Oct 13, 2012

The Un-stability Foundation of Mathematics: Litlangs’,Bold’s, Thomson’s and Posy’s Arguments

By Marsigit
Yogyakarta State University

Litlangs, 2004, confronted that Aristotle disagreed with Plato; according to Aristotle, forms were not entities remote from appearance but something which entered into objects of the world. Aristotle claimed that when we can abstract oneness or circularity, it does not mean that these abstractions represent something remote and eternal.

For Aristotle1 , mathematics was simply reasoning about idealizations; and he looked closely at the structure of mathematics, distinguishing logic, principles used to demonstrate theorems, definitions and hypotheses. Plato2 also reflected on infinity, perceiving the difference between a potential infinity e.g. adding one to a number ad infinitum and a complete infinity e.g. number of points into which a line is divisible. Bold, T., 2004, claimed that both the intuitionist and the formalist assured that mathematics are just inventions and do not inform us with anything about the world; both take this approach to explain the absolute certainty of mathematics and reject the use of infinity. Bold3 noted that intuitionists admit this major similarity the formalist and note the difference as a disagreement on where mathematical exactness exist; the intuitionist says in the human intellect and the formalist says on paper. According to Arend Heyting 4, mathematics is a production of the human mind; he claimed that intuitionism claims mathematical propositions inherit their certainty from human knowledge that is based on empirical experience. Bold 5 maintained that since, infinity can not be experienced, the intuitionist refuses to push application of mathematics beyond finite; Heyting declared that faith in transcendental existence, unsupported by concepts, must be rejected as a means of mathematical proof. Similarly, Bold 6 found that Hilbert wrote that for logical inferences to be reliable it must be possible to survey these objects completely in their parts; since there is no such survey for infinity a reliable inference can only be based on a finite system. According to the formalists, the whole of mathematics consists of only arbitrary rules like those of chess.

Further, Bold, T., 2004, indicated that, on the other hand, the logicists came close to proving that mathematics was a branch of logic. According to Bold 7, the logisticians want to define mathematical concepts in terms of logical concepts and deduct mathematical propositions from logical axioms; as the basic elements of logic are sets and their properties, the logicists use sets to define mathematical concepts. Bold elaborated the following:

For example, the meaning of 0 is the class of all null sets, 1 is the class of all sets with 1 members, 2 is the class of all sets with a pair of members and etc. The problem of this definition is that it does not explain the concept of number 2. We need not a definition, but an explanation. “Number 2 is the class of all pairs” presupposes the concept of 2. Such definition is a mere construction of a formal system that is consistent with mathematics. It might be necessary or sufficient for the work on mathematical propositions, but it does not give us any insight into mathematical concepts. The most exciting parts of the logicist account hides in what Russell and Whitehead’s Principia Mathematica has to say about mathematical propositions and what Ramsey and Wittgenstein said about its flaws. However, the present paper is primarily on mathematical concepts only. “What is number?”, “What is infinity?” and “Why is the absolute certainty?” are the questions that are in need of philosophical interpretation. I am not holding a directly opposing position to these theories; at some points I agree with them. However, I will simply attempt to pick up where the above schools are unsatisfactory and offer a better account on the ensuing issues. 8

On the other hand, Posy, C., 1992, found that Hilbert actually put a structure on the intuitive part of mathematics, essentially that of finitary thought and formal systems; with Gödel's work. Thompson, P.,1993, argued that the Gödelian brand of Platonism, in particular, takes its lead from the actual experience of doing mathematics, and Gödel accounts for the obviousness of the elementary set-theoretical axioms by positing a faculty of mathematical intuition, analogous to sense-perception in physics, so that, presumably, the axioms 'force themselves upon us' much as the assumption of 'medium-sized physical objects' forces itself upon us as an explanation of our physical experiences. However, Thompson 9 stated that counterintuitive has acquired an ambiguous role in our language use that is when applied to a strange but true principle; counterintuitive can now mean anything on a continuum from intuitively false to not intuitively true, depending on the strength of the conjecture we would have been predisposed to make against it, had we not seen, and been won over by, the proof; and indeed, to our surprise, we often find out, in times of paradox, how weak and defeatable our ordinary intuitions are.

Thompson 10 claimed that the very idea that our intuitions should be both decisive and failsafe, derives historically from the maelstrom of senses which the term 'intuition' has acquired in a series of primitive epistemic theories in which some of these senses have been inherited from the large role introspection played in the indubitable bedrock of Cartesian-style philosophy, and some simply from the pervasiveness of out-moded theological convictions which seek to make certain modes of justification unassailable. On the other hand, Posy, C., 1992, insisted that Hilbert's formal system fits the theory of recursive functions. Posy 11 insisted that Brouwer was very much opposed to these ideas, especially that of formalizing systems; he even opposed the formalization of logic; Brouwer had a very radical view of mathematics and language's relationship. According to Brouwer 12, in language, we can communicate the output of mathematical construction, thus helping others recreate the mathematical experience; however, the proof itself is a pre-linguistic, purely conscious activity which is much more flexible than language. Brouwer thought formal systems could never be adequate to cover all the flexible options available to the creative mathematician; and thought that formalism was absurd. Posy 14 noted that, in particular, Brouwer 13 thought that it was crazy to think that codified logic could capture the rules for correct mathematical thought. Brouwer 15 showed particular rules of logic are inadequate with the most famous of the law of the excluded middle.

Thompson, P.,1993, noted that Brouwer that the common un-circumspect belief in the applicability of traditional logic to mathematics was caused historically; he next stated that by the fact that, firstly, classical logic was abstracted from the mathematics of subsets of a definite finite set, that, secondly, an a priori existence independent of mathematics was ascribed to this logic, and finally, on the basis of this suppositious apriority, it was unjustifiably applied to the mathematics of infinite sets. Furthermore, Posy, C., 1992, insisted that Brouwer hypothesized about the reason why philosophers and mathematicians included the law of the excluded middle; according to Brouwer, logic was codified when the scientific community was concerned only with finite objects. Brouwer 16 said that, considering only finite objects, the law of the excluded middle holds; however, a mistake was made when mathematics moved into the infinitary in which the rigid rules of logic were maintained without question. Brouwer 17 suggested that no rigid codification should come before the development of mathematics. Posy found that a second major distinction between Brouwer and Hilbert was that they disagreed on the position of logic in which Hilbert thought logic was an autonomous, finished science that could be freely applied to other mathematics, Brouwer argued that logic should only come after the mathematics is developed.

Litlangs, 2004, in his overview, insisted that profound questions of how varied of intellect faces difficulties in explaining mathematics internally i.e. their gaps, contradictions and ambiguities that lie beneath the most certain of procedures, leads to rough conclusion that mathematics may be no more logical than poetry; it is just free creations of the human mind that unaccountably give order to ourselves and the natural world. Litlangs 18 perceived that though mathematics might seem the clearest and most certain kind of knowledge we possess, there are problems just as serious as those in any other branch of philosophy about the nature of mathematics and the meaning of its propositions. Litlangs 19 found that Plato believed in forms or ideas that were eternal, capable of precise definition and independent of perception; among such entities Plato included numbers and the objects of geometry such as lines, points, circles, which were therefore apprehended not with the senses but with reason; he deals with the objects of mathematics with specific instances of ideal forms. According to Plato, as it was noted by Litlangs, since the true propositions of mathematics were true of the unchangeable relations between unchangeable objects, they were inevitably true that is mathematics discovered pre-existing truths "out there" rather than created something from our mental predispositions; and as for the objects perceived by our senses, they are only poor and evanescent copies of the forms.

Meanwhile, Litlangs, 2004, insisted that Leibniz brought together logic and mathematics; however, whereas Aristotle used propositions of the subject i.e. predicate form, Leibniz argued that the subject contains the predicate that is a view that brought in infinity and God. According to Leibniz 20, mathematical propositions are not true because they deal in eternal or idealized entities, but because their denial is logically impossible; they are true not only of this world, or the world of eternal forms, but of all possible worlds. Litlangs 21 insisted that unlike Plato, for whom constructions were adventitious aids, Leibniz saw the importance of notation, a symbolism of calculation, and so began what became very important in the twentieth century that is a method of forming and arranging characters and signs to represent the relationships between mathematical thoughts.

Litlangs, 2004, further stipulated that Immanuel Kant perceived mathematical entities as a-priori synthetic propositions, which of course provide the necessary conditions for objective experience; time and space were matrices, the containers holding the changing material of perception. According to Kant 22, mathematics was the description of space and time; if restricted to thought, mathematical concepts required only self-consistency, but the construction of such concepts involves space having a certain structure, which in Kant's day was described by Euclidean geometry. Litlangs 23 noted that for Kant, the distinction between the abstract "two" and "two pears" is about construction plus empirical matter; in his analysis of infinity, Kant accepted Aristotle's distinction between potential and complete infinity, but did not think the latter was logically impossible. Kant 24 perceived that complete infinity was an idea of reason, internally consistent, though of course never encountered in our world of sense perceptions. Litlangs further insisted that 25 Frege and Russell and their followers developed Leibniz's idea that mathematics was something logically undeniable; Frege used general laws of logic plus definitions, formulating a symbolic notation for the reasoning required. However, through the long chains of reasoning, these symbols became less intuitively obvious, the transition being mediated by definitions. Litlangs 26 noted that Russell saw them as notational conveniences, mere steps in the argument; while Frege saw them as implying something worthy of careful thought, often presenting key mathematical concepts from new angles. Litlangs 27 found that while in Russell's case the definitions had no objective existence, in Frege's case the matter was not so clear that is the definitions were logical objects which claim an existence equal to other mathematical entities. Litlangs 28 concluded that, nonetheless, Russell carried on, resolving and side-stepping many logical paradoxes, to create with Whitehead the monumental system of description and notation of the Principia Mathematica.

Meanwhile, Thompson, P.,1993, exposed the critical movement of Cauchy and Weierstrass to have been a caution or reserve over the mathematical use of the infinite, except as a façon de parler in summing series or taking limits, where it really behaved as a convenient metaphor, or mode of abbreviation, for clumsier expressions only involving finite numbers. Thompson 29 claimed that when Cantor came on the scene, the German mathematician Leopold Kronecker, who had already 'constructively' re-written the theory of algebraic number fields, objected violently to Cantor's belief that, so long as logic was respected, statements about the completed infinite were perfectly significant. According to Thompson 30, Cantor had further urged that we should be fully prepared to use familiar words in altogether new contexts, or with reference to situations not previously envisaged; Kronecker, however, felt that Cantor was blindly cashing finite schemas in infinite domains, both by attributing a cardinal to any aggregate whatsoever, finite or infinite, and worse still, in his subsequent elaboration of transfinite arithmetic. Thompson 31 insisted that although the interim strain on the intuition, at the time, was crucial to Euler's heuristic approach, this particular infinite detour had been analyzed out of his subsequent proofs of the result, which appeared almost 10 years after its discovery.

Thompson, P.,1993, clarified that Gödel's feeling is that our intuition can be suitably extended to a familiarity with very strongly axiomatic domains, such as extensions of ZF, or calculus on smooth space-time manifolds, thereby providing us with backgrounds for either accepting or rejecting hypotheses independently of our pre-theoretic prejudices or preconceptions about them. Thompson 32 indicated that the general reccursiveness, as in the Gödel and Herbrand sense, with regard to their claims to be collectively demarcating the limits of intuitive computability, is a feature of this particular problem that it is susceptible to a diversity of equally restrictive intuitive re-characterizations, whose unexpected confluence gives each of them a strong intuitive recommendation and this confluence turns out to be a surprisingly valuable asset in appraising our rather more recondite extensions of our intuitive concepts. Thompson 33 concluded that Gödel,34 with his basic trust in transcendental logic, likes to think that our logical optics is only slightly out of focus, and hopes that after some minor correction of it, we shall see sharp, and then everyone will agree that we are right; however, he who does not share such a trust will be disturbed by the high degree of arbitrariness in a system like Zermelo's, or even in Hilbert's system. Thompson 35 suggested that Hilbert will not be able to assure us of consistency forever; therefore we must be content if a simple axiomatic system of mathematics has met the test of our mathematical experiences so far.


1Litlangs, 2004, Math Theory, Poetry Magic: editor@poetrymagic.co.uk
3Bold, T., 2004, Concepts on Mathematical Concepts, http://www.usfca.edu/philosophy/ discourse/8/bold.doc
11Posy, C., 1992, Philosophy of Mathematics, http://www.cs.washington.edu/ homes/ gjb.doc/philmath.htm
18Litlangs, 2004, Math Theory, Poetry Magic: editor@poetrymagic.co.uk
29Thompson, P.,1993, The Nature And Role Of Intuition In Mathematical Epistemology, University College, Oxford University, U.K


  1. Saepul Watan
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Artikel The Un-stability Foundation of Mathematics: Litlangs’, Bold’s, Thomson’s and Posy’s Arguments mengemukakan pandangan-pandangan dan perdebatan para ahli mengenai intuisi matematika, logika matematika, pembuktian aksioma dan teorema-teorema matematika. Dari pandangan berbagai ahli yang disebutkan dalam artikel ini saya tertarik dengan pendapat kant yang mengemukakan bahwa matematika adalah gambaran ruang dan waktu; jika terbatas pada pemikiran, konsep-konsep matematika yang diperlukan hanya diri konsistensi, namun pembangunan konsep tersebut melibatkan ruang yang memiliki struktur tertentu, yang pada hari Kant digambarkan oleh geometri Euclidean. Hal ini berarti pula bahwa Cakupan matematika sebagai suatu mata pelajaran memang sangat luas. Kemampuan matematika bukan hanya sekedar kemampuan berhitung atau menggunakan rumus, akan tetapi mencakup beberapa kompetensi yang menjadikan siswa tersebut mampu memahami tentang konsep dasar dari matematika.

  2. Wahyu Lestari
    PPs Pendidikan Matematika 2016 Kelas D

    dari artikel di atas, Thompson 9 menyatakan bahwa berlawanan dengan intuisi telah memperoleh peran yang ambigu dalam penggunaan bahasa kita yaitu bila diterapkan pada prinsip yang aneh tapi benar; Berlawanan dengan intuisi sekarang dapat berarti apa pun dalam sebuah kontinum dari yang secara intuitif tidak benar secara intuitif, bergantung pada kekuatan dugaan yang mungkin akan kita hadapi, tidakkah kita melihat, dan dimenangkan oleh, buktinya; Dan memang, mengejutkan kami, kita sering mencari tahu, di saat paradoks, betapa lemah dan mengalahkan intuisi kita yang biasa.
    Thompson 10 mengklaim bahwa gagasan bahwa intuisi kita seharusnya menentukan dan tidak aman, berasal secara historis dari pusaran indra yang oleh intuisi disebut 'intuisi' dalam serangkaian teori epistemik primitif di mana beberapa indera ini diwarisi dari Introspeksi peran besar dimainkan di landasan yang tak terbantahkan dari filosofi gaya Cartesian, dan beberapa hanya dari pervasiveness dari keyakinan teologis yang tidak masuk akal yang berusaha membuat cara pembenaran tertentu tidak dapat disangkal.

  3. Sumandri
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Ketiga aliran dalam matematika baik logisisme, formalisme, dan intuisionisme telah berupaya untuk menyediakan suatu pondasi kuat untuk kebenaran matematis, menurunkannya dengan pembuktian matematika dari sesuatu yang terbatas tetapi pada bidang yang pasti pada suatu kebenaran. Hasilnya ketiga kelompok tersebut gagal untuk menetapkan kepastian yang mutlak tentang kebenaran matematika. Kenyataannya tiga kelompok berpikir dalam filsafat matematika yang telah gagal membangun kepastian dari pengetahuan matematika tidak menyudahi persoalan umum. Masih mungkin ditemukannya dasar-dasar lain untuk menyatakan kebenaran matematika. Kebenaran mutlak dalam matematika menyisakan suatu matematika yang mempunyai suatu dampak yang sangat kuat pada cara pengajaran . Sebuah studi menyimpulkan bahwa konsistensi yang diamati antara konsep matematika guru dan cara mereka menyajikan suatu isi menunjukkan bahwa pandangan, kepercayaan dan kesukaan guru tentang matematika mempengaruhi praktek pengajaran mereka (Thompos, 1984, halam 125). Isu tersebut adalah inti bagi filsafat pendidikan matematika dan memiliki hasil praktis yang penting untuk pengajaran dan pembelajaran matematika

  4. Cendekia Ad Dien
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Ketidakstabilan pondasi matematika disebabkan banyaknya persepsi dari para matematikawan mengenai matematika itu sendiri. Kaum logis menempatkan logika sebagai pondasi matematika. Kaum formalis menempatkan struktur formal sebagai pondasi matematika. Kaum intuisionis menempatkan intuisi sebagai pondasi matematika. Ini menjadikan definisi matematika tidak tunggal dikarenakan berbagai macam pondasi matematika yang juga tidak tunggal.

  5. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS

    Litlang menunjukkan bahwa meskipun matematika mungkin tampak paling jelas dari pengetahuan yang kita miliki, ada masalah serius seperti di cabang ilmu lain dari filsafat. Hal ini tidak mudah untuk menguraikan sifat matematika. Plato percaya, bahwa ada yang kekal, definisi yang tepat dan independen dari persepsi. Antara entitas tersebut, angka dan benda-benda geometri seperti garis, poin atau lingkaran yang ditangkap tidak dengan indra tetapi dengan alasan. Menurut Plato, mereka pasti benar, yang berarti bahwa lebih mudah menemukan matematika kebenaran yang sudah ada di luar sana daripada menciptakan sesuatu dari kecenderungan mental kita; karenanya, matematika berurusan dengan kebenaran dan realitas.

  6. Primaningtyas Nur Arifah
    Pend. Matematika S2 kelas C 2016
    Assalamu’alaikum. Bold, T. menyatakan bahwa komponen penting dari matematika mencakup konsep angka integer, pecahan, penambahan, perpecahan dan persamaan; di mana penambahan dan pembagian terhubung dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari konsep-konsep matematika. Bold lebih lanjut menunjukkan bahwa elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia dari abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui sifat abstrak dari dari obyek dan menggunakannya tanpa kehadiran obyek.

  7. Lihar Raudina Izzati
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Banyak pendapat tentang apa itu dan apa saja pondasi matematika. Setiap ahli mempunyai pandangannya sendiri mengenai pondasi matematika. Oleh karenanya pengertian dari apa itu pondasi matematika dan bagaimana itu pondasi matematika tidak bisa stabil atau tetap karena orang satu dengan orang yang lain mempunyai cara berpikir dan pengalaman yang berbeda, mempunyai cara pandang yang berbeda.

  8. Sehar Trihatun
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Pandangan dan argumen-argumen yang dikemukakan oleh para filsuf mengenai fondasi matematika tidak selalu sama. Banyak terdapat kritik yang dilontarkan oleh para filsuf tersebut antara satu dengan yang lain. Misalnya saja seperti Aristoteles dengan Plato yang memiliki argumen yang berbeda mengenai matematika. Menurut Aristoteles, bentuk bukan entitas yang jauh dari penampilan tapi sesuatu yang masuk ke objek dunia. Aristoteles mengklaim bahwa ketika kita dapat menguraikan kesatuan atau lingkaran, itu tidak berarti bahwa abstraksi ini mewakili sesuatu yang jauh dan abadi. Matematika hanyalah penalaran tentang idealisasi; Dan dia melihat secara dekat struktur matematika, membedakan logika, prinsip yang digunakan untuk menunjukkan teorema, definisi dan hipotesis.

  9. Helva Elentriana
    PPS Pend Matematika Kelas D 2016

    Kali ini, untuk kita Prof telah menjelaskan tentang pendapat Aristoteles yang tidak setuju dengan pendapatnya Plato. Menurut Aristoteles, bentuk bukan entitas yang jauh dari penampilan tapi sesuatu yang masuk ke objek dunia. Bagi Aristoteles, matematika hanyalah penalaran tentang idealisasi; Dan dia melihat secara dekat struktur matematika, membedakan logika, prinsip yang digunakan untuk menunjukkan teorema, definisi dan hipotesis. Sedangkan Plato juga tercermin pada tak terhingga. Kemudian Bold, T., 2004, mengklaim bahwa baik intuisi maupun formalis meyakinkan bahwa matematika hanyalah penemuan dan tidak memberi tahu kita tentang sesuatu tentang dunia. Di sisi lain, Posy, C., 1992, menemukan bahwa Hilbert benar-benar meletakkan sebuah struktur pada bagian intuitif matematika, yang pada dasarnya adalah pemikiran finiter dan sistem formal.

  10. Nurwanti Adi Rahayu
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Plato menyimpulkan bahwa pengetahuan matematika merupakan sebuah priori, yang artinya bahwa pengetahuan matematika tidak berdasarkan kebenaran indra.
    Akan tetapi pada kebenaran akal budi.
    Sehingga matematika tidak didasarkan pada apa yang diperoleh dari pengalaman melainkan dari akal/pikiran.

  11. Lana Sugiarti
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Bold menunjukkan bahwa di sisi lain para ahli logika hampir membuktikan bahwa matematika adalah cabang logika. Menurut Bold, para ahli logika ingin mendefinisikan konsep matematika dalam hal konsep logis dan mengurangi proposisi matematis dari aksioma logis. Sebagai elemen dasar logika adalah himpunan dan propertinya, ahli logika menggunakan himpunan untuk mendefinisikan konsep matematika. Di sisi lain, Posy menemukan bahwa Hilbert benar-benar meletakkan sebuah struktur pada bagian intuitif matematika, yang pada dasarnya adalah pemikiran finiter dan sistem formal. Thompson mengklaim bahwa gagasan bahwa intuisi kita seharusnya menentukan dan tidak aman, berasal secara historis dari pusaran indra yang oleh intuisi disebut intuisi dalam serangkaian teori epistemik primitif di mana beberapa indera ini diwarisi dari introspeksi peran besar dimainkan di landasan yang tak terbantahkan dari filosofi gaya Cartesian dan beberapa hanya dari pervasiveness dari keyakinan teologis yang tidak masuk akal yang berusaha membuat cara pembenaran tertentu tidak dapat disangkal.

  12. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2

    Litlangs 2004, menyitir ketidaksetujuan Aristoteles terhadap Plato; menurut Aristoteles, bentuk fisik tidaklah jauh berbeda dengan penampilannya tetapi sesuatu yang konkrit sajalah yang menjadi benda-benda dunia. Aristoteles menyatakan bahwa ketika kita mendapatkan sesuatu yang abstrak, bukan berarti bahwa abstraksi merupakan sesuatu yang jauh dan abadi. Bagi Aristoteles, matematika adalah hanya penalaran tentang idealisasi, dan ia melihat dekat pada struktur matematika, membedakan logika, prinsip yang digunakan untuk menunjukkan teorema, definisi dan hipotesis. Plato juga tercermin pada tak terhingga, memahami perbedaan antara potensi tak terbatas misalnya menambahkan satu ke bilangan infinit misalnya tak terbatas. Selain itu, Bold, T., 2004, menyatakan bahwa kedua intuisionis dan formalis meyakinkan bahwa matematika hanyalah penemuan dan mereka melakukannya dengan tidak menginformasikan kepada kami dengan apa-apa tentang dunia; keduanya mengambil pendekatan ini untuk menjelaskan kepastian mutlak matematika dan menolak penggunaan bilangan infinit. Bold mencatat bahwa intuitionists mengakui hal ini kesamaannya dengan formalis dan menganggap perbedaan yang ada sebagai perbedaan pendapat di mana ketepatan matematis memang ada; intuisionis mengatakannya sebagai kecerdasan manusia dan formalis mengatakannya sebagai hanya coretan di atas kertas

  13. Annisa Hasanah
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Menurut kalimat yan terdapat pada artikel diatas, matematika adalah deskripsi dari ruang dan waktu; jika terbatas pemikiran, konsep-konsep matematika diperlukan hanya konsistensi diri, tapi pembangunan konsep tersebut melibatkan ruang yang memiliki struktur tertentu. Jadi disitulah letak ketidak stabiln matematika itu karena matematika berada dalam ruang dan waktu.

  14. Yosepha Patricia Wua Laja
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Berdasarkan link https://id.wikipedia.org/wiki/Fondasi_matematika , Fondasi matematika adalah sebuah studi tentang dasar-dasar logika dan filsafat dari matematika,atau, dalam arti yang lebih luas, investigasi matematis mengenai konsekuensi-konsekuensi dari teori-teori filsafat dasar tentang natur dari matematika itu sendiri. Dengan pengertian yang lebih luas ini, perbedaan antara fondasi matematika dan filsafat matematika sepertinya menjadi kabur. Fondasi matematika dapat di pahami juga sebagai suatu studi tentang konsep-konsep dasar matematis (bilangan, bentuk bentuk geometris, himpunan, fungsi...) dan bagaimana keseluruhannya membentuk sebuah hierarki konsep dan struktur yang lebih kompleks, khususnya struktur dasar yang penting yang membangun suatu bahasa matematika (rumus-rumus, teori-teori, dan model-model matematis yang memberikan makna kepada rumus-rumus, defenisi-defenisi, pembuktian-pembuktian, algoritma-algoritma...) yang juga sering disebut sebagai konsep-konsep matematis, dengan tetap memperhatikan aspek-aspek filsafat dan kesatuan dari matematika. Pencarian fondasi matematika adalah pertanyaan dan fokus utama dari filsafat matematika; namun natur yang abstrak dari objek-objek matematika memberikan tantangan filsafat yang khusus dalam pencarian ini.

  15. Ahmad Wafa Nizami
    S2 Pendidikan Matematika D

    Thompson, P., 1993Gödel adalah bahwa intuisi kita dapat diperluas dengan baik dengan keakraban dengan domain aksiomatik yang sangat kuat, seperti perpanjangan ZF, atau kalkulus pada manifold ruang angkasa yang halus, sehingga memberi kita latar belakang untuk keduanya. Menerima atau menolak hipotesis secara independen dari pra-teori prasangka atau prasangka tentang mereka. Thompson 32 menunjukkan bahwa reccursiveness umum, seperti dalam pengertian Gödel dan Herbrand, sehubungan dengan klaim mereka secara bersama-sama membatasi batas kemampuan komputasi intuitif, adalah fitur dari masalah khusus ini sehingga rentan terhadap keragaman intuitif yang sama ketatnya. -karakterisasi, yang pertemuannya yang tak terduga memberi masing-masing rekomendasi intuitif yang kuat dan pertemuan ini ternyata merupakan aset yang sangat berharga dalam menilai perluasan konsep intuitif kita yang agak lebih rekondisi.


    Thompson, P., 1993, menyatakan bahwa para filsuf matematika memiliki, selama ribuan tahun, berulang kali keterlibatan dalam perdebatan tentang paradoks dan kesulitan mereka dalam melihat fenomena yang muncul dari tengah-tengah keyakinan mereka yang kuat dan intuitif. Dari munculnya Geometri non-Euclidean, analisis teori kontinum, dan penemuan Cantor tentang bilangan transfinite, sistem Frege, matematikawan kemudian menyuarakan keprihatinan mereka bagaimana kita secara serampangan telah memikirkan sesuatu yang asing, dan dengan liar memperpanjang persoalan matematika kita dengan intuisi, atau kalau tidak kita telah menjadi rentan terhadap perangkap yang tak terduga dan sampai sekarang, dengan apa yang disebut kontradiksi.

  17. Ardeniyansah
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Litlangs menyatakan bahwa meskipun matematika mungkin tampak sebagai jenis pengetahuan yang paling jelas dan tertentu dari pengetahuan yang kita miliki, ada masalah cukup serius yang terdapat di setiap cabang lain dari filsafat tentang hakekat matematika dan makna proposisi tersebut. Bold, menyatakan bahwa komponen penting dari matematika mencakup konsep angka integer, pecahan, penambahan, perpecahan dan persamaan, di mana penambahan dan pembagian terhubung dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari konsep matematika. Posy, dalam hal pertanyaan ontologis, bertanya-tanya seberapa akurat gagasan bahwa himpunan adalah objek dasar matematika, sedangkan teori yang dihimpun terlalu kaya dan ada cara yang berbeda terlalu banyak untuk membangun matematika.

  18. Ratih Eka Safitri
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Mengembangkan matematika kita harus menggunakan intuisi yang kita miliki, intuisi yang kita punya dan pengalaman tidak bisa menjangkau bilangan infinit, sehingga kaum intuisionisme menolak bilangan infinit, hanya mengembangkan bilangan finit. Menurut Heyting sebagai penerus Brouwer menolak kenyataan transenden sebagai alat bukti matematika. Menurutnya bilangan infinit merupakan salah satu kenyataan transenden.

  19. Windi Agustiar Basuki
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Landasan matematika mencakup berbagai konsep pamgkal,anggapan dasar, asa permulaan, struktur teoritis, dan ukuran kebenaran.
    Sampai sekarang para filsuf dan ahli matematika masih mencoba merumuskan apa sesungguhnya matematika itu. Banyak definisi matematika telah dikemukakan,namun banyak pula sanggahannya. Itulah yang menyebabkan tidak stabilnya landasan matematika.

  20. Resvita Febrima
    P-Mat D 2016
    Thompson menjelaskan bahwa intuisi kita dapat digunakan dengan sungguh dan memiliki dominan yang sangat kuat pada bidang – bidang matematika. intuisi salah satu hal yang penting , maka pendekatan heuristik Euler juga sama pentingnnya. Bold menyatakan logika hadir untuk membuktikan bahwa matematika adalah cabang dari logika itu sendiri maka logika mendefinisikan konsep pada matematika dengan mengurangi proporsi matematika dan aksioma. Menurut Arend Heyting matematika adalah produksi dari pikiran manusia. Posy mengemukakan idenya, matematika merupakan dunia empiris dimana ilmu pada dasarnya generalisasi dari pengalaman, sifat yang diperlukan oleh segala hal yang ada di dunia ini ditemukan melalui bukti matematika.

  21. Nurwanti Adi Rahayu
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Matematika dianggap berbeda dari subyek-subyek yang lain. Kecuali logika, dan mungkin filosofi.
    Banyak subyek bergantung pada pemikiran empiris yang berdasarkan pada penglihatan, pendengaran, dan sesuatu yang dapat dirasakan.
    Plato berpendapat bahwa matematika adalah gabungan dari sebuah teori yang relevan.

  22. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Dari wacana di atas disebutkan menurut Arend Heyling, matematika merupakan produksi dari pikiran manusia. Thomson mempunyai argumen bahwasannya intuisi berlawanan dengan penggunaan bahasa jika diterapkan dalam matematika. Posy berargumen bahwa Hilbert telah meletakkan struktur pada bagian intuitifmatematika yang menjadi dasar pemikiran dan sistem formal. Ketidakstabilan inilah yang mendasari matematika banyak disebabkan oleh argumen dari para filsuf yang berbeda-beda.

  23. Desy Dwi Frimadani
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Pada artikel ini Menurut aristoteles, matematika memiliki penalaran tenatng idealisasi. Aristoteles melihat secara dekat struktur matematika, membedakan logika, prisnisp yang digunkan untuk membuktikan teorema, definisi, dan hipotesis.

  24. Dessy Rasihen
    S2 P.MAT D

    Bold menyatakan bahwa, di sisi lain, logicists datang dekat untuk membuktikan matematika adalah cabang dari logika dengan mendefinisikan konsep-konsep matematika dalam hal konsep logis dan mengurangi proposisi matematika dari aksioma logis; sebagai elemen dasar dari komponen logika. Karena sebenar-benar bermatematis pun menggunakan logika dalam setiap proses pembelajaran.

  25. Syahlan Romadon
    PM C 2016 / 16709251047

    Dalam masalah epistemologis, Posy menyatakan bahwa ilmu pada dasarnya merupakan generalisasi dari pengalaman, tetapi hal ini dapat memberikan hanya pilihan saja, sifat yang mungkin dari dunia yang itu bisa saja sebaliknya. Di sisi lain, ilmu pengetahuan hanya memprediksi bahwa masa depan akan mencerminkan masa lalu, sedangkan matematika adalah tentang dunia empiris, tetapi biasanya metode untuk pengetahuan berasal dari pengetahuan kontingen, bukan keharusan bahwa matematika murni memberi kita, dalam jumlah, Posy menyimpulkan bahwa Kant ingin pengetahuan yang diperlukan dengan pengetahuan empiris. Posy menemukan bahwa Kant mengatakan kita harus menjadi seorang idealis di mana sifat dari obyek adalah hanya apa yang dipahami, tidak ada sifat obyek yang berada diluar pengalaman kita. Menurut Posy, Kant menyarankan untuk membangun ke dalam pikiran kita dua bentuk intuisi dan persepsi sehingga setiap persepsi yang kita miliki adalah terbentuk oleh bentuk Ruang dan Waktu.

  26. Heni Lilia Dewi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Artikel ini memberikan gambaran kepada kita bahwa pondasi dari matematika itu sendiri masih belum stabil. Hal ini dikarenakan masih terjadi adanya perbedaan pendapat dari para filsuf. Hal ini juga ditegaskan oleh beberapa ahli seperti Litlang, Bold, Thomson dan Posy. Misalnya saja jika Plato menungkapkan bahwa matematika diperoleh secara apriori, maka Aristoteles malah berpikiran sebaliknya. Tentunya masih ada banya pendapat lain sehingga ini menyebabkan ketidakstabilan pondasi matematika.

  27. Ahmad Bahauddin
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Secara logika mungkin tidak ada sistem formal yang konsisten yang dapat berfungsi sebagai dasar untuk matematika. Berdasarkan teorema ketidaklengkapan Gödel yang kedua, yang membuktikan bahwa tidak ada sistem aksiomatik yang konsisten yang mencakup aritmatika Peano (atau yang lebih kuat) dapat membuktikan konsistensinya sendiri. Dengan asumsi bahwa teori dasar seperti yang diungkapkan Godel itu, T adalah sistem formal yang dihasilkan secara efektif, yaitu sebuah teori aksiomatis yang cukup ekspresif untuk mengembangkan sifat dasar bilangan asli, T tidak dapat membuktikan konsistensi sendiri. Jadi secara logis mungkin hal itu tidak konsisten.