Nov 26, 2012

CATEGORY THEORY_Documented by Marsigit




CATEGORY THEORY

A category E consists of two classes, the members of the first of which -- denoted by letters X, Y, ...--are called objects (structures) and the members of the second of which -- denoted by the letters f,g,... --are called arrows (morphisms). 

Each arrow f is assigned an object X as domain and an object Y as   codomain, indicated by writing f: X -> Y. If g is any arrow g: Y -> Z with domain Y, the codomain of f, there is an arrow fg: X -> Z called the composition of f and g. 

For each object Y there is an arrow idY:Y -> Y called the identity arrow of Y. These notions are assumed to satisfy the following identity and associativity axioms:

f C idY = f,  idY C g = g, f(gh) = (fg)h for any arrows f: X -> Y, g: Y -> Z, h: Z -> W .

Given two categories D and E, a functor F from D to E     consists of a pair of functions(both denoted by F), one from the class of objects of D to that of E, and the           other from the class of arrows of D to that of E, such that if f: X -> Y in D, then F(f): F(X) -> F(Y) in E; F(idX) = idF(X)  and      F(fg) = F(f)F(g) for composable arrows f,g of D. A functor can be thought of as a morphism of categories. Categories and functors are found in many seemingly diverse branches of mathematics. Some categories are:

 Set: objects - the sets; arrows - the (set) functions
 Grp: objects - the groups; arrows - group homomorphisms
 Top: objects - topological spaces; arrows - continuous functions
         
An example of a functor is the "forgetful" functor from Grp to Top of Set which assigns to each group or topological space its underlying set. This functor has the effect of "forgetting" the structure and just maintaining the elements.

3 comments:

  1. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)

    KATEGORI TEORI

    Sebuah kategori E terdiri dari dua kelas, para anggota yang pertama - dilambangkan dengan huruf X, Y, ...-- disebut objek (struktur) dan para anggota kedua yang - dilambangkan dengan huruf f , g, ... --are disebut panah (morphisms).

    Setiap panah f diberikan sebuah X objek sebagai domain dan obyek Y sebagai kodomain, ditunjukkan dengan menulis f: X -> Y. Jika g adalah setiap panah g: Y -> Z dengan domain Y, kodomain dari f, ada panah fg: X -> Z disebut komposisi f dan g.

    Untuk setiap objek Y ada panah Idy: Y -> Y disebut identitas panah dari Y. gagasan ini diasumsikan untuk memenuhi identitas dan associativity aksioma berikut:

    f C idY = f, Idy C g = g, f (gh) = (fg) h untuk setiap panah f: X -> Y, g: Y -> Z, h: Z -> W.

    Mengingat dua kategori D dan E, functor F dari D ke E terdiri dari sepasang fungsi (baik dilambangkan dengan F), salah satu dari kelas objek dari D dengan yang E, dan lainnya dari kelas panah D dengan yang E, sehingga jika f: X -> Y di D, maka F (f): F (X) -> F (Y) di E; F (BEI) = IDF (X) dan F (fg) = F (f) F (g) untuk panah composable f, g D. A functor dapat dianggap sebagai morphism kategori. Kategori dan functors ditemukan di banyak cabang yang tampaknya beragam matematika. Beberapa kategori adalah:

    Set: benda - set; panah - yang (set) fungsi
    Grp: benda - kelompok; panah - homomorphisms kelompok
    Top: benda - ruang topologi; panah - fungsi kontinu

    Contoh functor adalah "pelupa" functor dari Grp ke atas dari Set yang memberikan kepada setiap kelompok atau topologi ruang set yang mendasarinya. Functor ini memiliki efek "melupakan" struktur dan hanya mempertahankan unsur-unsur.

    ReplyDelete
  2. Sumandri
    16709251072
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Teori kategori ialah satu bidang matematik yang mengkaji sifat konsep-konsep matematik dengan cara yang abstrak, dengan memformalkannya sebagai koleksi-koleksi objek dan anak panah, di mana koleksi-koleksi ini memenuhi beberapa syarat asas. Banyak bidang utama matematik yang boleh diformalkan sebagai kategori dan penggunaan teori kategori membolehkan banyak keputusan matematik yang rumit dan halus, dapat dinyatakan dan dibuktikan dengan cara yang lebih ringkas.

    ReplyDelete
  3. Wahyu Lestari
    16709251024
    PPs P.Matematika Kelas D

    Teori kategori telah sampai pada posisi sentral dalam matematika kontemporer dan ilmu komputer teoritis, dan juga diterapkan pada fisika matematika. Kira-kira, ini adalah teori matematis umum tentang struktur dan sistem struktur. Karena teori kategori masih berkembang, fungsinya berkembang, berkembang dan berkembang biak. Paling tidak, ini adalah bahasa yang kuat, atau kerangka kerja konseptual, yang memungkinkan kita melihat komponen universal dari sebuah keluarga struktur dari tipe tertentu, dan bagaimana struktur dari berbagai jenis saling terkait. Teori kategori adalah objek menarik dari studi filosofis, dan alat formal yang berpotensi kuat untuk penyelidikan filosofis terhadap konsep seperti ruang, sistem, dan bahkan kebenaran

    ReplyDelete