Feb 12, 2013

Mathematical Concept: What are their notions?

By Marsigit
Yogyakarta State University

Bold, T., 2004, notified that the essential components of mathematics covers the concepts of integer numbers, fractions, additions, divisions and equations; in which addition and division are connected with the study of mathematical propositions and the concept of integers and fractions are elements of mathematical concepts. He stated that the concept of equation can fall under mathematical propositions, but it is also related to issues concerning mathematical certainty; and integer numbers are statements about certain properties of bodies; hence, the concept of natural number is explained by study about this particular property of bodies or “notion of unity” or “quantitative property”. He clarified that there are two necessary elements involved with explanation of what a mathematical statement assures: quantifiable bodies and quantitative property of bodies. According to him, “quantifiable bodies” is mathematical statements initially involve only bodies that have capacity to be quantified by the mind; in which, once the concept of quantity is achieved, all bodies are quantifiable and consequently, it will be impossible for an empty mind that only interacts with bodies like sand and air to form the concept of number. While “quantitative property of bodies” is that once quantifiable bodies are present, mathematical statements do not affirm just any properties of those bodies, but only about that particular quantitative property; a mathematical statement is about quantitative properties of bodies, and quantitative bodies are in the bodies. That is how mathematical statements connect with the world.

Bold, T., 2004, further indicated that the second necessary element for interpretation of mathematical concepts is man’s ability of to abstract, that is the mind’s ability to abstract the quantitative property from bodies and use it without the presence of bodies. Due to the fact that all of mathematics is abstract, he believes that one of the motives of intuitionists to think mathematics is a sole product of the mind. He added that a third important element is the concept of infinity; while infinity is based on the concept of possibility. Accordingly, infinity is not a quantity, but a concept based on unrestricted possibility; it is a character of possibility. Next he claimed that the concept of fraction is just based on abstraction and possibleness. According to him, the issue involved with rational and irrational numbers is completely irrelevant for interpretation of concepts of fraction as Arend Heyting is overly concerned. As far as mathematical concepts are concerned, rational numbers as n/p and irrational numbers as q are just a matter of different ways of expression. The difference between them is issue within mathematics to be explained by mathematical terms and language.

On the other hand, Podnieks, K., 1992, claimed that the concept of natural numbers developed from human operations with collections of discrete objects; however, it is impossible to verify such an assertion empirically and the concept of natural number was already stabilized and detached from its real source viz. the quantitative relations of discrete collections in the human practice, and it began to work as a stable self-contained model. According to him, the system of natural numbers is an idealization of these quantitative relations; in which people abstracted it from their experience with small collections and extrapolated their rules onto much greater collections (millions of things) and thus idealized the real situation. He insisted that the process of idealization ended in stable, fixed, self-contained concepts of numbers, points, lines etc and ceased to change. While the stabilization of concepts is an evidence of their detachment from real objects that have led people to these concepts and that are continuing their independent life and contain an immense variety of changing details.

According to Podnieks, K., 1992, when working in geometry, a mathematician does not investigate the relations of things of the human practice directly, he investigates some stable notion of these relations viz. an idealized, fantastic "world" of points, lines etc; and during the investigation this notion is treated subjectively as the "last reality", without any "more fundamental" reality behind it. Further he claimed that if during the process of reasoning mathematicians had to remember permanently the peculiarities of real things, then instead of a science viz. efficient geometrical methods, we would have an art - simple, specific algorithms obtained by means of trial and error or on behalf of some elementary intuition. He summed that Mathematics of Ancient Orient stopped at this level and Greeks went further. According to him Plato treats the end product of the evolution of mathematical concepts that is a stable, self-contained system of idealized objects, as an independent beginning point of the evolution of the "world of things"; Plato tried to explain those aspects of the human knowledge, which remained inaccessible to other philosophers of his time.

Jones, R.B.,1997, elaborated that in the hands of the ancient Greeks mathematics becomes a systematic body of knowledge rather than a collection of practical techniques; mathematics is established as a deductive science in which the standard of rigorous demonstration is deductive proof. According to him, Aristotle provides a codification of logic which remains definitive for two thousand years; while the axiomatic method is established and is systematically applied to the mathematics of the classical period by Euclid, whose Elements becomes one of the most influential books in history. Jones insisted that the next major advances in logic after Aristotle appear in the nineteenth century, in which Boole introduces the propositional (boolean) logic and Frege devises the predicate calculus. This provides the technical basis for the logicisation of mathematics and the transition from informal to formal proof. On the other hand, Russell's paradox shakes the foundational advances of Frege, but is quickly resolved.

Further, Jones, R.B.,1997, noted that the Pythagoreans, were first inclined to regard number theory as more basic than geometry; the discovery of in-commensurable ratios presented them with a foundational crisis not fully resolved until the 19th century. Since Greek number theory, which concerns only whole numbers, cannot adequately deal with the magnitudes found in geometry, geometry comes to be considered more fundamental than arithmetic. Therefore, despite the inadequacies of the available number systems the desire to treat geometry numerically remains. Descartes1 , by inventing co-ordinate geometry advances an understanding of how geometry can be reduced to number. Meanwhile Mathematics continues to develop as Newton and Leibniz invent the calculus despite weakness in the underlying number system and Berkeley is one of the vocal critics of the soundness of the methods used. Jones2 claimed that not until the 19th Century do we see the foundational problems resolved by precise definition of the real number system and elimination of the use of infinitesimals from mathematical proofs. On the other side, Cantor's development of set theory together with Frege's advances in logic pave the way for Zermelo's first order axiomatisation of set theory, which provides the foundations for mathematics in the twentieth century.3

Landry, E., 2004, quoted Bolzano's that mathematical truths can and must be proven from the mere [the analysis of] concepts. Bolzano4 did this by demonstrating how mathematical rigor could be both an epistemological as well as a semantic notion; his demonstration of the dual character of mathematical rigor was the distinction between what he termed subjective and objective representations. According to Bolzano5 , meaning relates not to the subjective representation but rather relates to the inter-subjective content and as such is in no need of assistance from intuitions, either empirical or pure. Meanwhile, Hempel, C.G., 2001, argued that the validity of mathematics rests neither on its alleged self-evidential character nor on any empirical basis, but derives from the stipulations which determine the meaning of the mathematical concepts, and that the propositions of mathematics are therefore essentially "true by definition." He insisted that for the rigorous development of a mathematical theory proceeds not simply from a set of definitions but rather from a set of non-definitional propositions which are not proved within the theory; these are the postulates or axioms of the theory.

Hempel, C.G., 2001, exposed the example that the multiplication of natural numbers may be defined by definition which expresses in a rigorous form the idea that a product nk of two integers may be considered as the sum of k terms each of which equals n, that is (a) n.0 = 0; (b) n.k' = n.k + n. We may prove the laws governing addition and multiplication, such as the commutative, associative, and distributive laws (n + k = k + n; n.k = k.n; n + (k + I) = (n + k) + I; n.(k.l) = (n.k).l;n.(k + l) = (n.k) + (n.l)), as

commutative associative distributive
n + k = k + n
n.k = k.n n + (k + l) = (n + k) + l n.(k.l) = (n.k).l
n.(k + l) = (n.k) + (n.l)

Hempel6 concluded that in terms of addition and multiplication, the inverse operations of subtraction and division can then be defined; but it turns out that these "cannot always be performed"; i.e., in contradistinction to the sum and the product, the difference and the quotient are not defined for every couple of numbers; for example, 7-10 and 7/10 are undefined; and this situation suggests an enlargement of the number system by the introduction of negative and of rational numbers.

Ford & Peat, 1988, insisted that mathematical notation has assimilated symbols from many different alphabets and fonts includes symbols that are specific to mathematics; in mathematics a word has a different and specific meaning such as group, ring, field, category, etc; mathematical statements have their own moderately complex taxonomy, being divided into axioms, conjectures, theorems, lemmas and corollaries; and there are stock phrases in mathematics, used with specific meanings, such as "if and only if", "necessary and sufficient" and "without loss of generality". 7Any series of mathematical statements can be written in a formal language, and a finite state automaton can apply the rules of logic to check that each statement follows from the previous ones. According to them, various mathematicians attempted to achieve this in practice, in order to place the whole of mathematics on a axiomatic basis; while Gödel's incompleteness theorem shows that this ultimate goal is unreachable in which any formal language is powerful enough to capture mathematics will contain un-decidable statements. 8

Ford & Peat, 1988, claimed that the vast majority of statements in mathematics are decidable, and the existence of un-decidable statements is not a serious obstacle to practical mathematics. 9 According to them mathematics is used to communicate information about a wide range of different subjects covering to describe the real world viz. many areas of mathematics originated with attempts to describe and solve real world phenomena that is from measuring farms (geometry) to falling apples (calculus) to gambling (probability); to understand more about the universe around us from its largest scales (cosmology) to its smallest (quantum mechanics); to describe abstract structures which have no known physical counterparts at all; to describe mathematics itself such as category theory in which deals with the structures of mathematics and the relationships between them.


1 In Jones, R.B.,1997, A Short History of Rigour in Mathematics,
2Jones, R.B.,1997, A Short History of Rigour in Mathematics,
3 Jones, R.B.,1997, A Short History of Rigour in Mathematics,
4 In Landry, E., 2004, Semantic Realism: Why Mathematicians Mean What They Say,
5 Ibid.
6 Hempel, C.G., 2001, On the Nature of Mathematical Truth, http://www.ltn.lv/ ~podniek/gt.htm
7 Ford & Peat, 1988, Mathematics as a language, Wikipedia, the free encyclopedia,
8 Ibid.
9 Ibid.


  1. This comment has been removed by the author.

  2. Nama : Rosyita Anindyarini
    NIM : 17701251031
    Kelas : PEP B S2 2017

    Bismillahirrohmanirrohim, thank you for your article, Porf. Marsigit. Every human being has different views and opinions, and has strong reasons for their ideas. Similarly, T. Blod, K. Podnieks, R.B. Jones, E. Landry, CG Hempe, and Ford & Gat, they have different opinions about mathematical concepts. I do not know and believe the most correct theory of the six views. But I am sure, each opinion has a logical and theoretical reason that can be explained and proven by their own way of thinking. I get a statement that I think is quite true of what I've been feeling. Ford and Gat argue that most of the statements in mathematics can be solved, the unresolvable statement is not a serious obstacle to the mathematical practice. Mathematics is an exact science that is certain. So the ambiguity and unclear math statement that is difficult to solve is not a meaningful problem especially for the math practiced in school. Hopefully what this thought is not wrong, and if one please can be repaired by Mr. Marsigit, Amin. Wallahu'alam bishowab.

  3. Rahma Dewi Indrayanti
    PPS Pendidikan Matematika Kelas B

    Pemahaman konsep diperlukan oleh semua siswa. Untuk memahamkan konsep pada siswa diperlukan serangkaian proses dalam pembelajaran, tidak langsung diberikan definisi, karena untuk siswa pemberian langsung definisi dapat memberikan pandangan yang kurang bagus dengan matematika (siswa cenderung akan menganggap bahwa matematika itu sulit, yang nantinya akan berdampak pada minat belajar siswa). Karena itu, pemahaman konsep diawali dengan pemberian banyak contoh yang dianggap real oleh siswa, kemudian dilanjutkan dengan pemberian non contoh, selanjutnya digolong-golongkan dan diberikan nama. Baru setelahnya diberikan definisi.Tidak diberikannya definisi diawal pembelajaran bukan berarti definisi itu tidak penting, defisini penting untuk membatasi mana yang termasuk didalamnya dan mana yang tidak.

  4. Arung Mega Ratna
    PPs PMC 2017

    Konsep matematika bisa berupa bilangan bulat, pecahan, pembagian, penjumlahan dan persamaan. Antara konsep-konsep ini saling berhubungan, misalnya bilangan bulat bisa dioperasikan dalam bentuk penjumlahan dan pembagian. Untuk dapat menginterpretasikan konsep matematika dibutuhkan kemampuan manusia untuk berpikir abstrak karena matematika dan simbolnya sebenarnya juga merupakan obyek pikiran.

  5. Rahma Hayati
    Pascasarjana PM A 2017

    Assalamualaikum wr.wb

    Berdasarkan artikel diatas saya melihat bahwa sangat banyak sekali pendapat maupun pandangan yang berbeda terkait dengan konsep matematika. Seperti pendapat Bold T., ia memandang kompenen penting matematika mencakup konsep bilangan bulat, pecahan, penjumlahan, pembagian dan persamaan. Sedangkan menurut Podnieks K., ia mengklaim bahwa konsep bilangan dikembangkan oleh sistem operasi manusia. Begitu seterusnya berbagai macam pendapat mengenai konsep matematika dikemukakan oleh Jones R.B., Landry E., Hempel C.G., hingga pendapat terakhir berdasarkan artikel diatas yaitu dari Ford & Peat yang menyatakan bahwa sebagian besar dari pernyataan dalam matematika pasti dapat dipecahkan.
    Selain itu, pendapat yang menarik juga datang dari Ford & Peat, yang menyatakan bahwa banyak bidang pembahasan dalam matematika merupakan usaha untuk mendeskripsikan dan memecahkan fenomena yang ditemui dalam dunia nyata.

  6. Mariana Ramelan
    S2 Pend. Matematika C 2017

    Pemahaman konsep dalam matematika sangat penting. Tidak cukup hanya menghafalkan rumus namun juga mengkonsepnya dalam alam bawah sadar kita agar kita bisa memahami matematika secara menyeluruh. Menyusun konsep (secara konstruktif) memerlukan usaha yang cukup dibantu dengan keahlian guru untuk mengarahkan siswa.

  7. Dewi Thufaila
    Pendidikan Matematika Pascasarjana C 2017


    Pemahaman konsep merupakan salah kemahiran matematika yang diharapkan dapat tercapai dalam belajar matematik. Siswa dapat menjelaskan keterkaitan antar konsep, mengaplikasikan konsep bahkan menemukan konsep dari pemecahan masalah. Matematika yang bersifat abstrak, harus dapat diolah menjadi matematika realistik agar dalam memahami konsep tersebut siswa mengalami kemudahan dan lebih merasa dekat dengan matematika


  8. Latifah Fitriasari
    PPs PM C

    Masalah pemahaman berkaitan dengan bagaimana sifat pengetahuan matematika dipahami. Istilah matematika dan ekspresi matematika tersebut menunjukkan entitas abstrak yang sifat dan asal harus diteliti untuk mengelaborasi yang berguna dan teori yang efektif untuk apa itu adalah untuk memahami obyek tersebut.

  9. Yusrina Wardani
    PPs PMAT C 2017
    Berdasarkan artikel di atas, dinyatakan bahwa komponen penting dari matematika mencakup konsep angka integer, pecahan, penjumlahan, perpecahan dan persamaan; di mana penjumlahan dan pembagian terhubung dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari konsep-konsep matematika. Operasi hitung bilangan dengan konsep sistem bilangan keduanya sangat berkaitan dan apabila ingin menguasai salah satunya maka harus menguasai pula yang lainnya.

  10. Yusrina Wardani
    PPs PMAT C 2017
    Secara lebih lanjut menunjukkan bahwa elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia dari abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui sifat abstrak dari dari obyek dan menggunakannya tanpa kehadiran obyek. Karena kenyataan bahwa semua matematika adalah abstrak, Bold percaya bahwa salah satu motif dari intuitionists untuk berpikir matematika adalah produk satu-satunya pikiran. Jadi sebagai seseorang yang mempelajari matematika terutama orang dewasa harus menyadari sifat abstrak dari matematika itu sendiri.

  11. Gamarina Isti R
    Pendidkan Matematika Kelas B (Pascasarjana)

    Berdasarkan uraian blog di atas saya dapat menyimpulkan bahwa dalam matematika hal yang sangat erat dengan matematika adalah konsep bilangan dan keabstrakan. Matematika memang dekat dengan angka-angka apalagi macama-macam bilangan beraneka ragam seperti bilangan bulat, bilangan asli, bilangan imajiner, bilangan kompleks, dl. Selain itu kegiatan mengabstraksi dalam matematika juga penting apalagi untuk kasus ruang bidang tiga, yang membuatuhkan pemahaman konsep yang mendalam saat mengabstraksi proyeksi-proyeksi yang ada dalam bidang tiga. Kegiatan mengabstraksi ini juga kadang menjadi kelemahan bagi siswa-siswa yang kurang dalam kemampuan spasialnya.

  12. This comment has been removed by the author.

  13. Muh Wildanul Firdaus
    Pendidikan matematika S2 kls C

    Semua orang memiliki pemahaman masing-masing. Sama halnya dengan matematika. Setiap orang mungkin memiliki pengertian dan pemahaman matematika yang berbeda. Tapi apa yang bisa saya amati, meski setiap orang berkonsentrasi pada objek yang berbeda-beda namun setiap objek tetap memiliki hubungan satu sama lain.

  14. Irham Baskoro
    S2|Pendidikan Matematika A 2017|UNY

    Saya akan lebih mengulas gagasan matematika dari Ford & Gat (1988). Mereka menegaskan bahwa notasi matematika telah mengasimilasi simbol dari berbagai alfabet dan font yang berbeda termasuk simbol yang spesifik untuk matematika; Dalam matematika, kata-kata memiliki makna yang spesifik, seperti group, ring, field, kategori, dan sebagainya. Seperti kata ‘akar’, dalam kehidupan sehari-hari mungkin dikenal akar serabut atau akar tunggang, namun akar dalam matematika memiliki makna tersendiri.

  15. Ulivia Isnawati Kusuma
    PPs Pend Mat A 2017

    Menurut Bold, T., 2004, komponen penting dari matematika mencakup konsep bilangan bulat, pecahan, penambahan, pembagian, dan persamaan. Konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari matematika. Karena pecahan adalah konsep paling dasar dalam matematika. Oeh karena itu, konsep yang sangat penting pada jenjang sekolah dasar. Komponen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika dalam pemahaman matematis. Karena merupakan salah satu tujuan penting dalam pembelajaran. Maksudnya adalah materi-materi yang diajarkan kepada siswa bukan hanya sebagai hafalan saja, namun merupakan sebuah pemahaman sehingga mengerti akan konsep materi pelajaran. Dan komponen ketiga adalah konsep infinity atau ketakhinggan. Dalam matematika, konsep ketakhinggan ini digunakan untuk menyusun suatu algoritma.

  16. Isoka Amanah Kurnia
    PPs Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    As Bold T. mentioned above that the second component of interpretating math is abstraction. For example we have beautiful roses in the picture. Even if it's a concrete object with a lot of elements rising up, such as the colors, name, price, etc. In abstraction to math, we need to ignore all those things and leave it with the numbers only. We have three roses. That's all. Doesnt matter how beautiful are they, how expensive the buckets, or how cute the color is, we gotta put the focus on the numbers instead of the others. That's the process of understanding math for greater level, a step ahead from concrete math to the abstract.

  17. Putri Solekhah
    S2 Pend. Matematika A

    Assalamu'alaikum wr wb,

    Telah banyak para tokoh yang mengemukakan pendapatkan mengenain konsep matematika. Baik dalam persepsi dunia matematika murni maupun dunia matematika sekola. Salah satu pendapat yang menarik bagi saya ialah pendapat dari Bold, T., 2004, yang menyatakan bahwa elemen penting selain unsur matematika seperti bilangan, simbol dan sebagainya ialah kemampuan mausia untuk melakukan abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk menciptakan sistem matimatika tanpa kehadiran fisiknya. Artinya, matematika merupakan benda pikir dan hal penting dalam mempelajari matematika ialah bagaimana manusia mampu memahami benda pikir tersebut.

  18. Nama: Dian Andarwati
    NIM: 17709251063
    Kelas: Pendidikan Matematika (S2) Kelas C

    Assalamu’alaikum. Komponen penting matematika mencakup konsep bilangan bulat, pecahan, penambahan, pembagian dan persamaan. Ada dua elemen penting yang terlibat dengan penjelasan tentang apa yang dipastikan oleh pernyataan matematis: quantifiable bodies and quantitative property of bodies. Elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia untuk melakukan abstraksi.

  19. Berdasarkan artikel di atas tentang berbagai pendapat ilmuan mengenai konsep matematika yang mana mereka memiliki pandangan yang berbeda-beda. Namun kita bisa mengambil makna yang sesuai dengan pikiran kita, karena walaupun berbeda, namun kita dapat menjadikan pendapat tersebut menjadi satu kesatuan dalam pikiran kita.

    Nama : Frenti Ambaranti
    NIM : 17709251034
    Kelas : S2 Pendidikan Matematika B

  20. Novita Ayu Dewanti
    S2 PMat C 2017

    Dalam artikel diatas diketahui bahwa konsep matematika terpenting mencakup konsep bilangan bulat, pecehan, penambhaan pembagian, dan persamaan. Untuk memperlajari konsep konsep tersebut, siswa memerlukan ide dalam pemahamannya. Penggunaa ide ini diperlukan unutk memahamkan ilmu pengetahuna yang baru dan mengembangkannya menjadi kemampuan yang dikuasainya.

  21. Arina Husna Zaini
    PEP S2 B

    Assalamualaikum Wr.Wb

    Berbagai pendapat disampaikan diatas mengenai matematika. Konsep dasar matematika memang tidak terlepas dengan bilangan dan berbagai sifatnya. Banyak yang bipang matematika memberikan konsep yang abstrak dan sulit dipahami. Namun, pemikiran tersebut tidak boleh mengendap dalam pikiran karena sebagian oranh perlu dipahamkan bahwa matematika sangat dekat dengan konsep kehidupan manusia contohnya pada siswa. pengenalan matematika sebagai konsep sederhana dan kontekstual sangat membantu siswa untuk memahami matematika itu sendiri. Terima Kasih.

  22. Ramayanti Agustianingsih
    PPs PMat C 2017

    Assalamualaikum, wr.wb.
    Sebuah pemahaman suatu konsep dapat menjadi berarti jika siswa sendirilah yang menemukannya. Pembelajaran saat ini bersifat kontrukstivis maka pemehaman konsep pun harusnya diperoleh oleh siswa melalui serangkaian aktivitas yang akhirnya akan menuju pemahaman suatu konsep yang dipelajari.
    Wassalamualaikum, wr.wb.

  23. Assalamualaikum, wr.wb.
    Pbm matematika bagi anak bukanlah melalui definisi, maka dalam pemahaman konsep pun tujuan akhirnya bukan memahami suatu konsep sesuai dengan definisinya. Siswa memahami suatu konsep melalui notion siswa sendiri yang ia peroleh dari serangkaian aktivitas yang dilakukannya. Seperti yang diungkapkan pada artikel ini bahwa “the existence of un-decidable statements is not a serious obstacle to practical mathematics” sehingga siswa memahami konsep dengan notionnya sendiri bukanlah hambatan bagi praktek matematika.
    Wassalamualaikum, wr.wb.

  24. Nur Dwi Laili K
    PPs PMAT C

    Salah satu elemen penting untuk menginterpretasi konsep matematika adalah pemahaman manusia tentang konsep tak terhingga. Memahami konsep tak terhingga bukanlah suatu hal mudah terutama bagi anak-anak karena konsep tak terhingga merupakan sesuatu yang abstrak. Apakah tak terhingga merupakan bilangan atau bukan, tak terhingga termasuk bilangan negative atau positif, dimana letak tak terhingga dalam garis bilangan, merupakan pertanyaan-pertanyaan yang mungkin kita jumpai dalam mengajarkan konsep tak hingga pada siswa. Apalagi menjelaskan tentang pembagian yang melibatkan konsep tak terhingga. Maka guru harus memahami terlebih dahulu tentang konsep tak terhingga dan menjelaskannya dengan Bahasa yang dipahami anak.

  25. Fitri Ni'matul Maslahah
    PPs PM C

    Nosi seseorang dapat ditingkatkan dengan memperkayan bacaannya serta dapat meningkatkan kualitas output mereka, maka agar dapat meningkatkan nosi siswa, guru harus dapat memotivasi siswa untuk lebih mengembangkan diri mereka salah satunya dengan menggunakan metode pembelajaran yang tepat dan menyenangkan. Dengan pembelajaran yang menyenangkan, siswa akan tertarik dan tertantang untuk belajar dan berkembang lebih pesat lagi. Wallahu a'lam