Feb 12, 2013

Mathematical Concept: What are their notions?

By Marsigit
Yogyakarta State University

Bold, T., 2004, notified that the essential components of mathematics covers the concepts of integer numbers, fractions, additions, divisions and equations; in which addition and division are connected with the study of mathematical propositions and the concept of integers and fractions are elements of mathematical concepts. He stated that the concept of equation can fall under mathematical propositions, but it is also related to issues concerning mathematical certainty; and integer numbers are statements about certain properties of bodies; hence, the concept of natural number is explained by study about this particular property of bodies or “notion of unity” or “quantitative property”. He clarified that there are two necessary elements involved with explanation of what a mathematical statement assures: quantifiable bodies and quantitative property of bodies. According to him, “quantifiable bodies” is mathematical statements initially involve only bodies that have capacity to be quantified by the mind; in which, once the concept of quantity is achieved, all bodies are quantifiable and consequently, it will be impossible for an empty mind that only interacts with bodies like sand and air to form the concept of number. While “quantitative property of bodies” is that once quantifiable bodies are present, mathematical statements do not affirm just any properties of those bodies, but only about that particular quantitative property; a mathematical statement is about quantitative properties of bodies, and quantitative bodies are in the bodies. That is how mathematical statements connect with the world.

Bold, T., 2004, further indicated that the second necessary element for interpretation of mathematical concepts is man’s ability of to abstract, that is the mind’s ability to abstract the quantitative property from bodies and use it without the presence of bodies. Due to the fact that all of mathematics is abstract, he believes that one of the motives of intuitionists to think mathematics is a sole product of the mind. He added that a third important element is the concept of infinity; while infinity is based on the concept of possibility. Accordingly, infinity is not a quantity, but a concept based on unrestricted possibility; it is a character of possibility. Next he claimed that the concept of fraction is just based on abstraction and possibleness. According to him, the issue involved with rational and irrational numbers is completely irrelevant for interpretation of concepts of fraction as Arend Heyting is overly concerned. As far as mathematical concepts are concerned, rational numbers as n/p and irrational numbers as q are just a matter of different ways of expression. The difference between them is issue within mathematics to be explained by mathematical terms and language.

On the other hand, Podnieks, K., 1992, claimed that the concept of natural numbers developed from human operations with collections of discrete objects; however, it is impossible to verify such an assertion empirically and the concept of natural number was already stabilized and detached from its real source viz. the quantitative relations of discrete collections in the human practice, and it began to work as a stable self-contained model. According to him, the system of natural numbers is an idealization of these quantitative relations; in which people abstracted it from their experience with small collections and extrapolated their rules onto much greater collections (millions of things) and thus idealized the real situation. He insisted that the process of idealization ended in stable, fixed, self-contained concepts of numbers, points, lines etc and ceased to change. While the stabilization of concepts is an evidence of their detachment from real objects that have led people to these concepts and that are continuing their independent life and contain an immense variety of changing details.

According to Podnieks, K., 1992, when working in geometry, a mathematician does not investigate the relations of things of the human practice directly, he investigates some stable notion of these relations viz. an idealized, fantastic "world" of points, lines etc; and during the investigation this notion is treated subjectively as the "last reality", without any "more fundamental" reality behind it. Further he claimed that if during the process of reasoning mathematicians had to remember permanently the peculiarities of real things, then instead of a science viz. efficient geometrical methods, we would have an art - simple, specific algorithms obtained by means of trial and error or on behalf of some elementary intuition. He summed that Mathematics of Ancient Orient stopped at this level and Greeks went further. According to him Plato treats the end product of the evolution of mathematical concepts that is a stable, self-contained system of idealized objects, as an independent beginning point of the evolution of the "world of things"; Plato tried to explain those aspects of the human knowledge, which remained inaccessible to other philosophers of his time.

Jones, R.B.,1997, elaborated that in the hands of the ancient Greeks mathematics becomes a systematic body of knowledge rather than a collection of practical techniques; mathematics is established as a deductive science in which the standard of rigorous demonstration is deductive proof. According to him, Aristotle provides a codification of logic which remains definitive for two thousand years; while the axiomatic method is established and is systematically applied to the mathematics of the classical period by Euclid, whose Elements becomes one of the most influential books in history. Jones insisted that the next major advances in logic after Aristotle appear in the nineteenth century, in which Boole introduces the propositional (boolean) logic and Frege devises the predicate calculus. This provides the technical basis for the logicisation of mathematics and the transition from informal to formal proof. On the other hand, Russell's paradox shakes the foundational advances of Frege, but is quickly resolved.

Further, Jones, R.B.,1997, noted that the Pythagoreans, were first inclined to regard number theory as more basic than geometry; the discovery of in-commensurable ratios presented them with a foundational crisis not fully resolved until the 19th century. Since Greek number theory, which concerns only whole numbers, cannot adequately deal with the magnitudes found in geometry, geometry comes to be considered more fundamental than arithmetic. Therefore, despite the inadequacies of the available number systems the desire to treat geometry numerically remains. Descartes1 , by inventing co-ordinate geometry advances an understanding of how geometry can be reduced to number. Meanwhile Mathematics continues to develop as Newton and Leibniz invent the calculus despite weakness in the underlying number system and Berkeley is one of the vocal critics of the soundness of the methods used. Jones2 claimed that not until the 19th Century do we see the foundational problems resolved by precise definition of the real number system and elimination of the use of infinitesimals from mathematical proofs. On the other side, Cantor's development of set theory together with Frege's advances in logic pave the way for Zermelo's first order axiomatisation of set theory, which provides the foundations for mathematics in the twentieth century.3

Landry, E., 2004, quoted Bolzano's that mathematical truths can and must be proven from the mere [the analysis of] concepts. Bolzano4 did this by demonstrating how mathematical rigor could be both an epistemological as well as a semantic notion; his demonstration of the dual character of mathematical rigor was the distinction between what he termed subjective and objective representations. According to Bolzano5 , meaning relates not to the subjective representation but rather relates to the inter-subjective content and as such is in no need of assistance from intuitions, either empirical or pure. Meanwhile, Hempel, C.G., 2001, argued that the validity of mathematics rests neither on its alleged self-evidential character nor on any empirical basis, but derives from the stipulations which determine the meaning of the mathematical concepts, and that the propositions of mathematics are therefore essentially "true by definition." He insisted that for the rigorous development of a mathematical theory proceeds not simply from a set of definitions but rather from a set of non-definitional propositions which are not proved within the theory; these are the postulates or axioms of the theory.

Hempel, C.G., 2001, exposed the example that the multiplication of natural numbers may be defined by definition which expresses in a rigorous form the idea that a product nk of two integers may be considered as the sum of k terms each of which equals n, that is (a) n.0 = 0; (b) n.k' = n.k + n. We may prove the laws governing addition and multiplication, such as the commutative, associative, and distributive laws (n + k = k + n; n.k = k.n; n + (k + I) = (n + k) + I; n.(k.l) = (n.k).l;n.(k + l) = (n.k) + (n.l)), as

commutative associative distributive
n + k = k + n
n.k = k.n n + (k + l) = (n + k) + l n.(k.l) = (n.k).l
n.(k + l) = (n.k) + (n.l)

Hempel6 concluded that in terms of addition and multiplication, the inverse operations of subtraction and division can then be defined; but it turns out that these "cannot always be performed"; i.e., in contradistinction to the sum and the product, the difference and the quotient are not defined for every couple of numbers; for example, 7-10 and 7/10 are undefined; and this situation suggests an enlargement of the number system by the introduction of negative and of rational numbers.

Ford & Peat, 1988, insisted that mathematical notation has assimilated symbols from many different alphabets and fonts includes symbols that are specific to mathematics; in mathematics a word has a different and specific meaning such as group, ring, field, category, etc; mathematical statements have their own moderately complex taxonomy, being divided into axioms, conjectures, theorems, lemmas and corollaries; and there are stock phrases in mathematics, used with specific meanings, such as "if and only if", "necessary and sufficient" and "without loss of generality". 7Any series of mathematical statements can be written in a formal language, and a finite state automaton can apply the rules of logic to check that each statement follows from the previous ones. According to them, various mathematicians attempted to achieve this in practice, in order to place the whole of mathematics on a axiomatic basis; while Gödel's incompleteness theorem shows that this ultimate goal is unreachable in which any formal language is powerful enough to capture mathematics will contain un-decidable statements. 8

Ford & Peat, 1988, claimed that the vast majority of statements in mathematics are decidable, and the existence of un-decidable statements is not a serious obstacle to practical mathematics. 9 According to them mathematics is used to communicate information about a wide range of different subjects covering to describe the real world viz. many areas of mathematics originated with attempts to describe and solve real world phenomena that is from measuring farms (geometry) to falling apples (calculus) to gambling (probability); to understand more about the universe around us from its largest scales (cosmology) to its smallest (quantum mechanics); to describe abstract structures which have no known physical counterparts at all; to describe mathematics itself such as category theory in which deals with the structures of mathematics and the relationships between them.


1 In Jones, R.B.,1997, A Short History of Rigour in Mathematics,
2Jones, R.B.,1997, A Short History of Rigour in Mathematics,
3 Jones, R.B.,1997, A Short History of Rigour in Mathematics,
4 In Landry, E., 2004, Semantic Realism: Why Mathematicians Mean What They Say,
5 Ibid.
6 Hempel, C.G., 2001, On the Nature of Mathematical Truth, http://www.ltn.lv/ ~podniek/gt.htm
7 Ford & Peat, 1988, Mathematics as a language, Wikipedia, the free encyclopedia,
8 Ibid.
9 Ibid.


  1. Sumandri
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Dalam wacana diatas bagaimana pandangan para ahli tentang konsep matematika, saya dapat mengambil kesimpulan bahwa pandangan para hali tentang konsep matematika itu memang berbeda namun mempunyai tujuan yang sama. Dimana Bold, T., 2004, menyatakan bahwa komponen penting dari matematika mencakup konsep integer angka, pecahan, penambahan, divisi dan persamaan; di mana penambahan dan pembagian terhubung dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan unsur konsep-konsep matematika, Di sisi lain, Podnieks, K., 1992, menyatakan bahwa konsep bilangan berkembang dari operasi manusia dengan koleksi benda-benda diskrit; Namun, tidak mungkin untuk memverifikasi pernyataan seperti itu secara empiris dan konsep bilangan sudah stabil dan terlepas dari sumber nyata. Jones, R.B. 1997, menjelaskan bahwa matematika didirikan sebagai ilmu deduktif di mana standar demonstrasi yang ketat adalah bukti deduktif. Ford & Gambut, 1988, mengklaim bahwa sebagian besar pernyataan dalam matematika adalah dapat diputuskan, dan adanya laporan tidak bisa diputuskan bukanlah hambatan serius untuk matematika praktis. Menurut mereka matematika digunakan untuk mengkomunikasikan informasi tentang berbagai mata pelajaran yang berbeda yang meliputi untuk menggambarkan yaitu dunia nyata.

  2. Para ahli menyampaikan konsep matematika yang dipelajari. Matematika yang meliputi bilangan, operasi, geometri, aljabar, kalkulus, peluang, statistika merupakan suatu notions. Suatu notion adalah ungkapan bagaimana sesorang mempunyai pandangan terhadap suatu hal. Orang akan mempunyai notion yang berbeda tentang matematika sesuai dengan pengalaman dan pikirannya. Banyak orang yang mengatakan bahwa matematika adalah ilmu hitung-hitungan, itulah notionnya mereka. Manusia belajar untuk dapat meningkatkan notionnya masing-masing. Demikian juga dengan matematika, semakin banyak pengetahuan matematika dipelajari maka semakin tinggi juga notinnya.

  3. Yosepha Patricia Wua LAja
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Mateematika konsep menurut Hempel C.G. berasal dari hipotesis empiris yang dapat dimungkinkan untuk memperoleh prediksi yang menyatakan bahwa dalam kondisi tertentu , gejala yang tampak tertentu akan menentukan apa yang akan terjadi. Hempel menambahkan bahwa untuk menjadi sepenuhnya tepat, maka perlu untuk menentukan prinsip-prinsip logika yang digunakan dalam bukti proposisi; prinsip-prinsip ini dapat dinyatakan secara eksplisit dan jatuh ke dalam kalimat primitif atau dalil-dalil logika.
    Oleh karena itu, setiap fakta dapat berasal dari aksioma ; sesuatu yang tidak berasal dari aksioma tidak dapat memperoleh negasi atau mungkin dapat ditambahkan sebagai sebuah aksioma.

  4. Resvita Febrima
    P-Mat D 2016

    pengertian matematika memiliki banyak definisi berdasarkan objek kajiannya. sebagaimana Ford & Peat, 1988, mengklaim bahwa sebagian besar pernyataan dalam matematika dapat dipecahkan, dan adanya pernyataan yang tidak dapat dipecahkan bukanlah hambatan serius bagi matematika praktis. sedangkan Menurut Podnieks, K., 1992,matematikawan tidak menyelidiki hubungan hal-hal praktik manusia secara langsung, dia menyelidiki beberapa gagasan stabil tentang hubungan ini.

  5. Rahayu Pratiwi
    PPS PM-D 2016

    Mathematical concepts is man’s ability of to abstract, that is the mind’s ability to abstract the quantitative property from bodies and use it without the presence of bodies. Matematika merupakan kemampuan manusia dalam berpikir abstrak, maksudnya adalah kemampuan bernalar tanpa adanya wujud nyata dari apa yang dipikirkan.

  6. Hajarul Masi Hanifatur Rohman
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Pemahaman konsep merupakan salah satu kecakapan atau kemahiran matematika yang diharapkan dapat tercapai dalam belajar matematika yaitu dengan menunjukkan pemahaman konsep matematika yang dipelajarinya, menjelaskan keterkaitan antar konsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma secara luwes, akurat, efisien, dan tepat dalam pemecahan masalah. Pemahaman matematik akan bermakna jika pembelajaran matematika diarahkan pada pengembangan kemampuan koneksi matematik antar berbagai ide, memahami bagaimana ide-ide matematik saling terkait satu sama lain sehingga terbangun pemahaman menyeluruh, dan menggunakan matematik dalam konteks di luar matematika.
    Sehingga untuk membentuk pemahaman konsep terhadap matematika di perlukan pengalaman. Sehingga sisa terampil dalam menghubugkan antar konsep yang ada.

  7. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2

    Matematika dibangun atas konsep-konsep yang penerapannya digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Dan Konsep dalam matematika dikenal dengan ide abstrak yang digunakan untuk menggolongkan contoh dan non contoh. Konsep erat kaitannya dengan definisi. Melalui definisi inilah kita akan mampu menunjukkan contoh dan non contoh dari suatu konsep matematika. Pemahaman konsep adalah Kemampuan yang dimiliki seseorang untuk mengemukakan kembali ilmu yang diperolehnya baik dalam bentuk ucapan maupun tulisan kepada orang sehingga orang lain tersebut benar-benar mengerti apa yang disampaikan. Pemahaman konsep sangat penting, karena dengan penguasaan konsep akan memudahkan siswa dalam mempelajari matematika. Pada setiap pembelajaran diusahakan lebih ditekankan pada penguasaan konsep agar siswa memiliki bekal dasar yang baik untuk mencapai kemampuan dasar yang lain seperti penalaran, komunikasi, koneksi dan pemecahan masalah. Maka semestinya seorang guru mengajarakan dan menumbuhkan pemahaman konsep siswa dalam belajar matematika dengan cara memberikan ilustrasi-ilustrasi yang logis bagi siswa.

  8. Ardeniyansah
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Setiap orang mungkin memiliki pengertian yang berbeda dan pemahaman yang berbeda matematika. Meskipun mereka berkonsentrasi pada elemen yang berbeda namun unsur itu masih memiliki hubungan satu sama lain. Masalah pemahaman adalah akibat, terkait erat dengan bagaimana sifat pengetahuan matematika dipahami. Istilah matematika dan ekspresi matematika tersebut menunjukkan entitas abstrak yang sifat dan asal harus diteliti untuk mengelaborasi yang berguna dan teori yang efektif untuk apa itu adalah untuk memahami obyek tersebut.

  9. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)
    Bold, T., 2004, menyatakan bahwa komponen penting dari matematika mencakup konsep angka integer, pecahan, penambahan, perpecahan dan persamaan; di mana penambahan dan pembagian terhubung dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari konsep-konsep matematika.
    Bold, T., 2004, lebih lanjut menunjukkan bahwa elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia dari abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui sifat abstrak dari dari obyek dan menggunakannya tanpa kehadiran obyek. Karena kenyataan bahwa semua matematika adalah abstrak, ia percaya bahwa salah satu motif dari intuitionists untuk berpikir matematika adalah produk satu-satunya pikiran. Dia menambahkan bahwa elemen penting ketiga adalah konsep infinity, sedangkan konsep tak terbatas didasarkan pada konsep kemungkinan. Dengan demikian, konsep tak terbatas bukan kuantitas, tetapi konsep yang bertumpu pada kemungkinan tak terbatas, yang merupakan karakter dari kemungkinan. Berikutnya ia mengklaim bahwa konsep pecahan hanya berdasarkan abstraksi dan kemungkinan. Menurut dia, isu yang terlibat dengan bilangan rasional dan irasional sama sekali tidak relevan untuk interpretasi konsep pecahan sebagaimana selalu dikhawatirkan oleh Heyting Arend. Sejauh berkenaan dengan konsep-konsep matematika, bilangan rasional sebagai n / p dan bilangan irasional dengan p adalah bilangan bulat, hanya masalah cara berekspresi. Perbedaan antara mereka adalah masalah dalam matematika untuk dijelaskan dengan istilah matematika dan bahasa

  10. Annisa Hasanah
    PPS Pendidikan Matematika C 2016

    Semua orang punya pengertian sendiri. Serta matematika. Setiap orang mungkin memiliki pengertian yang berbeda dan pemahaman matematika yang berbeda. Tapi apa yang bisa saya amati, meski mereka berkonsentrasi pada elemen yang berbeda namun elemen itu tetap memiliki hubungan satu sama lain.

  11. Lana Sugiarti
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Dari wacana di atas, saya dapat memahami bahwa pentingnya suatu pembuktian dalam matematika. pembuktian dilakukan untuk mencari kebenarannya. Berbagai pandangan para ahli menyampaikan tentang konsep matematika. pandangan tersebut berbeda – beda. Tetapi saya dapat mengambil hal yang sama yaitu mereka sama – sama bertujuan yang baik dengan matematika dan ingin mengembangkan seta mengungkap hal – hal yang ada dalam matematika. Matematika erat kaitannya dengan kehidupan sehari – hari oleh karena itu penting untuk banyak mempelajari matematika agar semakin tinggi juga notionnya.

  12. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS

    Matematika adalah salah satu cabang ilmu pengetahuan. Ada beberapa definisi dan pendapat tentang matematika menurut para ahli, seperti yang dikemukakan dalam artikel tersebut. Selain tokoh-tokoh tersebut, berikut pendapat lain tentang matematika. Matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logik, Johnson dan Rising dalam Erman Suherman (2003:17). Elea Tinggih dalam Erman Suherman (2003:16) menyatakan bahwa perkataan matematika berarti "ilmu yang diperoleh dengan bernalar". Matematika adalah salah satu cabang ilmu pengetahuan eksak yang terorganisir secara sistematik tentang bilangan, penalaran logika, bentuk, ruang, serta kalkulasi dengan menelaah fakta, konsep, operasi, dan prinsip.

  13. Ratih Eka Safitri
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Pemahaman konsep adalah kemampuan siswa yang berupa penguasaan sejumlah materi pelajaran, dimana siswa tidak sekedar mengetahui atau mengingat sejumlah konsep yang dipelajari, tetapi mampu mengungkapan kembali dalam bentuk lain yang mudah dimengerti, memberikan interprestasi data dan mampu mengaplikasikan konsep yang sesuai dengan struktur kognitif yang dimilikinya. Sehingga pemahaman konsep merupakankemampuan yang dimiliki seseorang untuk mengemukakan kembali ilmu yang diperolehnya baik dalam bentuk ucapan maupun tulisan kepada orang sehingga orang lain tersebut benar-benar mengerti apa yang disampaikan.

  14. Ahmad Wafa Nizami
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Kita tahu bahwa dalam suatu nition adalah yang sering temui dan sering jumpai dalam mengertjakan matematika adalah adanya sifat komutatif, assosiatif dan adanay perkalian dan penjumlahan dan tanda matametika yang lainnya selalu kita temuia. Hempel, C.G., 2001 menjelaskana bahwa jika kita akan memebuktikan dua bilangan bulat itu komutatif dan assosiataif dalam poperasi penjumlahan, kita tahu bahwa sifat komutatif adalah A+B=B+A dan sifat assositif adalah A+(B+C)=(A+B)+C
    (a) n.0 = 0; (b) n.k' = n.k + n. Kita akan membuktika bahwa penjumlahan dan perkalian adalah memiliki sifat komutatid dan assosiatif. Sedemikian sehingga komutatif, assosiatif dan distrubis sebagai berikut (n + k = k + n; n.k = k.n; n + (k + I) = (n + k) + I; n.(k.l) = (n.k).l;n.(k + l) = (n.k) + (n.l)), as
    distrubusi komutatif dan assosiataif
    n + k = k + n
    n.k = k.n n + (k + l) = (n + k) + l n.(k.l) = (n.k).l
    n.(k + l) = (n.k) + (n.l)

  15. Sylviyani Hardiarti
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Notion seseorang berkaitan langsung dengan pikiran dan pemahamannya. Begitu juga dengan matematika, masalah pemahaman adalah akibat, terkait erat dengan bagaimana sifat pengetahuan matematika yang dipahami. Jika ia selama ini hanya menghafal konsep matematika tanpa memahami, maka pastinya hal tersebut akan mempengaruhi kualitas dimensi notionnya. Dengan selalu belajar, latihan, eksplorasi, mencoba, memahami, dan mengaitkan satu definisi, lemma, aksioma dan teorema dengan yang lainnya maka dimensi notion kita akan semakin luas. Belajarlah dengan sungguh-sungguh dan menyeluruh, maka engkau dapat meningkatkan dimensi notion matematikamu.

  16. Windi Agustiar Basuki
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Menurut Podnieks, K., 1992, menyatakan bahwa konsep bilangan dikembangkan dari operasi manusia dengan koleksi benda-benda diskrit. kemudian menurut Bold, T., 2004, komponen penting dari matematika mencakup konsep bilangan bulat, pecahan, penambahan, pembagian, dan persamaan, dimana penambahan dan pembagian terhubung dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari matematika. pemahaman konsep dalam matematika adalah tingkatan hasil belajar matematika siswa sehingga dapat mendefinisikan atau menjelaskan sebagian atau mendefinisikan bahan pelajaran dengan menggunakan kalimat sendiri. Dengan kemampuan siswa menjelaskan atau mendefinisikan, maka siswa tersebut telah memahami konsep matematika tersebut.

  17. Loviga Denny Pratama
    S2 P.Mat D

    Berbicara tentang apa itu matematika maka kita tidak henti-hentinya mendapatkan berbagai definisi-definisi dari matematika tersebut. Karena banyak pandangan yang menyatakan apa itu sebenarnya matematika. Bisa saja matematika itu dipandang sebagai himpunan dari nilai kebenaran, dalam bentuk suatu himpunan pernyataan kebenaran yang dilengkapi dengan bukti. Tentu saja pembuktian dilakukan untuk mencari kebenarannya. bukti ini juga dapat dinyatakan secara eksplisit dan jatuh ke dalam kalimat primitif atau dalil-dalil logika. Dan jenis-jenis pembuktian dalam matematika juga telah dijelaskan pada artikel blog sebelumnya yang saya baca.