Oct 13, 2012

Thompson’s Notions of the Fallacies of Mathematical Intuition




By Marsigit
Yogyakarta State University

Thompson, P.,1993, elaborated that those who are eager to argue how futile it is to try and demarcate or even seek out an epistemologically safe subsystem of pure intuitive propositions which could be used as the basis for an unproblematic branch of mathematics, also tend to emphasize how often we fail to discriminate


reliable intuitions from processes known, post facto, to lead to false beliefs. Thompson 1 argued that in his attack on various popular accounts of intuition, insofar as they claim that intuition provides us with an incorrigible a priori knowledge of mathematics, Philip Kitcher cites several episodes from the history of mathematics when mathematicians have hailed something as intuitively self-evident to give it much the same status as we give to the Zermelo-Fraenkel axioms of set theory, subsequently turned out to be false. Thompson 2 exposed that when Frege toke any property to determine a set in which this is by no means the only case of its kind; and the great Gauss and Cauchy went astray by surrendering themselves to the guidance of intuition, and earlier still many mathematicians of the 18th century believed in the self-evidence of the law of continuity which states that what holds up to the limit, also holds at the limit; this also turns out to be a natural fallacy. Thompson 3 argued that this lead to disconcerting cases show that we cannot always apply Gödel's wedge and discriminate reliable or even a priori intuitions from processes known to lead to false beliefs.

Further, Thompson, P.,1993, insisted that in cases where experience suggests that the intuitive belief we have formed is misguided and this provides a stumbling-block for the thesis that our intuitions occupy the position of being a privileged warrant, by their very nature, for our beliefs, and somehow continue to justify them, whatever recalcitrant experience we come up against; similarly, the set-theoretical paradoxes threaten not so much the possibility of mathematical knowledge, as they now threaten either an a priori, or any other unduly perspicuous account of its nature. Thompson 4 concluded that these fallacies of intuition then, have gained a significant in the contemporary epistemology of mathematics, in which Georg Kreisel suggests that it has been somewhat overplayed; he claimed that this, no doubt, results from our memory bias which makes us, for the most part, recall surprises, memorable cases in which strong initial impressions were later disconfirmed, and ultimately it also leads to an overestimate of the dangers of intuitive thinking; he then stated:

Favourite examples of intuition going astray are often cases of over-simplifications, of applying schemas too generously where their domain of application has to be more finally demarcated. This happened when the Weierstrass M-test undermined the epistemic status of most proofs with casual interchanges of limits in double-limit or integral-summation processes, and, similarly, Zermelo's separation axiom was designed to allow limited comprehension on previously-constructed sets. Some intuitive beliefs have in fact been falsified by the progress of science - for example, the belief that at any given moment, a physical object is in a certain location and moving at a certain speed (pre-Heisenberg), or the pre-relativistic belief that time doesn't slow down when you travel at ten miles an hour. But the feeling is, that these examples only replace one form of intuitive justification with a finer one, so that in scientific contexts intuitive beliefs must be tested like any other hypothesis - they are equally defeasible, can be outweighed by theoretical evidence, and, like any other hypothesis, they can be overthrown. In the words of Imre Lakatos why not honestly admit mathematical fallibility, and try to defend the dignity of fallible knowledge from cynical scepticism, rather than delude ourselves that we can invisibly mend the latest tear in the fabric of our 'ultimate' intuitions? 5

Next, Thompson, P.,1993, in the sense of catching strong postulates in a broader intuitive net, insisted that there are several types of cut-off arguments which seem devastating against any ramifying plan such as that advocated by Gödel; by way of illustration, one of Gödel's original arguments in favor of the un-solvability of the generalized continuum problem, seemed to indicate intuitively that the continuum hypothesis will ultimately turn out to be wrong, while, on the other hand, we know that its disproof is demonstrably impossible, on the basis of the axioms being used today. Thompson 6 indicated that even our schematic means of definition in creating an apparently substantial hierarchy by recursion of our intuitive operations over the countable ordinals, guarantees that we have insidiously conferred an unwanted simplicity on what point-sets we are equipped with, to act as feedstock for ramifying our intuition. Thompson 7 also indicated that in-building the cognitive tendency, which hampers our attempts to ramify our intuition, we extend our mathematics into strongly-axiomatized domains, where new principles have a much freer rein than before, so that the potential domain of their application outstrips what we can readily specify using our old schemas, even suitably bolstered by using transfinite induction, or recursion, as ramifiers. Thompson 8 argued that, consequently, any familiarity we pretend to develop with these domains will be largely mediated by schemas developed on the subsystem, which we must therefore guard ourselves against cashing - as far as is consciously possible that is in the surrounding global domain. Thompson 9 summed up that inability to escape from intuiting formally simple subsystems of those domains into which we extend our mathematics, guarantees that the progress of ramifying our intuition will inevitably be skeletal.

Further, Thompson, P.,1993, argued that the progressive insinuation into the epistemologically-safer sub-domains of mathematics, can be partially held back by a revisionist struggle, such as that advocated by Hermann Weyl which consists of successively: updating, altering and refining our naive intuitions to diminish Frege's qualm; and subsequently decreasing the shortfall between our formal systems and the intuitions of the day, which they claim to represent i.e. reducing Brouwer's qualm. Thompson 10 claimed by this way, the conclusions will not be intuitively false, but simply not intuitively true, and the candidates for appraisal will behave like targets which are no longer just very far from the archer, but no longer even visible at all. In the sense of the analysts distance themselves from geometrical intuition and its role in extension problems, Thompson 11 insisted that the 19th century belief that our geometrical prejudices should be isolated and withdrawn from the formal presentation of proofs in analysis, led to the idea that our basic intuitions were too weak to have any decisive role to play in the subsequent development of mathematics; this, however, often meant that we had now begun to notice when inappropriate schemas were being used, or that we had become impatient on noticing that their unquestionable success at the conjectural stage.

References:
1 Thompson, P.,1993, The Nature And Role Of Intuition In Mathematical Epistemology, University College, Oxford University, U.K
2Ibid.
3Ibid.
4Ibid.
5Ibid.
6Ibid.
7Ibid.
8Ibid.
9 Ibid.
10 Ibid.
11 Ibid.

23 comments:

  1. ROFI AMIYANI
    S2 P.MAT A 2016
    16709251004

    Dari postingan diatas Thompson memberikan teorinya pada sekitar dua abad yang lalu bahwa prasangka geometris harus terhindar dari analisis abstrak yang transcendental. Namun geometri dan matematika pada umumnya harus konstekstual, selain itu, ia memberikan ide bahwa intuisi dasar memiliki peran penting dalam perkembangan matematika.

    ReplyDelete
  2. Bismillah
    Ratih Kartika
    16701251005
    PPS PEP B 2016



    Assalamualaikumwarahmatulahiwabarrakatuh

    Thompson mengindikasi bahwa dalam membangun kecenderungan kognitif yang menghalangi usaha kita untuk mencabang cabangkan intuisi kita , kita harus melebarkan matematika ke domain aksioma yang lebih kuat. Sehingga bisa dikombinasikan dengan induksi transfinite, rekursi sebagai pembatas.


    Terimakasih.

    ReplyDelete
  3. Rhomiy Handican
    16709251031
    PPs Pendidikan Matematika B 2016

    Thompson, P., 1993, bersikeras bahwa analisis yang menggabungkan kepastian, kognitif psikologis dari "intuisi" yang fundamental terhadap dugaan dan penemuan dalam matematika, dengan kepastian epistemis dari peran intuitif proposisi matematika harus bermain dalam pembenaran mereka . Dia menambahkan bahwa sejauh mana dugaan intuitif kita terbatas baik oleh sifat rasa pengalaman kita, dan dengan kemampuan kita untuk melakukan konseptualisasi.

    ReplyDelete
  4. Erlinda Rahma Dewi
    16709251006
    S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

    Thompson , P. , 1993 , dalam arti menangkap postulat yang kuat dalam jaringan intuitif yang lebih luas, bersikeras bahwa ada beberapa jenis argumen cut - off yang tampaknya menggagalkan rencana ramifying seperti yang dianjurkan oleh Gödel ; dengan cara ilustrasi, salah satu argumen asli Gödel mendukung tidak adanya solusi dari masalah kontinum umum, tampaknya menunjukkan intuitif bahwa hipotesis kontinum akhirnya akan berubah menjadi salah, sementara, di sisi lain, kita tahu bahwa pembantahan adalah terbukti mustahil, atas dasar aksioma yang digunakan saat ini . Thompson menunjukkan bahwa sarana skema definisi dalam menciptakan hierarki tampaknya besar dengan rekursi operasi intuitif kita selama ordinals dapat dihitung , jaminan bahwa kita telah diam-diam diberikan sebuah kesederhanaan yang tidak diinginkan pada titik - set kami, untuk bertindak sebagai bahan baku untuk ramifying intuisi kita.

    ReplyDelete
  5. Achmad Rasyidinnur
    16701251032
    PEP S2 B

    Thomson berpikiran bahwa filsafat artinya melihat suatu masalah secara total dengan tanpa ada batasan atau implikasinya; ia tidak hanya melihat tujuan, metode atau alat-alatnya, tetapi juga meneliti dengan seksama hal-hal yang dimaksud. Keseluruhan pikiran yang dimaksud tersebut merupakan upaya untuk menemukan hakikat masalah, sedangkan suatu hakikat itu dapat dibakukan melalui proses kompromi (Arifin, 1993: 2).

    ReplyDelete
  6. Achmad Rasyidinnur
    16701251032
    PEP S2 B

    If according to Kant mathematics is a reason that is constructing the concepts are synthetic a priori in concepts of space and time. Intuition spatial and time in general, which in turn is considered the underlying mathematics. Kant argues that the propositions of arithmetic should be synthetic in order to obtain new concepts. If only rely on the analytical method, then it will not be obtained for new concepts.(Kant, I., 1781)

    ReplyDelete
  7. Achmad Rasyidinnur
    16701251032
    PEP S2 B

    Berdasarkan pandangan tersebut kebenaran atas intuisi matematika dapat bertolak belakang dengan masing masing subjek. Dapat dikatakn perbedaan berdasarkan materinya, substansinya, atupun secara absolut, berbeda terhadap arti dan maksudnya. Berdasarkan pengetahuan analitik dan empirik.

    ReplyDelete
  8. Aprisal
    16709251019
    PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Assalamu Alaikum Wr.Wb

    Thompson menyatakan bahwa gagasan tentang intuisi seseorang harus baik, tegas dan benar, yang mana kesemua itu berasal teori yang menyatakan bahwa kemampuan indera merupakan kemampuan primitif yang diwariskan dari gaya filsafat Rene Descartes yang mencari kebenaran absolut tentang segala sesuai yang tidak tergoyahkan dan telah menolak semua kebenaran lainnya kecuali kebenaran yang menyatakan bahwa yang ada adalah dirinya yang sedang memikirkannya.

    Waalaikum salam wr.wb

    ReplyDelete
  9. Syahrial
    16701251015
    S2 PEP kelas B 2016
    Thompson menegaskan bahwa keyakinan abad ke-19 yang prasangka geometris harus diisolasi dan ditarik dari presentasi resmi dari bukti dalam analisis, memunculkan ide bahwa intuisi dasar yang terlalu lemah untuk memiliki peran menentukan untuk bermain dalam perkembangan matematika selanjutnya. bagaimanapun, sering berarti bahwa kita sekarang sudah mulai melihat ketika skema pantas sedang digunakan, atau bahwa kita telah menjadi tidak sabar pada menyadari bahwa keberhasilan perlu dipertanyakan pada tahap dugaan.

    ReplyDelete
  10. MUTIARA KUSUMAWATI
    16701251007
    PEP S2 B

    Thompson, P., mengungkapkan bahwa prasangka geometris harus terhindar dari analisis abstrak yang transcendental. Namun geometri dan matematika pada umumnya harus konstekstual, selain itu, ia memberikan ide bahwa intuisi dasar memiliki peran penting dalam perkembangan matematika. Thompson menunjukkan bahwa sarana skema definisi dalam menciptakan hierarki tampaknya besar dengan rekursi operasi intuitif kita selama ordinals dapat dihitung , jaminan bahwa kita telah diam-diam diberikan sebuah kesederhanaan yang tidak diinginkan pada titik - set kami, untuk bertindak sebagai bahan baku untuk ramifying intuisi kita.

    ReplyDelete
  11. Siska Nur Rahmawati
    16701251028
    PEP-B 2016



    Thompson menjelaskan bahwa dengan memiliki intuisi yang murni kita dapat memecahkan segala permasalahan matematika. Thrompson juga mengatakan bahwa jangan sampai kita salah dalam mengolah intuisi karena bisa menghasilkan pemikiran atau keyakinan yang palsu. Apalagi terhadap matematika yang kebenarannya itu hakiki.

    ReplyDelete
  12. Dita Nur Syarafina
    NIM. 16709251003
    PPs Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Thompson menyatakan bahwa ada kasus dimana keyakinan intuitif telah terbentuk akibat pengalaman sebagai hal yang sesat/ tidak tepat. Kesalahan-kesalahan dalam intuisi mungkin saja terjadi sehingga berakibat pada terhambatnya penyimpulan tesis dalam pikiran seseorang. Kesalahan uatama adalah pada pikiran kita sehingga intuisi yang terbentuk juga mengalami kesalahan, maka dari itu pengolahan pola berfikir penting.

    ReplyDelete
  13. MARTIN/RWANDA
    PEP2016PEP B
    It might be supposed that mathematical fallacies could be defined very simply. If all
    mathematical reasoning is formal and deductive, then surely mathematical fallacies
    are merely invalid arguments? This definition has several shortcomings. Firstly, there
    are many invalid mathematical arguments that would not normally be described as
    mathematical fallacies. Secondly, much reasoning in mathematics is conducted
    informally. So a satisfactory account of mathematical fallacies must explain what is
    distinctive about formal fallacies, beyond their invalidity, and also address informal
    fallacies.

    ReplyDelete
  14. Muh. Faathir Husain M.
    16701251030
    PPs PEP B 2016

    Kecenderungan Thompson disini adalah bahwa matematika bisa keliru jika mengikuti intusi dalam memikirkan struktur dalam matematika. Sejauh yang saya pahami ttg intuisi dalam matematika adalah, meng"konkrit"kan matematika yang abstrak keluar dari pikiran, namun yang keluar itu bukanlah matematika namun hanyalah buah dari pemikiran matematika. Sehingga agak keliru memang jika hal yang ada diluar yang membentuk kognisi dan logika matematika manusia.

    ReplyDelete
  15. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  16. 16701251016
    PEP B S2

    Gambaran geometri tanpa visualisasi adalah berupa kebenaran dalam alam fikiran saja, maka berbagai bentuk sebagai lambang maupun simbol diinterpretasikan dalam benda konkret sehingga tidak hanya kebenaran dalam akal, yang sangat riskan dalam obyektivitas.

    ReplyDelete
  17. Asri Fauzi
    16709251009
    Pend. Matematika S2 Kelas A 2016
    Pada artikel ini menunjukkan bahwa Thompson menunjukkan kekiliruan Godel dan Hilbert mengenai intuisi matematika. Thompson mengemukakan bahwa Gödel, dengan kemampuannya dalam logika transendental, senang berpikir bahwa logika kita hanya sedikit tidak fokus, dan berharap bahwa terdapat kesalahan kecil sehingga masih mampu melihat secara tajam dan mampu berpikir matematika secara benar. Kemudian, Thompson menyatakan bahwa Hilbert, tidak akan dapat meyakinkan kita bahwa matematika itu bersifat konsistensi untuk selamanya, karena itu kita harus puas jika sistem aksiomatis matematika seperti yang dibuat Hilbert dianggap konsisten, jika kita tidak mampu membuktikannya.

    ReplyDelete
  18. Rospala Hanisah Yukti Sari
    16790251016
    S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

    Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    Dari elegi tersebut, menurut Thompson pengetahuan yang dibangun dengan intuisi dapat dikembangkan. Intuisi penting dalam proses pembelajaran matematika, karena dengan intuisi siswa bisa memberikan respon terhadap permasalahan matematika yang disajikan. Karenanya, penting untuk mengembangkan intuisi yang benar dan akurat. Adapula filsuf Rene Descartes yang mengatakan bahwa ia hanya menerima sebuah kebenaran yang berasal dari pikiran dirinya. Menurut saya, pendapat Rene Descartes tersebut sebaiknya dihindari. Karena terkadang akal kita memiliki pemikiran yang terbatas, sehingga terkadang akal kita belum mampu memutuskan suatu kebenaran yang mutlak. Sehingga, kebenaran dapat juga diperoleh dari orang lain yang memang faqih (ahli) dalam suatu bidang. Adapun sebaik-baik kebenaran merupakan kebenaran yang dipandu dengan Wahyu Allah SWT yang firman-Nya tidak ada keraguan di dalamnya.

    Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.



    ReplyDelete
  19. Taofan Ali Achmadi
    16701251001
    PPs PEP B 2016

    Thompson menyatakan analisis yang menggabungkan kepastian, kognitif psikologis dari "intuisi" yang fundamental terhadap dugaan dan penemuan dalam matematika, dengan kepastian epistemis dari peran intuitif proposisi matematika harus bermain dalam pembenaran mereka . Dia menambahkan bahwa sejauh mana dugaan intuitif kita terbatas baik oleh sifat rasa pengalaman kita, dan dengan kemampuan kita untuk melakukan konseptualisasi.

    ReplyDelete
  20. ULFA LU'LUILMAKNUN
    16709251022
    S2 Pendidikan Matematika 2016 Kelas B

    Assalamualaikum Wr.Wb.

    Thompson menyimpulkan bahwa kesalahan-kesalahan intuisi telah mendapat perhatian dalam epistemologi kontemporer matematika, di mana Georg Kreisel menunjukkan bahwa telah bekerja berlebihan. Ia mengklaim bahwa tidak diragukan lagi, hasil dari bias ingatan kita yang membuat sebagian besar mengingat kejadian yang mengesankan di mana kesan awal yang kuat yang kemudian tidak dibenarkan, dan akhirnya juga mengarah ke terlalu tinggi akan bahaya pemikiran intuitif.

    Wassalamualaikum Wr.Wb.

    ReplyDelete
  21. Azwar Anwar
    16709251038
    Pendidikan Matematika S2 Kelas B 2016

    Thompson menyatakan bahwa intuisi matematika akan muncul setelah tahap olah pengalaman matematika. Bagi matematikawan, mathematical experiences adalah proses dan hasil-hasil riset matematika. Sedangkan bagi siswa sekolah pengalaman matematika dibangun diatas akumulasi keterampilan matematika yang didukung oleh pengetahuan atau pemahaman matematika. Selain itu juga perlu adanya dukungan sikap dan metode matematika serta motivasi dari siswa dalam belajar matematika.

    ReplyDelete
  22. Konstantinus Denny Pareira Meke
    NIM. 16709251020
    PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Thompson menyatakan bahwa gagasan tentang intuisi kita yang harus baik, tegas dan benar, berasal teori yang menyatakan bahwa kemampuan indera merupakan kemampuan primitif yang diwariskan dari gaya filsafat Rene Descartes yang mencari kebenaran absolut tentang segala sesuai yang tidak tergoyahkan, yang telah menolak semua pembenaran lainnya kecuali kebenaran diriyang menemukan bahwa dirinya yang ada adalah dirinya yang sedang memikirkannya. Thompson bersikeras bahwa meskipun dia mengakui kerja matematika menggunakan intuisi, tetapi adalah penting untuk membuat pendekatan pendekatan heuristik.

    ReplyDelete
  23. Nanang Ade Putra Yaman
    16709251025
    PPs PM B 2016

    Assalamualaikum
    dari tulisan diatas diketahui bahwa Thompson, P., mengungkapkan untuk dugaan geometris harus mengabaikan dan menghindari analisis abstrak yang transcendental. Thompson menunjukkan bahwa sarana skema definisi dalam menciptakan hierarki tampaknya besar dengan rekursi operasi intuitif kita selama ordinals dapat dihitung , jaminan bahwa kita telah diam-diam diberikan sebuah kesederhanaan yang tidak diinginkan pada titik - set kami, untuk bertindak sebagai bahan baku untuk ramifying intuisi kita. Pada artikel ini menunjukkan bahwa Thompson menunjukkan kekiliruan Godel dan Hilbert mengenai intuisi matematika. Thompson mengemukakan bahwa Gödel, dengan kemampuannya dalam logika transendental, senang berpikir bahwa logika kita hanya sedikit tidak fokus, dan berharap bahwa terdapat kesalahan kecil sehingga masih mampu melihat secara tajam dan mampu berpikir matematika secara benar.

    ReplyDelete

marsigitina@yahoo.com, marsigitina@gmail.com, marsigit@uny.ac.id