Nov 26, 2012

THE THIRD CRISIS IN THE FOUNDATION OF MATHEMATICS_Documented by Marsigit





THE CRISIS IN THE FOUNDATION OF MATHEMATICS
[Crisis #3]
Russell’s Problem

Russell noticed that there existed a difficulty in the basic notion that every property has an extension. Some properties are self-referential (they apply to themselves):

For example, the property of being abstract is self-referential: the set of all things that are abstract includes the set of all abstract things. Thus the set is a member of itself. Conversely, a non-self-referential property has an extension which does not include itself. For example, the property of being a building: the set of all things that are buildings (the set of all buildings) does not include itself.

Assume: r r. This implies r ={x | x #x}, so r r. This contradicts with the initial assumption, thus r  r. Yet the fact that r is not a member of itself shows r is indeed a member of itself (the set of things which are not members of itself). Thus the existence of r is contradictory.

As we can see, therefore, the principle of comprehension is internally inconsistent. This is very unfortunate! All of math has been reduced to a few simple notions, but now there is an inconsistency in one of those simple notions! Does this mean that all conceptual thought is ultimately internally inconsistent?

4 comments:

  1. Ahmad Bahauddin
    16709251058
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Paradox ini telah menjadikan perkembangan bahasa pemrograman komputer lebih baik. Yaitu dengan hadirnya type. Paradox ini berawal dari jawaban Russell sendiri terhadap teka-teki itu dalam bentuk "teori tipe." Masalah dalam paradoks itu, menurutnya, adalah kita membingungkan deskripsi kumpulan angka dengan deskripsi set kumpulan angka. Jadi Russell memperkenalkan hierarki objek: angka, kumpulan angka, kumpulan kumpulan angka, dan lain-lain. Sistem ini berfungsi sebagai kendaraan untuk formisialisasi pertama dari fondasi matematika; Hal ini masih digunakan dalam beberapa penyelidikan filosofis dan di cabang ilmu komputer.

    ReplyDelete
  2. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Russel menyadari adanya kesulitan dalam pengertian dasar dari setiap sifat perpangkatan karena ada beberapa sifat yang berlaku hanya untuk dirinya sendiri. Sebagai contoh, sifat abstrak berlaku untuk disirinya sendiri yaitu semua himpunan abstrak juga mencakup semua himpnan abstrak. Sehingga hinpunannya ialah himpunan dirinya sendiri. Seperti dalam operasi perhitungan yang memiliki sifat tertutup bilangan bulat ditambah dengan bilangan bulat pasti akan menghasilkan bilangan bulat.

    ReplyDelete
  3. Angga Kristiyajati
    17709251001
    Pps UNY P.Mat A 2017

    Terima kasih Banyak Pak Prof. Marsigit.

    Dari tulisan ini kami memahami bahwa Russel menemukan suatu masala dalam teori himpunan. Ia menemukan bahwa ada ketidakkonsistenan dalam anggota dari suatu himpunan. Sebagai contoh misalnya sifat keabstrakan merupakan sifat yang kembali kepada objeknya (self-referensial). Misalkan himpunan semua hal-hal yang abstrak. Maka himpuan tersebut pasti memuat himpunan itu sendiri, dengan kata lain himpunan tersebut adalah anggota dari himpunan itu sendiri.

    ReplyDelete
  4. Dimas Candra Saputra, S.Pd.
    PPs PMA 2017
    17709251005

    Assalamualaikum prof, Kemelut selanjutnya berasal dari persoalan Russell tentang ketidak konsitenan dan kontradiksi. Russell berpendapat bahwa terdapat sebuah kesulitan dalan pendapat dasar bahwa setiap sifat memiliki perluasan. Beberapa sifat ialah mengacu pada diri sendiri dan mereka diaplikasikan pada diri mereka sendiri. Misalnya sifat abstrak, semua hal yang abstrak mencakup seperangkat hal yang abstrak sehingga seperangkat hal tersebut merupakan anggotanya sendiri. Sebaliknya, sifat yang tidak mengacu pada diri sendiri memiliki perluasan yang tidak termasuk dirinya sendiri. Misalnya A={x|x tidak sama dengan x}, hal ini berarti A bukanlah anggota dari A, sekaligus A anggota dari dirinya sendiri. Dengan demikian keberadaan A ialah kontradiksi.

    ReplyDelete