Oct 13, 2012

Thompson’s Nurturing of Mathematical Intuition




By Marsigit
Yogyakarta State University

Gödel 1 explained our surprise at the emergence of paradoxes such as Peano's construction of space-filling curves, or Weierstrass's discovery of continuous but nowhere-differentiable functions, by accusing us of


carelessly mixing our pre-theoretic intuitions, with our more refined, analytic and topological ones; such a clash, between familiar geometry, say, and the set-theoretic reduction of point-sets, will undoubtedly arise at some stage; the paradoxical appearance can be explained by a lack of agreement between our intuitive geometrical concepts and the set-theoretical ones occurring in the theorem; therefore, he suggested that we must drive a wedge between our pre-formal and formal intuitions, in the hope of separating out errors coming from using the pre-theoretical intuition. However, Thompson, P.,1993, insisted that Gödel suggestion exercises in discrimination seems notoriously difficult to carry out, especially when it is tempting to refine intuitions of one generation; he claimed that far from being a once-and-for-all clarification of our logical optics, they have historically either turned out to be fallacies, or at best become the naivest intuitions of the next. On the other hand, Thompson 2 indicated that when Frege speaks that the truths of Euclidean geometry, as governing all that is spatially intuitable, looks as though, at last, we may have found a domain in which our intuitions are constrained and held within strict and well-defined bounds. He insisted that while the patterns we are trained to recognise are codified as schemas, the schemas we are most keen to apply are occasionally poorly-tuned, not suitable for the context, or totally in default when we project them into new situations; they may be indispensable as a heuristic, but the fact that they are so familiar often seduces us into the jaws of paradox.

Thompson, P.,1993, further claimed that if intuition in mathematics is properly characterized as a living growing element of our intellect, an intellectual versatility with our present concepts about abstract structures and the relations between these structures, we must recognize that its content is variable and subject to cultural forces in much the same way as any other cultural element. Thompson 3 insisted that even the symbols designed for the expression and development of mathematics have variable meanings, often representing different things in the 19th and 20th centuries, by virtue of the underlying evolution of mathematical thought; it must therefore remain an important strategy to aim to develop an increasingly versatile and expressive medium for the representation of familiar ideas. Further, Thompson argued that as working mathematicians, with increasingly abstract material, it seems that the ability to reason formally, which requires the explicit formulation of ideas, together with the ability to show ideas to be logically derivable from other and more generally accepted ideas, are great assets in broadening the scope and range of the schemas which become second nature to us, and are instrumental in extending the familiar territory of our intuition. Thompson 4 then summed up that during all but a vanishingly small proportion of the time spent in investigative mathematics, we seem to be somewhere between having no evidence at all for our conclusions, and actually knowing them; second, that during this time, intuition often comes to the forefront, both as a source of conjecture, and of epistemic support; third, that our intuitive judgments in these situations are often biased, but in a predictable manner. Ultimately, Thompson 5 concluded that although any satisfactory analysis of the role of intuition in mathematics should recognize it as a versatility in measuring up new situations, or even conjecturing them, using a rich repository of recurrent and strategically-important schemas or conceptual structures, painstakingly abstracted from sensory experience by the intellect, constrained by the languages available to us at the time, and influenced by the accumulated resources of our cultural and scientific heritage: what intuition does not do is constitute an insight gained by reason, through some remarkable clairvoyant power that is an insight, which, for Gödel, seemingly paved the way towards a crystal-clear apocalyptic vision of mathematics, or, for Descartes, paved the way into the ultimate structure of the human mind.

References:
1. Thompson, P.,1993, The Nature And Role Of Intuition In Mathematical Epistemology, University College, Oxford University, U.K,
2Ibid.
3Ibid.
4Ibid.
5Ibid.

25 comments:

  1. Saepul Watan
    16709251057
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Menurut Thompson intuisi matematika dapat muncul setelah tahap pengalaman. Thompson berpendapat bahwa matematika bekerja, dengan bahan yang semakin abstrak, kemampuan untuk berpikir secara formal yang memerlukan formulasi eksplisit ide, bersama dengan kemampuan untuk menunjukkan ide-ide secara logis diturunkan dari ide-ide lain dan lebih berlaku umum, merupakan aset besar dalam memperluas cakupan dan jangkauan skema yang menjadi sifat kedua dan berperan penting dalam memperluas wilayah akrab intuisi kita. Dalam kegiatan pembelajaran, guru hendaknya mampu untuk meumbuhkan ide-ide siswa dalam mempelajari konsep yang ada. Ide-ide siswa tresebut mampu mendorong rasa ingin tahu dan kemampuan siswa dalam menemukan dan memecajkan permasalahan yang muncul dalam soal-soal matematika. Dengan demikian siswa akan terbiasa untuk menghasilkan ide sendiri dan mempunyai kemandirian dalam belajar.

    ReplyDelete
  2. Wahyu Lestari
    16709251074
    PPs Pendidikan Matematika 2016 Kelas D

    dari artikel di atas, intuisi dalam matematika benar-benar dicirikan sebagai elemen pertumbuhan yang hidup dari intelektualitas kita, fleksibilitas intelektual dengan konsep kita saat ini tentang struktur abstrak dan hubungan antara struktur ini, kita harus menyadari bahwa isinya adalah Variabel dan tunduk pada kekuatan budaya dengan cara yang sama seperti unsur budaya lainnya. Thompson 3 menegaskan bahwa bahkan simbol yang dirancang untuk ekspresi dan perkembangan matematika memiliki makna yang bervariasi, seringkali mewakili hal yang berbeda pada abad ke-19 dan ke-20, berdasarkan evolusi pemikiran matematika yang mendasarinya; Oleh karena itu, ia harus tetap menjadi strategi penting untuk mengembangkan medium yang semakin serba guna dan ekspresif untuk representasi gagasan yang sudah dikenal.

    ReplyDelete
  3. Cendekia Ad Dien
    16709251044
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Intuisi matematika yang dikemukakan Thompson memiliki peranan sangat penting khususnya dalam membudayakan bermatematika. Perannya tersebut menjadikan intuisi matematika sangat diperlukan dalam mengembangkan kompetensi matematika siswa terlebih pada pembelajaran konsep matematika yang akan atau telah menuju formal atau abstrak.

    ReplyDelete
  4. Zuliyanti
    14301241009
    S1 Pendidikan Matematika I

    Thompson P. menyatakan bahwa jika intuisi dalam matematika memiliki karakteristik sebagai elemen yang tumbuh dalam akal kita, sebuah fleksibilitas intelektual dengan menyajikan konsep tentang struktur abstrak dan hubungan antar struktur. Menghubungkan antar struktur dengan menunjukkan ide-ide secara logis yang diterima lalu menurunkan sebuah ide baru merupakan hal yang harus dilakukan oleh peneliti matematika secara bersama-sama guna memperluas wilayah intuisi kita.

    ReplyDelete
  5. Lihar Raudina Izzati
    16709251046
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Intuisi memegang peranan dalam pengembangan pola berfikir yang logis. Menurut Thompson, intuisi matematika akan muncul setelah melalui tahapan mengolah pengalaman matematika. Menurutnya, dalam pembuktian matematika diperlukan peran intuisi di mana harus berpikir dua kali untuk menemukan ide jalan keluar pembuktian dengan mempertimbangkan semua kemungkinan yang mungkin dan layak.

    ReplyDelete
  6. Primaningtyas Nur Arifah
    16709251042
    Pend. Matematika S2 kelas C 2016
    Assalamu’alaikum. Thompson menytakan bahwa analisis yang menggabungkan kepastian, kognitif psikologis dari intuisi yang fundamental terhadap dugaan dan penemuan dalam matematika, dengan kepastian epistemis dari peran intuitif proposisi matematika harus bermain dalam pembenaran mereka . Dia menambahkan bahwa sejauh mana dugaan intuitif kita terbatas baik oleh sifat rasa pengalaman kita, dan dengan kemampuan kita untuk melakukan konseptualisasi.

    ReplyDelete
  7. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Thompson mengungkapkan bahwa kemunculan-kemunculan paradoks dikarenakan kurangnya kesepakatan dari intuitif kita dengan teori-teori teoritis yang ada pada teorema-teorema. Menurutnya kita harus dapat mencari irisan antara intuisi-intuisi formal dan pra formal, dengan harapan dapat memisahkan kesalahan yang datang dengan menggunakan intuisi pra teoritis. Thompson juga mengungkapkan bahwa gagasan Godel tentang diskriminasi akan sangat sulit dilakukan untuk memperbaiki pandangan satu generasi, yaitu sangat jauh untuk membuat klarifikasi bagi satu untuk semua. Hal tersebut akan menjadi salah secara historis, atau menjadi intuisi yang naif untuk selanjutnya. Thompson juga mengungkapkan, ketika Fredge membicarakan mengenai kebenaran dari geometri Euclidean karena digambarkan secara intuisi spasial. Hal tersebut justru membuat kita membatasi dan menahan intuisi. Padahal skema-skema yang ada dalam geometri Euclidean tidak selalu menggambarkan keadaanya sesuai dengan konteks yang ada.

    ReplyDelete
  8. Helva Elentriana
    16709251068
    PPS Pend Matematika Kelas D 2016

    Thompson juga memberikan teorinya tentang Intuisi Matematika. Thompson berpendapat bahwa intuisi merupakan hal yang secara fleksibel ada pada diri manusia. Dimana ada pengatahuan yang memang sudah melekat pada otak manusia. Sehingga dengan intuisi atau pikiran ia mendapatkannya kembali. Itulah tentang intuisi.

    ReplyDelete
  9. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Matematika mempunyai objek kajian yang bersifat abstrak, walaupun tidak setiap objek abstrak adalah matematika.
    Sementara beberapa matematikawan menganggap objek matematika itu "konkret" dalam pikiran mereka, maka kita dapat menyebut objek matematika secara lebih tepat sebagai objek mental atau pikiran.

    ReplyDelete
  10. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS
    16709251061

    Berdasarkan tulisan yang disampaikan oleh Prof. Marsigit, MA. Thompson menyimpulkan bahwa meskipun setiap analisis yang memuaskan dari peran intuisi dalam matematika harus diakui sebagai fleksibilitas dalam mengukur, atau bahkan conjecturing mereka, menggunakan repositori skema berulang, penting dan strategis atau struktur konseptual, disarikan dari pengalaman indrawi oleh intelek, dibatasi oleh bahasa yang tersedia untuk kita pada saat itu , dan dipengaruhi oleh akumulasi sumber dari warisan budaya dan ilmiah kita : apa yang intuisi tidak lakukan adalah merupakan suatu wawasan yang diperoleh dengan alasan, melalui beberapa kekuatan wawasan yang luar biasa yang , yang untuk Gödel, tampaknya membuka jalan menuju visi jernih apokaliptik matematika atau untuk Descartes , membuka jalan ke dalam struktur utama dari pikiran manusia.

    ReplyDelete
  11. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2

    Berdasarkan pada elegi di atas, Thompson, P., 1993, menyatakan bahwa jika intuisi dalam matematika dengan benar ditandai sebagai pertumbuhan elemen akal kita, sebuah fleksibilitas intelektual dengan konsep tentang struktur abstrak dan hubungan antara struktur ini, kita harus mengakui bahwa isinya adalah variabel pada kekuatan budaya dalam banyak cara yang sama seperti unsur budaya lainnya. Thompson bersikeras bahwa bahkan simbol dirancang untuk berekspresi dan pengembangan matematika memiliki arti variabel. Selanjutnya, Thompson berpendapat bahwa matematika bekerja, dengan bahan yang semakin abstrak, tampaknya bahwa kemampuan untuk berpikir secara resmi, yang membutuhkan formulasi ide eksplisit, bersama-sama dengan kemampuan untuk menunjukkan ide-ide secara logis yang diturunkan dari ide-ide lain dan lebih berlaku umum. Thompson juga menyatakan bahwa telah mengakui peran keragu-raguan dalam penggunaan bahasa yang bila diterapkan pada prinsip matematika menjadi aneh tapi nyata; berlawanan dengan apa-apa yang terdapat pada kontinum dari intuitif palsu dan mencegah intuitif yang benar benar, tergantung pada kekuatan dugaan kita akan lebih cenderung untuk membuat menentangnya, jika kita tidak melihatnya, dan telah dimenangkan oleh, buktinya, dan memang, untuk mengejutkan kita, kita sering menemukan, pada saat kita menjumpai paradoks, bagaimana intuisi kita lemah dan tak berdaya.

    ReplyDelete
  12. Lana Sugiarti
    16709251062
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Thompson mengklaim bahwa jika intuisi dalam matematika benar - benar dicirikan sebagai elemen pertumbuhan yang hidup dari intelektualitas kita, fleksibilitas intelektual dengan konsep kita saat ini tentang struktur abstrak dan hubungan antara struktur ini, kita harus menyadari bahwa isinya adalah variabel dan tunduk pada kekuatan budaya dengan cara yang sama seperti unsur budaya lainnya. Thompson juga menyimpulkan bahwa walaupun ada analisis memuaskan tentang peran intuisi dalam matematika harus mengenalinya sebagai fleksibilitas dalam mengukur situasi baru, atau bahkan menduganya, dengan menggunakan gudang arsip rutin atau strategi yang penting dan struktur konseptual, yang dengan susah payah dicarikan dari pengalaman sensorik oleh intelek, dibatasi oleh bahasa yang tersedia bagi kita pada saat itu, dan dipengaruhi oleh sumber daya akumulasi warisan budaya dan ilmiah kita.

    ReplyDelete
  13. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    berdasarkan artikel diatas, Thompson menyimpulkan bahwa walaupun ada analisis memuaskan tentang peran intuisi dalam matematika tetap harus mengenalinya sebagai fleksibilitas dalam mengukur situasi baru, atau bahkan menduganya, dengan menggunakan strategi yang penting dalam struktur konseptual, yang dengan susah payah dicarikan dari Pengalaman sensorik oleh intelek, dibatasi oleh bahasa yang tersedia pada saat itu, dan dipengaruhi oleh sumber daya akumulasi warisan budaya dan ilmiah kita: intuisi apa yang dilakukan adalah merupakan wawasan yang diperoleh dengan akal, melalui kekuatan yang luar biasa yang . Sebuah wawasan, yang bagi Gödel, tampaknya membuka jalan menuju visi apokaliptik yang jelas dari kristal, atau, untuk Descartes, membuka jalan ke dalam struktur utama pikiran manusia.

    ReplyDelete
  14. Annisa Hasanah
    16709251051
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Sebuah intuisi itu dapat dipengaruhi oleh fenomena berfrekuensi tetap dan kontinu. Menurut Thompson, intuisi matematika akan muncul setelah adanya pengalaman. Pengalaman dalam hal ini adalah proses dan hasil-hasil riset matematika. Namun dalam dunia sekolah, pengalaman dibangun di atas akumulasi keterampilan matematika yang didukung oleh pengetahuan atau pemahaman matematika siswa. Tetapi semuanya itu tidak mungkin tercapai jika tidak didukung oleh sikap dan metode matematika dan sikap pendukung serta motivasi internal (rasa senang dan matematika yang menyenangkan). Jika guru kurang mampu mengolah proses yang mendahului (prasarat) bagi diperolehnya mathematical experiences maka akan menyebabkan para siswa menjadi miskin mathematical intuition. Padahal mathematical intuition ini sangat penting untuk mengembangkan kreativitas siswa.

    ReplyDelete
  15. Ahmad Wafa Nizami
    16709251065
    S2 Pendidikan Matematika D

    Intuisi sebagai dasar matematika , menurut Immanuel Kant pemahaman maupun konstruksi matematika diperoleh dengan cara terlebih dulu menemukan intuisi murni pada akal atau pikiran kita. Matematika yang bersifat sintetik a priori dapat dikonstruksi melalui tahapan intuisi yaitu Intuisi penginderaan terkait dengan obyek matematika yang dapat diserap sebagai unsur a posteriori. Intuisi akal mensintetiskan hasil intuisi penginderan ke dalam intuisi ruang dan waktu yang kemudian rasio kita dihadapkan pada putusan-putusan argumentasi matematika. Menurut Kant matematika merupakan suatu penalaran yang berifat mengkonstruksi konsep-konsep secara synthetic a priori dalam konsep ruang dan waktu.

    ReplyDelete
  16. PUTRI RAHAYU S
    S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA_D 2016
    16709251070

    Postingan ini menjelaskan tentang pendapat Thompson tentang intuisi dalam matematika. Thompson menyatakan bahwa intuisi matematika secara tepat ditandai sebagai elemen hidup yang tumbuh dari intelektual kita, sebuah fleksibilitas intelektual dengan konsep-konsep kita saat ini tentang struktur abstrak dan hubungan antar struktur. Intiusi sebenarnya berperan penting dalam pembelajaran Matematika. Intuisi membantu siswa dalam memahami matematika. Selain itu, Intuisi membantu siswa dengan memberi dugaan-dugaan perkiraan dari permasalahan-permasalahan matematika. Dugaan-dugaan tersebut memotivasi siswa untuk tidak menyerah dan mendorong siswa untuk tetap melakukan proses pemecahan permasalahan matematika.

    ReplyDelete
  17. Ardeniyansah
    16709251053
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Thompson menyatakan bahwa gagasan tentang intuisi kita yang harus baik tegas dan benar, berasal teori yang menyatakan bahwa kemampuan indera merupakan kemampuan primitif yang diwariskan dari gaya filsafat Rene Descartes yang mencari kebenaran absolut tentang segala sesuai yang tidak tergoyahkan yang telah menolak semua pembenaran lainnya kecuali kebenaran diriyang menemukan bahwa dirinya yang ada adalah dirinya yang sedang memikirkannya. analisis yang menggabungkan kepastian, kognitif psikologis dari "intuisi" yang fundamental terhadap dugaan dan penemuan dalam matematika dengan kepastian epistemis dari peran intuitif proposisi matematika harus bermain dalam pembenaran mereka, sejauh mana dugaan intuitif kita terbatas baik oleh sifat rasa pengalaman dengan kemampuan kita untuk melakukan konseptualisasi.

    ReplyDelete
  18. Dessy Rasihen
    16709251063
    S2 P.MAT D

    Thompson menyatakan bahwa jika intuisi dalam matematika dengan benar ditandai sebagai tumbuh elemen hidup dalam akal kita, sebuah fleksibilitas intelektual dengan konsep ini kita tentang struktur abstrak dan hubungan antara struktur ini, harus diakui bahwa isinya adalah variabel dan tunduk pada kekuatan budaya dalam banyak cara yang sama seperti unsur budaya lainnya yang masih tetP merupakan strategi penting untuk bertujuan untuk mengembangkan media yang semakin fleksibel dan ekspresif untuk representasi ide-ide.

    ReplyDelete
  19. Windi Agustiar Basuki
    16709251055
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Menurut Thompson, intuisi matematika dapat muncul setelah tahap pengalaman/ experience. Oleh karena itu, agar siswa tidak kehilangan intuisinya, maka penting bagi guru dalam kegiatan pembelajaran untuk menerapkan suatu metode yang kreatif dan inovatif. Sehingga siswa akan lebih mandiri dan menemukan konsep dari apa yang mereka pelajari.

    ReplyDelete
  20. ORIZA DEVI FEBRINA
    14301241019
    S1 Pendidikan Matematika I 2014


    ada berbagai pendapat mengenai arti intuisi, salah satunya adalah Thompson, beliau berpendapat bahwa intuisi adalah apa yang melekat pada pikiran kita, sehingga ketika diberi pancingan persoalan maka intuisi akan bekerja dengan sendirinya. intuisi juga harus dilatih agar tetap tajam, dalam proses pembelajaran guru tidak boleh memberikan pengetahuan secara instan, beri kesempatan untuk siswa menggunakan intuisi nya agar tetap terlatih dan mandiri.

    ReplyDelete
  21. Desy Dwi Frimadani
    16709251050
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Intuisi matematika menurut thompson adalah hasil dari pengalaman. intuisi sendiri pemahaan yang tidak dapat didefinisikan, baik kapan dan dimana terhadinya. dalam pembelajaran agar siswa tidak kehilangan intuisina maka dalam kegiatan pembelajaran seorang guru dapat menerapkan suatu metode yang kreatif dan inovatif. Dengan demikian siswa akan lebih mandiri dan siswa terbiasa untuk menghasilkan gagasannya sendiri.

    ReplyDelete
  22. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Thompson berpendapat bahwa ketika Frege berbicara bahwa kebenaran geometri Euclidean karena dapat mengatur semua hal yang secara spasial intuitif. Intuisi dalam matematika dicirikan sebagai elemen pertumbuhan dari intelektualitas kita, fleksibilitas intelektual dengan konsep kita saat ini tentang struktur yang masih abstrak dan hubungan antara struktur ini yang isinya merupakan variabel dan kekuatan budaya. Simbol yang dirancang untuk ekspresi dan perkembangan matematika memiliki makna yang bervariasi. Kemampuan untuk berpikir secara formal memerlukan rumusan gagasan yang eksplisit dan logis. Dengan demikian intuisi sangat berpengaruh pada pengambilan keputusan karena berhubungan dengan rumusan gagasan seseorang.

    ReplyDelete
  23. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Ada empat objek kajian matematika, yaitu fakta, operasi (atau relasi), konsep, dan prinsip.
    Thomson menjelaskan bahwa "In general, teachers must be aware of the dculties that symbolism creates for students. Symbolism is a form of mathematical language that is compact, abstract, specific, and formal. Therefore, opportunities to use that language should be reguler, rich, meaningful, and rewarding".
    Dengan demikian, kesempatan menggunakan bahasa tersebut seharusnya secara bertahap, kaya, penuh arti, dan bermanfaat.

    ReplyDelete
  24. Heni Lilia Dewi
    16709251054
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Intuisi memang memiliki peran yang sangat penting bagi pengetahuan matematika. Hal ini dipaparkan dan dikuatkan oleh pendapat para ahli, salah satunya yaitu Thompson. Dia mengatakan bahwa peran intuisi dalam matematika yang harus dipahami sebagai fleksibilitas dalam mengukur situasi baru, atau bahkan menebaknya, dengan menggunakan kumpulan skema berulang atau strategis yang penting secara strategis atau struktur konseptual, dengan susah payah diabstraksikan dari pengalaman sensorik oleh intelek, yang dibatasi oleh bahasa yang tersedia bagi kita pada saat itu, dan dipengaruhi oleh sumber daya akumulasi warisan budaya dan ilmiah kita.

    ReplyDelete
  25. Harumas Anom
    14301244013
    S1 Pendidikan Matematika I 2014
    Dari berbagai pendapat mengenai intuisi, salah satunya pendapat dari Thompson, berpendapat bahwa intuisi adalah apa yang melekat pada pikiran kita, sehingga ketika diberi stimulan suatu persoalan maka intuisi akan bekerja dengan secara otomatis. Intuisi juga harus dilatih agar tetap cekatan dalam respon, terutama dalam proses pembelajaran guru tidak boleh memberikan pengetahuan secara instan, namun harus memberi kesempatan kepada siswa untuk menggunakan intuisinya agar tetap terlatih dan mandiri.

    ReplyDelete