## Oct 10, 2012

### Elegi Menggapai "Logicism as the Epistemological Foundation of Mathematics"

By Marsigit
Yogyakarta State University

In his Principia Mathematica, Irvine A.D. elaborates that Logicism was first advocated in the late seventeenth century by Gottfried Leibniz and, later, his idea is defended in greater detail by Gottlob Frege.

Logicism 1 is the doctrine that Mathematics is reducible to Logic.

According to Irvine A.D., Logicism, as the modern analytic tradition, begins with the work of Frege and Russell for both of whom mathematics was a central concern.

He propounds that mathematicians such as Bernard Bolzano, Niels Abel, Louis Cauchy and Karl Weierstrass succeed in eliminating much of the vagueness and many of the contradictions present in the mathematical theories of their day; and by the late 1800s, William Hamilton had also introduced ordered couples of reals as the first step in supplying a logical basis for the complex numbers.

Further, Irvine A.D. (2003) sets forth that Karl Weierstrass 2, Richard Dedekind and Georg Cantor had also all developed methods for founding the irrationals in terms of the rationals; and using work by H.G. Grassmann and Richard Dedekind, Guiseppe Peano had then gone on to develop a theory of the rationals based on his now famous axioms for the natural numbers; as well as by Frege's day, it was generally recognized that a large portion of mathematics could be derived from a relatively small set of primitive notions.

For logicists 3, if mathematical statements are true at all, they are true necessarily; so the principles of logic are also usually thought to be necessary truths.

Frege 4 attempts to provide mathematics with a sound logical foundation.

On the other hand, Wilder R.L. persists that the effort to reduce mathematics to logic arose in the context of an increasing systematization and rigor of all pure mathematics, from which emerged the goal of setting up a comprehensive formal system which would represent all of known mathematics with the exception of geometry, insofar as it is a theory of physical space.

The goal of logicism 5 would then be a comprehensive formal system with a natural interpretation such that the primitives would be logical concepts and the axioms logical truths.

Eves H. and Newsom C.V. (1964) maintain that Russell, in his Principia of Mathematica starts with primitive ideas and primitive propositions to correspond the undefined terms and postulates of a formal abstract development.

Those primitive ideas and propositions 6 are not to be subjected to ίnterpretation but are restricted to intuitive cοncepts of logic; they are tο be regarded as, or at least are to be accepted as, plausible descriptions and hypotheses concerning the real world.

Eves H. and Newsom C.V. further specifies that the aim of Principia of Mathematica is to develop mathematical concepts and theorems from these prίmitive ideas and propositions, starting with a calculus οf propositions, proceeding up through the theory of classes and relations tο the establishment of the natural number system, and thence to all mathematics derivable from the natural number system.

Specifically, Eves H. and Newsom C.V. ascribe the following:
To avoid the contradictίons of set theory, Principia of Mathematica employs a theory of types that sets up a hierarchy of levels of elements. The primary elements constitute those of type 0; classes of elements of type 0 constitute those of type 1 ; classes of elements of type 1 constitute those of type 2; and so οn.

Ιn applying the theory of types, one follows the rule that all the elements of any class must be of the same type.

Adherence to this rule precludes impredίcative definitions and thus avoids the paradoxes of set theory.

As originally presented in Principia of Mathematica, hierarehies within hierarehies appeared, leading to the so-called ramίfied theory of types.

Ιn order to obtain the impredίcative definitions needed to establish analysis, an axiom of reducibility had to be introduced.

The nonprimitίve and arbitrary character of this axiom drew forth severe criticίsm, and much of the subsequent refinement of the logistic program lies in attempts to devise some method of avoiding the disliked axiom of reducibility. 7

On the other hand, Posy C. enumerates that as a logicist, Cantor is not concerned with what a number; instead, he wonders of the two sets of objects which have the same number.

Cantor 8 defines the notion of similarity of size i.e. equality of cardinal that two sets have the same cardinality if there exists a one to one mapping between them which exhausts them both.

Cantor 9 shows cardinality of Q = cardinality of N by showing one to one mapping; and he found that a denumerable set is one that can be put into a one to one correspondence with the set of natural numbers.

Cantor 10 conjectures that there are only two types of cardinal numbers: finite or infinite; thus all infinite sets would be of the same size; however, he proved this conjecture false because the set of R is larger than N; in fact there are more real numbers between zero and one than there are total natural numbers.

Furthermore, Posy C. indicates that the implication of Cantor’s investigation of infinity is that there is no longer taboo to learn it and infinity is accepted as a notion with rich content and central to mathematics as well as that a conceptual foundation for the calculus was provided that is all notions of mathematics was reduced to the ideas of natural numbers and the possibly infinite set.

By showing one to one mapping. Cantor proves that the set N x N = {(1,1), (2,1), (1,2), (1,3), (2,2), …} is denumerable. However, as Posy C. 11 claims there is also resistance of Cantor’s work.

Kronecker 12, for example criticizes that thought all Cantor did was nonsense because they just the artificial work of man; he wonders of mathematics has been reduced to natural numbers and sets and argues about the rigor behind natural numbers, what are natural numbers, why does the reduction stop there; and concluded that there is a general move towards creating a non-intuitive conceptual framework for natural numbers.

Still in the sphere of logicism, Zalta E.N. (2003) contends that Frege formulates two distinguished formal systems and used these systems in his attempt both to express certain basic concepts of mathematics precisely and to derive certain mathematical laws from the laws of logic; in his system, of 1879, he develops a second-order predicate calculus and used it both to define interesting mathematical concepts and to state and prove mathematically interesting propositions.

However, in his system of 1893/1903, Frege 13 addes (as an axiom) what he thought was a distinguished logical proposition (Basic Law V) and tried to derive the fundamental theorems of various mathematical (number) systems from this proposition.

According to Zalta E.N. (2003), unfortunately, not only did Basic Law V fail to be a logical proposition, but the resulting system proved to be inconsistent, for it was subject to Russell's Paradox.

Meanwhile, Folkerts M. (2004) designates that Logicist program was dealt an unexpected blow by Bertrand Russell in 1902, who points out unexpected complications with the naive concept of a set.

However, as it was stated by Irvine A.D that Russell’s famous of the logical or set-theoretical paradoxes arises within naive set theory by considering the set of all sets which are not members of themselves.

Such a set appears to be a member of it self if and only if it is not a member of itself.

Some sets, such as the set of teacups, are not members of themselves and other sets, such as the set of all non-teacups, are members of themselves.

Russell 14 lets us call the set of all sets which are not members of themselves S; if S is a member of itself, then by definition it must not be a member of itself; similarly, if S is not a member of itself, then by definition it must be a member of itself.

The paradox 15 itself stems from the idea that any coherent condition may be used to determine a set or class.

References:
Irvine, A.D., 2003, Principia Mathematica, Stanford Encyclopedia of Philosophy, Retrieved 2004
2Ibid.
3 Ibid.
4 Ibid.
5 Wilder, R. L. , 1952, “Introduction to the Foundation of Mathematics”, New York, p.206
6 Eves, H and Newsom, C.V., 1964, An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics, New York: Holt, Rinehart and Winston, p.287
7Posy, C. ,1992, “Philosophy of Mathematics”. Retreived 2004
8Ibid.
9 Ibid.
10 Ibid.
11In Posy, C. ,1992, “Philosophy of Mathematics”. Retreived 2004
12Ibid.
13Zalta, E.N., 2003, “Frege's Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic”, Stanford Encyclopedia of Philosophy, Retrieved 2004
14Irvine, A.D., 2003, “Principia Mathematica”, Stanford Encyclopedia of Philosophy, Retrieved 2004
15Ibid.

1. Rhomiy Handican
16709251031
PPs Pendidikan Matematika B 2016

Elegi Menggapai "Logicism as the Epistemological Foundation of Mathematics". Menjelaskan bahwa logicisme sebagai pondasi epistomologi matematika. Logicisme merupakan cabang filsafat yang berpangkal pada penalaran, dan sekaligus juga sebagai dasar filsafat dan sebagai sarana ilmu. Menurut salah satu ahli filsafat, Irvine AD, menganggap logicisme sebagai tradisi analitik modern, matematika menjadi pusat perhatian. Menurutnya, bahwa pernyataan matematika yang benar sama sekali, itu adalah sudah tentu benar, sehingga prinsip-prinsip logika juga biasanya dianggap kebenaran yang diperlukan.

2. Bismillah
Ratih Kartika
16701251005
PPS PEP B 2016

Assalamualaikumwarahmatulahiwabarrakatuh
Dari artikel tersebut kita belajar bahwa logisism erat kaitannya dengan logika/rasio yang digunakan. Tujuan dari logisisme ini adalah menjadi system formal yang komprehensif dengan intrepretasi natural/alamiah (logika konsep dan logika kebenaran aksioma). DItambahkan oleh Eves dan Newsom dalam bukunya Principia Matematika bahwa matematka dimulai dari ide ide primitive dan proposisi untuk mengkoordinasikan istilah yang belum terdefinisikan dan perkembangan postulat abstrak.

Terimakasih.
Wassalamualaikumwarahmatulahiwabarakatuh

16701251032
PEP S2 B

Pada abad ke enambelas (16) pada masa yunani pemikiran yang sangat fenomenal saat itu adalah pemikiran rasionalisme sebagai pemikiran yang berkembaang dimana pada masa itu pemikiran menjadi sangat masif. Kekuatan pikiran sangat mendominasi perilaku dan pemikiran itu mendjadikan bahwa ilmu pengetahuan adalah pengetahuan yang sebenar-benarnya pengetahuan. Pemikiran rasionalisme sebagai pondasi terhadap segala jenis pemikiran, perbuatan, perkataan, dan perubahan.

16701251032
PEP S2 B

Logika sebagai tolak ukur ilmu pengetahuan dapat diterima bagi para pemikiran rasionalisme. Namun bertolak belakang bagi kaum empirisme. Meskipun pada masa belakangan menyatakan bahwa kedua pemikiran tersebut saling melengkapi bagi perkembagnan ilmu pengetahuan kedepan. Sehingga jika dikatakan bahwa pemikiran a priori dijadikan landasan epistemologi pengetahuan, maka sebagian mendukung kebenaran yang tidak sepenuhnya benar.

16701251032
PEP S2 B

Pada substansi ilmu pengetahuan semakin tampak klasifikasi ilmu pengetahuan berdasrkan ranah dan pembagian wilayah kerjanya. Matematika sebagai ilmu pengetahuan pasti, ilmu eksak , diandalkan sebagai pengetahuan yang tidak membutuhkan kemampuan indrawi untuk mendefinisikan pengetahuan yang ingin diungkapkan. Maka dengan konteks rasional, maka dapat disimpulkan problematika kehidupan yang tertutama berkaitan dengan pengalaman a priori.

6. Syahrial
16701251015
S2 PEP kelas B 2016
Menurut Irvine Masehi, logicism, sebagai tradisi analitik modern, dimulai dengan karya Frege dan Russell untuk keduanya matematika adalah pusat perhatian. sehingga para pengikut aliraan logika mengatakan bahwa sebenarnya ilmu itu adalah yang di dapat dari logika, sehingga mereka mengatakan bahwa matematika murni merupakan ilmu karena menggunakan logika.

7. Syahrial
16701251015
S2 PEP kelas B 2016
Matematika merupakan metode dari logika dan sarana untuk mengungkapkan masalah dalam dunia nyata. Pengembangan matematika memerlukan jaminan dengan menggunakan aturan-aturan dalam logika, tetapi tidak dapat dikembangkan hanya dari logika. Logika matematika adalah konstruksi manusia yang dibangun melalui bahasa, kesepakatan sosial, dan penerimaannya atas aturan bahasa. Logika matematika mencerminkan hubungan timbal balik antara matematika dan logika. Matematika merupakan metode dari logika dan logika merupakan penjamin kebenaran matematika.

8. Rospala Hanisah Yukti Sari
16790251016
S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

Untuk mencegah kontradiksi dari kumpulan teori, dasar-dasar dari matematika menggunakan sebuah teori dari tipe yang menyebabkan sebuah hirarki dari level unsur. Unsur-unsur primer terdapat dari lambang 0; kelas dari unsur-unsur dari tipe 0 terdapat dari lambang 1; kelas dari unsur-unsur dari tipe 1 terdapat dari lambang 2, dst.

Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

9. Erlinda Rahma Dewi
16709251006
S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

Logicism adalah doktrin bahwa Matematika adalah direduksi ke Logic. Tradisi analitik modern dimulai dengan karya Frege dan Russell untuk keduanya matematika adalah perhatian sentral. Sebagai logicists menyatakan bahwa pernyataan matematis, jika mereka benar sama sekali, adalah benar tentu, maka prinsip-prinsip logika juga biasanya dianggap kebenaran yang diperlukan, mungkin maka kebenaran matematika yang benar-benar kebenaran logis hanya rumit. Logicism adalah nama yang diberikan untuk program penelitian yang diprakarsai oleh Frege dan dikembangkan oleh Russell dan Whitehead tujuan yang adalah untuk menunjukkan bagaimana matematika direduksi menjadi logika.

10. Siska Nur Rahmawati
16701251028
PEP-B 2016

Logisme adalah sebuah pandangan di mana kita menggunakan logika kita untuk memandang sesuatu yang ada dan yang mungkin ada di dunia ini. Dalam kaitannya dengan matematika, matematika adalah ilmu yang abstrak. Penggunaan logika diharapkan dapat mengkonkretkan matematika sehingga sesuai dengan rasio yang ada di pikiran kita. Pengalaman dan pengetahuan konkret akan membantu kita dalam memahami matematika.

11. 16701251016
PEP B S2

Dalam matematika juga dikenal dengan reduksi, reduksi yang ada adalah terkait dengan ideEpemikiran terhadap obyek matematika itu sendiri. Formalnya seluruh obyek yang ada dan mubgkin ada dari matematika adalah diperlukan berbagai metode sehingga secara ektensif dan intensif pemikiran matematika tersebut akan dengan pesat berkembang, dan menembus ruang dan waktu sebagai pembaharuan terhadap ide yang dianggap primitif dan kurang bisa diterima akal pikiran

12. Nira Arsoetar
16709251018
PPS UNY Pendidikan Matematika
Kelas A

13. ROFI AMIYANI
S2 P.MAT A 2016
16709251004

Dalam karyanya Principia Mathematica, Irvine AD menjelaskan bahwa logicism pertama kali menganjurkan pada akhir abad ketujuh belas oleh Gottfried Leibniz dan, kemudian, idenya dipertahankan secara lebih rinci oleh Gottlob Frege. Disini terdapat beberapa logicism. Logicism adalah filsafat matematika yang berpendirian bahwa matematika dapat dianggap sebagai logika. Dalam filsafat logicism, nilai kebenaran suatu konsep matematika ditentukan oleh nilai kebenaran konsep yang terdahulu.

14. Niswah Qurrota A'yuni
NIM. 16709251023
PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas B 2016

Assalamu'alaikum Wr.Wb.,

Logisisme adalah doktrin bahwa Matematika dapat direduksi ke Logis. Russel menyatakan matematika dan logika merupakan bidang yang sama karena seluruh konsep dan dalil matematika dapat diturunkan dari logika. Beliau menyatakan keduanya berkembang dalam zaman modern. Logika telah menjadi bersifat matematis dan matematika menjadi bersifat lebih logis. Kedua hal tersebut adalah satu, bahwa logika merupakan masa muda dari matematika dan matematika merupakan masa dewasa dari logika.

Wassalamu'alaikum Wr.Wb.

15. MARTIN/RWANDA
PPS2016PEP B
The aim of the philosophy of mathematics is to provide an account of the nature and methodology of mathematics and to understand the place of mathematics in people's lives. The logical and structural nature of mathematics itself makes this study both broad and unique among its philosophical counterparts.

16. Logisme memandang bahwa Matematika sebagai bagian dari logika. Pernyataan ini dikemukakan oleh G. Leibniz. Dua pernyataan penting yang dikemukakan di dalam aliran ini, yaitu:
a. Semua konsep matematika secara mutlak dapat disederhanakan pada konsep logika
b. Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma dan aturan melalui penarikan kesimpulan secara logika semata.
aliran ini, seluruh matematika dari sejak jaman kuno perlu dikonstruksi kembali
ke dalam term-term logika dan tentu saja programnya adalah mengubah seluruh
matematika ke dalam logika. Semua konsep matematika haruslah dirumuskan
dalam term-term logika dan semua teorema matematika harus dikembangkan
sebagai teorema logika. Tesis ini muncul sebagai upaya untuk meletakkan pondasi
matematika ke tempat yang paling dasar dan paling dalam. Pondasi matematika
yang saat ini digunakan dibangun dengan sistem bilangan real, didorong ke sistem
bilangan asli, dan akhirnya didorong lagi ke teori himpunan.

17. ULFA LU'LUILMAKNUN
16709251022
S2 Pendidikan Matematika 2016 Kelas B

Assalamualaikum Wr.Wb.

Epistemologi merupakan pengetahuan dari segi isinya, sedangkan logika merupakan kebenaran ditinjau dari segi bentuknya. Menurut Rudolf Carnap (1931) konsep matematika dapat diturunkan dari konsep-konsep logika dengan melalui batasan-batasan yang jelas. Dalil-dalil matematika dapat diturunkan dari aksioma-aksioma logika dengan perantara deduksi logis secara murni. Menurut Betrand Russel, logika adalah masa muda matematika dan matematika adalah masa dewasa logika.

Wassalamualaikum Wr.Wb.

marsigitina@yahoo.com, marsigitina@gmail.com, marsigit@uny.ac.id