Nov 26, 2012

CATEGORY THEORY_Documented by Marsigit




CATEGORY THEORY

A category E consists of two classes, the members of the first of which -- denoted by letters X, Y, ...--are called objects (structures) and the members of the second of which -- denoted by the letters f,g,... --are called arrows (morphisms). 

Each arrow f is assigned an object X as domain and an object Y as   codomain, indicated by writing f: X -> Y. If g is any arrow g: Y -> Z with domain Y, the codomain of f, there is an arrow fg: X -> Z called the composition of f and g. 

For each object Y there is an arrow idY:Y -> Y called the identity arrow of Y. These notions are assumed to satisfy the following identity and associativity axioms:

f C idY = f,  idY C g = g, f(gh) = (fg)h for any arrows f: X -> Y, g: Y -> Z, h: Z -> W .

Given two categories D and E, a functor F from D to E     consists of a pair of functions(both denoted by F), one from the class of objects of D to that of E, and the           other from the class of arrows of D to that of E, such that if f: X -> Y in D, then F(f): F(X) -> F(Y) in E; F(idX) = idF(X)  and      F(fg) = F(f)F(g) for composable arrows f,g of D. A functor can be thought of as a morphism of categories. Categories and functors are found in many seemingly diverse branches of mathematics. Some categories are:

 Set: objects - the sets; arrows - the (set) functions
 Grp: objects - the groups; arrows - group homomorphisms
 Top: objects - topological spaces; arrows - continuous functions
         
An example of a functor is the "forgetful" functor from Grp to Top of Set which assigns to each group or topological space its underlying set. This functor has the effect of "forgetting" the structure and just maintaining the elements.

5 comments:

  1. Kunny Kunhertanti
    16709251060
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori ini diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar.

    ReplyDelete
  2. Ahmad Bahauddin
    16709251058
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Sejak tahun 1960 Lawvere telah membedakan dua pengertian dasar matematika. Yaitu Fondasi Logis menggunakan aksioma formal untuk mengatur subjek. Dan yang lain adalah yang bertujuan untuk mensurvei 'apa yang universal dalam matematika'. Ontologi matematika adalah isu ketiga yang terkait. Landasan kategori sedang menggunakan set sebagai aksioma oleh teori dasar dari kategori himpunan (elementary theory of the category of sets) daripada teori himpunan Zermelo-Fraenkel (ZF). Mereka mengklaim untuk membuat teori set secara konseptual lebih mirip dengan sisa matematika daripada ZF. Dan itu menunjukkan bahwa himpunan tidak 'dibuat dari' sesuatu yang menentukan; Mereka hanya memiliki hubungan fungsional yang menentukan satu sama lain. Aksioma ZF dan ETCS keduanya mendukung matematika klasik.

    ReplyDelete
  3. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Kategori dalam matematika sangat diperlukan. Teori kategori sangat berhubunagn dengan struktur dalam matematika dan hubungan antar struktur secara abstrak. Sesuai dengan kemajuan teknologi dan pendidikan saat ini, teori kategori digunakan dalam teori matematika, informatika dan fisika matematis. Teori kategori berhubungan dengan topologi aljabar. Topologi dan aljabar juga merupakan cabang dari matematika.

    ReplyDelete
  4. Angga Kristiyajati
    17709251001
    Pps UNY P.Mat A 2017

    Terima kasih Banyak Pak Prof. Marsigit.

    Sepemahaman kami, teori kategori pertama kali diperkenalkan oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945 dan teori ini sangat terkait dengan bidang topologi dalam aljabar. Karena teori ini terkait dengan aljabar dan topologi, maka jelas bahwa struktur dan sifat dari teori ini bersifat sangat abstrak, akan tetapi teori ini dapat diterapkan secara nyata yaitu dalam bidang informatika dan fisika matematis.

    ReplyDelete