## Oct 10, 2012

### "Elegi Menggapai "Constructivism as the Epistemological Foundation of Mathematics"

By Marsigit
Yogyakarta State University

Wilder R.L.(1952) illustrates that as a complete rejection of Platonism, constructivism is not a product of the situation created by the paradoxes but rather a spirit which is practically present in the whole history of mathematics. The philo-sophical ideas taken go back at least to Aris¬totle's analysis of the notion of infinity. Kant's philosophy of mathematics can be interpreted in a constructivist manner. While constructivist 1 ideas

were presented in the nineteenth century-notably by Leopold Kronecker, who was an important forerunner of intuition¬ism-in opposition to the tendency in mathematics toward set-theoretic ideas, long before the paradoxes of set theory were discovered. Constructivist mathematics 2 proceed as if the last arbiter of mathematical existence and mathe¬matical truth were the possibilities of construction.
Mathematical constructions 3 are men¬tal and derive from our percep¬tion of external objects both mental and physical. However, the passage 4 from actuality to possibility and the view of possibility as of much wider scope perhaps have their basis in intentions of the mind-first, in the abstraction from concrete qualities and existence and in the abstraction from the limitations on generating sequences. In any case, in constructive mathematics, the rules by which infinite sequences are generated not merely a tool in our knowledge but part of the reality that mathe¬matics is about. Constructivism 5 is implied by the postulate that no mathematical proposition is true unless we can, in a non-miraculous way, know it true. For mathematical constructions, a proposition of all natural numbers can be true only if it is determined true by the law according to which the sequence of natural numbers is generated.
Mathematical constructions 6 is something of which the construction of the natural numbers. It is called an idealization. However, the construction will lose its sense if we abstract further from the fact that this is a process in time which is never com¬pleted. The infinite, in constructivism, must be potential rather than actual. Each individual natural number can be constructed, but there is no construction that contains within itself the whole series of natural numbers. A proof in mathematics 7 is said to be constructive if wherever it involves the men¬tion of the existence of something and provides a method of finding or constructing that object. Wilder R.L. maintains that the constructivist standpoint implies that a mathematical object exists only if it can be constructed. To say that there exists a natural number x such that Fx is that sooner or later in the generation of the sequence an x will turn up such that Fx.
Constructive mathematics is based on the idea that the logical connectives and the existential quantifier are interpreted as instructions on how to construct a proof of the statement involving these logical expressions. Specifically, the interpretation proceeds as follows:
1. To prove p or q (`p q'), we must have either a proof of p or a proof of q.
2. To prove p and q (`p & q'), we must have both a proof of p and a proof of q.
3. A proof of p implies q (`p q') is an algorithm that converts a proof of p into a proof of q.
4. To prove it is not the case that p (` p'), we must show that p implies a contradiction.
5. To prove there exists something with property P (` xP(x)'), we must construct an object x and prove that P(x) holds. 8
6. A proof of everything has property P (` xP(x)') is an algorithm that, applied to any object x, proves that P(x) holds.
Careful analysis of the logical principles actually used in constructive proofs led Heyting to set up the axioms for intuitionistic logic. Here, the proposition n P(n) n P(n) need not hold even when P(n) is a decidable property of natural numbers n. So, in turn, the Law of Excluded Middle (LEM): p p 9

References:
1 Wilder, R. L. , 1952, “Introduction to the Foundation of Mathematics”, New York, p.204
2Ibid.p.204
3 Brouwer in Wilder, R. L. , 1952, “Introduction to the Foundation of Mathematics”, New York, p.204
4 Wilder, R. L. , 1952, “Introduction to the Foundation of Mathematics”, New York, p.204
5 Brouwer in Wilder, R. L. , 1952, “Introduction to the Foundation of Mathematics”, New York, p.204
6 Ibid.p.204
7 Wilder, R. L. , 1952, “Introduction to the Foundation of Mathematics”, New York, p.204 Bridges, D., 1997, “Constructive Mathematics”, Stanford Encyclopedia of Philosophy. Retrieved 2004
8Ibid.
9.Ibid

#### 17 comments:

1. Rhomiy Handican
16709251031
PPs Pendidikan Matematika B 2016

Kaum pondasionalis epistemologis berusaha meletakkan dasar pengetahuan matematika dan berusaha menjamin kepastian dan kebenaran matematika. untuk mengatasi kerancuan dan ketidak pastian dari pondasi matematika yang telah diletakkan sebelumnya. Perlu kiranya dicatat bahwa di dalam kajian pondasi epistemologis matematika terdapat pandangan tentang epistemologi standar yang meliputi kajian tentang kebenaran, kepastian, universalisme, obyektivitas, rasionalitas, dsb

2. Bismillah
Ratih Kartika
16701251005
PPS PEP B 2016

Assalamualaikumwarahmatulahiwabarrakatuh
Konstuktivisme adalah bukan suatu produk yang dibuat oleh paradox paradoks melainkan semangat yang muncul pada keseluruhan sejarah matematika. Konstruksi matematika adalah sesuatu yang dikonstruk dari bilangan bilangan. Ini disebut idealisasi. Sebuah bukti matematika bisa dikatakan konstruktif bila menyertakan bukti/metode dalam konstruksi objek tersebut.

Terimakasih.
Wassalamualaikumwarahmatulahiwabarakatuh

3. Achmad Rasyidinnur
16701251032
PEP S2 B

Teori Konstruktivisme didefinisikan bersifat generatif, yaitu tindakan mencipta sesuatu makna dari apa yang dilakukan. Konstruktivisme sebenarnya bukan merupakan gagasan yang baru, apa yang dilalui dalam kehidupan kita selama ini merupakan himpunan dan pembinaan pengalaman demi pengalaman. Ini menyebabkan seseorang mempunyai pengetahuan dan menjadi lebih dinamis.

4. Achmad Rasyidinnur
16701251032
PEP S2 B

Konstruktivisme memandang sebagai hasil dari konstruksi mental. Mencocokkan informasi baru yang diperoleh dengan apa yang telah diketahui. Seseorang akan dapat belajar dengan baik jika mereka mampu mengaktifkan konstruk pemahaman sendiri. karena dipengaruhi oleh konteks, keyakinan, dan sikap siswa. Dalam prosesnya seseorang didorong untuk menggali dan menemukan pemecahan masalah sendiri serta mencoba untuk merumuskan gagasan-gagasan dan hipotesis. Diberikan peluang dan kesempatan yang luas untuk membangun pengetahauan awal

5. Achmad Rasyidinnur
16701251032
PEP S2 B

Konstuktifisme matematika dalam pembelajaran misalnya, aliran konstruktivisme dalam pendidikan matematika memberikan penekanan pada siswa untuk aktif mengembangkan pengetahannya, siswa harus bertanggung jawab terhadap hasil belajarnya, dengan demikian siswa menjadi lebih aktif dan kreatif sehingga mampu berdiri sendiri dalam kehidupan kognitif mereka. Siswa yang kreatif akan terbantu menjadi kritis menganalisis suatu hal sebab mereka selalu berfikir, tak hanya menerima saja. Disamping itu tentunya perlu dalam transformasi pengajaran yang melibatkan aspek psikologi sebagai penyeimbang dan memberi makna hasil belajar.

6. Syahrial
16701251015
S2 PEP kelas B 2016
jika menelisik kepada proses belajar mengajar dalam pembelajaran matematika maka hakekat dari epistemologi konstruktifisme pendidikan matematika ialah bahwa belajar matematika menurut para ahli konstruktivis menyatakan bahwa belajar matematika melibatkan manipulasi aktif dari pemaknaan bukan hanya bilangan dan rumus-rumus saja. Para ahli konstruktivis merekomendasikan untuk menyediakan lingkungan belajar dimana siswa dapat mencapai konsep dasar, ketrampilan, dan kebiasaan bekerja sama. Dari pernyataan beberapa ahli konstruktivis diatas dapat disimpulkan bahwa pembelajaran matematika berdasarkan konstruktivisme adalah pembelajaran yang harus melibatkan siswa aktif untuk mengkontroksi pengetahuan mereka sendiri.

7. Rospala Hanisah Yukti Sari
16790251016
S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

Kontruksivisme bukan sebuah produk dari situasi yang dibuat oleh paradoks, tetapi sebuah semangat yang lebih baik yang merupakan bagian yang mempresentasikan dalam sejarah matematika secara keseluruhan.

Kontruksivisme dalam pandangannya membangun sebuah kerangka berpikir matematika dengan berpikir membangun sebuah konsep berdasarkan dalam ide yang menghubungkan secara logis dan keberadaan untuk mengukur yang diinpretasikan sebagai petunjuk dalam bagaimana membangun sebuah bukti sari pernyataan yang meliputi pernyataan logis ini.
Membangun kerangka berpikir dalam matematika, hampir sama dengan membangun akidah keimanan kita. Dalam membangun akidah islam, hendaknya menyadari bahwa dirinya merupakan hamba Allah SWT yang diciptakan oleh Allah untuk beribadah kepada-Nya. Beribadah merupakan wujud pasrah dan tunduk terhadap segala ketentuan baik perintah maupun larangan-Nya. Dalam hal ini, beribadah bukan hanya dalam ranah ibadah ritual semata, seperti shalat, haji, zakat, puasa, dll. Tetapi, beribadah dalam segala lini aspek kehidupan baik sistem ekonomi, sosial, politik, budaya, pendidikan dll.

Syarat sebuah ibadah yaitu niat yang ikhlas dan dengan cara yang benar. Alangkah bahagianya seorang muslim jika dalam kesehariannya merupakan aktivitas ibadah. Namun, sayangnya sistem yang berlaku sekarang tidak mengkondisikan untuk manusia beribadah secara sempurna. Sistem sekarang membolehkan yang haram, dan melarang yang halal. Sistem ekonomi ribawi, sistem sosial liberalis, sistem ekonomi kapitalis-demokrasi dan sistem pendidikan ala kapitalis-sekuler yang sudah mencengkeram kuat di negeri kita.

Dengan keyakinan dan keimanan kita, bahwa suatu saat kondisi yang ‘gelap’ ini akan berubah menjadi ‘terang’ jika kita menerapkan syariat islam secara sempurna. Karena bagaimanapun bumi dan manusia seluruhnya merupakan ciptaan Allah dan hanya syariat (aturan) Allah saja-lah yang berhak untuk mengatur kehidupan manusia baik muslim maupun non-muslim hingga kesejahteraan dan keamanan akan terwujud di seluruh Alam.

Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

8. MUTIARA KUSUMAWATI
16701251007
PEP S2 B

Seperti intuisionisme, konstruktivisme melibatkan prinsip regulatif bahwa hanya bentuk matematik yang dapat dikonstruksi secara eksplisit dengan akal tertentu. Dalam sudut pandang ini, matematika adalah sebuah latihan dari intuisi manusia, bukan permainan yang dimainkan dengan simbol-simbol yang tanpa arti. Atau, matematika adalah wujud yang dapat menciptakan langsung melalui aktivitas mental. Sebagai tambahan, beberapa pengikut sekolah ini menolak pembuktian non-konstruktif, seperti pembuktian dengan kontradiksi.

9. Erlinda Rahma Dewi
16709251006
S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

Wilder RL (1952) menggambarkan bahwa sebagai penolakan lengkap Platonisme, konstruktivisme bukanlah produk dari situasi yang diciptakan oleh paradoks melainkan sesuatu yang praktis hadir dalam seluruh sejarah matematika. Ide-ide philo-sophical diambil kembali setidaknya untuk analisis Aristoteles tentang gagasan tak terhingga. Filsafat matematika Kant dapat diartikan secara konstruktivis. Dalam dunia pendidikan matematika sendiri, konstruktivisme memberikan kontribusi besar dalam merubah paradigma pendidikan dari berpusat pada guru menjadiberpusat pada siswa dalam mengkonstruk pengetahuan sendiri.

10. Siska Nur Rahmawati
16701251028
PEP-B 2016

Untuk membangun konstruktivisme dalam kehidupan kita dibutuhkan pikiran yang logis. Matematika dikatakan konstruktif jika melibatkan keberadaan sesuatu dan menggunakan metode untuk menemukan dan membangun objek matematika. Kontruktivisme bukan produk dari situasi yang diharapkan, melainkan gagasan logika manusia yang kemudian ditafsirkan sebagai petunjuk untuk membangun bukti dan kebenaran matematika,

11. 16701251016
PEP B S2

Kontruktivis yang muncul dalam sejarah matematika adalah bukan buah dari penciptaan situasi yang muncul dalam pemikiran lekat atau yang di kenal dengan roh matematika itu sendiri. Matematika konstruktivos dalam kenyataannya membangun sebuah fakta adalah berdasarkan pemikiran yang logis

12. ROFI AMIYANI
S2 P.MAT A 2016
16709251004

Teori konstruktivis ini menyatakan bahwa siswa harus menemukan sendiri dan mentransformasikan informasi kompleks, mengecek informasi baru dengan aturan-aturan lama dan merevisinya apabila aturan-aturan itu tidak lagi sesuai. Belajar matematika menurut para ahli konstruktivis menyatakan bahwa belajar matematika melibatkan manipulasi aktif dari pemaknaan bukan hanya bilangan dan rumus-rumus saja. Para ahli konstruktivis merekomendasikan untuk menyediakan lingkungan belajar dimana siswa dapat mencapai konsep dasar, ketrampilan, dan kebiasaan bekerja sama.

13. Nira Arsoetar
16709251018
PPS UNY Pendidikan Matematika
Kelas A

Matematika secara konstruktivis mencangkup beberapa hal sebagai berikut, seperti contoh yang diambil adalah ide mengenai teori himpunan, kebenaran matematika sebagai dasar untuk membangun sebuah konstruktivisme, selanjutnya objek-objek eksternal baik mental ataupun fisik berperan dalam pembangunan konstruktivisme. Aktualitas dalam abstraksi juga diperlukan dalam realitas matematika. Sebagai gambaran jika proporsi dari semua bilangan bisa benar apabila ditentukan oleh hukum menurut ururtan bilangan yang dihasilkan. Idealisasi dari sebuah abstraksi yang jauh dari kenyataan akan menghasilkan runtuhnya pembangunan konstruktivisme.

14. Niswah Qurrota A'yuni
NIM. 16709251023
PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas B 2016

Assalamu'alaikum Wr.Wb.,

Konstruktivisme pada filsafat matematika dapat ditelusuri kembali oleh Kant dan Kronecker.. Salah satu program konstruktivis adalah merekonstruksi pengetahuan matematika (dan memperbaiki praktik matematis) untuk menjaganya dari kehilangan makna, dan dari kontradiksi. Untuk tujuan ini, konstruktivis menolak pendapat non konstruktif seperti pembuktian Cantor terhadap bilangan real tak terhingga dan hukum logika.

Wassalamu'alaikum Wr.Wb.

15. MARTIN/RWANDA
PPS2016PEP B
The common thread between all forms of Constructivism is that they do not focus on an ontological reality ("reality-as-it-is-in-itself", which constructivists regard as is utterly incoherent and unverifiable), but instead on constructed reality. Thus, they reject out of hand any claims to universalism, realism or objective truth, and admit that their position is merely a view, a more or less coherent way of understanding things that has thus far worked for them as a model of the world.

16. MARTIN/RWANDA
PPS2016PEP B
The common thread between all forms of Constructivism is that they do not focus on an ontological reality ("reality-as-it-is-in-itself", which constructivists regard as is utterly incoherent and unverifiable), but instead on constructed reality. Thus, they reject out of hand any claims to universalism, realism or objective truth, and admit that their position is merely a view, a more or less coherent way of understanding things that has thus far worked for them as a model of the world.

17. ULFA LU'LUILMAKNUN
16709251022
S2 Pendidikan Matematika 2016 Kelas B

Assalamualaikum Wr.Wb.

Matematika konstruktif didasarkan pada gagasan bahwa logika dan eksistensial pembilang ditafsirkan sebagai petunjuk tentang cara untuk membangun sebuah bukti dari pernyataan yang melibatkan ekspresi logis. Dalam pembelajaran matematika konstruktif lebih menekankan kepada pembelajaran matematika bermakna yang berpusat pada siswa.

Wassalamualaikum Wr.Wb.

marsigitina@yahoo.com, marsigitina@gmail.com, marsigit@uny.ac.id