Nov 26, 2012

CATEGORY THEORY_Documented by Marsigit




CATEGORY THEORY

A category E consists of two classes, the members of the first of which -- denoted by letters X, Y, ...--are called objects (structures) and the members of the second of which -- denoted by the letters f,g,... --are called arrows (morphisms). 

Each arrow f is assigned an object X as domain and an object Y as   codomain, indicated by writing f: X -> Y. If g is any arrow g: Y -> Z with domain Y, the codomain of f, there is an arrow fg: X -> Z called the composition of f and g. 

For each object Y there is an arrow idY:Y -> Y called the identity arrow of Y. These notions are assumed to satisfy the following identity and associativity axioms:

f C idY = f,  idY C g = g, f(gh) = (fg)h for any arrows f: X -> Y, g: Y -> Z, h: Z -> W .

Given two categories D and E, a functor F from D to E     consists of a pair of functions(both denoted by F), one from the class of objects of D to that of E, and the           other from the class of arrows of D to that of E, such that if f: X -> Y in D, then F(f): F(X) -> F(Y) in E; F(idX) = idF(X)  and      F(fg) = F(f)F(g) for composable arrows f,g of D. A functor can be thought of as a morphism of categories. Categories and functors are found in many seemingly diverse branches of mathematics. Some categories are:

 Set: objects - the sets; arrows - the (set) functions
 Grp: objects - the groups; arrows - group homomorphisms
 Top: objects - topological spaces; arrows - continuous functions
         
An example of a functor is the "forgetful" functor from Grp to Top of Set which assigns to each group or topological space its underlying set. This functor has the effect of "forgetting" the structure and just maintaining the elements.

29 comments:

  1. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)

    KATEGORI TEORI

    Sebuah kategori E terdiri dari dua kelas, para anggota yang pertama - dilambangkan dengan huruf X, Y, ...-- disebut objek (struktur) dan para anggota kedua yang - dilambangkan dengan huruf f , g, ... --are disebut panah (morphisms).

    Setiap panah f diberikan sebuah X objek sebagai domain dan obyek Y sebagai kodomain, ditunjukkan dengan menulis f: X -> Y. Jika g adalah setiap panah g: Y -> Z dengan domain Y, kodomain dari f, ada panah fg: X -> Z disebut komposisi f dan g.

    Untuk setiap objek Y ada panah Idy: Y -> Y disebut identitas panah dari Y. gagasan ini diasumsikan untuk memenuhi identitas dan associativity aksioma berikut:

    f C idY = f, Idy C g = g, f (gh) = (fg) h untuk setiap panah f: X -> Y, g: Y -> Z, h: Z -> W.

    Mengingat dua kategori D dan E, functor F dari D ke E terdiri dari sepasang fungsi (baik dilambangkan dengan F), salah satu dari kelas objek dari D dengan yang E, dan lainnya dari kelas panah D dengan yang E, sehingga jika f: X -> Y di D, maka F (f): F (X) -> F (Y) di E; F (BEI) = IDF (X) dan F (fg) = F (f) F (g) untuk panah composable f, g D. A functor dapat dianggap sebagai morphism kategori. Kategori dan functors ditemukan di banyak cabang yang tampaknya beragam matematika. Beberapa kategori adalah:

    Set: benda - set; panah - yang (set) fungsi
    Grp: benda - kelompok; panah - homomorphisms kelompok
    Top: benda - ruang topologi; panah - fungsi kontinu

    Contoh functor adalah "pelupa" functor dari Grp ke atas dari Set yang memberikan kepada setiap kelompok atau topologi ruang set yang mendasarinya. Functor ini memiliki efek "melupakan" struktur dan hanya mempertahankan unsur-unsur.

    ReplyDelete
  2. Sumandri
    16709251072
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Teori kategori ialah satu bidang matematik yang mengkaji sifat konsep-konsep matematik dengan cara yang abstrak, dengan memformalkannya sebagai koleksi-koleksi objek dan anak panah, di mana koleksi-koleksi ini memenuhi beberapa syarat asas. Banyak bidang utama matematik yang boleh diformalkan sebagai kategori dan penggunaan teori kategori membolehkan banyak keputusan matematik yang rumit dan halus, dapat dinyatakan dan dibuktikan dengan cara yang lebih ringkas.

    ReplyDelete
  3. Wahyu Lestari
    16709251024
    PPs P.Matematika Kelas D

    Teori kategori telah sampai pada posisi sentral dalam matematika kontemporer dan ilmu komputer teoritis, dan juga diterapkan pada fisika matematika. Kira-kira, ini adalah teori matematis umum tentang struktur dan sistem struktur. Karena teori kategori masih berkembang, fungsinya berkembang, berkembang dan berkembang biak. Paling tidak, ini adalah bahasa yang kuat, atau kerangka kerja konseptual, yang memungkinkan kita melihat komponen universal dari sebuah keluarga struktur dari tipe tertentu, dan bagaimana struktur dari berbagai jenis saling terkait. Teori kategori adalah objek menarik dari studi filosofis, dan alat formal yang berpotensi kuat untuk penyelidikan filosofis terhadap konsep seperti ruang, sistem, dan bahkan kebenaran

    ReplyDelete
  4. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Euclides mendasarkan gambar pada pembuktiannya, padahal gambar mungkin tidak selalu dapat digunakan sebagaiacuan.
    Banyak para matematikawan yang berusaha membuktikan aksioma kesejajaran Euclides, tetapi belum berhasil.
    Bermula dari usaha ini, lahirlah teori geometri baru yang dinamakan geometri non-Euclides.

    ReplyDelete
  5. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016
    Berdasarkan link https://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Codomain.SVG, terdapat banyak kategori dalam matematika salah satunya adalah fungsi. Dalam matematika, domain atau ranah suatu fungsi adalah suatu himpunan nilai-nilai "masukan" tempat fungsi tersebut terdefinisi (ada). Sebagai contoh, domain fungsi sinus adalah bilangan riil, sedangkan domain fungsi akar kuadrat adalah bilangan riil yang lebih besar dari nol (dengan mengabaikan bilangan kompleks). Pada sistem koordinat Cartesius, domain dilambangkan oleh sumbu x atau absis. Himpunan yang membatasi "keluaran" suatu fungsi disebut sebagai kodomain

    ReplyDelete
  6. Dessy Rasihen
    16709251063
    S2 P.MAT D

    Teori kategori yang dibahas pada artikel di atas adalah teori kategori dalam himpunan terutama pada materi relasi fungsi. Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur hubunganya bersifat abstrak. Dalam kehidupan dunia ini berarti hubungan sebab akibat antara dua hal.

    ReplyDelete
  7. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Aksioma kesejajaran Euclides berbunyi ”Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal sedemikian hingga membuat jumlah sudut dalam sepihak kurang dari 180, maka kedua garis itu berpotongan pada pihak yang jumlah sudut dalam sepihaknya kurang dari 180.
    Aksioma ini diubah oleh Playfair dalam kalimat yang berbeda tetapi bermakna sama yaitu: ”Hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui yang melalui sebuah titik di luar garis yang tidak diketahui.”

    ReplyDelete
  8. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2

    Berdasarkan artikel pada elegi ini, dapat kita ketahui bahwa teori kategori dalam matematika adalah sebuah objek atau struktur dan suatu panah yang menunjukkan hubungan atau morpisme dalam matematika yang saling mempunyai hubungan. Teori kategori yang diperlihatkan pada artikel di atas adalah teori kategori dalam himpunan khususnya pada relasi fungsi. Seperti yang yang dijelaskan di atas bahwa Misalkan kita mempunyai himpunan (objek) beserta fungsi total di antar himpunan tersebut (morphism), maka properti kategorinya yaitu: Tipe Fungsi. f: A -> B berarti fungsi f memetakan dari himpunan A ke himpunan B. Komposisi. Kita bisa menggabungkan dua fungsi f dan g, jika himpunan target dari fungsi pertama sama dengan himpunan sumber dari fungsi kedua, misal f: A -> B dan g: B -> C untuk beberapa himpunan A,B, dan C. Komposisi biasanya dilambangkan dengan g o f. Fungsi Identitas. Untuk setiap himpunan A, terdapat fungsi identitas yaitu A : A -> A

    ReplyDelete
  9. Primaningtyas Nur Arifah
    16709251042
    Pend. Matematika S2 kelas C 2016
    Assalamu’alaikum. Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Teori Kategori bisa memberikan dasar alternatif matematika, dalam tempat teori himpunan.

    ReplyDelete
  10. Lana Sugiarti
    16709251062
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Teori kategori memformalisasikan struktur matematika dan konsepnya dalam bentuk kumpulan benda dan panah (disebut juga morfisme). Sebuah kategori memiliki dua sifat dasar: kemampuan untuk menyusun panah secara asosiatif dan adanya tanda panah identitas untuk setiap objek. Bahasa teori kategori telah digunakan untuk memformalkan konsep abstraksi tingkat tinggi lainnya seperti rangkaian, cincin, dan kelompok. Beberapa istilah yang digunakan dalam teori kategori, termasuk istilah morfisme, digunakan berbeda dari penggunaannya di bidang matematika lainnya. Dalam teori kategori, morfisme mematuhi kondisi yang spesifik untuk kategori teori itu sendiri.

    ReplyDelete
  11. Ahmad Wafa Nizami
    16709251065
    S2 Pendidikan Matematika D

    Teori kategori memformalisasikan struktur matematika dan konsepnya dalam bentuk kumpulan benda dan panah (disebut juga morfisme). Sebuah kategori memiliki dua sifat dasar: kemampuan untuk menyusun panah secara asosiatif dan adanya tanda panah identitas untuk setiap objek. Bahasa teori kategori telah digunakan untuk memformalkan konsep abstraksi tingkat tinggi lainnya seperti rangkaian, cincin, dan kelompok. Beberapa istilah yang digunakan dalam teori kategori, termasuk istilah "morfisme", digunakan berbeda dari penggunaannya di bidang matematika lainnya. Dalam teori kategori, morfisme mematuhi kondisi yang spesifik untuk kategori teori itu sendiri.

    ReplyDelete
  12. Cendekia Ad Dien
    16709251044
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar (Wikipedia, 2013). Teori kategori adalah objek menarik dari studi filsafat dan dan perangkat formal yang kuat dan potensial untuk investigasi filosofis dari konsep seperti ruang, sistem, bahkan kebenaran. Teori kategori adalah alternatif terhadap teori himpunan sebagai pondasi matematika (J. P. Marquis, 2014).

    ReplyDelete
  13. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS
    16709251061

    Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar. Teori kategori merupakan sebuah objek yang menarik dari studi filsafat , dan merupakan alat yang formal untuk menyelidiki folosifis konsep ruang, system, dan bahkan kebenaran.

    ReplyDelete
  14. Resvita Febrima
    16709251076
    P-Mat D 2016
    Saat dimulainya abad ke-20, para ahli filsafat siap mulai untuk membagi ke dalam berbagai macam aliran pemikiran. Tiga aliran pemikiran, yaitu, formalisme, intuisionisme, dan logisisme, pada saat ini telah muncul, bagian dari tanggapan terhadap meningkatnya kekhawatiran bahwa matematika masih berdiri, khususnya analisis mati sampai standar ketidakpastian dan ketelitian telah dianggap remeh.
    Kategori Kategori dalam matematika : Aljabar Analisis matematika Angka Bilangan Bilangan bulat Matematika diskret Eksponensial Geodesi Geometri Kalkulus Konjektur Konstanta Logika matematika

    ReplyDelete
  15. Ardeniyansah
    16709251053
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Teori Kategori bisa memberikan dasar alternatif matematika, dalam tempat teori himpunan (Lawvere, 1966). Klaim ini belum sepenuhnya dibenarkan, namun meski demikian ini merupakan tantangan bagi keunikan fondasi teoritik himpunan. Ada cabang teori kategori (teori Topos) yang keduanya logika intuisi dan klasik dapat diturunkan (Bell, 1981). Karena teori himpunan dapat ditunjukkan dalam logika klasik urutan pertama, maka bisa diturunkan untuk teori kategori.

    ReplyDelete
  16. Loviga Denny Pratama
    16709251075
    S2 P.Mat D

    Berdasarkan artikel ini saya mempunyai pandangan beginilah matematika model. Matematika model di sini menyinggung tentang teori kategori dalam himpunan khususnya pada relasi fungsi. Di mana fungsi ini mencakup model-model dalam matematika, seperti yang saya dapatkan bahwa setiap panah f diberikan sebuah X objek sebagai domain dan obyek Y sebagai kodomain, ditunjukkan dengan menulis f: X -> Y. Jika g adalah setiap panah g: Y -> Z dengan domain Y, kodomain dari f, ada panah fg: X -> Z disebut komposisi f dan g. Inilah model-model matematika yang harus kita pahami artinya dan dapat kita ajarkan dalam sebuah pembelajaran.

    ReplyDelete
  17. Annisa Hasanah
    16709251051
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    pada artikel diatas dijelaskan mengenai teori dari sebuah kategori melalui penjelasan secara matematis atau lebih tepatnya dengan pemetaan, penjelasan disini mencakup tentang domain, kodomain, komposisi, identitas, dan lain-lain

    ReplyDelete
  18. Syaifulloh Bakhri
    16709251049
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Assalamu’alaikum wr.wb.
    Teori kategori dalam hal ini merupakan teori yang abstrak yang mengkategorikan dari relasi fungsi itu sendiri ke dalam strukturnya. Selain struktur, konsep-konsep dari relasi fungsi membentuk konsep lain yang baru yang saling berhubungan. Dalam relasi terdapat fungsi identitas dimana dia merupakan pemetaan dari dirinya sendiri. Sifat-sifat yang ada dalam relasi ini adalah dasar dari materi relasi dan fungsi selain contoh dan definisi.

    ReplyDelete
  19. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Materi matematika ataupun teori-teori matematika dapat dikelompokkan ke dalam kategori-kategori, yang mana antara satu dan yang lainnya menunjukkan kekonsistenannya. Pengkategorian dalam matematika ini menunjukkan bahwasanya matematika merupakan ilmu yang saling berkorespondensi dan berkoherensi. Kategori dalam matematika dalam hal ini membahas mengenai materi himpunan dan fungsi dalam himpunan tersebut. Kategori-kategori tersebut disusun ke dalam kelompok-kelompok yang menaunginya, misalnya saja suatu grup terdiri dari himpunan-himpunan yang memenuhi fungsi tertentu, kemudian kelompok-kelompok dari grup tersebut membentuk suatu ruang topologi.

    ReplyDelete
  20. Desy Dwi Frimadani
    16709251050
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    teori kategori adalah Teori yang berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Matematika terbagi menjadi berbagai kategori maka kategori katergori tersebut berkaitan antar struktur kategori secara abstrak

    ReplyDelete
  21. Heni Lilia Dewi
    16709251054
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Teori kategori ini berkaitan dengan struktur matematika yang hubungannya dinyatakan secara abstrak. Bermula dari relasi yang merupakan penghubungan, maka fungsi merupakan kasus spesial dari teori kategori dalam matematika. Misalnya ada sebuah himpunan beserta operasinya, maka akan berlaku suatu sifat kategori yang muncul yaitu sebuah fungsi, misalkan fungsi f memetakan dari himpunan A ke himpunan B. Hal ini berarti ada pengkawanan berdasarkan pendefinisian fungsi ke daerah hasil.

    ReplyDelete
  22. Windi Agustiar Basuki
    16709251055
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane. Teori kategori. Sebuah kategori dengan obyek X, Y, Z, dan morfisme f, g, g ∘ f, dan tiga morfisme identitas 1X, 1Y, dan 1Z.

    Sumber: Teori Kategori (Wikipedia)

    ReplyDelete
  23. Muh Ferry Irwansyah
    15709251062
    Pendidikan Matematika PPS UNY
    Kelas D
    Teori kategori adalah formalisme ampuh untuk mempelajari dan membandingkan berbagai struktur matematika yang berbeda-beda, hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Kategori dapat dikatakan sebagai unsur konseptual suatu teori, sedangkan kawasannya adalah aspek atau unsur suatu kategori. Perlu diketahui pula bahwa kategori maupun kawasannya di sini tidak lain adalah konsep yang ditunjukkan oleh data yang berbeda dalam tingkat konseptualnya. Bila kategori atau kawasannya telah diperoleh, maka bila terjadi perubahan pada data kategori itu akan tetap, tidak akan berubah atau menjadi lebih jelas.

    ReplyDelete
  24. Ratih Eka Safitri
    16709251059
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Dijelaskan dari artikel diatas adalah Sebuah kategori semisalnya E terdiri dari dua kelas, para anggota yang pertama dilambangkan dengan huruf seperti X, Y, ... , disebut objek (struktur) dan para anggota kedua yang dilambangkan dengan huruf f, g, ... - disebut panah (morphisms). Setiap panah f ditugaskan X objek sebagai domain dan obyek Y sebagai kodomain, ditunjukkan dengan menulis f: X -> Y. Jika g adalah setiap panah g: Y -> Z dengan domain Y, kodomain dari f, ada Selengkapnya fg: X -> Z disebut komposisi f dan g.

    ReplyDelete
  25. Lihar Raudina Izzati
    16709251046
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar.

    ReplyDelete
  26. Kunny Kunhertanti
    16709251060
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori ini diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar.

    ReplyDelete
  27. Ahmad Bahauddin
    16709251058
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Sejak tahun 1960 Lawvere telah membedakan dua pengertian dasar matematika. Yaitu Fondasi Logis menggunakan aksioma formal untuk mengatur subjek. Dan yang lain adalah yang bertujuan untuk mensurvei 'apa yang universal dalam matematika'. Ontologi matematika adalah isu ketiga yang terkait. Landasan kategori sedang menggunakan set sebagai aksioma oleh teori dasar dari kategori himpunan (elementary theory of the category of sets) daripada teori himpunan Zermelo-Fraenkel (ZF). Mereka mengklaim untuk membuat teori set secara konseptual lebih mirip dengan sisa matematika daripada ZF. Dan itu menunjukkan bahwa himpunan tidak 'dibuat dari' sesuatu yang menentukan; Mereka hanya memiliki hubungan fungsional yang menentukan satu sama lain. Aksioma ZF dan ETCS keduanya mendukung matematika klasik.

    ReplyDelete
  28. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  29. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Kategori dalam matematika sangat diperlukan. Teori kategori sangat berhubunagn dengan struktur dalam matematika dan hubungan antar struktur secara abstrak. Sesuai dengan kemajuan teknologi dan pendidikan saat ini, teori kategori digunakan dalam teori matematika, informatika dan fisika matematis. Teori kategori berhubungan dengan topologi aljabar. Topologi dan aljabar juga merupakan cabang dari matematika.

    ReplyDelete