Nov 26, 2012

CATEGORY THEORY_Documented by Marsigit




CATEGORY THEORY

A category E consists of two classes, the members of the first of which -- denoted by letters X, Y, ...--are called objects (structures) and the members of the second of which -- denoted by the letters f,g,... --are called arrows (morphisms). 

Each arrow f is assigned an object X as domain and an object Y as   codomain, indicated by writing f: X -> Y. If g is any arrow g: Y -> Z with domain Y, the codomain of f, there is an arrow fg: X -> Z called the composition of f and g. 

For each object Y there is an arrow idY:Y -> Y called the identity arrow of Y. These notions are assumed to satisfy the following identity and associativity axioms:

f C idY = f,  idY C g = g, f(gh) = (fg)h for any arrows f: X -> Y, g: Y -> Z, h: Z -> W .

Given two categories D and E, a functor F from D to E     consists of a pair of functions(both denoted by F), one from the class of objects of D to that of E, and the           other from the class of arrows of D to that of E, such that if f: X -> Y in D, then F(f): F(X) -> F(Y) in E; F(idX) = idF(X)  and      F(fg) = F(f)F(g) for composable arrows f,g of D. A functor can be thought of as a morphism of categories. Categories and functors are found in many seemingly diverse branches of mathematics. Some categories are:

 Set: objects - the sets; arrows - the (set) functions
 Grp: objects - the groups; arrows - group homomorphisms
 Top: objects - topological spaces; arrows - continuous functions
         
An example of a functor is the "forgetful" functor from Grp to Top of Set which assigns to each group or topological space its underlying set. This functor has the effect of "forgetting" the structure and just maintaining the elements.

15 comments:

  1. Kartika Pramudita
    17701251021
    PEP S2 B

    Teori kategori matematika berkaitan dengan struktur matematika dan hubungannya dengan struktur lain dalam matematika. Contoh kategori matematika adalah dalam fungsi yang memetakan suatu himpunan ke himpunan lain. Suatu himpunan A (domain) dipetakan oleh fungsi f ke himpunan B (kodomain). contoh lain adalah fungsi komposisi yaitu himpunan A (domain) dipetakan oleh fungsi f ke himpunan B (kodomain) dan himpunan B tersebut sekaligus menjadi domain dari fungsi g yang dipetakan lagi ke himpunan C. fungsi tersebut menghubungkan dua struktur himpunan atau lebih.

    ReplyDelete
  2. Uswatun Hasanah
    17701251022
    S2 PEP B

    Membahas tentang teori kategori saya memahaminya dengan masing-masing obyek dengan sifatnya yang semula tunggal dimasukkan ke dalam suatu kelompok yang sama. Di dalam kategori kelompok seperti tipe kepribadian A dan B, tentulah memiliki ciri-ciri yang berbeda. Kategori berfungsi sebagai pembeda antar kelompok. Saat sudah berada dalam kelompok yang sama tentunya tidak dapat mengedepankan struktur secara tunggal namun struktur yang digunakan berfokus pada struktur secara berkelompok. Pada masing-masing kategori umumnya berhirarki dalam kedudukannya. Misalnya, ada tingkatan yang tinggi maupun rendah. Meski dalam kategori yang sama belum tentu semua sifat dimiliki oleh individu atau obyek yang ada di dalamnya.

    ReplyDelete
  3. Nama: Hendrawansyah
    NIM: 17701251030
    S2 PEP 2017 Kelas B

    Assalamualaikum wr wb

    Pada ratikel ini saya tambah kebingungan.Perlu adanya kehatian-hatian untuk menerjemahkannya.Jangan-jangan ada sesuatu di sebalik kalimat.Maknanya yang disampaikan yang sifatnya tersembunyi.Jika saya cermati maksudnya bahwa keabsahan suatu teori dengan tidak mengabaikan srukturnya.Juga mempunyai alasan atau landasan yang memadai untuk menggambarkan teori tersebut.Atau lebih kapada tujuan dan manfaat yang dapat diambil dari teori tersebut.

    ReplyDelete
  4. I Nyoman Indhi Wiradika
    17701251023
    PEP B

    Berdasarkan artikel di atas saya memahami bahwa teori kategori lekat hubungannya dengan struktur matematika. Pengkategorian dihubungkan secara abstrak. Jika terdapat sebuah himpunan beserta operasinya, maka akan berlaku suatu sifat kategori yang muncul yaitu sebuah fungsi, misalkan fungsi f memetakan dari himpunan A ke himpunan B. Hal ini berarti ada pengkategorian berdasarkan pendefinisian fungsi ke daerah hasil.

    ReplyDelete
  5. Mariana Ramelan
    17709251056
    S2 Pend. Matematika C 2017

    Berdasarkan sumber yang saya baca, teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis.
    Contohnya:
    Misalkan kita mempunyai himpunan A dan himpunan B. Tipe Fungsi. f: A -> B berarti fungsi f memetakan dari himpunan A ke himpunan B.

    ReplyDelete
  6. Arung Mega Ratna
    17709251049
    PPs PMC 2017


    Teori kategori yang diperkenalkan Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane ini pada awalnya berhubungan dengan topologi aljabar. Teori ini terus berkembang dalam struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak hingga berkontribusi bagi peradaban baik dalam bidang matematika, informatika teori, maupun fisika matematis sampai saat ini.

    ReplyDelete
  7. Rahma Dewi Indrayanti
    17709251038
    PPS Pendidikan Matematika Kelas B

    Teori kategori - lebih banyak fleksibilitas dan untuk mengakomodasi logika tingkat tinggi semantik berbagai fitur baru seperti aljabar, kemudian dihasilkan, yang sekarang diterapkan untuk semua cabang matematika.Sebagai dasar untuk matematika atau komentar yang konstruktif, teori kategori sedang dipelajari cukup teliti. Namun demikian, dapat dikatakan, teori himpunan aksiomatik khususnya, masih merupakan bahasa umum matematikawan dan belum diganti.

    ReplyDelete
  8. Junianto
    PM C

    Teori kategori berkaitan dengan struktur matematika dan hubungannya dengan struktur lain dalam matematika. Dengan kata lain teori ini seperti halnya konsep pemetaan dalam pembelajaran siswa SMP. Pada konsep ini maka akan ada keterkaitan yang saling menjelaskan antar objek matematika. Meskipun objek matematika dalam hal ini sebagian besar bukanlah benda konkret namun berupa benda pikir yang abstrak.

    ReplyDelete
  9. Muh Wildanul Firdaus
    17709251047
    Pendidikan matematika S2 kls C

    Kategori dalam matematika sangat diperlukan. Teori kategori sangat berhubungan dengan struktur dalam matematika dan hubungan antar struktur secara abstrak. Sesuai dengan kemajuan teknologi dan pendidikan saat ini, teori kategori digunakan dalam teori matematika, informatika dan fisika matematis. Teori kategori berhubungan dengan topologi aljabar. Topologi dan aljabar juga merupakan cabang dari matematika.

    ReplyDelete
  10. Nama: Dian Andarwati
    NIM: 17709251063
    Kelas: Pendidikan Matematika (S2) Kelas C

    Assalamu’alaikum. Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Teori Kategori bisa memberikan dasar alternatif matematika, dalam tempat teori himpunan.

    ReplyDelete
  11. Latifah Fitriasari
    PM C

    Matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsepkonsep yang berhubungan satu dengan lainnya. Hubungan inferensial adalah yang paling tepat untuk dipertimbangkan, karena menunjukkan hubungan justificatory antara dalil dan rumus matematika, yang memberikan struktur teori aksiomatik deduktif. Belajar matematika adalah belajar mengenai konsep-konsep dan struktur-struktur matematika yang terdapat didalam materi yang dipelajari serta mencari hubungan antara konsep-konsep dan struktur-struktur matematika itu.

    ReplyDelete
  12. Auliaul Fitrah Samsuddin
    17709251013
    PPs P.Mat A 2017
    Terima kasih atas postingannya, Prof. teori kategori merupakan teori yang berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Misalkan suatu kategori terdiri dari dua kelas. Anggota kelas pertama disebut objek (struktur) dan anggota kelas kedua disebut arah atau morfisme

    ReplyDelete
  13. Gina Sasmita Pratama
    17709251003
    S2 P.Mat A 2017

    Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Hubungan antar struktur matematika ini dapat diibaratkan seperti peta pemikiran (mind maps). Oleh karena itu, kemampuan koneksi matematika menjadi salah satu kemampuan yang diajarkan dan perlu dimiliki oleh siswa dikarenakan alasan ini, bahwa sebenarnya struktur matematika saling berhubungan satu sama lain.

    ReplyDelete
  14. Isoka Amanah Kurnia
    17709251051
    PPs Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    Teori kategori yang dibahas pada artikel di atas adalah teori kategori dalam himpunan yang biasanya dapat digunakan pada materi relasi fungsi. Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur hubunganya bersifat abstrak.

    ReplyDelete
  15. Anisa Safitri
    17701251038
    PEP B

    Teori kategori menghubungkan matematika dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur . Teori kategori merupakan Cabang matematika yang berkaitan dengan ruang dan peta antara mereka dalam abstraksi, mengambil teorema serupa dari berbagai cabang yang lebih konkret yang berbeda dari matematika dan mempersatukan mereka.Dalam matematika karegori sangat penting. dalampembelajaran matematika menghubungkan suatu kategiri dalam bentuk asbtraksi biasanyadan bukan dalam bentuk yang nyata.hubungan pola dalam matematika juga sangat dibutuhkan untuk menyelidiki suatu hubungan dalam suatu peristiwa.

    ReplyDelete