Oct 10, 2012

Elegi Menggapai "Ontology of Mathematics"




By Marsigit
Yogyakarta State University


Ross, D.S. (2003) states that there are some ontological questions in the Philosophy of Mathematics:

What is the origin of mathematical objects? In what way do mathematical objects exist? Have they always been present as 'Platonic' abstractions, or do they require a mind to bring them into existence? Can mathematical objects exist in the absence of matter or things to count?.



Since the beginning of Western philosophy 1, there are important philosophical problems: Do numbers and other mathematical entities exist independently on human cognition?

If they exist dependently on human cognition then how do we explain the extraordinary applicability of mathematics to science and practical affairs? If they exist independently on human cognition then what kind of things are they and how can we know about them? And what is the relationship between mathematics and logic?

The first question is a metaphysical question with close affinities to questions about the existence of other entities such as universals, properties and values.

According to many philosophers, if such entities exist then they do beyond the space and time, and they lack of causal powers. They are often termed abstract as opposed to concrete entities.

If we accept the existence of abstract mathematical objects then an adequate epistemology of mathematics must explain how we can know them; of course, proofs seem to be the main source of justification for mathematical propositions but proofs depend on axioms and so the question of how we can know the truth of the axioms remains.

It is advocated especially by Stuart Mill J. in Hempel C.G. (2001) that mathematics itself is an empirical science which differs from the other branches such as astronomy, physics, chemistry, etc., mainly in two respects: its subject matter is more general than that of any other field of scientific research, and its propositions have been tested and confirmed to a greater extent than those of even the most firmly established sections of astronomy or physics.

According to Stuart Mill J., the degree to which the laws of mathematics have been born out by the past experiences of mankind is so unjustifiable that we have come to think of mathematical theorems as qualitatively different from the well confirmed hypotheses or theories of other branches of science in which we consider them as certain, while other theories are thought of as at best as very probable or very highly confirmed and of course this view is open to serious objections.

While Hempel C.G. himself acknowledges that, from empirical hypothesis, it is possible to derive predictions to the effect that under certain specified conditions, certain specified observable phenomena will occur; the actual occurrence of these phenomena constitutes confirming evidence.

It 2 was concluded that an empirical hypothesis is theoretically un-confirmable that is possible to indicate what kind of evidence would disconfirm the hypothesis; if this is actually an empirical generalization of past experiences, then it must be possible to state what kind of evidence would oblige us to concede the hypothesis not generally true after all.

The mathematical propositions are true simply by virtue of definitions or of similar stipulations which determine the meaning of the key terms involved. Soehakso, RMJT, guides that mathematics validation naturally requires no empirical evidence; they can be shown to be true by a mere analysis of the meaning attached to the terms which occur in.

The exactness and rigor of mathematics 3 means that the understanding of mathematics follows the logical development of important peculiar mathematical methods, and of course is acquainted with major results especially in “foundations”.

The validity of mathematics, as it was stated by Hempel C.G., rests neither on its alleged self-evidential character nor on any empirical basis, but it also derives from the stipulations which determine the meaning of the mathematical concepts, and that the propositions of mathematics are therefore essentially "true by definition."

The rigorous 4 development of a mathematical theory proceeds not simply from a set of definitions but rather from a set of non-definitional propositions which are not proved within the theory.

Hempel states that there are the postulates or axioms of the theory and formulated in terms of certain basic or primitive concepts for which no definitions are provided within the theory.

The postulates themselves represent "implicit definitions" of the primitive terms while the postulates do limit, in a specific sense, the meanings that can possibly be ascribed to the primitives, any self-consistent postulate system admits. 5

Once the primitive terms and the postulates 6 have been laid down the entire theory is completely determined. Hence, every term of the mathematical theory is definable in terms of the primitives, and every proposition of the theory is logically deducible from the postulates.

Hempel adds that to be entirely precise, it is necessary to specify the principles of logic used in the proof of the propositions; these principles can be stated quite explicitly and fall into primitive sentences or postulates of logic.

Accordingly, any fact that we can derive from the axioms needs not be an axiom; anything that we cannot derive from the axioms and for which we also cannot derive 7 the negation might reasonably added as an axiom.

Hempel concludes that by combining the analyses of the aspects of the Peano system, the thesis of logicism was accepted that Mathematics is a branch of logic due to all the concepts of mathematics i.e. arithmetic, algebra, and analysis can be defined in terms of four concepts of pure logic and all the theorems of mathematics can be deduced from those definitions by means of the principles of logic.

References:
1 Posy, C., 1992, “Philosophy of Mathematics”, Retrieved 2004
2 In Hempel, C.G., 2001, “On the Nature of Mathematical Truth”, Retrieved 2004
3 Soehakso, RMJT, 1989, “Some Thought on Philosophy and Mathematics”, Yogyakarta: Regional Conference South East Asian Mathematical Society, p.3
4 In Hempel, C.G., 2001, “On the Nature of Mathematical Truth”, Retrieved 2004
5 Ibid
6 Ibid.
7 Ibid.

25 comments:

  1. Rhomiy handican
    16709251031
    PPs Pendidikan Matematika B 2016

    Dalam elegi ini, menjelaskan tentang ontology matematika. Sebelumnya pengertian dari ontology itu sendiri adalah teori mengenai apa yang ada, membahas tentang yang ada, yang tidak terikat oleh satu perwujudan tertentu. Ontologi berupaya mencari inti yang termuat dalam setiap kenyataan. Dalam ontologi matematika dipersoalkan cakupan dari pernyataan matematika, yang meliputi dunia nyata atau bukan. Matematika ditinjau dari aspek ontologi, dimana aspek ontologi telah menggaris bawahi bahwa pandangan ini mengkaji bagaimana mencari inti yang yang cermat dari setiap kenyataan yang ditemukan, membahas apa yang kita ingin ketahui, seberapa jauh kita ingin tahu, menyelidiki sifat dasar dari apa yang nyata secara fundamental. Dari pandangan tersebut maka dapat disimpulkan matematika bertujuan untuk mengurangi ketidakpastian dalam bahasa verbal.

    ReplyDelete
  2. Yurizka Melia Sari
    16701261003
    PPs PEP A 2016

    Elegi dalam menggapai ontologi matematika menguraikan tentang asal usul objek matematika, darimanakah matematika berasal, apakah matematika ada sebab independent atau bergantung kepada hasil pikir manusia. Ontologi membahas mengenai apa yang ada dan tentang yang ada. Dalam kaitannya dengan matematika maka ontologisnya adalah mencari pengertian menurut akar fundamental dari kenyataan matematika. Contoh dari ontologi matematika adalah segala sesuatu yang ada dalam matematika, seperti misalnya teorema-teorema. Teorema di dalam matematika akan dibuktikan secara logis, terstruktur, dan sistematis. Pembuktian teorema inilah yang merupakan salah satu contoh ontologi matematika yang diturunkan dari aksioma - aksioma serta pernyataan pangkal.

    ReplyDelete
  3. Achmad Rasyidinnur
    16701251032
    PEP S2 B

    Ontology of mathematics is concerned with the existence and nature of objects that mathematics is about. An important phenomenon in the field is the need of balancing between epistemological and ontological challenges. For instance, prima facie, the ontologically simplest option is to postulate the existence of abstract mathematical objects (like numbers or sets) to which mathematical terms refer. Yet, explaining how we, mundane beings, can have knowledge of such aspatial and atemporal objects, turns out to be quite difficult. The ontologically parsimonious alternative is to deny the existence of such objects.

    ReplyDelete
  4. Achmad Rasyidinnur
    16701251032
    PEP S2 B

    Ontology is usually conceived by philosophers as a question about existing things, the “stuff” the world is made of. Realism is often interpreted as the view that such and such objects exist; and the more sorts of objects one thinks there are, the more realist one is. In the extreme case one thinks that there is a domain populated by abstract, human-independent, eternally existing objects; thus one gets to be a Platonist.

    ReplyDelete
  5. Achmad Rasyidinnur
    16701251032
    PEP S2 B

    Pada beberapa penjelasan bahwa Ontologi matematika berusaha memahami keseluruhan dan kenyataan matematika, yaitu segala matematika yang mengada. Dalam kaitannya dengan matematika, pendekatan ontologis matematika adalah dengan mencari pengertian menurut akar dan dasar terdalam dari kenyataan matematika. Pendekatan ontologis digunakan untuk menerima kenyataan dalam matematika. Pendekatan ini berusaha untuk mengkaji bagaimana mencari inti dari setiap kenyataan yang ditemukan terkait matematika, membahas apa yang kita ingin ketahui tentang matematika, seberapa jauh kita ingin tahu, serta menyelidiki sifat dasar dari apa yang ada secara fundamental.

    Pendidikan matematika di sekolah seyogyanya diarahkan kepada peningkatan kemampuan bernalar (berfikir) dan pemecahan masalah dengan mempertimbangkan kemampuan siswa.
    Pembahasan pada ontologi pendidikan matematika adalah harus adanya pemahaman mengenai perkembangan peserta didik dalam setiap tahap pendidikan.

    ReplyDelete
  6. MUTIARA KUSUMAWATI
    16701251007
    PEP S2 B

    Secara sederhana ontologi bisa dirumuskan sebagai ilmu yang mempelajari realitas atau kenyataan konkret secara kritis.
    Ontologi Matematika merupakan segala aspek yang ada dalam ilmu matematika yang bersifat kongkrit. Contoh dari ontologi matematika adalah segala sesuatu yang ada dalam matematika, seperti misalnya teorema-teorema. Teorema di dalam matematika akan dibuktikan secara logis, terstruktur, dan sistematis. Pembuktian teorema inilah yang merupakan salah satu contoh ontologi matematika.

    ReplyDelete
  7. Bismillah
    Ratih Kartika
    16701251005
    PPS PEP B 2016



    Assalamualaikumwarahmatulahiwabarrakatuh
    Dari artikel diatas bahasan yang menarik adalah bahwa matematika adalah salah satu cabang ilmu logika dimana ada banyak teori tentang aritmetika, aljabar, analisis yang bisa di definisikan sebagai konsep logika dan teorema matematika.

    Terimakasih.
    Wassalamualaikumwarahmatulahiwabarakatuh

    ReplyDelete
  8. Syahrial
    16701251015
    S2 PEP kelas B 2016
    matematika ditinjau dari aspek ontologi, dimana aspek ontologi telah berpandangan untuk mengkaji bagaimana mencari inti yang yang cermat dari setiap kenyataan yang ditemukan, membahas apa yang kita ingin ketahui, seberapa jauh kita ingin tahu, menyelidiki sifat dasar dari apa yang nyata secara fundamental.

    ReplyDelete
  9. Syahrial
    16701251015
    S2 PEP kelas B 2016
    saya tertarik dengan kata-kata berikut: Hempel concludes that by combining the analyses of the aspects of the Peano system, the thesis of logicism was accepted that Mathematics is a branch of logic due to all the concepts of mathematics i.e. arithmetic, algebra, and analysis can be defined in terms of four concepts of pure logic and all the theorems of mathematics can be deduced from those definitions by means of the principles of logic.
    dari kata-kata tersebut dapat disesuakan dengan ontologi, karena pada dasarnya ontologi itu membahas tentang realitas, sedangkan matematika yang hakekatnya menggunakan logika, sehingga ketercapaian realitas itu jauh lebih mungkin.

    ReplyDelete
  10. Musa marengke
    S3 PEP Kelas A,2016
    Dalam sejarahnya, hemenitika keilmuan, seperti matematika menghasilkan forma interaksi yaitu Positivisme dan Saintifisme beserta turunan-turunan dalam bentuk sintak-sintak praksis kependidikan, misalnya pendekatan Saintifik, Projek Based Learning, Problem Based-Learning, Cooperative Learning, Contextual Learning, dst.

    ReplyDelete
  11. Musa Marengke
    S3 PEP Kelas A, 2016
    Matematika boleh dibilang sebagai ilmu tafsir yang menafsirkan fenomena obyek dengan logika positibism Murni, makanya matematika Murni bersifat tautologis dengan indikator kebenarannya adalah Konsistensi. Jika tidak konsisten dikatakan bersifat kontradiksi tautologis. Semua Ilmu Formal termasuk dalam kategori ini yaitu Sain Murni, Fisika Murni, Biologi Murni, dst. (Penulis: itulah ilmunya untuk orang dewasa). Singkat kata, ilmu-ilmu dengan Objek Pikir bersifat analitik a priori. Mereka mampu memikirkannya walaupun belum memersepsi objeknya.

    ReplyDelete
  12. Musa marengke
    S3 PEP Kelas A,2016
    Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atau notasi matematika yang bernilai global (universal). Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena itu logika adalah dasar terbentuknya matematika.

    ReplyDelete
  13. Rospala Hanisah Yukti Sari
    16790251016
    S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

    Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    Berdasarkan buku filsafat ilmu dan perkembangannya di Indonesia karya Drs. Surajiyo, Ontologi dalam hal ini membicarakan tentang yang ada. Dalam kaitannya dengan ilmu, landasan ontologi mempertanyakan tentang apa yang ditelaah oleh ilmu? Bagaimana hubungan antara objek tadi dengan daya tangkap manusia yang membuahkan pengetahuan?
    Sehingga, dalam kaitan dengan pembelajaran matematika, ontologi dalam matematika, apa saja yang ditelaah dalam matematika?, bagaimana hubungan antara matematika dengan daya tangkap manusia yang membuahkan pengetahuan?. Maka hendaknya, guru memahami bagaimana esensi matematika dan apa saja yang ditelaah dalam matematika dan hubungan dari daya tangkap manusia yang membuahkan pengetahuan.

    Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    ReplyDelete
  14. Siska Nur Rahmawati
    16701251028
    PEP-B 2016



    Untuk menggapai ontology of maaathematics, kita perlu memahami bahwa matematika adalah sebuah disiplin ilmu yang digunakan untuk membantu manusia dalam menyelesaikan masalah yang ada dalam kehidupan sehari-hari. Ontology memandang aspek kongkret dalam matematika seperti teorema-teorema, geometri dan materi lain. Secara konkret, materi tersebut dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah-masalah dalam kehidupan nyata manusia.

    ReplyDelete
  15. Erlinda Rahma Dewi
    16709251006
    S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

    Menurut Ross DS (2003), contoh dari pertanyaan ontologi matematika yaitu darimana objek matematika itu berasal? Bagaimana objek filsafat itu ada? Apakah mereka ada seperti halnya abstraksi Platonis atau memerlukan pikiran untuk membuatnya ada? Dapatkah obyek matematika ada tanpa perhitungan? Hempel menyimpulkan bahwa dengan menggabungkan analisis aspek dari sistem Peano, tesis logicism diterima bahwa Matematika merupakan cabang dari logika karena semua konsep matematika yaitu aritmatika, aljabar, dan analisis dapat didefinisikan dalam hal empat konsep logika murni dan semua teorema matematika dapat disimpulkan dari definisi tersebut dengan prinsip-prinsip logika.

    ReplyDelete
  16. ROFI AMIYANI
    S2 P.MAT A 2016
    16709251004

    Ontologi adalah ilmu tentang yang ada. Ontologi matematika berusaha memahami keseluruhan dari kenyataan matematika. Ross, DS (2003) menyatakan bahwa ada beberapa pertanyaan ontologis dalam Filsafat Matematika: Apa hakekat objek matematika? Dengan cara bagaimana memperoleh objek matematika tersebut? Apakah objek matematika merupakan ide seperti yang dipikirkan plato? Dapatkah objek matematika ada tanpa adanya objek lain?

    ReplyDelete
  17. 16701251016
    PEP B S2

    Konsep logika dalam matematija adalah bersifat empiris, sesuai tingkat perkembangannya. Perkembangab yang di maksud adalah perubahan proses kognisi yang berkembang dari sejak lahir yang tentunya semakin komplek dan abstrak sesuau dengan prinsip dalam matematika yang ada

    ReplyDelete
  18. Nira Arsoetar
    16709251018
    PPS UNY Pendidikan Matematika
    Kelas A

    Ontologi matematika merupakan segala hal yang menyangkut dan berhubungan dengan matematika. Dalam elegi ini digambarkan untuk mencapai ontologi matematika terdapat urutan yang sistematis berawal dari hipotesis empiris yang menunjukkan sebuah bukti, berlanjut ke proporsi matematika, ketepatan dan ketelitian, validitas, dalil, aksioma, logika beserta negasinya, sehingga penggabungan analisis aspek dari semua konsep matematika dapat didefinisikan dalam logika dan teorema dengan cara prinsip-prinsip logika.

    ReplyDelete
  19. Niswah Qurrota A'yuni
    NIM. 16709251023
    PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas B 2016

    Assalamu'alaikum Wr.Wb.,

    Ontologi matematika adalah matematika ada dalam pikiran yang terbebas dari ruang dan waktu. Matematika ada dari pemikiran tentang abstraksi objek matematika. Selanjutnya disebut sebagai objek pikir matematika. Contoh objek pikir matematika adalah lingkaran, kubus, bilangan, operasi hitung, dst.

    Wassalamu'alaikum Wr.Wb.

    ReplyDelete
  20. Muhlis Malaka
    16701269003
    PEP A 2016

    Ontologis merupakan sebuah kajian filasafat ilmu yang membahas tentang hakekat sesuatu yang ada, baik yang abstrak maupun nyata (kongkrit). Bertolak dari pengertian diatas, maka Ontologi matematika adalah membahas hakekat dari segala komponen yang terdapat dalam matematika itu sendiri. Kesadaran ontologis menurut Prof. Dr. Marsigit, MA, yaitu berusaha merefleksikan dan menginterpretasikan persoalan matematika dan kemudian secara implisit menjadidikannya sebagai sebuah pengetahuan yang berguna dalam berinteraksi dengan sesama manusia, serta secara iksplisit dapat dirumuskan dalam bentuk formal yang disesuaikan dengan tema-tema setiap permasalahan yang ada.

    ReplyDelete
  21. Muhlis Malaka
    16701269003
    PEP A 2016

    Menurut Prof. Dr. Marsigit, MA, bahwa kajian matematika secara ontologis tidak bisa dimalai dengan membuat definisi-definisi atau membuat teorema-teorema tentang prinsip dasar matematika (secara nyata), karena akan mempersempit batas-batas pemikiran dan dengan demikian akan menghambat proses berfikir terhadap persoalan-persoalan dasar lain dalam matematika.

    ReplyDelete
  22. MARTIN/RWANDA
    PPS2016PEP B
    An ontological theorist generally begins his discussion with a preconceived notion of what
    kind of thing an object will turn out to be. Instead, we will here begin with a Thomassonian
    approach to the ontology of mathematics. First, let us consider what happens when we
    rst come to determine a mathematical proposition (which I will use synonymously with
    'mathematical entitty'). A mathematician does not feel as though he creates mathematical
    theories. Pythagoras can hardly be thought to have created the claim that a2 + b2 = c2. It
    becomes clear that a mathematical proposition is a discovered one; that is, we would hardly
    nd ourselves contending that Pythagoras created his famous theorem. Regardless of who
    discovers it, the same mathematical proposition would be discovered.

    ReplyDelete
  23. MARTIN/RWANDA
    PPS2016PEP B
    An ontological theorist generally begins his discussion with a preconceived notion of what
    kind of thing an object will turn out to be. Instead, we will here begin with a Thomassonian
    approach to the ontology of mathematics. First, let us consider what happens when we
    rst come to determine a mathematical proposition (which I will use synonymously with
    'mathematical entitty'). A mathematician does not feel as though he creates mathematical
    theories. Pythagoras can hardly be thought to have created the claim that a2 + b2 = c2. It
    becomes clear that a mathematical proposition is a discovered one; that is, we would hardly
    nd ourselves contending that Pythagoras created his famous theorem. Regardless of who
    discovers it, the same mathematical proposition would be discovered.

    ReplyDelete
  24. Musa marengke
    S3 PEP Kelas A, 2016

    Membaca esay pak prof diatas dapat diasumsikan bahwa dalam matematika, konsep mengenai Ontologi adalah teori mengenai apa yang ada, dan membahas tentang yang ada, yang tidak terikat oleh satu perwujudan tertentu. Eksistensi dari entitas-entitas matematika juga menjadi bahan pemikiran filsafat.

    ReplyDelete
  25. ULFA LU'LUILMAKNUN
    16709251022
    S2 Pendidikan Matematika 2016 Kelas B

    Assalamualaikum Wr.Wb.

    Ontologi merupakan ilmu yang yang mempelajari tentang ada atau keberadaan. Jika kita menerima keberadaan objek matematika abstrak maka epistemologi yang memadai matematika harus menjelaskan bagaimana kita bisa mengenalnya. Bukti tampaknya menjadi sumber utama pembenaran untuk proposisi matematika tetapi bukti bergantung pada aksioma dan pertanyaan tentang bagaimana kita bisa tahu kebenaran dari aksioma tetap.

    Wassalamualaikum Wr.Wb.

    ReplyDelete

marsigitina@yahoo.com, marsigitina@gmail.com, marsigit@uny.ac.id