Oct 10, 2012

Elegi Menggapai "Kant on the Construction of Mathematical Concepts and Cognition"




By Marsigit
Yogyakarta State University

In his Critic of Pure Reason, Kant ascribes that mathematics deals with conceptions applied to intuition. Mathematics is a theoretical sciences which have to determine their objects a priori. To demonstrate the properties of the isosceles triangle, it is not sufficient to meditate on the figure but that it is necessary to


produce these properties by a positive a priori construction. According to Kant, in order to arrive with certainty at a priori cognition, we must not attribute to the object any other properties than those which necessarily followed from that which he had himself placed in the object. Mathematician 1 occupies himself with objects and cognitions only in so far as they can be represented by means of intuition; but this circumstance is easily overlooked, because the said intuition can itself be given a priori, and therefore is hardly to be distinguished from a mere pure conception.
The conception of twelve 2 is by no means obtained by merely cogitating the union of seven and five; and we may analyze our conception of such a possible sum as long as we will, still we shall never discover in it the notion of twelve. Kant 3 says that we must go beyond these conceptions, and have recourse to an intuition which corresponds to one of the two-our five fingers, add the units contained in the five given in the intuition, to the conception of seven.
Further Kant states:

For I first take the number 7, and, for the conception of 5 calling in the aid of the fingers of my hand as objects of intuition, I add the units, which I before took together to make up the number 5, gradually now by means of the material image my hand, to the number 7, and by this process, I at length see the number 12 arise. That 7 should be added to 5, I have certainly cogitated in my conception of a sum = 7 + 5, but not that this sum was equal to 12. 4


Arithmetical propositions 5 are therefore always synthetical, of which we may become more clearly convinced by trying large numbers. For it 6 will thus become quite evident that it is impossible, without having recourse to intuition, to arrive at the sum total or product by means of the mere analysis of our conceptions, just as little is any principle of pure geometry analytical.
In a straight line between two points 7, the conception of the shortest is therefore more wholly an addition, and by no analysis can it be extracted from our conception of a straight line. Kant 8 sums up that intuition must therefore here lend its aid in which our synthesis is possible. Some few principles expounded by geometricians are, indeed, really analytical, and depend on the principle of contradiction. Further, Kant says:
They serve, however, like identical propositions, as links in the chain of method, not as principles- for example, a = a, the whole is equal to itself, or (a+b) > a, the whole is greater than its part. And yet even these principles themselves, though they derive their validity from pure conceptions, are only admitted in mathematics because they can be presented in intuition. 9

Kant (1781), in “The Critic Of Pure Reason: Transcendental Analytic, Book I, Analytic Of Conceptions. Ss 2” , claims that through the determination of pure intuition we obtain a priori cognitions of mathematical objects, but only as regards their form as phenomena. According to Kant, all mathematical conceptions, therefore, are not per se cognition, except in so far as we presuppose that there exist things which can only be represented conformably to the form of our pure sensuous intuition. Things 10, in space and time are given only in so far as they are perceptions i.e. only by empirical representation. Kant insists that the pure conceptions of the understanding of mathematics, even when they are applied to intuitions a priori , produce mathematical cognition only in so far as these can be applied to empirical intuitions. Consequently 11, in the cognition of mathematics, their application to objects of experience is the only legitimate use of the categories.
In “The Critic of Pure Reason: Appendix”, Kant (1781) elaborates that in the conceptions of mathematics, in its pure intuitions, space has three dimensions, and between two points there can be only one straight line, etc. They 12 would nevertheless have no significance if we were not always able to exhibit their significance in and by means of phenomena. It 13 is requisite that an abstract conception be made sensuous, that is, that an object corresponding to it in intuition be forth coming, otherwise the conception remains without sense i.e. without meaning. Mathematics 14 fulfils this requirement by the construction of the figure, which is a phenomenon evident to the senses; the same science finds support and significance in number; this in its turn finds it in the fingers, or in counters, or in lines and points. The mathematical 15 conception itself is always produced a priori, together with the synthetical principles or formulas from such conceptions; but the proper employment of them, and their application to objects, can exist nowhere but in experience, the possibility of which, as regards its form, they contain a priori.
Kant in “The Critic Of Pure Reason: SECTION I. The Discipline of Pure Reason in the Sphere of Dogmatism.”, propounds that, without the aid of experience, the synthesis in mathematical conception cannot proceed a priori to the intuition which corresponds to the conception. For this reason, none of these conceptions can produce a determinative synthetical proposition. They can never present more than a principle of the synthesis of possible empirical intuitions. Kant 16 avows that a transcendental proposition is, therefore, a synthetical cognition of reason by means of pure conceptions and the discursive method. Iit renders possible all synthetical unity in empirical cognition, though it cannot present us with any intuition a priori. Further, Kant 17 explains that the mathematical conception of a triangle we should construct, present a priori in intuition and attain to rational-synthetical cognition. Kant emphasizes the following:
But when the transcendental conception of reality, or substance, or power is presented to my mind, we find that it does not relate to or indicate either an empirical or pure intuition, but that it indicates merely the synthesis of empirical intuitions, which cannot of course be given a priori. 18

To make clear the notions, Kant sets forth the following:
Suppose that the conception of a triangle is given to a philosopher and that he is required to discover, by the philosophical method, what relation the sum of its angles bears to a right angle. He has nothing before him but the conception of a figure enclosed within three right lines, and, consequently, with the same number of angles. He may analyze the conception of a right line, of an angle, or of the number three as long as he pleases, but he will not discover any properties not contained in these conceptions. But, if this question is proposed to a geometrician, he at once begins by constructing a triangle. He knows that two right angles are equal to the sum of all the contiguous angles which proceed from one point in a straight line; and he goes on to produce one side of his triangle, thus forming two adjacent angles which are together equal to two right angles. 19

Mathematical cognition 20 is cognition by means of the construction of conceptions. The construction of a conception is the presentation a priori of the intuition which corresponds to the conception. Mathematics 21 does not confine itself to the construction of quantities, as in the case of geometry. It occupies itself with pure quantity also, as in the case of algebra, where complete abstraction is made of the properties of the object indicated by the conception of quantity. In algebra 22, a certain method of notation by signs is adopted, and these indicate the different possible constructions of quantities, the extraction of roots, and so on. Mathematical cognition 23 can relate only to quantity in which it is to be found in its form alone, because the conception of quantities only that is capable of being constructed, that is, presented a priori in intuition; while qualities cannot be given in any other than an empirical intuition.

References:

Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: Preface To The Second Edition”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003
2 Ibid.
3 Ibid.
4 Ibid.
5 Ibid.
6 Ibid.
7 Ibid.
8 Ibid.
9 Ibid.
10 Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: Transcendental Analytic, Book I, Analytic Of Conceptions. Ss 2”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003).
11Ibid.
12Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: Appendix.”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003
13 Ibid.
14Ibid.
15Ibid.
16Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: SECTION I. The Discipline of Pure Reason in the Sphere of Dogmatism.”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003
17Ibid.
18Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: Transcendental Doctrine Of Method; Chapter I. The Discipline Of Pure Reason, Section I. The Discipline Of Pure Reason In The Sphere Of Dogmatism”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003
19Ibid.
20Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: Transcendental Doctrine Of Method, Chapter I, Section I .”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003).
21Ibid.
22Ibid.
23Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: SECTION I. The Discipline of Pure Reason in the Sphere of Dogmatism.”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003)

21 comments:

  1. Saepul Watan
    16709251057
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Dalam elegi Kant menjelaskan bahwa dalam konsep matematika, dalam intuisi murni, ruang memiliki tiga dimensi, dan antara dua titik hanya ada satu garis lurus. Kognisi matematika adalah kognisi melalui pembangunan konsepsi. Pembangunan konsepsi adalah presentasi apriori dari intuisi yang sesuai dengan konsepsi. Matematika tidak membatasi diri dengan pembangunan kuantitas, seperti dalam kasus geometri. Kant juga berpendapat bahwa hukum matematika murni merupakan dasar dari semua kognisi dan penilaian yang muncul sekaligus dalam ruang dan waktu, sehingga matematika harus terlebih dahulu memiliki semua konsep-konsep dalam intuisi.

    ReplyDelete
  2. Cendekia Ad Dien
    16709251044
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Kant menganggap bahwa matematika berhubungan dengan konsepsi yang diterapkan pada intuisi. Matematika adalah ilmu teoritis yang harus menentukan objeknya secara a priori dimana konsepsi matematika itu sendiri selalu dihasilkan secara a priori. Kognisi matematika adalah kognisi dengan mengkonstruksi konsepsi. Konstruksi konsepsi adalah presentasi intuisi dari a priori yang berhubungan dengan konsepsi. Kognisi matematika hanya bisa berhubungan dengan kuantitas karena konsepsi kuantitas yang ada hanya dapat dikonstruksi atau ditampilkan dalam bentuk intuisi secara a priori sementara kualitas tidak dapat ditampilkan dalam bentuk lain selain intuisi empiris.

    ReplyDelete
  3. Wahyu Lestari
    16709251074
    PPs Pendidikan Matematika 2016 Kelas D

    Dalam Kritiknya tentang Alasan Murni, Kant menganggap bahwa matematika berhubungan dengan konsepsi yang diterapkan pada intuisi. Matematika adalah ilmu teoritis yang harus menentukan objeknya secara apriori.dalam "Kritik Alasan Murni: Analitik Transendentalmengklaim bahwa melalui penentuan intuisi murni kita mendapatkan kognisi apriori dari objek matematika, namun hanya sebagai bentuknya sebagai fenomena. Kant menegaskan bahwa konsepsi murni tentang pemahaman matematika, bahkan ketika diterapkan pada intuisi secara apriori, menghasilkan kognisi matematika sejauh ini dapat diterapkan pada intuisi empiris. Konsekuensinya, dalam kognisi matematika, penerapannya pada objek pengalaman adalah satu-satunya penggunaan kategori yang sah.

    ReplyDelete
  4. Lihar Raudina Izzati
    16709251046
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Menurut Kant pemahaman maupun konstruksi matematika diperoleh dengan cara terlebih dulu menemukan intusi murni pada akal atau pikiran kita. Menurut Kant matematika merupakan suatu penalaran yang berifat mengkonstruksi konsep-konsep secara sintetik apriori dalam konsep ruang dan waktu.

    ReplyDelete
  5. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Dalam sebuah konsep matematika, kita hanya dapat mengenal konsep-konsep matematika hanya sebagai suatu fenomena berdasarkan intuisi kita. Konsep 12 bukan hanya dari menjumlahkan angka 7 dan 5, ataupun menjumlahkan bilangan-bilangan lain. Sebanyak apapun kita mencari dan mengoperasikan konsep-konsep bilangan lainnya untuk mendapatkan konsep 12, tetap saja kita tidak akan mendapatkan dan menemukan gagasan 12 itu sendiri yang sebenar-benarnya.

    ReplyDelete
  6. Primaningtyas Nur Arifah
    16709251042
    Pend. Matematika S2 kelas C 2016
    Assalamu’alaikum. Menurut Kant, matematika harus dipahamai dan dikonstruksi menggunakan intuisi murni, yaitu intuisi ruang dan waktu. Konsep dan keputusan matematika yang bersifat synthetic a priori akan menyebabkan ilmu pengetahuan alam pun menjadi tergantung kepada matematika dalam menjelaskan dan memprediksi fenomena alam. Menurutnya, matematika dapat dipahami melalui intuisi penginderaan, selama hasilnya dapat disesuaikan dengan intuisi murni kita.

    ReplyDelete
  7. Helva Elentriana
    16709251068
    PPS Pend Matematika Kelas D 2016

    Elegi Menggapai "Kant tentang Konstruksi Konsep dan Kognisi Matematika". Kant menganggap bahwa matematika berhubungan dengan konsepsi yang diterapkan pada intuisi. Matematika adalah ilmu teoritis yang harus menentukan objeknya secara apriori. Kant percaya bahwa matematika diperoleh dengan intuisi yaitu melalui pikiran. Karena matematika itu sendiri adalah logika, sehingga dengan pikiranlah kita dapat mengkonstruksinya.

    ReplyDelete
  8. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Immanuel Kant berpendapat bahwa pemahaman maupun konstruksi matematika diperoleh dengan cara terlebih dulu menemukan intuisi murni pada akal atau pikiran manusia.
    Sehingga proses awal berasal dari imenemukan intuisi murni yang secara alamiah muncul dari akal maupun pikiran sebelum diproses lebih lanjut.

    ReplyDelete
  9. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS
    16709251061

    Kant ( 1781 ) , dalam " The Critic Of Pure Reason : Transendental Analytic , Buku I , Analytic Of Conception . Ss 2 " , mengklaim bahwa melalui penentuan intuisi murni kita memperoleh kognisi apriori dari objek matematika, tetapi hanya mengenai bentuk mereka sebagai fenomena. Menurut Kant, semua konsepsi matematika bukan lah per-kognisi, melainkan sejauh mana kita mengandaikan bahwa terdapat hal-hal yang hanya dapat diwakili selaras dengan bentuk intuisi sensual murni kita. Kant menegaskan bahwa konsepsi murni dari pemahaman matematika, bahkan ketika mereka diterapkan untuk intuisi apriori, menghasilkan kognisi matematika hanya sejauh ini dapat diterapkan untuk intuisi empiris. Akibatnya dalam kognisi matematika, aplikasi mereka ke obyek pengalaman adalah satu-satunya penggunaan yang sah dari kategori.

    ReplyDelete
  10. Lana Sugiarti
    16709251062
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Kant menguraikan bahwa dalam konsepsi matematika, dalam intuisi murni, ruang memiliki tiga dimensi, dan di antara dua titik hanya ada satu garis lurus, dan sebagainya. Namun, hal itu tidak penting jika kita tidak dapat Menunjukkan signifikansinya dalam dan melalui fenomena. Itu adalah syarat bahwa sebuah konsep abstrak dibuat sensual yaitu, bahwa benda yang sesuai dengannya dalam intuisi akan datang, jika tidak, konsepsi itu tetap tanpa perasaan sama sekali tanpa makna. Matematika memenuhi persyaratan ini dengan konstruksi gambar, yang merupakan fenomena yang jelas bagi indera. Konsepsi matematis itu sendiri selalu diproduksi secara apriori, bersama dengan prinsip sintetis atau formula dari konsepsi semacam itu.

    ReplyDelete
  11. Annisa Hasanah
    16709251051
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Kant menjelaskan bahwa matematika merupakan suatu penalaran yang bersifat mengkonstruksi konsep-konsep secara sintetik apriori dalam konsep ruang dan waktu. Secara umum, Kant menjelaskan bahwa matematika dibangun di atas intuisi murni yaitu intuisi ruang dan waktu dimana konsep-konsep matematika dapat dikonstruksi secara sintetis. Intuisi matematika yang meletakkan pada dasar dari semua kognisi dan penilaian yang muncul sekaligus apodiktis dan diperlukan adalah Ruang dan Waktu. Oleh sebab itu matematika harus terlebih dahulu memiliki semua konsep dalam intuisi.

    ReplyDelete
  12. Windi Agustiar Basuki
    16709251055
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Menurut Kant, konsep matematika dikontruksi berdasarkan intuisi. Intuisi yang dimaksud yaitu ruang dan waktu. Dimana konsep tersebut jika dikontruksi berdasarkan ruang dan waktu akan menghasilkan pengetahuan yang bersifat sintetik apriori. Dengan intuisi budi, rasio kita mengadakan argumentasi (matematika) dan menggabungkan putusan-putusan (matematika). Putusan matematika yang dimaksud ialah kesadaran kognisi yang bersifat kompleks

    ReplyDelete
  13. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Kognisi matematika adalah kognisi dengan menggunakan konstruksi konsepsi. Pembangunan konsepsi adalah presentasi apriori dari intuisi yang sesuai dengan konsepsi. Matematika tidak membatasi diri pada konstruksi jumlah, seperti dalam kasus geometri. Ia menempati sendiri dengan kuantitas murni juga, seperti dalam kasus aljabar, di mana abstraksi lengkap terbuat dari sifat objek yang ditunjukkan oleh konsepsi kuantitas. Dalam aljabar, metode notasi tertentu dengan tanda diadopsi, dan ini menunjukkan kemungkinan konstruksi bilangan yang berbeda, ekstraksi akar, dan sebagainya. Kognisi matematika hanya bisa berhubungan dengan kuantitas di mana ia ditemukan dalam bentuknya saja, karena konsepsi hanya ada yang mampu dibangun, yaitu disajikan secara apriori dalam intuisi; Sementara kualitas tidak dapat diberikan selain intuisi empiris.

    ReplyDelete
  14. Ahmad Wafa Nizami
    16709251065
    S2 Pendidikan Matematika D

    Bericara masalah aritmatika, maka patutlah kita harus tahu definis aritmatika itu sendiri Aritmatika adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan ekstraksi akar nomor-nomor tertentu yang dikenal sebagai bilangan real. Sebagai contoh : ambil nomor 7, dan, karena konsepsi dari 5 menyerukan bantuan jari-jari tangan saya sebagai objek intuisi, saya menambahkan unit-unitnya, yang sebelumnya saya ambil untuk menyusun angka 5, secara bertahap sekarang oleh Maksud dari gambar materi tangan saya, ke nomor 7, dan dengan proses ini, saya panjang melihat angka 12 terbit. 7 Itu harus ditambahkan ke 5, saya pasti telah menyatakan konsep saya tentang jumlah = 7 + 5, tapi bukankah jumlah ini sama dengan 12.

    ReplyDelete
  15. PUTRI RAHAYU S
    S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA_D 2016
    16709251070

    Kant mengenalkan kerangka konseptual melalui tiga distingsi. Distingsi tersebut adalah distingsi epistemik antara pengetahuan a priori dan pengetahuan empiris, distingsi metafisis antara proposisi niscaya dan kontingen, dan distingsi semantik antara pernyataan analitik dan sintetik. Kant juga menganggap bahwa dalam belajar matematika haruslah mempertajam a priori dan intuisi. Karena matematika adalah ilmu teoritis yang harus menentukan objek mereka a priori.

    ReplyDelete
  16. Ardeniyansah
    16709251053
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Immanuel Kant menganggap entitas matematika sebagai proposisi sintetik apriori yang tentu saja memberikan kondisi yang diperlukan untuk pengalaman objektif matriks ruang-waktu dan wadah memegang bahan pengubah persepsi. Menurut Kant matematika adalah gambaran ruang dan waktu jika terbatas pada pikiran konsep matematika diperlukan hanya konsistensi diri tapi pembangunan konsep tersebut melibatkan ruang yang memiliki struktur tertentu.

    ReplyDelete
  17. Dessy Rasihen
    16709251063
    S2 P.MAT D

    Kant mengklaim bahwa melalui penentuan intuisi murni kita memperoleh kognisi apriori dari objek matematika, tetapi hanya mengenai bentuk matematika sebagai fenomena. Menurut Kant, semua konsepsi matematika, sejauh kita mengandaikan bahwa terdapat hal-hal yang hanya dapat diwakili selaras dengan bentuk intuisi yang murni.

    ReplyDelete
  18. Kunny Kunhertanti
    16709251060
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Matematika adalah ilmu teoritis yang harus menentukan objek mereka apriori. Untuk menunjukkan sifat-sifat segitiga sama kaki, itu tidak cukup untuk merenungkan angka tapi itu perlu untuk menghasilkan sifat ini oleh konstruksi apriori positif. Artinya dalam menyusun konstruksi matematika terdiri atas aspek kognitif dan konsepnya. Semua itu dilakukan dengan penerapan intuisi.

    ReplyDelete
  19. Syaifulloh Bakhri
    16709251049
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Assalamu’alaikum wr.wb.
    Kant adalah salah satu filsuf yang mencetuskan pemikiran berdasarkan pengalaman (indera) dan pembuktian secara empiris. Dalam suatu pembelajaran yang baik, entah itu matematika atau sains(fisika,kimia,biologi) kita tidak dapat menggunakan jawaban atas pertanyaan hanya dengan menggunakan salah satu di atas, namun ada baiknya kita menggunakan kedua2nya. Misalnya saja ada persoalan yang mengatakan bahwa tape dapat menyembuhkan kanker dengan 2 pandangan, padangan pertama melihat memperhatikan orang yang menderita kanker ketika memakan tape secara terus menerus dapat sembuh dan padangan yang satu hanya mempelajari keterkaitan antara tape dan kanker berdasarkan ilmu kimia, fisika dan biologi. Sedangkan pembuktian secara empiris belum ada. Hal seperti ini yang sebaiknya tidak kita gunakan dalam suatu pembelajaran, hal yang tidak mempunyai dasar hanya mitos sedangka pembuktian secara ilmiah belum ada. Karena itu pembelajaran yang baik adalah pembelajaran yang dapat membuat siswa dapat menemukan sendiri akan kebenaran suatu konsep atau dapat mengembangkan sikap ilmiah mereka. karena itu penting bagi mereka, ketika kita mampu mengkonstruksi suatu pemahaman di dalam diri siswa sesuai dengan kemampuan siswa itu sendiri.

    ReplyDelete
  20. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Menurut Kant matematika berhubungan erat dengan intuisi dan dalam menentukan objeknya secara apriori. Intuisi dalam matematika diperoleh berdasarkan pikiran individu yang kemudian selanjutnya akan dibangun kembali konsep-konsep berdasarkan intuisi secara sintetik apriori. Intuisi di dasarkan pada pengalaman masing-masing yang dimiliki siswa. Dengan pembelajaran menggunakan pendekatan yang menggunakan diskusi maka siswa dapat mengkomunikasikan pengalamannya masing-masing dalam menemukan suatu konsep baru.

    ReplyDelete
  21. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Matematika yang bersifat sintetik a priori dapat dikonstruksi melalui 3 tahap intuisi yaitu intuisi penginderaan, intuisi akal, dan intuisi budi.
    Intuisi penginderaan terkait dengan obyek matematika yang dapat dicerap sebagai unsur a posteriori.
    Intuisi akal mensintetiskan hasil intuisi penginderan ke dalam intuisi ruang dan waktu. Dengan intuisi budi rasio kita dihadapkan pada putusan-putusan argumentasi matematika.

    ReplyDelete