Nov 26, 2012

MATHEMATICAL PROOF 2_Docemented by Marsigit




MATHEMATICAL PROOF 2

Once a theorem is proved, it can be used as the basis to prove further statements. The so-called foundations of mathematics are those statements one cannot, or need not, prove. These were once the primary study of philosophers of mathematics. Today focus is more on practice, i.e. acceptable techniques. 

Some common proof techniques are:

Direct proof: where the conclusion is established by logically combining the axioms, definitions and earlier theorems
·          
Proof by induction: where a base case is proved, and an induction rule used to prove an (often infinite) series of other cases 

Proof by contradiction: where it is shown that if some property were true, a logical contradiction occurs, hence the property must be false.
· 
Proof by construction: constructing a concrete example with a property to show that something having that property exists.

Proof by exhaustion: where the conclusion is established by dividing it into a finite number of cases and proving each one separately

14 comments:

  1. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  2. Sintha Sih Dewanti
    18701261013
    PPs S3 PEP UNY

    Di dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis (semua langkah pada setiap argumen harus dijustifikasi oleh langkah sebelumnya) yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Salah satu teknik pembuktian yaitu induksi matematika. Teknik pembuktian ini lebih banyak difokuskan pada permasalahan yang menyangkut kebenaran berlaku pada semua bilangan asli atau himpunan bagian dari himpunan bilangan asli yang banyak unsurnya tak hingga. Prinsip pembuktian dengan menggunakan induksi matematika pada prinsipnya memiliki dua langkah yaitu: Buktikan bahwa pernyataan benar untuk bilangan asli n =1. Kemudian dengan memisalkan benar untuk n = k, selanjutnya dibuktikan pernyataan juga benar untuk n = k + 1. Prinsip ini sebenarnya bersifat ”rantai”. Kondisi awal n = 1 benar dan menurut persyaratan kedua pernyataan juga benar untuk n = 2. Secara berulang-ulang memanfaatkan sifat kedua pernyataan benar untuk semua bilangan asli.

    ReplyDelete
  3. Anggoro Yugo Pamungkas
    18709251026
    S2 Pend.Matematika B 2018

    Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
    Berdasarkan artikel diatas, saya melihat bahwa yang dibahas kali ini adalah pembuktian matematika, khususnya pada teknik pembuktian. Pembuktian yang dimaksud yaitu bukti secara langsung, bukti secara induksi, bukti secara kontradiksi, dan bukti secara kelelahan. Nah, menurut saya yang paling bagus pembuktiannya adalah bukti secara real, maksudnya bukti dalam kehidupan nyata. Karena dengan adanga bukti secara nyata, maka sulit untuk menyangkalnya. Misal pembuktian bahwa penjumlahan bilangan bulat bersifat komutatif, dalam kehidupan nyatanya dapat di contohkan, 3 apel di tambah 2 apel maka sama dengan 5 apel dan 2 apel ditambah 3 apel sama dengan 5 apel, sehingga terbukti penjumlahan bilangan bulat bersifat komutatif. Selanjutnya bisa dengan contoh-contoh yang lain dalam kehidupan kita.

    ReplyDelete
  4. Fabri Hidayatullah
    18709251028
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Seperti yang telah diungkapkan dalam teorema sebelumnya, teorema yang sudah terbukti dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan selanjutnya. Fondasi matematika adalah pernyataan tersebut tidak dapat atau tidak perlu bukti. Beberapa tehnik pembuktian yang sering digunakan ialah pembuktian langsung, dimana kesimpulan diperoleh secara logis dengan mengkombinasikan aksioma, definisi dan teorema terdahulunya; induksi dimana keadaan dasar dibuktikan dan aturan induksi digunakan untuk membuktikan seperangkat keadaan yang lain; dan kontradiksi yaitu dimana ditunjukkan bahwa jika beberapa sifat tidak benar, kontradiksi secara logika terjadi, sehingga sifat harus salah. Selain itu, terdapat tehnik-tehnik lain seperti pembuktian langsung, pembuktian dengan konstruksi contoh konkret, dan pembuktian dengan kelelahan.

    ReplyDelete
  5. Janu Arlinwibowo
    18701261012
    PEP 2018

    Setelah teorema terbukti, dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut. Dasar matematika adalah pernyataan meraka salah satu tidak bisa, atau tidak perlu, membuktikan. Ini dulunya studi utama filsuf matematika . Saat ini fokus lebih pada praktek, yaitu teknik yang dapat diterima. Beberapa teknik pembuktian adalah, langsung terbukti, induksi matematika, kontradiksi, konstruksi dan kelelahan.

    ReplyDelete
  6. Fany Isti Bigo
    18709251020
    PPs UNY PM A 2018
    Dari artikel dijelaskan bahwa setelah pembuktikan dalam teorema terbukti dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut. Terdapat lima cara dalam setiap pembuktian matematika yaitu: bukti langsung, bukti dengan induksi, bukti dengan kontradiksi, bukti dengan konstruksi dan bukti dengan kelelahan. Dari setiap cara yang digunakan dalam pembuktian Matematika akan ditemukan sebuah kesimpulan yang menentukan nilai kebenaran.

    ReplyDelete
  7. Dini Arrum Putri
    18709251003
    S2 P Math A 2018

    Teorema dalam matematika merupakan sebuah konsep matematika yang perlu dibuktikan kebenarannya. Jika suatu teorema sudah dibuktikan maka dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan teorema yang lainnya. Itulah yang namanya landasan dalam matematika. Matematika saling berkaitan dengan ilmunya sendiri, misal konsep awal penjumlahan yang kita tahu akan digunakan untuk mengerjakan konsep perkalian begitu juga konsep perkalian yang akan digunakan saat konsep pembagian.

    ReplyDelete
  8. Amalia Nur Rachman
    18709251042
    S2 Pendidikan Matematika B UNY 2018

    Teknik pembuktian secara umum dibedakan menjadi lima, yaitu bukti langsung, bukti dengan induksi, bukti dengan kontradiksi, bukti dengan konstruksi, dan bukti dengan keterbagian. Bukti langsung logika dan aksioma digunakan untuk menarik kesimpulan. Bukti dengan induksi digunakan untuk membuktikan serangkaian kasus berdasarkan kasus dasar yang sudah terbukti. Bukti dengan kontradiksi, pernyataan salah dari sebuah kontradiksi logika akan menghasilkan pernyataan yang benar. Selanjutnya, bukti dengan konstruksi menunjukkan bahwa sesuatu memiliki aturan dengan cara membangun contoh konkret. Sementara, bukti dengan keterbagian menggunakan pembagian ke dalam jumlah terbatas oleh kasus yang akan dibuktikan secara terpisah agar dapat ditarik kesimpulan

    ReplyDelete
  9. Rosi Anista
    18709251040
    S2 Pendidikan Matematika B

    Di dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Argumen-argumen ini dapat berasal dari premis pernyataan itu sendiri, teorema-teorema lainnya, definisi, dan akhirya dapat berasal dari postulat dimana sistem matematika tersebut berasal. Dalam matematika ada banyak sekali cara pembuktiannya, dalam pembuktian tersebut akan menyesuaikan berbagai macam teori agar dapat menentukan pembuktian yang bagaimana yang akan lebih tepat untuk digunakan.

    ReplyDelete
  10. Nur Afni
    18709251027
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.
    hal yang perlu di pahami dan diperhatikan dalam pembuktian adalah memahami akan dibuktikan dengan cara. terdapat teknik pembuktian yang umum adalah Bukti langsung: di mana kesimpulan dibuat dengan secara logis menggabungkan aksioma, definisi dan teorema sebelumnya. Bukti dengan induksi: di mana kasus dasar terbukti, dan aturan induksi digunakan untuk membuktikan serangkaian (sering tak terbatas) dari kasus lain. Bukti oleh kontradiksi: di mana ditunjukkan bahwa jika beberapa properti benar, kontradiksi logis terjadi, maka properti itu pasti salah. Bukti oleh konstruksi: membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa ada sesuatu yang memiliki properti itu. Bukti karena kelelahan: di mana kesimpulannya. terimakasih

    ReplyDelete
  11. Sintha Sih Dewanti
    18701261013
    PPs S3 PEP UNY

    Salah satu teknik pembuktian yang umum adalah bukti langsung, yaitu: di mana kesimpulan dibuat dengan secara logis menggabungkan aksioma, definisi dan teorema sebelumnya. Pembuktian dengan bukti langsung berawal dari premis pada teorema kemudian menghasilkan kesimpulan. Pertama yang harus diketahui adalah bahwa kebanyakan teorema berbentuk pernyataan implikasi, yakni dalam bentuk jika-maka atau bisa dibawa ke bentuk tersebut. Untuk membuktikan pernyataan seperti ini bisa dilakukan dengan tabel kebenaran.

    ReplyDelete
  12. Lovie Adikayanti
    19709251068
    S2 Pendidikan Matematika D
    Assalamualaikum wr.wb

    Berdasarkan artikel di atas,saya menjadi tahu bahwa dasar dari matematika adalah pernyataan-pernyataan. Baik pernyataan yang tidak perlu dibuktikan (aksioma) maupun yang perlu dibuktikan (teorema). Strategi untuk membuktikan suatu teorema adalah bukti langsung. Induksi. Bukti kontradiksi , bukti dengan konstruksi dan bukti dengan exhaustion (kasus-kasus)

    ReplyDelete
  13. Sri Ningsih
    19709251064
    S2 Pendidikan Matematika kelas D

    Dari artikel ini diuraikan beberapa teknik pembuktian yang umum adalah:
    Bukti langsung: di mana kesimpulan dibuat secara logis menggabungkan aksioma, definisi dan teorema sebelumnya
    Bukti dengan induksi: di mana kasus dasar terbukti, dan aturan induksi digunakan untuk membuktikan serangkaian (sering tak terbatas) dari kasus lain
    Bukti oleh kontradiksi: di mana ditunjukkan bahwa jika beberapa properti benar, kontradiksi logis terjadi, maka properti itu pasti salah.
    Bukti oleh konstruksi: membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa ada sesuatu yang memiliki properti itu.
    Bukti dengan kelelahan: di mana kesimpulan dibuat dengan membaginya menjadi jumlah kasus yang terbatas dan membuktikan masing-masing secara terpisah

    ReplyDelete
  14. Wow! this is Amazing! Do you know your hidden name meaning ? Click here to find your hidden name meaning

    ReplyDelete