Oct 10, 2012

"Elegi Menggapai "Constructivism as the Epistemological Foundation of Mathematics"




By Marsigit
Yogyakarta State University

Wilder R.L.(1952) illustrates that as a complete rejection of Platonism, constructivism is not a product of the situation created by the paradoxes but rather a spirit which is practically present in the whole history of mathematics. The philo-sophical ideas taken go back at least to Aris¬totle's analysis of the notion of infinity. Kant's philosophy of mathematics can be interpreted in a constructivist manner. While constructivist 1 ideas


were presented in the nineteenth century-notably by Leopold Kronecker, who was an important forerunner of intuition¬ism-in opposition to the tendency in mathematics toward set-theoretic ideas, long before the paradoxes of set theory were discovered. Constructivist mathematics 2 proceed as if the last arbiter of mathematical existence and mathe¬matical truth were the possibilities of construction.
Mathematical constructions 3 are men¬tal and derive from our percep¬tion of external objects both mental and physical. However, the passage 4 from actuality to possibility and the view of possibility as of much wider scope perhaps have their basis in intentions of the mind-first, in the abstraction from concrete qualities and existence and in the abstraction from the limitations on generating sequences. In any case, in constructive mathematics, the rules by which infinite sequences are generated not merely a tool in our knowledge but part of the reality that mathe¬matics is about. Constructivism 5 is implied by the postulate that no mathematical proposition is true unless we can, in a non-miraculous way, know it true. For mathematical constructions, a proposition of all natural numbers can be true only if it is determined true by the law according to which the sequence of natural numbers is generated.
Mathematical constructions 6 is something of which the construction of the natural numbers. It is called an idealization. However, the construction will lose its sense if we abstract further from the fact that this is a process in time which is never com¬pleted. The infinite, in constructivism, must be potential rather than actual. Each individual natural number can be constructed, but there is no construction that contains within itself the whole series of natural numbers. A proof in mathematics 7 is said to be constructive if wherever it involves the men¬tion of the existence of something and provides a method of finding or constructing that object. Wilder R.L. maintains that the constructivist standpoint implies that a mathematical object exists only if it can be constructed. To say that there exists a natural number x such that Fx is that sooner or later in the generation of the sequence an x will turn up such that Fx.
Constructive mathematics is based on the idea that the logical connectives and the existential quantifier are interpreted as instructions on how to construct a proof of the statement involving these logical expressions. Specifically, the interpretation proceeds as follows:
1. To prove p or q (`p q'), we must have either a proof of p or a proof of q.
2. To prove p and q (`p & q'), we must have both a proof of p and a proof of q.
3. A proof of p implies q (`p q') is an algorithm that converts a proof of p into a proof of q.
4. To prove it is not the case that p (` p'), we must show that p implies a contradiction.
5. To prove there exists something with property P (` xP(x)'), we must construct an object x and prove that P(x) holds. 8
6. A proof of everything has property P (` xP(x)') is an algorithm that, applied to any object x, proves that P(x) holds.
Careful analysis of the logical principles actually used in constructive proofs led Heyting to set up the axioms for intuitionistic logic. Here, the proposition n P(n) n P(n) need not hold even when P(n) is a decidable property of natural numbers n. So, in turn, the Law of Excluded Middle (LEM): p p 9

References:
1 Wilder, R. L. , 1952, “Introduction to the Foundation of Mathematics”, New York, p.204
2Ibid.p.204
3 Brouwer in Wilder, R. L. , 1952, “Introduction to the Foundation of Mathematics”, New York, p.204
4 Wilder, R. L. , 1952, “Introduction to the Foundation of Mathematics”, New York, p.204
5 Brouwer in Wilder, R. L. , 1952, “Introduction to the Foundation of Mathematics”, New York, p.204
6 Ibid.p.204
7 Wilder, R. L. , 1952, “Introduction to the Foundation of Mathematics”, New York, p.204 Bridges, D., 1997, “Constructive Mathematics”, Stanford Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 2004
8Ibid.
9.Ibid

8 comments:

  1. Kartika Pramudita
    17701251021
    PEP S2 B

    Dalam matematika konstruktivis bahwa matematika dapat dibangun. Hal yang ditekankan adalah bagaimana matematika dapat dibangun dan metode apa yang dapat digunakan untuk membangun. Dalam elegi tersebut juga disampaikan untuk membuktikan kebenran dari p atau q maka harus membuktikan kebenaran dari p atau dari q; untuk membuktikan p dan q maka harus membuktikan kebenaran p dan kebenaran q masing-masing. Hal tersebut menunjukkan bahwa pembuktian kebenaran dari p atau q dan p dan q dapat dikonstruksi dari bukti kebenaran masing-masing p, q.

    ReplyDelete
  2. Tri Wulaningrum
    17701251032
    PEP S2 B

    Kontrukstivis dalam matematika. Jika dilihat dari pengertian sederhana kontruktivisme (membangun), maka menurut sudut pandang ini dalam mewujudkan kebenaran ilmu matematika lebih ditekankan pada "potensi" untuk membangun. Kontrutivisme dalam matematika menurut pemahaman saya ialah bahwa tidak ada proposisi matematika yang benar kecuali jika kita dapat dengan cara yang logis dan bisa dipertanggungjawabkan secara ilmiah (bukan magic), artinya, kita mengetahuinya dengan benar. Pada artikel di atas dijelaskan juga bahwa untuk konstruksi matematis, proposisi dari semua bilangan natural dapat benar hanya jika ditentukan oleh hukum yang sesuai dengan urutan bilangan natural yang dihasilkan. Jadi langkah-langkah dalam menggapai kebenaran matematis ini harus bisa dipertanggungjawabkan secara ilmiah.

    ReplyDelete
  3. Muh Wildanul Firdaus
    17709251047
    Pendidikan matematika S2 kls C

    Konstruktivisme merupakan pembelajaran yang bersifat generatif yang dibangun dari pengalaman-pengalaman yang pernah dialami, pembelajaran ini mengharapkan siswa memiliki modal awal dalam pembelajaran matematika maksudnya materi prasyarat setidaknya pernah diberikan. Yang paling penting dari pembelajaran seperti ini adalah menguatkan kemampuan yang ada diri setiap siswa.

    ReplyDelete
  4. Nama: Dian Andarwati
    NIM: 17709251063
    Kelas: Pendidikan Matematika (S2) Kelas C

    Assalamu’alaikum. Konstruktivisme bukanlah produk dari situasi yang diciptakan oleh paradoks melainkan semangat yang praktis ada dalam keseluruhan sejarah matematika. Konstruksi matematika bersifat mental dan berasal dari persepsi kita terhadap benda eksternal baik mental maupun fisik. Matematika konstruktif didasarkan pada gagasan bahwa penyambung logis dan pengukur eksistensial ditafsirkan sebagai petunjuk bagaimana membangun bukti pernyataan yang melibatkan ungkapan logis ini.

    ReplyDelete
  5. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  6. Firman Indra Pamungkas
    17709251048
    S2 Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    Assalamualaikum Warohmatullah Wabarokatuh
    Landasan konstruktivis memandang matematika bukan sekedar sekumpulan simbol atau rumus yang siap diterima oleh siswa. Dalam konsep filsafat konstruktivisme, pengetahuan tidak dapat ditransfer begitu saja oleh seorang guru kepada murid. Pengetahuan yang didapat murid bukanlah suatu perumusan yang diciptakan oleh orang lain melainkan dibangun (konstruksi) oleh murid itu sendiri. Dalam pembelajaran matematika, dengan konstruktivisme sosial (socio-constructivism), siswa berinteraksi dengan guru, dengan siswa lainnya dan berdasarkan pada pengalaman informal siswa mengembangkan strategi-strategi untuk merespon masalah yang diberikan. Oleh karena itu, untuk mempelajari suatu materi matematika yang baru, pengalaman belajar yang lalu dari seseorang akan mempengaruhi terjadinya proses belajar matematika tersebu

    ReplyDelete
  7. Dewi Thufaila
    17709251054
    Pendidikan Matematika Pascasarjana C 2017

    Assalamualaikum.wr.wb

    Wilder RL (1952) menggambarkan bahwa sebagai penolakan lengkap Platonisme, konstruktivisme bukan produk dari situasi yang diciptakan oleh paradoks melainkan roh yang praktis hadir dalam seluruh sejarah matematika. Matematika konstruktivis berdasar pada ide bahwa penghubung logis diinterpretasiksn sebagai instruksi tentang bagaimana mengkonstruksi bukti dari sebuah pernyataan termasuk pernyataan logika.

    Wassalamualaikum.wr.wb

    ReplyDelete
  8. Isoka Amanah Kurnia
    17709251051
    PPs Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    Constructivists understand that students should be able to construct their knowledge to conform to the demands of the development of science and technology in the form of mind-building activities. Learning mathematics according to philosophical view states that learning mathematics involves meaning and constructivist states that the mathematical truth and existence of mathematical objects must be formed by constructivist methods.

    ReplyDelete