    18709251020
    PPs UNY PM A 2018

    Menurut Thompson, intuisi matematika dapat muncul setelah tahap pengalaman. Thompson berpendapat bahwa matematika bekerja, dengan bahan yang semakin abstrak, kemampuan untuk berpikir secara formal yang memerlukan formulasi eksplisit ide, bersama dengan kemampuan untuk menunjukkan ide-ide secara logis diturunkan dari ide-ide lain dan lebih berlaku umum, merupakan aset besar dalam memperluas cakupan dan jangkauan skema yang menjadi sifat kedua dan berperan penting dalam memperluas wilayah akrab intuisi kita. Dalam kegiatan pembelajaran, guru hendaknya mampu untuk meumbuhkan ide-ide siswa dalam mempelajari konsep yang ada. Ide-ide siswa tresebut mampu mendorong rasa ingin tahu dan kemampuan siswa dalam menemukan dan memecajkan permasalahan yang muncul dalam soal-soal matematika. Dengan demikian siswa akan terbiasa untuk menghasilkan ide sendiri dan mempunyai kemandirian dalam belajar.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
      Besse Rahmi Alimin
      18709251039
      S2 Pendidikan Matematika 2018
      Seperti yang diutarakan oleh saudari Fani Bahwa "Dalam kegiatan pembelajaran, guru hendaknya mampu untuk meumbuhkan ide-ide siswa dalam mempelajari konsep yang ada. Ide-ide siswa tresebut mampu mendorong rasa ingin tahu dan kemampuan siswa dalam menemukan dan memecajkan permasalahan yang muncul dalam soal-soal matematika. Dengan demikian siswa akan terbiasa untuk menghasilkan ide sendiri dan mempunyai kemandirian dalam belajar", sepertinya bermaksud untuk mwmahamkan maksud dari gagasan dari thompson, yakni bagaimana siswa belajar membentuk konsep dengan guru menjadi fasilitator.
      Terima Kasih
      Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

      Delete
  5. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018

    Terkait topik bahasan mengenai Thompson’s Nurturing of Mathematical Intuition, dinyatakan bahwa "mencampuradukkan intuisi pra-teoretis kita, dengan intuisi kita yang lebih halus, analitis dan topologis; benturan semacam itu, antara geometri yang sudah dikenal, katakanlah, dan reduksi set-teoritik dari set-set, akan terlalu muncul pada tahap tertentu; penampilan paradoks dapat dijelaskan oleh kurangnya persetujuan antara konsep geometris intuitif kita dan yang set-teoretis yang terjadi dalam teorema, serta pola yang kita latih untuk dikenali dikodifikasikan sebagai skema, skema yang paling ingin kita terapkan kadang-kadang tidak disesuaikan, tidak cocok untuk konteksnya, atau sepenuhnya default ketika kita memproyeksikannya ke dalam situasi baru"
    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete
  6. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018

    Selanjutnya, dibahasakan juga bahwa "jika intuisi dalam matematika ditandai dengan baik sebagai elemen pertumbuhan intelek kita, sebuah fleksibilitas intelektual dengan konsep kita sekarang tentang struktur abstrak dan hubungan antara struktur ini, kita harus mengenali bahwa isinya adalah variabel dan tunduk pada kekuatan budaya dengan cara yang sama seperti elemen budaya lainnya, sehingga meskipun setiap analisis yang memuaskan dari peran intuisi dalam matematika harus mengenalinya sebagai fleksibilitas dalam mengukur situasi baru, atau bahkan memperkirakannya, menggunakan repositori yang kaya skema berulang atau strategis penting atau struktur konseptual, dengan susah payah diabstraksikan dari pengalaman indera oleh intelek, dibatasi oleh bahasa yang tersedia untuk kita pada saat itu, dan dipengaruhi oleh akumulasi sumber daya warisan budaya dan ilmiah kita.
    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete
  7. Fabri Hidayatullah
    18709251028
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Menurut Thompson, intuisi di dalam matematika ditandai dengan tepat sebagai elemen pertumbuhan kehidupan pada intelektual kita. Kepandaian intelektual kita dalam berbagai hal dengan konsep kita yang sekarang tentang struktur-struktur abstrak dan hubungan antara struktur-struktur tersebut. Kita harus mengenali bahwa materi tersebut adalah berubah-ubah dan tergantung pada dorongan kultural dalam cara yang sama seperti elemen budaya yang lainnya. Thompson menyatakan bahwa walaupun beberapa analisis yang memberikan kepuasan pada peranan intuisi dalam matematika harus mengenalinya sebagai kepandaian dalam mengukur situasi baru, atau bahkan menduganya, menggunakan tempat penyimpanan pada pengulangan dan secara strategis skema penting atau struktur konseptual. Yang tidak dilakukan oleh intuisi ialah pemahaman yang diperoleh dari penalaran.

    ReplyDelete
  8. Amalia Nur Rachman
    18709251042
    S2 Pendidikan Matematika B UNY 2018

    Thompson berpendapat bahwa matematika berasal dari hal yang abstrak menuju tingkatan yang lebih abstrak. Kemampuan formal untuk berfikir membutuhkan formulasi langsung dari sebuah ide, hal tersebut bersamaan dengan kemampuan untuk menunjukkan bahwa sebuah ide diturunkan dari ide-ide lain yang bersifat umum. Daerah perluasan intuisi semakin terbuka jika ruang lingkup skema diperluas

    ReplyDelete
  9. Septia Ayu Pratiwi
    18709251029
    S2 Pendidikan Matematika 2018

    Menurut Thompson intuisi matematika itu sangat luas, hal tersebut dapat ditandai dengan perkembangan intelektual kita. Intuisi berasal dari hal yang abstrak menjadi lebih abstrak. Mengandalkan intuisi berarti kita harus dapat melihat hubungan antara struktur-struktur abstrak yang kemudian di hubungkan dengan konsep-konsep matematika. Yang berarti intuisi dapat semakin berkembang jika kita bisa memperluas ruang lingkup sudut pandang kita.

    ReplyDelete
  10. Rosi Anista
    18709251040
    S2 Pendidikan Matematika B

    Thompson menyatakan bahwa jika intuisi dalam matematika ditandai dengan benar sebagai elemen pertumbuhan intelek kita, sebuah fleksibilitas intelektual dengan konsep kita sekarang tentang struktur abstrak dan hubungan antara struktur ini, kita harus mengenali bahwa isinya adalah variabel dan tunduk pada kekuatan budaya dengan cara yang sama seperti elemen budaya lainnya.

    ReplyDelete
  11. Janu Arlinwibowo
    18701261012
    PEP 2018

    Dari artikel di atas dijelaskan bahwa intuisi merupakan hasil dari suatu pengalaman yang membentuk konstruksi kuat dalam pikiran. Dimana ketika seorang manusia menemuai suatu masalah maka intuisi tersebutlah yang menjadi poros utama untuk berperilaku. Intuisi membantu siswa dalam memahami dan memecahkan masalah dengan basis realitas. Semakin banyak pengalaman maka intuisi pun akan semakin baik maka dalam belajar matematika diarahkan pada pengalaman yang bermakna, tujuannya adalah terbentuk pamahaman dan intuisi yang kedepannya dapat membantu siswa untuk menghadapi berbagai masalah di kehidupan nyata.

    ReplyDelete
  12. Surya Shofiyana Sukarman
    18709251017
    Pendidikan Matematika S2 2018

    Intuisi sering muncul sebagai pemandu menemukan solusi. Intuisi sering kali menjadi sumber dugaan yang sejalan dengan penalaran dan dalam masalah tertentu memungkinkan diverifikasi secara empirik. Intuisi dalam matematika ditandai dengan benar sebagai elemen pertumbuhan intelek, sebuah fleksibilitas intelektual dengan konsep tentang struktur abstrak dan hubungan antara struktur ini, yang isinya adalah variabel yang tunduk pada kekuatan budaya dengan cara yang sama seperti elemen budaya lainnya. Intuisi membuka jalan ke dalam struktur utama pikiran manusia.

    ReplyDelete
  13. Rochyati
    19709251074
    S2 P. Mat D 2019

    Thompson menyatakan bahwa intuisi dalam matematika dapat muncul setelah terdapat pengalaman. Dalam hal ini pengalaman adalah proses/kegiatan dan hasil-hasil dari riset matematika. Adanya intuisi dalam diri manusia itu dapat dipengaruhi oleh fenomena yang terjadi terus menerus dan berkelanjutan.Intuisi dapat muncul dari kehidupan sehari-hari di dalam keluarga, masyarakat, sekolah, dsb. Matematika akan menjadi Ilmu jika matematika dibangun di atas intuisi (Kant). Maka dapat disimpulkan bahwa intuisi mempunyai peran yang sangat penting di dalam pembelajaran matematika, karena dengan adanya intuisi maka dapat digunakan untuk menghasilkan ide-ide/gagasan terkait matematika.

    ReplyDelete
  14. Rona Happy Mumpuni
    19709251059
    S2 Pendidikan Matematika D

    Kesimpulan dari artikel "Thompson’s Nurturing of Mathematical Intuition" adalah bahwa setiap analisis hasil dari intuisi matematika harus dikenali sebagai fleksibilitas dalam mengukur situasi baru, atau bahkan diperkirakan, menggunakan repositori kaya skema berulang atau skema strategis penting atau struktur konseptual, dengan diabstraksikan dari pengalaman indera oleh intelektual, dibatasi oleh bahasa yang tersedia bagi kita pada saat itu, dan dipengaruhi oleh akumulasi sumber daya warisan budaya dan ilmiah kita: apa yang tidak dilakukan oleh intuisi adalah wawasan yang diperoleh dengan akal, melalui beberapa kekuatan yang luar biasa itu, membuka jalan menuju visi apokaliptik sejelas matematika, atau membuka jalan ke dalam struktur utama pikiran manusia.

    ReplyDelete
  15. Vera Yuli Erviana
    NIM 19706261005
    S3 Pendidikan Dasar 2019

    Assalamualaikum Wr. Wb.
    Dalam artikel tersebut menjelaskan mengenai intuisi yang lebih halus dan analitik, dimana hal tersebut dapat tersebut dapat memperbaiki intuisi satu generasi. Thompson, P., 1993, menyatakan bahwa intuisi dalam matematika ditandai sebagai elemen pertumbuhan intelek kita. Thompson juga menegaskan bahwa bahkan simbol-simbol yang dirancang untuk ekspresi dan pengembangan matematika memiliki makna yang bervariasi, seringkali mewakili hal-hal yang berbeda pada abad ke-19 dan ke-20, sesuai dengan evolusi yang mendasari pemikiran matematika. Hal tersebut harus tetap menjadi strategi penting yang bertujuan untuk mengembangkan media yang semakin fleksibel dan ekspresif untuk representasi ide-ide yang akrab. Dalam hal ini intuisi dalam matematika diharapkan mampu digunakan oleh seorang pendidik dan peserta didik dalam menyelesaikan masalah matematika.
    Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

    ReplyDelete
  16. Hima Naili Hidayah
    19701251004
    PEP A 2019

    Intuinsi dalam matematika dapat diartikan sebagai suatu prasuga, firasat, pemikiran awal tanpa perlu kita harus bernalar. Untuk itu dalam pembelajaran matematika, diperlukan keterkaitan materi pembelajatan dengan linfkungan sekitar agar pembelajaran lebih bermakna dan tujuan pembelajaran tersampaikan dengan baik.

    ReplyDelete
  17. WIWIN MISTIANI
    PEP S3 2019
    Dari Peryataan diatas Thompson menyatakan bahwa jika intuisi dalam matematika ditandai dengan baik sebagai elemen pertumbuhan intelek kita, sebuah fleksibilitas intelektual dengan konsep kita sekarang tentang struktur abstrak dan hubungan antara struktur ini, kita harus mengenali bahwa isinya adalah variabel dan tunduk pada kekuatan budaya dengan cara yang sama seperti elemen budaya lainnya.

    ReplyDelete
  18. Jewish Van Septriwanto
    19709251077
    S2 Pendidikan Matematika D 2019

    Terima kasih untuk tulisan ini prof, Sebuah intuisi itu dapat dipengaruhi oleh fenomena berfrekuensi tetap dan kontinu. Menurut Thompson, intuisi matematika akan muncul setelah adanya pengalaman. Pengalaman dalam hal ini adalah proses dan hasil-hasil riset matematika. Namun dalam dunia sekolah, pengalaman dibangun di atas akumulasi keterampilan matematika yang didukung oleh pengetahuan atau pemahaman matematika siswa. Tetapi semuanya itu tidak mungkin tercapai jika tidak didukung oleh sikap dan metode matematika dan sikap pendukung serta motivasi internal (rasa senang dan matematika yang menyenangkan). Jika guru kurang mampu mengolah proses yang mendahului (prasarat) bagi diperolehnya mathematical experiences maka akan menyebabkan para siswa menjadi miskin mathematical intuition. Padahal mathematical intuition ini sangat penting untuk mengembangkan kreativitas siswa.

    ReplyDelete