Feb 12, 2013

Mathematical Concept: What are their notions?

By Marsigit
Yogyakarta State University

Bold, T., 2004, notified that the essential components of mathematics covers the concepts of integer numbers, fractions, additions, divisions and equations; in which addition and division are connected with the study of mathematical propositions and the concept of integers and fractions are elements of mathematical concepts. He stated that the concept of equation can fall under mathematical propositions, but it is also related to issues concerning mathematical certainty; and integer numbers are statements about certain properties of bodies; hence, the concept of natural number is explained by study about this particular property of bodies or “notion of unity” or “quantitative property”. He clarified that there are two necessary elements involved with explanation of what a mathematical statement assures: quantifiable bodies and quantitative property of bodies. According to him, “quantifiable bodies” is mathematical statements initially involve only bodies that have capacity to be quantified by the mind; in which, once the concept of quantity is achieved, all bodies are quantifiable and consequently, it will be impossible for an empty mind that only interacts with bodies like sand and air to form the concept of number. While “quantitative property of bodies” is that once quantifiable bodies are present, mathematical statements do not affirm just any properties of those bodies, but only about that particular quantitative property; a mathematical statement is about quantitative properties of bodies, and quantitative bodies are in the bodies. That is how mathematical statements connect with the world.

Bold, T., 2004, further indicated that the second necessary element for interpretation of mathematical concepts is man’s ability of to abstract, that is the mind’s ability to abstract the quantitative property from bodies and use it without the presence of bodies. Due to the fact that all of mathematics is abstract, he believes that one of the motives of intuitionists to think mathematics is a sole product of the mind. He added that a third important element is the concept of infinity; while infinity is based on the concept of possibility. Accordingly, infinity is not a quantity, but a concept based on unrestricted possibility; it is a character of possibility. Next he claimed that the concept of fraction is just based on abstraction and possibleness. According to him, the issue involved with rational and irrational numbers is completely irrelevant for interpretation of concepts of fraction as Arend Heyting is overly concerned. As far as mathematical concepts are concerned, rational numbers as n/p and irrational numbers as q are just a matter of different ways of expression. The difference between them is issue within mathematics to be explained by mathematical terms and language.

On the other hand, Podnieks, K., 1992, claimed that the concept of natural numbers developed from human operations with collections of discrete objects; however, it is impossible to verify such an assertion empirically and the concept of natural number was already stabilized and detached from its real source viz. the quantitative relations of discrete collections in the human practice, and it began to work as a stable self-contained model. According to him, the system of natural numbers is an idealization of these quantitative relations; in which people abstracted it from their experience with small collections and extrapolated their rules onto much greater collections (millions of things) and thus idealized the real situation. He insisted that the process of idealization ended in stable, fixed, self-contained concepts of numbers, points, lines etc and ceased to change. While the stabilization of concepts is an evidence of their detachment from real objects that have led people to these concepts and that are continuing their independent life and contain an immense variety of changing details.

According to Podnieks, K., 1992, when working in geometry, a mathematician does not investigate the relations of things of the human practice directly, he investigates some stable notion of these relations viz. an idealized, fantastic "world" of points, lines etc; and during the investigation this notion is treated subjectively as the "last reality", without any "more fundamental" reality behind it. Further he claimed that if during the process of reasoning mathematicians had to remember permanently the peculiarities of real things, then instead of a science viz. efficient geometrical methods, we would have an art - simple, specific algorithms obtained by means of trial and error or on behalf of some elementary intuition. He summed that Mathematics of Ancient Orient stopped at this level and Greeks went further. According to him Plato treats the end product of the evolution of mathematical concepts that is a stable, self-contained system of idealized objects, as an independent beginning point of the evolution of the "world of things"; Plato tried to explain those aspects of the human knowledge, which remained inaccessible to other philosophers of his time.

Jones, R.B.,1997, elaborated that in the hands of the ancient Greeks mathematics becomes a systematic body of knowledge rather than a collection of practical techniques; mathematics is established as a deductive science in which the standard of rigorous demonstration is deductive proof. According to him, Aristotle provides a codification of logic which remains definitive for two thousand years; while the axiomatic method is established and is systematically applied to the mathematics of the classical period by Euclid, whose Elements becomes one of the most influential books in history. Jones insisted that the next major advances in logic after Aristotle appear in the nineteenth century, in which Boole introduces the propositional (boolean) logic and Frege devises the predicate calculus. This provides the technical basis for the logicisation of mathematics and the transition from informal to formal proof. On the other hand, Russell's paradox shakes the foundational advances of Frege, but is quickly resolved.

Further, Jones, R.B.,1997, noted that the Pythagoreans, were first inclined to regard number theory as more basic than geometry; the discovery of in-commensurable ratios presented them with a foundational crisis not fully resolved until the 19th century. Since Greek number theory, which concerns only whole numbers, cannot adequately deal with the magnitudes found in geometry, geometry comes to be considered more fundamental than arithmetic. Therefore, despite the inadequacies of the available number systems the desire to treat geometry numerically remains. Descartes1 , by inventing co-ordinate geometry advances an understanding of how geometry can be reduced to number. Meanwhile Mathematics continues to develop as Newton and Leibniz invent the calculus despite weakness in the underlying number system and Berkeley is one of the vocal critics of the soundness of the methods used. Jones2 claimed that not until the 19th Century do we see the foundational problems resolved by precise definition of the real number system and elimination of the use of infinitesimals from mathematical proofs. On the other side, Cantor's development of set theory together with Frege's advances in logic pave the way for Zermelo's first order axiomatisation of set theory, which provides the foundations for mathematics in the twentieth century.3

Landry, E., 2004, quoted Bolzano's that mathematical truths can and must be proven from the mere [the analysis of] concepts. Bolzano4 did this by demonstrating how mathematical rigor could be both an epistemological as well as a semantic notion; his demonstration of the dual character of mathematical rigor was the distinction between what he termed subjective and objective representations. According to Bolzano5 , meaning relates not to the subjective representation but rather relates to the inter-subjective content and as such is in no need of assistance from intuitions, either empirical or pure. Meanwhile, Hempel, C.G., 2001, argued that the validity of mathematics rests neither on its alleged self-evidential character nor on any empirical basis, but derives from the stipulations which determine the meaning of the mathematical concepts, and that the propositions of mathematics are therefore essentially "true by definition." He insisted that for the rigorous development of a mathematical theory proceeds not simply from a set of definitions but rather from a set of non-definitional propositions which are not proved within the theory; these are the postulates or axioms of the theory.

Hempel, C.G., 2001, exposed the example that the multiplication of natural numbers may be defined by definition which expresses in a rigorous form the idea that a product nk of two integers may be considered as the sum of k terms each of which equals n, that is (a) n.0 = 0; (b) n.k' = n.k + n. We may prove the laws governing addition and multiplication, such as the commutative, associative, and distributive laws (n + k = k + n; n.k = k.n; n + (k + I) = (n + k) + I; n.(k.l) = (n.k).l;n.(k + l) = (n.k) + (n.l)), as

commutative associative distributive
n + k = k + n
n.k = k.n n + (k + l) = (n + k) + l n.(k.l) = (n.k).l
n.(k + l) = (n.k) + (n.l)

Hempel6 concluded that in terms of addition and multiplication, the inverse operations of subtraction and division can then be defined; but it turns out that these "cannot always be performed"; i.e., in contradistinction to the sum and the product, the difference and the quotient are not defined for every couple of numbers; for example, 7-10 and 7/10 are undefined; and this situation suggests an enlargement of the number system by the introduction of negative and of rational numbers.

Ford & Peat, 1988, insisted that mathematical notation has assimilated symbols from many different alphabets and fonts includes symbols that are specific to mathematics; in mathematics a word has a different and specific meaning such as group, ring, field, category, etc; mathematical statements have their own moderately complex taxonomy, being divided into axioms, conjectures, theorems, lemmas and corollaries; and there are stock phrases in mathematics, used with specific meanings, such as "if and only if", "necessary and sufficient" and "without loss of generality". 7Any series of mathematical statements can be written in a formal language, and a finite state automaton can apply the rules of logic to check that each statement follows from the previous ones. According to them, various mathematicians attempted to achieve this in practice, in order to place the whole of mathematics on a axiomatic basis; while Gödel's incompleteness theorem shows that this ultimate goal is unreachable in which any formal language is powerful enough to capture mathematics will contain un-decidable statements. 8

Ford & Peat, 1988, claimed that the vast majority of statements in mathematics are decidable, and the existence of un-decidable statements is not a serious obstacle to practical mathematics. 9 According to them mathematics is used to communicate information about a wide range of different subjects covering to describe the real world viz. many areas of mathematics originated with attempts to describe and solve real world phenomena that is from measuring farms (geometry) to falling apples (calculus) to gambling (probability); to understand more about the universe around us from its largest scales (cosmology) to its smallest (quantum mechanics); to describe abstract structures which have no known physical counterparts at all; to describe mathematics itself such as category theory in which deals with the structures of mathematics and the relationships between them.


1 In Jones, R.B.,1997, A Short History of Rigour in Mathematics,
2Jones, R.B.,1997, A Short History of Rigour in Mathematics,
3 Jones, R.B.,1997, A Short History of Rigour in Mathematics,
4 In Landry, E., 2004, Semantic Realism: Why Mathematicians Mean What They Say,
5 Ibid.
6 Hempel, C.G., 2001, On the Nature of Mathematical Truth, http://www.ltn.lv/ ~podniek/gt.htm
7 Ford & Peat, 1988, Mathematics as a language, Wikipedia, the free encyclopedia,
8 Ibid.
9 Ibid.


  1. Nani Maryani
    S2 Pendidikan Matematika (A) 2018
    Assalamu'alaikum Wr.Wb

    Konsep matematika tidak akan bisa terlepas dari operasi dan lambang matematika, seperti simbol, penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dll. Ciri atau karakteristik matematika menurut Soedjaji adalah, 1) memiliki obyek kajian abstrak, bertumpu pada kesepakatan, berpola pikir deduktif, memiliki simbol yang kosong dari arti, serta memperhatikan sesesta pembicaraan. Karakteristik tersebut merupakan salah satu hal penting yang sangat dibutuhkan untuk membangun konsep matematika. Meski konsep tersebut terkesan abstrak, akan tetapi sebagian ahli mengatakan bahwa konsep dan obyek matematika itu konkrit.

    Wassalamu'alaikum Wr.Wb

  2. Rindang Maaris Aadzaar
    S2 Pendidikan Matematika 2018

    Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh
    Konsep matematika memang merupakan sesuatu yang sangat penting dalam pengausaan materi matematika. Konsep adalah dasar segalanya dari proses pengabstraksian anak karena matematika adalah abstrak. Konsep juga erat hubungannya dengan simbol dimana setiap simbol harus diperkenalkan dengan baik dan bukan diajarkan untuk diterapkan. Hal ini dapat membuat pemabahan konsep juga menjadi terganggu apabila pengunaan simbol tidak disertai dengan pengenalan simbol yang universal
    Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh

  3. Bayuk Nusantara Kr.J.T
    PEP S3

    I wanna ask something about this article, I still confuse how math can be said as connect to the world, Prof?

  4. Dini Arrum Putri
    S2 P Math A 2018

    Basic skill dalam belajar matematika terdiri dari kemampuan konseptual, kemampuan prosedural dan conditional. Konsep matematila sangat dan perlu dipahami oleh siswa tidak hanya sekadar menghafal tetapi siswa harus paham. Bagaimana siswa mau memiliki kemampuan prosedural dan conditional jika pemahaman konsepnya rendah. Kemampuan pemahaman konsep dalam belajar matematika sangat penting untuk meminimalisir miskonsepsi.

  5. Anggoro Yugo Pamungkas
    S2 Pend.Matematika B 2018

    Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.
    Berdasarkan artikel diatas, pada dasarnya dalam pembelajaran matematika dikenal 4 hal yaitu fakta, konsep, prinsip dan keterampilan. Guru seringkali mencampuradukkan keempat hal tersebut. Padahal keempatnya berbeda dan memiliki karakteristik pembelajaran yang berbeda pula. konsep adalah suatu ide abstrak yang  yang memungkinkan seseorang mengklasifikasikan suatu objek dan menerangkan apakah objek tersebut merupakan contoh atau bukan contoh dari ide abstrak tersebut. Suatu konsep bukanlah untuk dihafal tetapi untuk dipahami maknanya.

  6. Sintha Sih Dewanti
    PPs S3 PEP UNY

    Pada artikel ini dijelaskan bahwa “the essential components of mathematics covers the concepts of integer numbers, fractions, additions, divisions and equations; in which addition and division are connected with the study of mathematical propositions and the concept of integers and fractions are elements of mathematical concepts”. Hal ini memang benar karena konsep merupakan unsur terkecil dan mendasar dari proses berpikir. Belajar matematika merupakan belajar konsep dan struktur matematika. Oleh karena itu, tujuan penting pembelajaran matematika adalah membantu anak memahami konsep, bukan hanya sekedar mengingat fakta, prosedur, dan algoritma yang terpisah-pisah.

  7. Septia Ayu Pratiwi
    S2 Pendidikan Matematika 2018

    “Apa sih gagasan dari konsep matematika itu?” Pertanyaan tersebut sebenarnya sanagt menggelitik, namun untuk menjawab pertanyaan tersebut diperlukan pemahaman yang cukup sehingga nantinya tidak memunculkan misunderstanding statement.
    Telah dijelaskan diatas bahwa konsep matematika merupakan sesuatu yang penting dalam pembelajaran matematika. Konsep matematika tidak terlepas dari symbol dan bilangan. Kedua hal tersbut merupakan konsep dasar matematika. TIdak terlepas dari itu, konsep matematika terkait dengan proses abtraksi anak. Melalui pengabstraksian anak dapat menegtahui ciri-ciri, sifat-sifat, dan karakteristik-karakteristik konsep matematika. Oleh sebab itu, memahamkan anak tentang konsep matematika diperlukan ketelatenan dan wawasan yang luas dari guru.

  8. Amalia Nur Rachman
    S2 Pendidikan Matematika B UNY 2018

    Pemikiran dan pemahaman mengenai matematika akan berbeda – beda antara satu sama lain. Sebagai contoh jika kita berpikir mengenai elemen atau objek matematika yang berbeda, walaupun tiap elemen atau objek matematika tersebut memiliki keterhubungan dan keterkaitan dengan objek matematika yang lainnya.

  9. Rosi Anista
    S2 Pendidikan Matematika B

    Konsep matematika adalah pembelajaran dasar untuk menuju ke materi lebih lanjut. Pentingnya konsep matematika bagi siswa harus menjadi perhatian juga bagi guru, sehingga dalam penanaman konsep dalam benak siswa diharapkan guru untuk lebih kreatif dan inovatif agar penanaman konsep tersebut bukan diawali dari sebuah definisi saja namun siswa harus terlibat langsung dalam penanaman konsep matematika tersebut.

  10. Agnes Teresa Panjaitan
    S2 Pendidikan Matematika A 2018

    Pemahaman saya mengenai tulisan diatas adalah, terdapat berbagai macam pandangan yang berbeda dalam konsep matematika. Bold T memandang bahwa komponen penting matematika mencakup konsep bilangan bulat, pecahan, penjumlahan, pembagian dan persamaan. Menurut Podnieks K memandang bahwa konsep bilangan dikembangkan oleh sistem operasi manusia, sedangkan Jones R,B mengemukakan bahwa pernyataan matematika pasti dapat diselesaikan.

  11. Fabri Hidayatullah
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Konsep matematika sangat beragam. Selain itu juga muncul berbagai pendapat tentang konsep matematika. Menurut Bold, komponen matematika meliputi konsep bilangan bulat, pecahan, penumlahan, pembagian,dan persamaan. Penjumlahan dan pembagian berhubungan dengan ilmu tentang proposisi matematika. Konsep bilangan bulat dan pecahan merupakan elemen dari konsep matematika. Konsep persamaan ada di bawah proposisi matematika dan juga berhubungan dengan kepastian matematika. Elemen lain yang diperlukan untuk menginterpretasikan konsep matematika adalah kemampuan manusia untuk mengabstraksi sifat-sifat kuantitatif dari bagian-bagian tubuh dan menggunakannya tanpa kehadiran tubuh. Elemen yang selanjutnya ialah konsep tentang infinity, infiniti didasarkan pada konsep peluang.Selanjutnya, konsep pecahan hanyalah berdasarkan pada abstraksi dan peluang.

  12. Atin Argianti
    PPs PM A 2018
    Berdasarkan postingan tersebut, konsep matematika adalah pengetahuan yang paling dasar untuk belajar matematika lebih lanjut. Konsep matemtika sangat diperlukan untuk menyelesaikan persoalan matematika. Ada karakteristik yang digunakan untuk mengembangkan konsep matematika yaitu memiliki pola pikir yang deduktif. Dengan pola pikir yang deduktif, yaitu mengetahui hal yang umum terlebih dahulu kemudian menghubungkannya dengan hal yang khusus guna mencapai kesimpulan.

  13. Nur Afni
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.
    Mengutip dari elegi ini menurut Ford & Peat, 1988, menegaskan bahwa notasi matematika telah mengasimilasi simbol dari banyak huruf dan font yang berbeda termasuk simbol yang khusus untuk matematika; dalam matematika sebuah kata memiliki arti yang berbeda dan spesifik seperti grup, cincin, bidang, kategori, dll; pernyataan matematika memiliki taksonomi mereka sendiri yang cukup kompleks, yang dibagi menjadi aksioma, dugaan, teorema, lemmas dan akibat wajar; dan ada ungkapan-ungkapan baku dalam matematika, yang digunakan dengan makna khusus, seperti "jika dan hanya jika", "perlu dan cukup" dan "tanpa kehilangan sifat umum". Setiap pernyataan matematis dapat ditulis dalam bahasa formal, dan otomat keadaan terbatas dapat menerapkan aturan logika untuk memeriksa bahwa setiap pernyataan mengikuti dari yang sebelumnya.

  14. Herlingga Putuwita Nanmumpuni
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Sebelum mengajarkan tentang bentuk formal suatu konsep dalam matematika maka siswa terlebih dulu diberikan masalah sehari-hari yang berkaitan dan sering untuk mereka jumpai. Langkah selanjutnya guru akan memfasilitasi siswa untuk membangun konsep melalui permasalahan yang telah diberikan tersebut. Agar dapat mencapai bentuk formal matematika, siswa membutuhkan pengalaman belajar yang tidak sedikit. Siswa memerlukan eksplorasi segala sesuatu yang dapat mendasari pengetahuan siswa. Eksplorasi atau pembangunan pengetahuan dimulai dari dunia nyata yang sering dijumpai siswa. Selanjutnya baru masuk ke tahap dimana siswa dibimbing untuk membangun pengetahuan mereka secara lebih abstrak.

  15. Yoga Prasetya
    S2 Pendidikan Matematika UNY 2018 A
    Para ahli memiliki pandangan yang bermacam-macam mengenai konsep matematika. Matematika memiliki konsep angka, bilangan bulat, pecahan, persamaan, simbol, aljabar dan bentuk yang lain. Konsep matematika tidak untuk dihapal namun untuk dipahami makna yang sebenarnya konsep matematika tersebut.

  16. Theresia Veni Dwi Lestari
    S2 Pendidikan Matematika C 2018

    Setelah membaca artikel di atas,menurut pemahaman saya ada beberapa ide/gagasan tentang konsep matematika menurut para ahli.
    Bold, T. (2004) mengatakan bahwa komponen penting matematika mencakup konsep bilangan bulat, pecahan, penambahan, pembagian dan persamaan; di mana penambahan dan pembagian dihubungkan dengan studi tentang proposisi matematika dan konsep bilangan bulat dan pecahan adalah elemen dari konsep matematika. Bold meyakini bahwa diperlukan kemampuan untuk berpikir abstrak dalam menginterpretasikan konsep matematika, karena matematika adalah suatu hal yang abstrak dan merupakan produk tunggal dari pikiran.

    Di sisi lain Podniek, K. (1992) mengatakan bahwa konsep bilangan asli dikembangkan dari operasi/pengalaman orang-orang dengan koleksi objek diskrit; di mana orang-orang mengabstraksikan bilangan asli dari pengalaman mereka dengan koleksi-koleksi kecil dan mengekstrapolasi aturan-aturan mereka ke dalam koleksi-koleksi yang jauh lebih besar (jutaan hal) dengan demikian mengidealkan dalam situasi nyata. Orang-orang dapat memikirkan konsep bilangan asli tanpa harus memverifikasi pernyataan tersebut secara empiris.

    Jones, R.B., (1997) mengatakan bahwa matematika menjadi pengetahuan yang sistematis dari kumpulan teknik praktis; matematika ditetapkan sebagai ilmu deduktif. Sedangkan, Landry, E., (2004) mengutip pendapat Bolzano bahwa bahwa kebenaran matematika dapat dan harus dibuktikan hanya dari [analisis] konsep.

    Sementara, Hempel, C.G., (2001) berpendapat bahwa validitas matematika tidak bertumpu pada dasar empiris, tetapi berasal dari ketentuan yang menentukan arti dari konsep matematika, di mana dasarnya adalah "benar menurut definisi". Pengembangan dari teori matematika tidak hanya dari serangkaian definisi tetapi lebih dari serangkaian proposisi non-definisi yang tidak terbukti dalam teori; yang disebut dalil atau aksioma.

    Sedangkan Ford & Peat (1988), mengatakan bahwa matematika digunakan untuk mengkomunikasikan informasi tentang berbagai mata pelajaran yang berbeda untuk menggambarkan dunia nyata. Banyak konsep matematika yang digunakan untuk menggambarkan dan memecahkan fenomena dunia nyata, contohnya dari mengukur pertanian (geometri), apel jatuh (kalkulus) hingga perjudian (probabilitas).

  17. Lovie Adikayanti
    S2 Pendidikan Matematika D
    Assalamualaikum wr.wb
    Berdasarkan artikel diatas saya melihat bahwa sangat banyak sekali pendapat maupun pandangan yang berbeda terkait dengan konsep matematika. Seperti pendapat Bold T., ia memandang kompenen penting matematika mencakup konsep bilangan bulat, pecahan, penjumlahan, pembagian dan persamaan. Sedangkan menurut Podnieks K., ia mengklaim bahwa konsep bilangan dikembangkan oleh sistem operasi manusia. Begitu seterusnya berbagai macam pendapat mengenai konsep matematika dikemukakan oleh Jones R.B., Landry E., Hempel C.G., hingga pendapat terakhir berdasarkan artikel diatas yaitu dari Ford & Peat yang menyatakan bahwa sebagian besar dari pernyataan dalam matematika pasti dapat dipecahkan.
    Selain itu, pendapat yang menarik juga datang dari Ford & Peat, yang menyatakan bahwa banyak bidang pembahasan dalam matematika merupakan usaha untuk mendeskripsikan dan memecahkan fenomena yang ditemui dalam dunia nyata.