Feb 12, 2013

Mathematical Concept: What are their notions?

By Marsigit
Yogyakarta State University

Bold, T., 2004, notified that the essential components of mathematics covers the concepts of integer numbers, fractions, additions, divisions and equations; in which addition and division are connected with the study of mathematical propositions and the concept of integers and fractions are elements of mathematical concepts. He stated that the concept of equation can fall under mathematical propositions, but it is also related to issues concerning mathematical certainty; and integer numbers are statements about certain properties of bodies; hence, the concept of natural number is explained by study about this particular property of bodies or “notion of unity” or “quantitative property”. He clarified that there are two necessary elements involved with explanation of what a mathematical statement assures: quantifiable bodies and quantitative property of bodies. According to him, “quantifiable bodies” is mathematical statements initially involve only bodies that have capacity to be quantified by the mind; in which, once the concept of quantity is achieved, all bodies are quantifiable and consequently, it will be impossible for an empty mind that only interacts with bodies like sand and air to form the concept of number. While “quantitative property of bodies” is that once quantifiable bodies are present, mathematical statements do not affirm just any properties of those bodies, but only about that particular quantitative property; a mathematical statement is about quantitative properties of bodies, and quantitative bodies are in the bodies. That is how mathematical statements connect with the world.

Bold, T., 2004, further indicated that the second necessary element for interpretation of mathematical concepts is man’s ability of to abstract, that is the mind’s ability to abstract the quantitative property from bodies and use it without the presence of bodies. Due to the fact that all of mathematics is abstract, he believes that one of the motives of intuitionists to think mathematics is a sole product of the mind. He added that a third important element is the concept of infinity; while infinity is based on the concept of possibility. Accordingly, infinity is not a quantity, but a concept based on unrestricted possibility; it is a character of possibility. Next he claimed that the concept of fraction is just based on abstraction and possibleness. According to him, the issue involved with rational and irrational numbers is completely irrelevant for interpretation of concepts of fraction as Arend Heyting is overly concerned. As far as mathematical concepts are concerned, rational numbers as n/p and irrational numbers as q are just a matter of different ways of expression. The difference between them is issue within mathematics to be explained by mathematical terms and language.

On the other hand, Podnieks, K., 1992, claimed that the concept of natural numbers developed from human operations with collections of discrete objects; however, it is impossible to verify such an assertion empirically and the concept of natural number was already stabilized and detached from its real source viz. the quantitative relations of discrete collections in the human practice, and it began to work as a stable self-contained model. According to him, the system of natural numbers is an idealization of these quantitative relations; in which people abstracted it from their experience with small collections and extrapolated their rules onto much greater collections (millions of things) and thus idealized the real situation. He insisted that the process of idealization ended in stable, fixed, self-contained concepts of numbers, points, lines etc and ceased to change. While the stabilization of concepts is an evidence of their detachment from real objects that have led people to these concepts and that are continuing their independent life and contain an immense variety of changing details.

According to Podnieks, K., 1992, when working in geometry, a mathematician does not investigate the relations of things of the human practice directly, he investigates some stable notion of these relations viz. an idealized, fantastic "world" of points, lines etc; and during the investigation this notion is treated subjectively as the "last reality", without any "more fundamental" reality behind it. Further he claimed that if during the process of reasoning mathematicians had to remember permanently the peculiarities of real things, then instead of a science viz. efficient geometrical methods, we would have an art - simple, specific algorithms obtained by means of trial and error or on behalf of some elementary intuition. He summed that Mathematics of Ancient Orient stopped at this level and Greeks went further. According to him Plato treats the end product of the evolution of mathematical concepts that is a stable, self-contained system of idealized objects, as an independent beginning point of the evolution of the "world of things"; Plato tried to explain those aspects of the human knowledge, which remained inaccessible to other philosophers of his time.

Jones, R.B.,1997, elaborated that in the hands of the ancient Greeks mathematics becomes a systematic body of knowledge rather than a collection of practical techniques; mathematics is established as a deductive science in which the standard of rigorous demonstration is deductive proof. According to him, Aristotle provides a codification of logic which remains definitive for two thousand years; while the axiomatic method is established and is systematically applied to the mathematics of the classical period by Euclid, whose Elements becomes one of the most influential books in history. Jones insisted that the next major advances in logic after Aristotle appear in the nineteenth century, in which Boole introduces the propositional (boolean) logic and Frege devises the predicate calculus. This provides the technical basis for the logicisation of mathematics and the transition from informal to formal proof. On the other hand, Russell's paradox shakes the foundational advances of Frege, but is quickly resolved.

Further, Jones, R.B.,1997, noted that the Pythagoreans, were first inclined to regard number theory as more basic than geometry; the discovery of in-commensurable ratios presented them with a foundational crisis not fully resolved until the 19th century. Since Greek number theory, which concerns only whole numbers, cannot adequately deal with the magnitudes found in geometry, geometry comes to be considered more fundamental than arithmetic. Therefore, despite the inadequacies of the available number systems the desire to treat geometry numerically remains. Descartes1 , by inventing co-ordinate geometry advances an understanding of how geometry can be reduced to number. Meanwhile Mathematics continues to develop as Newton and Leibniz invent the calculus despite weakness in the underlying number system and Berkeley is one of the vocal critics of the soundness of the methods used. Jones2 claimed that not until the 19th Century do we see the foundational problems resolved by precise definition of the real number system and elimination of the use of infinitesimals from mathematical proofs. On the other side, Cantor's development of set theory together with Frege's advances in logic pave the way for Zermelo's first order axiomatisation of set theory, which provides the foundations for mathematics in the twentieth century.3

Landry, E., 2004, quoted Bolzano's that mathematical truths can and must be proven from the mere [the analysis of] concepts. Bolzano4 did this by demonstrating how mathematical rigor could be both an epistemological as well as a semantic notion; his demonstration of the dual character of mathematical rigor was the distinction between what he termed subjective and objective representations. According to Bolzano5 , meaning relates not to the subjective representation but rather relates to the inter-subjective content and as such is in no need of assistance from intuitions, either empirical or pure. Meanwhile, Hempel, C.G., 2001, argued that the validity of mathematics rests neither on its alleged self-evidential character nor on any empirical basis, but derives from the stipulations which determine the meaning of the mathematical concepts, and that the propositions of mathematics are therefore essentially "true by definition." He insisted that for the rigorous development of a mathematical theory proceeds not simply from a set of definitions but rather from a set of non-definitional propositions which are not proved within the theory; these are the postulates or axioms of the theory.

Hempel, C.G., 2001, exposed the example that the multiplication of natural numbers may be defined by definition which expresses in a rigorous form the idea that a product nk of two integers may be considered as the sum of k terms each of which equals n, that is (a) n.0 = 0; (b) n.k' = n.k + n. We may prove the laws governing addition and multiplication, such as the commutative, associative, and distributive laws (n + k = k + n; n.k = k.n; n + (k + I) = (n + k) + I; n.(k.l) = (n.k).l;n.(k + l) = (n.k) + (n.l)), as

commutative associative distributive
n + k = k + n
n.k = k.n n + (k + l) = (n + k) + l n.(k.l) = (n.k).l
n.(k + l) = (n.k) + (n.l)

Hempel6 concluded that in terms of addition and multiplication, the inverse operations of subtraction and division can then be defined; but it turns out that these "cannot always be performed"; i.e., in contradistinction to the sum and the product, the difference and the quotient are not defined for every couple of numbers; for example, 7-10 and 7/10 are undefined; and this situation suggests an enlargement of the number system by the introduction of negative and of rational numbers.

Ford & Peat, 1988, insisted that mathematical notation has assimilated symbols from many different alphabets and fonts includes symbols that are specific to mathematics; in mathematics a word has a different and specific meaning such as group, ring, field, category, etc; mathematical statements have their own moderately complex taxonomy, being divided into axioms, conjectures, theorems, lemmas and corollaries; and there are stock phrases in mathematics, used with specific meanings, such as "if and only if", "necessary and sufficient" and "without loss of generality". 7Any series of mathematical statements can be written in a formal language, and a finite state automaton can apply the rules of logic to check that each statement follows from the previous ones. According to them, various mathematicians attempted to achieve this in practice, in order to place the whole of mathematics on a axiomatic basis; while Gödel's incompleteness theorem shows that this ultimate goal is unreachable in which any formal language is powerful enough to capture mathematics will contain un-decidable statements. 8

Ford & Peat, 1988, claimed that the vast majority of statements in mathematics are decidable, and the existence of un-decidable statements is not a serious obstacle to practical mathematics. 9 According to them mathematics is used to communicate information about a wide range of different subjects covering to describe the real world viz. many areas of mathematics originated with attempts to describe and solve real world phenomena that is from measuring farms (geometry) to falling apples (calculus) to gambling (probability); to understand more about the universe around us from its largest scales (cosmology) to its smallest (quantum mechanics); to describe abstract structures which have no known physical counterparts at all; to describe mathematics itself such as category theory in which deals with the structures of mathematics and the relationships between them.


1 In Jones, R.B.,1997, A Short History of Rigour in Mathematics,
2Jones, R.B.,1997, A Short History of Rigour in Mathematics,
3 Jones, R.B.,1997, A Short History of Rigour in Mathematics,
4 In Landry, E., 2004, Semantic Realism: Why Mathematicians Mean What They Say,
5 Ibid.
6 Hempel, C.G., 2001, On the Nature of Mathematical Truth, http://www.ltn.lv/ ~podniek/gt.htm
7 Ford & Peat, 1988, Mathematics as a language, Wikipedia, the free encyclopedia,
8 Ibid.
9 Ibid.


  1. Lana Sugiarti
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Dari wacana di atas, saya dapat memahami bahwa pentingnya suatu pembuktian dalam matematika. pembuktian dilakukan untuk mencari kebenarannya. Berbagai pandangan para ahli menyampaikan tentang konsep matematika. pandangan tersebut berbeda – beda. Tetapi saya dapat mengambil hal yang sama yaitu mereka sama – sama bertujuan yang baik dengan matematika dan ingin mengembangkan seta mengungkap hal – hal yang ada dalam matematika. Matematika erat kaitannya dengan kehidupan sehari – hari oleh karena itu penting untuk banyak mempelajari matematika agar semakin tinggi juga notionnya.

  2. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS

    Matematika adalah salah satu cabang ilmu pengetahuan. Ada beberapa definisi dan pendapat tentang matematika menurut para ahli, seperti yang dikemukakan dalam artikel tersebut. Selain tokoh-tokoh tersebut, berikut pendapat lain tentang matematika. Matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logik, Johnson dan Rising dalam Erman Suherman (2003:17). Elea Tinggih dalam Erman Suherman (2003:16) menyatakan bahwa perkataan matematika berarti "ilmu yang diperoleh dengan bernalar". Matematika adalah salah satu cabang ilmu pengetahuan eksak yang terorganisir secara sistematik tentang bilangan, penalaran logika, bentuk, ruang, serta kalkulasi dengan menelaah fakta, konsep, operasi, dan prinsip.

  3. Ratih Eka Safitri
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Pemahaman konsep adalah kemampuan siswa yang berupa penguasaan sejumlah materi pelajaran, dimana siswa tidak sekedar mengetahui atau mengingat sejumlah konsep yang dipelajari, tetapi mampu mengungkapan kembali dalam bentuk lain yang mudah dimengerti, memberikan interprestasi data dan mampu mengaplikasikan konsep yang sesuai dengan struktur kognitif yang dimilikinya. Sehingga pemahaman konsep merupakankemampuan yang dimiliki seseorang untuk mengemukakan kembali ilmu yang diperolehnya baik dalam bentuk ucapan maupun tulisan kepada orang sehingga orang lain tersebut benar-benar mengerti apa yang disampaikan.

  4. Ahmad Wafa Nizami
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Kita tahu bahwa dalam suatu nition adalah yang sering temui dan sering jumpai dalam mengertjakan matematika adalah adanya sifat komutatif, assosiatif dan adanay perkalian dan penjumlahan dan tanda matametika yang lainnya selalu kita temuia. Hempel, C.G., 2001 menjelaskana bahwa jika kita akan memebuktikan dua bilangan bulat itu komutatif dan assosiataif dalam poperasi penjumlahan, kita tahu bahwa sifat komutatif adalah A+B=B+A dan sifat assositif adalah A+(B+C)=(A+B)+C
    (a) n.0 = 0; (b) n.k' = n.k + n. Kita akan membuktika bahwa penjumlahan dan perkalian adalah memiliki sifat komutatid dan assosiatif. Sedemikian sehingga komutatif, assosiatif dan distrubis sebagai berikut (n + k = k + n; n.k = k.n; n + (k + I) = (n + k) + I; n.(k.l) = (n.k).l;n.(k + l) = (n.k) + (n.l)), as
    distrubusi komutatif dan assosiataif
    n + k = k + n
    n.k = k.n n + (k + l) = (n + k) + l n.(k.l) = (n.k).l
    n.(k + l) = (n.k) + (n.l)

  5. Sylviyani Hardiarti
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Notion seseorang berkaitan langsung dengan pikiran dan pemahamannya. Begitu juga dengan matematika, masalah pemahaman adalah akibat, terkait erat dengan bagaimana sifat pengetahuan matematika yang dipahami. Jika ia selama ini hanya menghafal konsep matematika tanpa memahami, maka pastinya hal tersebut akan mempengaruhi kualitas dimensi notionnya. Dengan selalu belajar, latihan, eksplorasi, mencoba, memahami, dan mengaitkan satu definisi, lemma, aksioma dan teorema dengan yang lainnya maka dimensi notion kita akan semakin luas. Belajarlah dengan sungguh-sungguh dan menyeluruh, maka engkau dapat meningkatkan dimensi notion matematikamu.

  6. Windi Agustiar Basuki
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Menurut Podnieks, K., 1992, menyatakan bahwa konsep bilangan dikembangkan dari operasi manusia dengan koleksi benda-benda diskrit. kemudian menurut Bold, T., 2004, komponen penting dari matematika mencakup konsep bilangan bulat, pecahan, penambahan, pembagian, dan persamaan, dimana penambahan dan pembagian terhubung dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari matematika. pemahaman konsep dalam matematika adalah tingkatan hasil belajar matematika siswa sehingga dapat mendefinisikan atau menjelaskan sebagian atau mendefinisikan bahan pelajaran dengan menggunakan kalimat sendiri. Dengan kemampuan siswa menjelaskan atau mendefinisikan, maka siswa tersebut telah memahami konsep matematika tersebut.

  7. Loviga Denny Pratama
    S2 P.Mat D

    Berbicara tentang apa itu matematika maka kita tidak henti-hentinya mendapatkan berbagai definisi-definisi dari matematika tersebut. Karena banyak pandangan yang menyatakan apa itu sebenarnya matematika. Bisa saja matematika itu dipandang sebagai himpunan dari nilai kebenaran, dalam bentuk suatu himpunan pernyataan kebenaran yang dilengkapi dengan bukti. Tentu saja pembuktian dilakukan untuk mencari kebenarannya. bukti ini juga dapat dinyatakan secara eksplisit dan jatuh ke dalam kalimat primitif atau dalil-dalil logika. Dan jenis-jenis pembuktian dalam matematika juga telah dijelaskan pada artikel blog sebelumnya yang saya baca.

  8. Saepul Watan
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Notion adalah segala ungkapan yang berkait langsung dengan pikiran kita. Jika kita menekankan pada bentuk Verbalnya, maka kita memeroleh apa yang disebut Utterances atau Ucapan. Beberapa istilah fisafat yang dapat digunakan dalam mengembangkan notion kita, misalnya: Spiritual, Politik, Legal, Normatif, Formal dan Material. Berbeda dengan konsep matematika yang memiliki berbagai macam bentuk konsep yang dimana hal ini dapat dipandang sebagai notion, antara lain meliputi bilangan, operasi, geometri, aljabar, kalkulus, peluang, statistika. Konsep matematika sangat abstrak bagi siswa. Maka dari itu, menurut Skemp “dalam menanamkan konsep matematika, maka mulailah dengan contoh-contoh terlebih dahulu, setelah siswa memiliki pandangan maka baru dapat diberikan rumus ataupun definisi”.

  9. Heni Lilia Dewi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Beberapa kriteria yang menyatakan bahwa siswa dikatakan memahami konsep diantaranya yaitu siswa bisa menyebutkan contoh dan non contoh dari konsep itu dan bisa menghubung-hubungkan materi yang sedang dipelajari. Artinya bahwa pemahaman konsep siswa ditunjukkan dari kemampuan nya dalam koneksi matematis, yaitu menghubungkan materi yang sedang dipelajari dengan materi lain yang telah dipelajari atau akan dipelajari.

  10. Syaifulloh Bakhri
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Assalamu’alaikum wr.wb.
    Pemahaman konsep sangat penting dalam penyelesaian masalah matematika. Dengan konsep yang benar maka hasil penyelesaian masalah pun akan benar pula, demikian sebaliknya. Oleh karena itu, harus ditanamkan dengan kuat konsep dasarnya agar dalam membangun konsep-konsep yang lain yang berhubungan dengan konsep dasar juga benar. Karena konsep matematika dibangun atas konsep-konsep yang telah ada sebelumnya, maka untuk menemukan konsep harus dimulai dari contoh dan non contoh yang benar pula.

  11. Helva Elentriana
    PPS Pend Matematika Kelas D 2016

    Komponen penting matematika mencakup konsep bilangan bulat, pecahan, penambahan, pembagian dan persamaan. Di mana penambahan dan pembagian dihubungkan dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen konsep matematis. (Bold, 2004).
    Selanjutnya, unsur kedua yang perlu untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia untuk memahami yang abstrak. Karena matematika merupakan konsep yan abstrak. Hal ini dapat melatih pemikiran manusia sehingga terlatih dalam menyelesaikan masalah hidupnya.

  12. Primaningtyas Nur Arifah
    Pend. Matematika S2 kelas C 2016
    Assalamu’alaikum. Komponen penting matematika mencakup konsep bilangan bulat, pecahan, penambahan, pembagian dan persamaan. Ada dua elemen penting yang terlibat dengan penjelasan tentang apa yang dipastikan oleh pernyataan matematis: quantifiable bodies and quantitative property of bodies. Elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia untuk melakukan abstraksi.

  13. Resvita Febrima
    P-Mat D 2016
    Komponen penting dari matematika mencakup konsep. Suatu proses pembelajaran matematika dapat dikatakan bermakna jika seorang mahasiswa telah dapat mengaitkan konsep-konsep yang ada dalam benaknya dengan baik. Tanpa konsep, belajar akan sangat terhambat. Kemampuan memahami konsep menjadi landasan untuk berpikir dan menyelesaikan masalah atau persoalan. Konsep-konsep itu akan melahirkan teorema atau rumus. Agar konsep-konsep atau teorema-teorema dapat diaplikasikan ke situasi yang lain, perlu adanya keterampilan menggunakan konsep-konsep atau teorema-teorema tersebut. Konsep-konsep merupakan pilar-pilar pembangun untuk berpikir yang lebih tinggi. Dengan mengenal konsep dan struktur yang tercakup dalam bahan yang sedang dibicarakan, siswa akan memahami materi yang harus dikuasainya itu, ini menunjukkan bahwa materi yang mempunyai pola atau struktur tertentu akan lebih mudah dipahami dan diingatnya.

  14. Wahyu Lestari
    PPS P.Mat D

    Menurut para pendapat ahli di atas bahwasanya matematika digunakan untuk mengkomunikasikan informasi tentang berbagai mata pelajaran yang berbeda yang meliputi untuk menggambarkan yaitu dunia nyata. Maka dalam kehidupan sehari-hari tidak terlepas dengan matematika. Untuk memahami lebih lanjut tentang alam semesta di sekitar kita dari skala terbesar yang (kosmologi) ke terkecil (mekanika kuantum) nya semuanya ada dalam cakupan matematika.

  15. Desy Dwi Frimadani
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Pemahaman konsep adalah hal utama untuk membangun kemampuan yang lainnya. Jika siswa kurang paham dalam memahami konsep maka kemampuan yang lain akan sulit untuk dibangun. Matematika adalah gabungan dari konsep-kosep yang lain maka dari itu dibutuhkan pemahaman konsep agar kemampuan yang lain dapat dibangun.

  16. Lihar Raudina Izzati
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Banyak sekali pengertian matematika yang diungkapkan para ahli atau pakar matematika atau para filsuf. Mempelajari matematika memang tidaklah mudah. Pemahaman konsep adalah hal yang penting dalam mempelajari matematika. Jika kita tidak memahami konsep, konsep matematika yang baru kita dapatkan bisa akan dengan mudah menghilang. Agar siswa dapat memahami konsep, guru haruslah menggunakan metode yang tepat.

  17. Cendekia Ad Dien
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Gagasan dari konsep matematika itu sendiri banyak dikemukakan oleh berbagai pendapat. Komponen-komponen esensial yang dikemukakan oleh Bold (2004) meliputi konsep bilangan bulat, pecahan, penjumlahan, pembagian, dan persamaan dimana penjumlahan dan pembagian dihubungkan dengan studi proposisi matematika sedangkan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari konsep matematika. Di sisi lain, konsep bilangan asli menurut Podnieks (1992) dikembangkan dari pekerjaan manusia beserta koleksi objek diskret (hubungan kuantitatif dari koleksi diskrit dalam pekerjaan manusia). Ford & Peat (1988) menyatakan bahwa pernyataan matematika dapat dipecahkan walaupun ada yang tidak terpecahkan bukan menjadi hambatan yang serius untuk matematika terapan. Dalam hal ini, konsep matematika yang sedemikian abstrak pada dasarnya untuk memecahkan masalah dunia nyata yang erat kaitannya dengan matematika terapan.

  18. Ahmad Bahauddin
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Hempel menegaskan bahwa matematika merupakan ilmu empiris yang berbeda dari cabang lain seperti astronomi, fisika, kimia, dan seterusnya, terutama dalam dua hal: materi pelajarannya lebih umum, dan proposisi yang telah diuji dan dikonfirmasi ke tingkat yang lebih besar dibanding astronomi atau fisika. Lebih lanjut dia menyatakan bahwa sekali istilah primitif dan dalil-dalil yang telah ditetapkan, seluruh teori sepenuhnya ditentukan. Dia menyimpulkan bahwa himpunan tiap istilah dari teori matematika adalah didefinisikan dalam hal primitif, dan himpunan tiap proposisi teori secara logis bisa dideduksi dari postulat.

  19. Kunny Kunhertanti
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Landry, E., 2004, mengutip Bolzano bahwa kebenaran matematis dapat dan harus dibuktikan dari konsep belaka. Bolzano melakukan ini dengan menunjukkan bagaimana ketelitian matematis bisa menjadi gagasan epistemologis maupun semantik; Peragaan karakter ganda dari keteguhan matematis adalah pembedaan antara apa yang disebutnya representasi subyektif dan obyektif. Sehingga memang dalam membuktikan kebenaran matematis juga harus diikuti dengan konsep-konsep yang menyusun dalam proses pembuktian tersebut.

    PPS-MAT D 2016
    Masih sedikit siswa yang menyukai pelajaran matematika yang disebabkan berbagai hal. Dari hasil wawancara diantaranya penyebab siswa tidak menyukai matematika adalah anggapan negatif siswa tentang matematika dan pembelajaran konvensional yang dilakukan guru. Pembelajaran konvensional yang dilakukan guru membuat mereka menganggap matematika itu sulit, karena berkaitan dengan menghafal rumus dan berhitung. Selain itu, objek matematika juga abstrak yaitu terdiri atas fakta, konsep, operasi dan prinsip sehingga siswa terkadang sulit membayangkan secara konkret.

  21. Elli Susilawati
    Pmat D pps16

    Pemahaman konsep dalam pembelajaran matematika sangat penting bagi siswa. Dengan pemahaman konsep, siswa dapat mengkonstuksikan konsep-konsep yang sudah ada dengan konsep yang baru sehingga menjadi sebuah skema yang utuh pada materi tertentu. Namun pentingnya pemahaman konsep oleh siswa sering diabaikan beberapa guru, dikarenakan pemahaman konsep membutuhkan waktu yang tidak sedikit. Sehingga langsung saja diberikan rumus, dilengkapi dengan istilah “pokoknya”. Contohnya: pokoknya kalau soalnya begini rumusnya begini dan seterusnya.

  22. Elli Susilawati
    Pmat D pps16

    Pemahaman konsep dalam pembelajaran matematika sangat penting bagi siswa. Dengan pemahaman konsep, siswa dapat mengkonstuksikan konsep-konsep yang sudah ada dengan konsep yang baru sehingga menjadi sebuah skema yang utuh pada materi tertentu. Namun pentingnya pemahaman konsep oleh siswa sering diabaikan beberapa guru, dikarenakan pemahaman konsep membutuhkan waktu yang tidak sedikit. Sehingga langsung saja diberikan rumus, dilengkapi dengan istilah “pokoknya”. Contohnya: pokoknya kalau soalnya begini rumusnya begini dan seterusnya.

  23. Uswatun Hasanah
    S2 PEP B

    Saya menjadi tahu bahwa dalam matematika itu tidak hanya berkaitan dengan bilangan/angka/simbol. Namun, lebih dari itu matematika memiliki definisi yang sangat beragam dari berbagai ahli. Mulai dari yang mengatakan matematika berpusat pada logika/berpikir abstrak, operasional bilangan diskrit dan sebagainya. Saya tertarik dengan matematika di bidang geometri dimana membahas tentang representasi subyektif dan obyektif. Pada dasarnya representasi subyektif dan obyektif tersebut lebih dari sekedar definisi namun sejauhmana ketajaman analisis dari konsep yang ada. Matematika menjadi begitu menarik bagi saya jika pemaknaan dari simbol-simbol dapat mendeskripsikan dan memecahkan fenomena yang ada di dunia nyata.

  24. Charina Ulfa
    PPs Pendidikan Matematika B 2017

    Assalamu'alaikum wr wb.
    Pada awalnya konsep matematika itu hanya berkaitan dengan pengukuran yang dapat diukur dengan pikiran, selalu berkaitan dengan benda-benda yang dapat dihitung. Tapi seiring berjalannya waktu, matematika terus berkembang, sehingga matemtika juga bisa untuk mengukur benda-benda yang abstrak dan konkrit. Matematika bukan hanya memecahkan masalah dengan bahasa matematis(angka) saja, akan tetapi juga dengan bahasa istilah. Bahasa istilah ini bisa di tuliskan dengan bahasa matematika atau simbol-simbol matematika. Banyak bidang matematika berasal dari usaha untuk mendeskripsikan dan memecahkan fenomena dunia nyata.

  25. Gamarina Isti R
    Pendidkan Matematika Kelas B (Pascasarjana)

    Pemahaman konsep merupakan salah kemahiran matematika yang diharapkan dapat tercapai dalam belajar matematik.
    Siswa dapat menjelaskan keterkaitan antar konsep, mengaplikasikan konsep bahkan menemukan konsep dari pemecahan masalah. Contohnya pada notasi matematika telah mengasimilasi simbol dari berbagai alfabet dan font yang berbeda termasuk simbol yang spesifik untuk matematika; Dalam matematika kata memiliki makna yang berbeda dan spesifik seperti kelompok, cincin, lapangan, kategori, dll; pernyataan matematika memiliki taksonomi moderat mereka yang rumit, dibagi menjadi aksioma, dugaan, teorema, lemmas dan konsekuensi; dan ada frase stok dalam matematika, yang digunakan dengan makna tertentuMatematika yang bersifat abstrak, harus dapat diolah menjadi matematika realistik agar dalam memahami konsep tersebut siswa mengalami kemudahan dan lebih merasa dekat dengan matematika. Matematika realistik bukan hanya untuk siswa SD saja, tetapi matematika realistik dapat digunakan sebagai pembelajaran di SMP dan SMA. Pemahaman konsep tersebut akan mudah dipahami apabila siswa mengetahui secara real apa yang akan dan telah dipelajari tersebut.

  26. Angga Kristiyajati
    Pps UNY P.Mat A 2017

    Terima kasih Banyak Pak Prof. Marsigit.

    Sepemahaman kami objek dari matematika adalah objek yang abstrak dan hanya ada dalam pikiran. Seorang bayi yang baru saja lahir dapat dipastikan dia sama sekali tidak memiliki kemampuan matematika. Dalam perkembangannya dia akan belajar segala hal (termasuk juga matematika) melalui orang tua, saudara, dan orang-orang disekitarnya dengan mengamati, memperhatikan dan meniru. Dengan ini lah maka intuisinya akan terbentuk (termasuk juga intuisi matematika).

  27. Alfiramita Hertanti
    S2- Pendidikan Matematika kelas A 2017

    Assalamualaikum wr.wb
    Thank you for your posts, sir. To achieve understanding of the mathematics consepts of students is not an easy thing because the understanding of a mathematical concept is done individually. Each students has different abilities in understanding mathematical concepts. Nevertheless increased understanding of mathematical concepts should be sought for the success of students in learning.

  28. Dimas Candra SAputra, S.Pd.
    PPs PMA 2017

    Assalamualaikum prof,
    Konsep matematika sangat beragam. Selain itu juga muncul berbagai pendapat tentang konsep matematika. Menurut Bold, komponen matematika meliputi konsep bilangan bulat, pecahan, penumlahan, pembagian,dan persamaan. Penjumlahan dan pembagian berhubungan dengan ilmu tentang proposisi matematika. Konsep bilangan bulat dan pecahan merupakan elemen dari konsep matematika. Konsep persamaan ada di bawah proposisi matematika dan juga berhubungan dengan kepastian matematika. Elemen lain yang diperlukan untuk menginterpretasikan konsep matematika adalah kemampuan manusia untuk mengabstraksi sifat-sifat kuantitatif dari bagian-bagian tubuh dan menggunakannya tanpa kehadiran tubuh. Elemen yang selanjutnya ialah konsep tentang infinity, infiniti didasarkan pada konsep peluang.Selanjutnya, konsep pecahan hanyalah berdasarkan pada abstraksi dan peluang.

  29. Nama : Habibullah
    NIM : 17709251030
    Kelas : PM B (S2)

    Assalamualaikum wr.wb

    Pemahaman konsep merupakan aspek yang sangat penting untuk dikuasai siswa, karena dapat menjadi pondasi bagi siswa agar mudah ketika belajar matematika terhadap materi yang lebih tinggi dan lebih dalam. Maka dari itu guru harus berusaha melakukan abstraksi dibenak siswa dengan memberikan contoh dari materi yang dipelajari, kemudian mengkomunikasikan hal tersebut dengan membuat klasifikasi contoh agar dapat diberi nama sehingga dengan begitu guru bisa menjelaskan sebuah definisi matematis.

  30. Maghfirah
    S2 Pendidikan Matematika A 2017

    Assalamualaikum Warohmatullah Wabarokatuh
    Everybody has their own notions. As well as mathematics. Each person may has different notions and different understanding of mathematics. But what I can observe, although they concentrate on different elements but elements of it still has a relationship each other.

  31. Gina Sasmita Pratama
    S2 P.Mat A 2017

    Matematika memiliki berbagai konsep dan konsep tersebut memiliki maksudnya masing-masing. Konsep matematika tersebut seperti bilangan bulat, pecahan, penambahan, pembagian dan persamaan. Penambahan dan pembagian dihubungkan dengan studi proposisi matematika. Konsep bilangan bulat dan pecahan merupakan elemen konsep matematis. Persamaan terkait dengan masalah kepastian matematis, dsn lain-lainnya. Begitu juga dengan kehidupan yang ada di dunia ini, semua yang Tuhan ciptakan pasti mempunyai maksud dan hikmahnya masing-masing, seyogyanyalah kita dapat memahami maksud-maksud tersebut agar dapat dekat denganNya.

  32. This comment has been removed by the author.

  33. Nama : Rosyita Anindyarini
    NIM : 17701251031
    Kelas : PEP B S2 2017

    Bismillahirrohmanirrohim, thank you for your article, Porf. Marsigit. Every human being has different views and opinions, and has strong reasons for their ideas. Similarly, T. Blod, K. Podnieks, R.B. Jones, E. Landry, CG Hempe, and Ford & Gat, they have different opinions about mathematical concepts. I do not know and believe the most correct theory of the six views. But I am sure, each opinion has a logical and theoretical reason that can be explained and proven by their own way of thinking. I get a statement that I think is quite true of what I've been feeling. Ford and Gat argue that most of the statements in mathematics can be solved, the unresolvable statement is not a serious obstacle to the mathematical practice. Mathematics is an exact science that is certain. So the ambiguity and unclear math statement that is difficult to solve is not a meaningful problem especially for the math practiced in school. Hopefully what this thought is not wrong, and if one please can be repaired by Mr. Marsigit, Amin. Wallahu'alam bishowab.

  34. Rahma Dewi Indrayanti
    PPS Pendidikan Matematika Kelas B

    Pemahaman konsep diperlukan oleh semua siswa. Untuk memahamkan konsep pada siswa diperlukan serangkaian proses dalam pembelajaran, tidak langsung diberikan definisi, karena untuk siswa pemberian langsung definisi dapat memberikan pandangan yang kurang bagus dengan matematika (siswa cenderung akan menganggap bahwa matematika itu sulit, yang nantinya akan berdampak pada minat belajar siswa). Karena itu, pemahaman konsep diawali dengan pemberian banyak contoh yang dianggap real oleh siswa, kemudian dilanjutkan dengan pemberian non contoh, selanjutnya digolong-golongkan dan diberikan nama. Baru setelahnya diberikan definisi.Tidak diberikannya definisi diawal pembelajaran bukan berarti definisi itu tidak penting, defisini penting untuk membatasi mana yang termasuk didalamnya dan mana yang tidak.

  35. Arung Mega Ratna
    PPs PMC 2017

    Konsep matematika bisa berupa bilangan bulat, pecahan, pembagian, penjumlahan dan persamaan. Antara konsep-konsep ini saling berhubungan, misalnya bilangan bulat bisa dioperasikan dalam bentuk penjumlahan dan pembagian. Untuk dapat menginterpretasikan konsep matematika dibutuhkan kemampuan manusia untuk berpikir abstrak karena matematika dan simbolnya sebenarnya juga merupakan obyek pikiran.

  36. Rahma Hayati
    Pascasarjana PM A 2017

    Assalamualaikum wr.wb

    Berdasarkan artikel diatas saya melihat bahwa sangat banyak sekali pendapat maupun pandangan yang berbeda terkait dengan konsep matematika. Seperti pendapat Bold T., ia memandang kompenen penting matematika mencakup konsep bilangan bulat, pecahan, penjumlahan, pembagian dan persamaan. Sedangkan menurut Podnieks K., ia mengklaim bahwa konsep bilangan dikembangkan oleh sistem operasi manusia. Begitu seterusnya berbagai macam pendapat mengenai konsep matematika dikemukakan oleh Jones R.B., Landry E., Hempel C.G., hingga pendapat terakhir berdasarkan artikel diatas yaitu dari Ford & Peat yang menyatakan bahwa sebagian besar dari pernyataan dalam matematika pasti dapat dipecahkan.
    Selain itu, pendapat yang menarik juga datang dari Ford & Peat, yang menyatakan bahwa banyak bidang pembahasan dalam matematika merupakan usaha untuk mendeskripsikan dan memecahkan fenomena yang ditemui dalam dunia nyata.

  37. Mariana Ramelan
    S2 Pend. Matematika C 2017

    Pemahaman konsep dalam matematika sangat penting. Tidak cukup hanya menghafalkan rumus namun juga mengkonsepnya dalam alam bawah sadar kita agar kita bisa memahami matematika secara menyeluruh. Menyusun konsep (secara konstruktif) memerlukan usaha yang cukup dibantu dengan keahlian guru untuk mengarahkan siswa.

  38. Dewi Thufaila
    Pendidikan Matematika Pascasarjana C 2017


    Pemahaman konsep merupakan salah kemahiran matematika yang diharapkan dapat tercapai dalam belajar matematik. Siswa dapat menjelaskan keterkaitan antar konsep, mengaplikasikan konsep bahkan menemukan konsep dari pemecahan masalah. Matematika yang bersifat abstrak, harus dapat diolah menjadi matematika realistik agar dalam memahami konsep tersebut siswa mengalami kemudahan dan lebih merasa dekat dengan matematika


  39. Latifah Fitriasari
    PPs PM C

    Masalah pemahaman berkaitan dengan bagaimana sifat pengetahuan matematika dipahami. Istilah matematika dan ekspresi matematika tersebut menunjukkan entitas abstrak yang sifat dan asal harus diteliti untuk mengelaborasi yang berguna dan teori yang efektif untuk apa itu adalah untuk memahami obyek tersebut.

  40. Yusrina Wardani
    PPs PMAT C 2017
    Berdasarkan artikel di atas, dinyatakan bahwa komponen penting dari matematika mencakup konsep angka integer, pecahan, penjumlahan, perpecahan dan persamaan; di mana penjumlahan dan pembagian terhubung dengan studi proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari konsep-konsep matematika. Operasi hitung bilangan dengan konsep sistem bilangan keduanya sangat berkaitan dan apabila ingin menguasai salah satunya maka harus menguasai pula yang lainnya.

  41. Yusrina Wardani
    PPs PMAT C 2017
    Secara lebih lanjut menunjukkan bahwa elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia dari abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk mengetahui sifat abstrak dari dari obyek dan menggunakannya tanpa kehadiran obyek. Karena kenyataan bahwa semua matematika adalah abstrak, Bold percaya bahwa salah satu motif dari intuitionists untuk berpikir matematika adalah produk satu-satunya pikiran. Jadi sebagai seseorang yang mempelajari matematika terutama orang dewasa harus menyadari sifat abstrak dari matematika itu sendiri.

  42. Gamarina Isti R
    Pendidkan Matematika Kelas B (Pascasarjana)

    Berdasarkan uraian blog di atas saya dapat menyimpulkan bahwa dalam matematika hal yang sangat erat dengan matematika adalah konsep bilangan dan keabstrakan. Matematika memang dekat dengan angka-angka apalagi macama-macam bilangan beraneka ragam seperti bilangan bulat, bilangan asli, bilangan imajiner, bilangan kompleks, dl. Selain itu kegiatan mengabstraksi dalam matematika juga penting apalagi untuk kasus ruang bidang tiga, yang membuatuhkan pemahaman konsep yang mendalam saat mengabstraksi proyeksi-proyeksi yang ada dalam bidang tiga. Kegiatan mengabstraksi ini juga kadang menjadi kelemahan bagi siswa-siswa yang kurang dalam kemampuan spasialnya.

  43. This comment has been removed by the author.

  44. Muh Wildanul Firdaus
    Pendidikan matematika S2 kls C

    Semua orang memiliki pemahaman masing-masing. Sama halnya dengan matematika. Setiap orang mungkin memiliki pengertian dan pemahaman matematika yang berbeda. Tapi apa yang bisa saya amati, meski setiap orang berkonsentrasi pada objek yang berbeda-beda namun setiap objek tetap memiliki hubungan satu sama lain.

  45. Irham Baskoro
    S2|Pendidikan Matematika A 2017|UNY

    Saya akan lebih mengulas gagasan matematika dari Ford & Gat (1988). Mereka menegaskan bahwa notasi matematika telah mengasimilasi simbol dari berbagai alfabet dan font yang berbeda termasuk simbol yang spesifik untuk matematika; Dalam matematika, kata-kata memiliki makna yang spesifik, seperti group, ring, field, kategori, dan sebagainya. Seperti kata ‘akar’, dalam kehidupan sehari-hari mungkin dikenal akar serabut atau akar tunggang, namun akar dalam matematika memiliki makna tersendiri.

  46. Ulivia Isnawati Kusuma
    PPs Pend Mat A 2017

    Menurut Bold, T., 2004, komponen penting dari matematika mencakup konsep bilangan bulat, pecahan, penambahan, pembagian, dan persamaan. Konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari matematika. Karena pecahan adalah konsep paling dasar dalam matematika. Oeh karena itu, konsep yang sangat penting pada jenjang sekolah dasar. Komponen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika dalam pemahaman matematis. Karena merupakan salah satu tujuan penting dalam pembelajaran. Maksudnya adalah materi-materi yang diajarkan kepada siswa bukan hanya sebagai hafalan saja, namun merupakan sebuah pemahaman sehingga mengerti akan konsep materi pelajaran. Dan komponen ketiga adalah konsep infinity atau ketakhinggan. Dalam matematika, konsep ketakhinggan ini digunakan untuk menyusun suatu algoritma.

  47. Isoka Amanah Kurnia
    PPs Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    As Bold T. mentioned above that the second component of interpretating math is abstraction. For example we have beautiful roses in the picture. Even if it's a concrete object with a lot of elements rising up, such as the colors, name, price, etc. In abstraction to math, we need to ignore all those things and leave it with the numbers only. We have three roses. That's all. Doesnt matter how beautiful are they, how expensive the buckets, or how cute the color is, we gotta put the focus on the numbers instead of the others. That's the process of understanding math for greater level, a step ahead from concrete math to the abstract.

  48. Putri Solekhah
    S2 Pend. Matematika A

    Assalamu'alaikum wr wb,

    Telah banyak para tokoh yang mengemukakan pendapatkan mengenain konsep matematika. Baik dalam persepsi dunia matematika murni maupun dunia matematika sekola. Salah satu pendapat yang menarik bagi saya ialah pendapat dari Bold, T., 2004, yang menyatakan bahwa elemen penting selain unsur matematika seperti bilangan, simbol dan sebagainya ialah kemampuan mausia untuk melakukan abstrak, yaitu kemampuan pikiran untuk menciptakan sistem matimatika tanpa kehadiran fisiknya. Artinya, matematika merupakan benda pikir dan hal penting dalam mempelajari matematika ialah bagaimana manusia mampu memahami benda pikir tersebut.

  49. Nama: Dian Andarwati
    NIM: 17709251063
    Kelas: Pendidikan Matematika (S2) Kelas C

    Assalamu’alaikum. Komponen penting matematika mencakup konsep bilangan bulat, pecahan, penambahan, pembagian dan persamaan. Ada dua elemen penting yang terlibat dengan penjelasan tentang apa yang dipastikan oleh pernyataan matematis: quantifiable bodies and quantitative property of bodies. Elemen penting kedua untuk interpretasi konsep matematika adalah kemampuan manusia untuk melakukan abstraksi.

  50. Berdasarkan artikel di atas tentang berbagai pendapat ilmuan mengenai konsep matematika yang mana mereka memiliki pandangan yang berbeda-beda. Namun kita bisa mengambil makna yang sesuai dengan pikiran kita, karena walaupun berbeda, namun kita dapat menjadikan pendapat tersebut menjadi satu kesatuan dalam pikiran kita.

    Nama : Frenti Ambaranti
    NIM : 17709251034
    Kelas : S2 Pendidikan Matematika B

  51. Novita Ayu Dewanti
    S2 PMat C 2017

    Dalam artikel diatas diketahui bahwa konsep matematika terpenting mencakup konsep bilangan bulat, pecehan, penambhaan pembagian, dan persamaan. Untuk memperlajari konsep konsep tersebut, siswa memerlukan ide dalam pemahamannya. Penggunaa ide ini diperlukan unutk memahamkan ilmu pengetahuna yang baru dan mengembangkannya menjadi kemampuan yang dikuasainya.

  52. Arina Husna Zaini
    PEP S2 B

    Assalamualaikum Wr.Wb

    Berbagai pendapat disampaikan diatas mengenai matematika. Konsep dasar matematika memang tidak terlepas dengan bilangan dan berbagai sifatnya. Banyak yang bipang matematika memberikan konsep yang abstrak dan sulit dipahami. Namun, pemikiran tersebut tidak boleh mengendap dalam pikiran karena sebagian oranh perlu dipahamkan bahwa matematika sangat dekat dengan konsep kehidupan manusia contohnya pada siswa. pengenalan matematika sebagai konsep sederhana dan kontekstual sangat membantu siswa untuk memahami matematika itu sendiri. Terima Kasih.

  53. Ramayanti Agustianingsih
    PPs PMat C 2017

    Assalamualaikum, wr.wb.
    Sebuah pemahaman suatu konsep dapat menjadi berarti jika siswa sendirilah yang menemukannya. Pembelajaran saat ini bersifat kontrukstivis maka pemehaman konsep pun harusnya diperoleh oleh siswa melalui serangkaian aktivitas yang akhirnya akan menuju pemahaman suatu konsep yang dipelajari.
    Wassalamualaikum, wr.wb.

  54. Assalamualaikum, wr.wb.
    Pbm matematika bagi anak bukanlah melalui definisi, maka dalam pemahaman konsep pun tujuan akhirnya bukan memahami suatu konsep sesuai dengan definisinya. Siswa memahami suatu konsep melalui notion siswa sendiri yang ia peroleh dari serangkaian aktivitas yang dilakukannya. Seperti yang diungkapkan pada artikel ini bahwa “the existence of un-decidable statements is not a serious obstacle to practical mathematics” sehingga siswa memahami konsep dengan notionnya sendiri bukanlah hambatan bagi praktek matematika.
    Wassalamualaikum, wr.wb.

  55. Nur Dwi Laili K
    PPs PMAT C

    Salah satu elemen penting untuk menginterpretasi konsep matematika adalah pemahaman manusia tentang konsep tak terhingga. Memahami konsep tak terhingga bukanlah suatu hal mudah terutama bagi anak-anak karena konsep tak terhingga merupakan sesuatu yang abstrak. Apakah tak terhingga merupakan bilangan atau bukan, tak terhingga termasuk bilangan negative atau positif, dimana letak tak terhingga dalam garis bilangan, merupakan pertanyaan-pertanyaan yang mungkin kita jumpai dalam mengajarkan konsep tak hingga pada siswa. Apalagi menjelaskan tentang pembagian yang melibatkan konsep tak terhingga. Maka guru harus memahami terlebih dahulu tentang konsep tak terhingga dan menjelaskannya dengan Bahasa yang dipahami anak.

  56. Fitri Ni'matul Maslahah
    PPs PM C

    Nosi seseorang dapat ditingkatkan dengan memperkayan bacaannya serta dapat meningkatkan kualitas output mereka, maka agar dapat meningkatkan nosi siswa, guru harus dapat memotivasi siswa untuk lebih mengembangkan diri mereka salah satunya dengan menggunakan metode pembelajaran yang tepat dan menyenangkan. Dengan pembelajaran yang menyenangkan, siswa akan tertarik dan tertantang untuk belajar dan berkembang lebih pesat lagi. Wallahu a'lam

  57. Yuni Pratiwi
    S-1 Pendidikan Matematika A 2015

    Notion adalah semua ungkapan, pernyataan, kalimat yang terdapat dalam pikiran manusia yang dapat disampaikan baik secara lisan maupun tulisan yang mencakup berbagai dimensi yaitu spiritual, normatif, formal, dan material. Untuk meningkatkan nation yang kita miliki, kita dapat membiasakan diri kita dengan membaca berbagai sumber ilmu pengetahuan.