Nov 26, 2012

THE THIRD CRISIS IN THE FOUNDATION OF MATHEMATICS_Documented by Marsigit





THE CRISIS IN THE FOUNDATION OF MATHEMATICS
[Crisis #3]
Russell’s Problem

Russell noticed that there existed a difficulty in the basic notion that every property has an extension. Some properties are self-referential (they apply to themselves):

For example, the property of being abstract is self-referential: the set of all things that are abstract includes the set of all abstract things. Thus the set is a member of itself. Conversely, a non-self-referential property has an extension which does not include itself. For example, the property of being a building: the set of all things that are buildings (the set of all buildings) does not include itself.

Assume: r r. This implies r ={x | x #x}, so r r. This contradicts with the initial assumption, thus r  r. Yet the fact that r is not a member of itself shows r is indeed a member of itself (the set of things which are not members of itself). Thus the existence of r is contradictory.

As we can see, therefore, the principle of comprehension is internally inconsistent. This is very unfortunate! All of math has been reduced to a few simple notions, but now there is an inconsistency in one of those simple notions! Does this mean that all conceptual thought is ultimately internally inconsistent?

13 comments:

  1. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)

    Dalam serangkaian publikasi Gottiob Frege (1879, 1893) yang didirikan oleh jauh paling ketat dalam perumusan logika matematika yang dikenal waktu itu sebagai dasar untuk pengetahuan matematika. Namun, Russell (1902) mampu menunjukkan bahwa sistem Frege itu tidak konsisten. Masalahnya terletak pada Hukum Frege Kelima, yang menetapkan harus dibentuk dari perluasan konsep apapun, dan untuk konsep atau properti yang akan diterapkan pada set (Furth, 1964). Russell menghasilkan paradoks yang terkenal dengan mendefinisikan milik 'yang tidak merupakan suatu unsur itu sendiri'. hukum Frege memungkinkan perluasan properti ini harus dianggap sebagai suatu perangkat. Tapi kemudian menetapkan ini merupakan unsur itu sendiri jika dan hanya jika tidak kontradiksi. Hukum Frege tidak dapat dijatuhkan tanpa serius melemahnya sistem, dan namun tidak bisa dipertahankan. Kontradiksi lainnya juga muncul dalam teori himpunan dan teori fungsi seperti yang telah dijelaskan bapak Prof di atas.Temuan semacam itu tentu saja implikasi buruk untuk tampilan absolut dari pengetahuan matematika. Karena jika matematika yang pasti, dan semua teorema menghasilkan yang pasti, bagaimana bisa kontradiksi (yaitu, kepalsuan) harus antara teorema nya? Karena tidak ada kesalahan tentang munculnya kontradiksi-kontradiksi ini, sesuatu harus salah dalam dasar-dasar matematika (Ernest, 2004)

    References:
    Ernest, P. (2004). The Philosophy of Mathematics Education. London : Taylor & Francis group

    ReplyDelete
  2. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)

    Paradoks Russell telah dipopulerkan dalam berbagai bentuk. Salah satu yang terbaik diantara bentuk-bentuk ini diberikan oleh Russeli sendiri pada tahun 1919 mengenai janji seorang tukan cukur pada suatu warga desa temapat ia tinggal dan mengumumkan suatu hukum bahwa ia akan mencukur siapa saja orang-orang didesa itu dan hanya orng-orang didesa itu saja yang tidak mencukur sendiri jenggotnya. Keanehan dalam masalah ini terlebih pada situasi diri sendiri tukan gcukur itu ketika ia akan menjawab pertanyaan, “ Apakah tukang cukur itu akan mencukur dirinya dsendiri ?”/ jika mencukur dirinya sendiri, seharusnya ia tidak dicukurnya menurut hukum yang diumumkannya. Jika ia tidak mencukur dirinya sendiri, maka ia harus dicukur sesuai dengan hukumnya.

    ReplyDelete
  3. Sumandri
    16709251072
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Russell membuat sebuah paradoks yakni dia mendefenisikan misalnya M sebagai kumpulan semua himpunan yang tidak memuat dirinya sebagai anggota. Nah, kontradiksi akan muncul di sini terkait dengan keanggotaan M dalam himpunan M. Jika M tidak memuat M sebagai anggota, maka M adalah anggota dari M, tetapi jika M anggota dari M, maka M harus dikeluarkan dari M berdasarkan syarat keanggotaan M. Ini berarti jika dan hanya jika . Ini merupakan suatu kontradiksi yang menyesakkan.

    ReplyDelete
  4. Saepul Watan
    16709251057
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Krisis ketiga dalam dasar matematika juga mengemukakan tentang ketidakkonsistenan dalam matematika. Russell melihat bahwa terdapat kesulitan dalam gagasan dasar bahwa setiap properti memiliki ekstensi. Yang dapat disimpulkan dari pendapat Russel ini adalah semua matematika telah direduksi menjadi gagasan sederhana, tapi sekarang ada inkonsistensi di salah satu gagasan sederhana.

    ReplyDelete
  5. Wahyu Lestari
    16709251024
    PPs P.Matematika Kelas D

    Kaum logistis dengan pimpinan Bertrand Russell dan Whitehead, menganggap bahwa sebagai konsekuensi dari programnya, matematika adalah cabang dari logika. Oleh karena itu, seluruh matematika sejak zaman kuno perlu dikonstruksi kembali ke dalam term-term logika. Hasil program ini adalah karya monumental “Principia Mathematica”. Dalam buku ini hukum ‘excluded middle’ dan hukum ‘kontradiksi’ adalah ekuivalen. Kesulitan timbul salam usaha mereka merakit beberapa metode kuno untuk menghilangkan aksioma reduksi yang tidak disukai

    ReplyDelete
  6. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Krisis landasan matematika yang ketiga dimunculkan oleh gegeran yang mendadak dalam tahun 1897.
    Bahkan sampai sekarang yang sudah satu abad lebih belum ada pemecahan masalah yang diberikan dan memberikan kesan puas.
    Krisis yang muncul ditandai dengan ditemukannya paradoks-paradoks atau antinomi dalam rangakaian teori himpunan umum oleh George Cantor (1845-1918).

    ReplyDelete
  7. Dessy Rasihen
    16709251063
    S2 P.MAT D

    Berdasarkan the third crisis in the foundation of mathematics diketahui bahwa krisis landasan matematika yang ketiga berupa paradoks-paradoks atau antinomi dalam rangkaian teori himpunan. Penemuan paradoks-paradoks dalam teori himpunan membawa keraguan akan validitas landasan seluruh struktur matematika.

    ReplyDelete
  8. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Paradoks-paradoks atau antinomi dalam rangakaian teori himpunan umum oleh George Cantor (1845-1918) muncul sebagai tanda krisis yang ada.
    Oleh karena begitu banyak matematika menyerap konsep himpunan dan dengan subjek ini teori himpunan dapat dipakai sebagai suatu landasan, maka penemuan paradoks-paradoks dalam teori himpunan membawa keraguan akan validitas landasan seluruh struktur matematika.

    ReplyDelete
  9. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2

    Menurut Russell terdapat kesulitan dalam gagasan yang sifatnya dasar untuk memiliki eksistensi. Misalnya adanya prinsip pemahaman secara internal tidak konsisten. Hal ini sangat disayangkan! Semua matematika telah direduksi menjadi sebuah gagasan, sebuah model yang sederhana, tapi sekarang ada inkonsistensi dalam salah satu gagasan yang sederhana tersebut. Oleh nya itu tidak semua permasalahan-permasalahan dalam matematika dapat direduksi sebagai ilmu pasti dan konsisten bahkan sampai direduksi menjadi suatu ilmu murni secara menyeluruh, tetapi juga ada sisi lain dari matematika, yaitu matematika sebagai aktivitas sosial yang dibutuhkan oleh anak.

    ReplyDelete
  10. Primaningtyas Nur Arifah
    16709251042
    Pend. Matematika S2 kelas C 2016
    Assalamu’alaikum. Krisis landasan matematika yang ketiga dimunculkan oleh gegeran yang mendadak dalam tahun 1897. Paradoks Russell telah dipopulerkan dalam berbagai bentuk. Salah satu yang terbaik diantara bentuk-bentuk ini diberikan oleh Russeli sendiri pada tahun 1919. Russell melihat bahwa terdapat kesulitan dalam gagasan dasar bahwa setiap properti memiliki ekstensi. Beberapa sifat bersifat self-referential

    ReplyDelete
  11. Lana Sugiarti
    16709251062
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Pada krisis yang ketiga ini dijelaskan bahwa Russell menyadari bahwa ada suatu kesulitan dalam pengertian dasar bahwa setiap properti yang menjadi milik memiliki perpanjangan. Beberapa properti bersifat self-referential, berlaku untuk diri mereka sendiri. Misalnya, sifat yang menjadi abstrak adalah self-referential, yaitu himpunan semua hal yang abstrak mencakup himpunan semua hal abstrak. Jadi himpunan adalah anggota dari dirinya sendiri. Maka dari itu perlu pembenahan pada krisis ketiga ini agar dalam matematika dapat menjadi lebih sempurna lagi dari sebelumnya.

    ReplyDelete
  12. Loviga Denny Pratama
    16709251075
    S2 P.Mat D

    Dalam artikel ini saya dapat menangkap kontradiksi atau ilmu logika dikatakan Inkonsisten (suatu statment atau kumpulan statment dikatakan konsisten jika tidak terjadi kontradiksi). Paradoks Russell ingin mengatakan bahwa terdapat inkonsistensi didalam teori Himpunan, bahwa tidak selamanya matematika itu Pasti, sehingga mengindikasikan adanya Inkonsistensi, ada ketidak pastian didalam Matematika.

    ReplyDelete
  13. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Georg Cantor menemukan teori himpunan yang digunakan secara luas pada cabang-cabang matematika dan menjadi landasan matematika. Namun demikian, penemuan ini juga menghasilkan paradok misalnya paradok Burali-Forti dan paradok Russel. Paradoks Russel adalah sebuah contoh dari suatu paradoks yang dihasilkan dari sistem logika yang kita gunakan secara alamiah, paradoks ini sangat sulit untuk dijelaskan di dalam ruang lingkup matematika, tetapi dapat digambarkan dengan seorang tukang cukur rambut sebagai contohnya. Bayangkan bahwa seorang tukang cukur rambut hanya bisa mencukur rambut orang lain dengan baik, sementara ia tidak bisa memotong dengan baik rambutnya sendiri. Lalu, siapa yang akan memotong rambut tukang cukur tadi dengan baik? Pernyataan-Pernyataan yang Bersifat Paradoks ”Naskah-naskah yang paling banyak dikoreksi umumnya menjadi naskah-naskah yang paling tidak betul,” ( Francis Bacon ) ” Semua hewan adalah sama, tetapi beberapa di antaranya lebih sama dibandingkan yang lainnya.” ( George Orwell, Animal farm ) ”Aku berkata kebenaran saat aku katakan aku seorang pendusta.” ( Anon ) ”Kurang itulah Lebih.” ( Anon )

    ReplyDelete