Nov 26, 2012

THE THIRD CRISIS IN THE FOUNDATION OF MATHEMATICS_Documented by Marsigit





THE CRISIS IN THE FOUNDATION OF MATHEMATICS
[Crisis #3]
Russell’s Problem

Russell noticed that there existed a difficulty in the basic notion that every property has an extension. Some properties are self-referential (they apply to themselves):

For example, the property of being abstract is self-referential: the set of all things that are abstract includes the set of all abstract things. Thus the set is a member of itself. Conversely, a non-self-referential property has an extension which does not include itself. For example, the property of being a building: the set of all things that are buildings (the set of all buildings) does not include itself.

Assume: r r. This implies r ={x | x #x}, so r r. This contradicts with the initial assumption, thus r  r. Yet the fact that r is not a member of itself shows r is indeed a member of itself (the set of things which are not members of itself). Thus the existence of r is contradictory.

As we can see, therefore, the principle of comprehension is internally inconsistent. This is very unfortunate! All of math has been reduced to a few simple notions, but now there is an inconsistency in one of those simple notions! Does this mean that all conceptual thought is ultimately internally inconsistent?

33 comments:

  1. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)

    Dalam serangkaian publikasi Gottiob Frege (1879, 1893) yang didirikan oleh jauh paling ketat dalam perumusan logika matematika yang dikenal waktu itu sebagai dasar untuk pengetahuan matematika. Namun, Russell (1902) mampu menunjukkan bahwa sistem Frege itu tidak konsisten. Masalahnya terletak pada Hukum Frege Kelima, yang menetapkan harus dibentuk dari perluasan konsep apapun, dan untuk konsep atau properti yang akan diterapkan pada set (Furth, 1964). Russell menghasilkan paradoks yang terkenal dengan mendefinisikan milik 'yang tidak merupakan suatu unsur itu sendiri'. hukum Frege memungkinkan perluasan properti ini harus dianggap sebagai suatu perangkat. Tapi kemudian menetapkan ini merupakan unsur itu sendiri jika dan hanya jika tidak kontradiksi. Hukum Frege tidak dapat dijatuhkan tanpa serius melemahnya sistem, dan namun tidak bisa dipertahankan. Kontradiksi lainnya juga muncul dalam teori himpunan dan teori fungsi seperti yang telah dijelaskan bapak Prof di atas.Temuan semacam itu tentu saja implikasi buruk untuk tampilan absolut dari pengetahuan matematika. Karena jika matematika yang pasti, dan semua teorema menghasilkan yang pasti, bagaimana bisa kontradiksi (yaitu, kepalsuan) harus antara teorema nya? Karena tidak ada kesalahan tentang munculnya kontradiksi-kontradiksi ini, sesuatu harus salah dalam dasar-dasar matematika (Ernest, 2004)

    References:
    Ernest, P. (2004). The Philosophy of Mathematics Education. London : Taylor & Francis group

    ReplyDelete
  2. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)

    Paradoks Russell telah dipopulerkan dalam berbagai bentuk. Salah satu yang terbaik diantara bentuk-bentuk ini diberikan oleh Russeli sendiri pada tahun 1919 mengenai janji seorang tukan cukur pada suatu warga desa temapat ia tinggal dan mengumumkan suatu hukum bahwa ia akan mencukur siapa saja orang-orang didesa itu dan hanya orng-orang didesa itu saja yang tidak mencukur sendiri jenggotnya. Keanehan dalam masalah ini terlebih pada situasi diri sendiri tukan gcukur itu ketika ia akan menjawab pertanyaan, “ Apakah tukang cukur itu akan mencukur dirinya dsendiri ?”/ jika mencukur dirinya sendiri, seharusnya ia tidak dicukurnya menurut hukum yang diumumkannya. Jika ia tidak mencukur dirinya sendiri, maka ia harus dicukur sesuai dengan hukumnya.

    ReplyDelete
  3. Sumandri
    16709251072
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Russell membuat sebuah paradoks yakni dia mendefenisikan misalnya M sebagai kumpulan semua himpunan yang tidak memuat dirinya sebagai anggota. Nah, kontradiksi akan muncul di sini terkait dengan keanggotaan M dalam himpunan M. Jika M tidak memuat M sebagai anggota, maka M adalah anggota dari M, tetapi jika M anggota dari M, maka M harus dikeluarkan dari M berdasarkan syarat keanggotaan M. Ini berarti jika dan hanya jika . Ini merupakan suatu kontradiksi yang menyesakkan.

    ReplyDelete
  4. Saepul Watan
    16709251057
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Krisis ketiga dalam dasar matematika juga mengemukakan tentang ketidakkonsistenan dalam matematika. Russell melihat bahwa terdapat kesulitan dalam gagasan dasar bahwa setiap properti memiliki ekstensi. Yang dapat disimpulkan dari pendapat Russel ini adalah semua matematika telah direduksi menjadi gagasan sederhana, tapi sekarang ada inkonsistensi di salah satu gagasan sederhana.

    ReplyDelete
  5. Wahyu Lestari
    16709251024
    PPs P.Matematika Kelas D

    Kaum logistis dengan pimpinan Bertrand Russell dan Whitehead, menganggap bahwa sebagai konsekuensi dari programnya, matematika adalah cabang dari logika. Oleh karena itu, seluruh matematika sejak zaman kuno perlu dikonstruksi kembali ke dalam term-term logika. Hasil program ini adalah karya monumental “Principia Mathematica”. Dalam buku ini hukum ‘excluded middle’ dan hukum ‘kontradiksi’ adalah ekuivalen. Kesulitan timbul salam usaha mereka merakit beberapa metode kuno untuk menghilangkan aksioma reduksi yang tidak disukai

    ReplyDelete
  6. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Krisis landasan matematika yang ketiga dimunculkan oleh gegeran yang mendadak dalam tahun 1897.
    Bahkan sampai sekarang yang sudah satu abad lebih belum ada pemecahan masalah yang diberikan dan memberikan kesan puas.
    Krisis yang muncul ditandai dengan ditemukannya paradoks-paradoks atau antinomi dalam rangakaian teori himpunan umum oleh George Cantor (1845-1918).

    ReplyDelete
  7. Dessy Rasihen
    16709251063
    S2 P.MAT D

    Berdasarkan the third crisis in the foundation of mathematics diketahui bahwa krisis landasan matematika yang ketiga berupa paradoks-paradoks atau antinomi dalam rangkaian teori himpunan. Penemuan paradoks-paradoks dalam teori himpunan membawa keraguan akan validitas landasan seluruh struktur matematika.

    ReplyDelete
  8. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Paradoks-paradoks atau antinomi dalam rangakaian teori himpunan umum oleh George Cantor (1845-1918) muncul sebagai tanda krisis yang ada.
    Oleh karena begitu banyak matematika menyerap konsep himpunan dan dengan subjek ini teori himpunan dapat dipakai sebagai suatu landasan, maka penemuan paradoks-paradoks dalam teori himpunan membawa keraguan akan validitas landasan seluruh struktur matematika.

    ReplyDelete
  9. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2

    Menurut Russell terdapat kesulitan dalam gagasan yang sifatnya dasar untuk memiliki eksistensi. Misalnya adanya prinsip pemahaman secara internal tidak konsisten. Hal ini sangat disayangkan! Semua matematika telah direduksi menjadi sebuah gagasan, sebuah model yang sederhana, tapi sekarang ada inkonsistensi dalam salah satu gagasan yang sederhana tersebut. Oleh nya itu tidak semua permasalahan-permasalahan dalam matematika dapat direduksi sebagai ilmu pasti dan konsisten bahkan sampai direduksi menjadi suatu ilmu murni secara menyeluruh, tetapi juga ada sisi lain dari matematika, yaitu matematika sebagai aktivitas sosial yang dibutuhkan oleh anak.

    ReplyDelete
  10. Primaningtyas Nur Arifah
    16709251042
    Pend. Matematika S2 kelas C 2016
    Assalamu’alaikum. Krisis landasan matematika yang ketiga dimunculkan oleh gegeran yang mendadak dalam tahun 1897. Paradoks Russell telah dipopulerkan dalam berbagai bentuk. Salah satu yang terbaik diantara bentuk-bentuk ini diberikan oleh Russeli sendiri pada tahun 1919. Russell melihat bahwa terdapat kesulitan dalam gagasan dasar bahwa setiap properti memiliki ekstensi. Beberapa sifat bersifat self-referential

    ReplyDelete
  11. Lana Sugiarti
    16709251062
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Pada krisis yang ketiga ini dijelaskan bahwa Russell menyadari bahwa ada suatu kesulitan dalam pengertian dasar bahwa setiap properti yang menjadi milik memiliki perpanjangan. Beberapa properti bersifat self-referential, berlaku untuk diri mereka sendiri. Misalnya, sifat yang menjadi abstrak adalah self-referential, yaitu himpunan semua hal yang abstrak mencakup himpunan semua hal abstrak. Jadi himpunan adalah anggota dari dirinya sendiri. Maka dari itu perlu pembenahan pada krisis ketiga ini agar dalam matematika dapat menjadi lebih sempurna lagi dari sebelumnya.

    ReplyDelete
  12. Loviga Denny Pratama
    16709251075
    S2 P.Mat D

    Dalam artikel ini saya dapat menangkap kontradiksi atau ilmu logika dikatakan Inkonsisten (suatu statment atau kumpulan statment dikatakan konsisten jika tidak terjadi kontradiksi). Paradoks Russell ingin mengatakan bahwa terdapat inkonsistensi didalam teori Himpunan, bahwa tidak selamanya matematika itu Pasti, sehingga mengindikasikan adanya Inkonsistensi, ada ketidak pastian didalam Matematika.

    ReplyDelete
  13. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Georg Cantor menemukan teori himpunan yang digunakan secara luas pada cabang-cabang matematika dan menjadi landasan matematika. Namun demikian, penemuan ini juga menghasilkan paradok misalnya paradok Burali-Forti dan paradok Russel. Paradoks Russel adalah sebuah contoh dari suatu paradoks yang dihasilkan dari sistem logika yang kita gunakan secara alamiah, paradoks ini sangat sulit untuk dijelaskan di dalam ruang lingkup matematika, tetapi dapat digambarkan dengan seorang tukang cukur rambut sebagai contohnya. Bayangkan bahwa seorang tukang cukur rambut hanya bisa mencukur rambut orang lain dengan baik, sementara ia tidak bisa memotong dengan baik rambutnya sendiri. Lalu, siapa yang akan memotong rambut tukang cukur tadi dengan baik? Pernyataan-Pernyataan yang Bersifat Paradoks ”Naskah-naskah yang paling banyak dikoreksi umumnya menjadi naskah-naskah yang paling tidak betul,” ( Francis Bacon ) ” Semua hewan adalah sama, tetapi beberapa di antaranya lebih sama dibandingkan yang lainnya.” ( George Orwell, Animal farm ) ”Aku berkata kebenaran saat aku katakan aku seorang pendusta.” ( Anon ) ”Kurang itulah Lebih.” ( Anon )

    ReplyDelete
  14. Ahmad Wafa Nizami
    16709251065
    S2 Pendidikan Matematika D

    Setelah membaca artikel tersebut, maka dapat saya tangkap adalah bahwaMasalah Filsafat adalah pengantar disiplin filsafat, yang ditulis selama kuliah Cambridge yang diselenggarakan Russell pada tahun 1912. Di dalamnya, Russell mengajukan pertanyaan mendasar, "Adakah pengetahuan di dunia yang sangat yakin bahwa tidak ada orang yang masuk akal? Meragukannya? "Russell membuat sketsa pandangan metafisik dan epistemologis yang dipegangnya saat itu, pandangan yang akan berkembang dan berubah sepanjang sisa karirnya.Russell memulai dengan mengeksplorasi konsep kembar tentang penampilan dan kenyataan.Russell menciptakan istilah "sense-data" dalam usahanya untuk membedakan hubungan antara penampilan dan kenyataan. Sense-data adalah hal-hal khusus yang kita rasakan selama aksi sensasiRussell lebih jauh membagi pengetahuan manusia menjadi pengetahuan oleh kenalan dan pengetahuan dengan deskripsi. Berkenalan dengan sesuatu harus langsung dan segera menyadarinya, tanpa tindakan perantara

    ReplyDelete
  15. Cendekia Ad Dien
    16709251044
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Dalam pengembangan matematika modern, notasi Frege pertama dirancang yang cocok untuk membangun matematika formal. Notasi yang lebih presisi memungkinkan Russell untuk menemukan kelemahan dalam penalaran yang mereka dukung, yang dikenal sebagai paradoks Russell. Logisisme adalah nama yang diberikan untuk program penelitian yang diprakarsai oleh Frege dan dikembangkan oleh Russell dan Whitehead yang bertujuan untuk menunjukkan bagaimana matematika direduksi menjadi logika. Frege mencoba untuk memberikan landasan matematika dengan dasar yang logis, namun sayangnya Russel menemukan bahwa sistem Frege juga berujung pada inkonsisten. Adanya inkonsistensi dalam matematika (seperti paradoks) tersebut menjadi indikasi dari krisis ketiga dalam pondasi matematika itu sendiri.

    ReplyDelete
  16. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS
    16709251061

    Dalam paradoks, Russell memisalkan, kita tandakan tukang cukur itu dengan m dan himpunan semua anggota yang tinggal di desa tukang cukur itu dengan S. Mereka m didefinisikan secara impredikatif sebagai “anggota S akan mencukur semua anggota S dan hanya anggota dari S yang tidak mencukur dirinya sendiri sifat melingkar dalam definisi tukang cukur termasuk anggota dari desa dan tukang cukur sendiri anggota dari desa itu.

    ReplyDelete
  17. Ardeniyansah
    16709251053
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Krisis landasan matematika yang ketiga dimunculkan oleh gegeran yang mendadak dalam tahun 1897 dan bahkan sampai sekarang sudah satu abad lebih belum ada pemecahan yang diberikan dengan memuaskan. Krisis itu muncul oleh ditemukannya paradoks atau antinomi dalam rangakaian teori himpunan umum oleh George Cantor. Oleh karena begitu banyak matematika menyerap konsep himpunan dan dengan subjek ini teori himpunan dapat dipakai sebagai suatu landasan maka penemuan paradoks dalam teori himpunan membawa keraguan akan validitas landasan seluruh struktur matematika.

    ReplyDelete
  18. Annisa Hasanah
    16709251051
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Apa yang terdapat dalam artikel ini memperkuat bahwa tidak selamanya matematika itu pasti, namun terdapat Inkonsistensi atau ketidakpastian.Fenomena yang terjadi berdasarkan artikel ini terkait himpunan. Jika kita misalkan, bahwa A adalah himpunan hewan berkaki empat, maka anggota-anggota A adalah kambing, sapi, kerbau, dan lain-lain. Pertanyaan sekarang apakah A anggota dari A? Himpunan A sendiri jelas bukan hewan berkaki empat, sehingga A bukan elemen A. Kita akan salalu mendapatkan kontradiksi pada setiap jawabannya. Itu berarti Himpunan A Inkonsistensi. Himpunan A tersebut dikenal sebagai paradoks Russell. Paradoks Russell diciptakan agar dapat menunjukkan bahwa adanya inkonsistensi dalam himpunan.

    ReplyDelete
  19. Resvita Febrima
    16709251076
    P-Mat D 2016
    Krisis ketiga dalam matematika adalah paradoks Russell. Russel cuma ingin mengatakan bahwa terdapat inkonsistensi didalam teori Himpunan, bahwa tidak selamanya matematika itu Pasti, bahwa ada Inkonsistensi, ada ketidak pastian didalam Matematika.

    ReplyDelete
  20. Syahlan Romadon
    PM C 2016 / 16709251047

    Pondasi matematika mengalami krisis ketiga saat Russel menemukan adanya kesulitan pada pandangan dasar mengenai teori himpunan, yaitu bahwa setiap sifat memiliki perluasan. Beberapa sifat dapat diterapkan pada dirinya sendiri, sehingga dapat menimbulkan inkonsistensi. Sebagai contoh, himpunan semua yang abstrak merupakan anggota dari himpunan dari semua yang abstrak (memuat dirinya sendiri), sedangkan himpunan semua bangunan bukanlah anggota dari himpunan semua bangunan.

    ReplyDelete
  21. Syaifulloh Bakhri
    16709251049
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Assalamu’alaikum wr.wb.
    Krisis pondasi matematika yang ke-tiga bahwa semua matematika telah direduksi menjadi suatu gagasan yang lebih sederhana, akantetapi saat ini adanya inkonsistensi dalam suatu gagasan yang sederhana itu. Terkadang ada hal yang dapat direduksi, namun ada pula yang tidak dapat direduksi, jikalau reduksi terpaksa dilakukan akan timbul permasalahan/mengurangi makna kebermaknaan.

    ReplyDelete
  22. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Krisis ketiga yang terjadi dalam fondasi matematika adalah adanya pemikiran Russel yang menggoyahkan dasar dari teori Himpunan. Russel yang mengkritik tentang suatu himpunan yang bukan himpunan itu sendiri dikenal dengan paradoks Russel. Misalnya definisikan M sebagai kumpulan semua himpunan yang tidak memuat dirinya sebagai anggota. Nah, kontradiksi akan muncul di sini terkait dengan keanggotaan M dalam himpunan M. Jika M tidak memuat M sebagai anggota, maka M adalah anggota dari M, tetapi jika M anggota dari M, maka M harus dikeluarkan dari M berdasarkan syarat keanggotaan M. Ini berarti jika dan hanya jika . Ini merupakan suatu kontradiksi dari keberadaan M ini . Dari sisnilah krisis ketiga menerpa fondasi matematika yangmana pernyataan dalam matematika harusnya konsisten tetapi sekarang ada ketidakkonsistenan dalam salah satu gagasan sederhana dalam matematika. Hal ini mengisyaratkan bahwa semua pemikiran konseptual dalam matematika pada akhirnya tidak konsisten secara internal.

    ReplyDelete
  23. ORIZA DEVI FEBRINA
    14301241019
    S1 Pendidikan Matematika I 2014


    dalam hal ini yang saya tangkap adalah bahwa matematika merupakan ilmu yang pasti dan konsisten, hal tersebut terjadi ketika tidak ada kontradiksi di dalamnya, namun Paradoks Russell mengatakn bahwa adanya inkonsisten dalam materi himpunan, sehingga dalam matematikapun terdapat inkonsistem secara internal.

    ReplyDelete
  24. Heni Lilia Dewi
    16709251054
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Masalah yang diangkat oleh Russell memberikan gambaran tentang krisis matematika yang terjadi mengenai inkonsistensi. Semua matematika telah dikurangi menjadi beberapa gagasan sederhana, tapi sekarang ada ketidakkonsistenan dalam salah satu gagasan sederhana itu. Artinya bahwa ada kemungkinan semua pemikiran konseptual pada akhirnya tidak konsisten secara internal. Ini yang menjadi sangat mengkhawatirkan karena matematika itu adalah ilmu yang konsisten sebenarnya.

    ReplyDelete
  25. Windi Agustiar Basuki
    16709251055
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Paradoks Russell ditemukan pada awal abad ke-20, memberikan pandangan bahkan lebih umum dari paradoks teori himpunan ditemukan oleh Cantor. Ini menyatakan bahwa R adalah himpunan semua himpunan yang tidak menjadi anggota dari diri mereka sendiri, yang berarti bahwa semua himpunan dalam R tidak mengandung diri mereka sebagai elemen. Pertanyaannya kemudian menjadi, apakah R mengandung dirinya sebagai elemen? Jika kita menganggap bahwa R tidak mengandung sendiri, kemudian oleh R definisi tidak dapat berisi itu sendiri dan sebaliknya

    ReplyDelete
  26. Desy Dwi Frimadani
    16709251050
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Pada kirisis landasan matematika ketiga ini matematika direduksi menjadi suatu gagasan yang lebih sederhana, namun jika matematika dipaksa untuk direduksi maka kebermaknaannya akan berkurang.

    ReplyDelete
  27. Luki Slamet Purwoko
    14301241008
    S1 Pendidikan Matematika I 2014

    Krisis yang ketiga tentang ke-pardoks-an. Pertama muncul atau dikmukakan oleh Russel. Yang intinya dapat diserap pada elegi menggapai peradoks tukang cukur yang telah bapak marsigit tuliskan. Maka dalam matematikaitu sebenarnya juga ada tak kekonsistenan atau ada kontradiksi. Itulah mengapa dalam filsafah ilmu itu kontradiksi. Sehingga matematyika mengalami hal tersebut, namun janganlah beredih hati, karena dengan adanya hal tersebut maka matematikawan akan berfikir lebih kritis akan segala objek matematika dan selalu memperkokoh landasan matematikanya.

    ReplyDelete
  28. Kunny Kunhertanti
    16709251060
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Dalam masalah Russell ini melihat bahwa ada suatu kesulitan dalam pengertian dasar bahwa setiap properti memiliki perpanjangan. Beberapa properti bersifat self-referential (berlaku untuk diri mereka sendiri). Dengan contoh yang telah dijabarkan dapat terlihat bahwa prinsip pemahaman secara internal tidak konsisten. Ini semua sangat disayangkan, matematika telah dikurangi menjadi beberapa gagasan sederhana, tapi sekarang ada ketidakkonsistenan dalam salah satu gagasan sederhana itu.

    ReplyDelete
  29. Muh Ferry Irwansyah
    15709251062
    Pendidikan Matematika PPS UNY
    Kelas D
    Krisis landasan selanjutnya yaitu yang ketiga dalam matematika adalah oleh Russell. Russell melihat terdapat kesulitan dalam gagasan dasar bahwa setiap sifat memiliki ekstensi. Sebagai contoh ciri abstrak self-referensial, himpunan semua hal yang abstrak meliputi himpunan semua hal yang abstrak. Dengan demikian set adalah anggota itu sendiri. Sedangkan ciri non-self referensial memiliki ekstensi yang tidak termasuk dirinya sendiri.

    ReplyDelete
  30. Ratih Eka Safitri
    16709251059
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Krisis pondasi matematika yang disinggung di atas adalah kekonsistenan dalam matematika itu merupakan hasil reduksi dari keseluruhan matematika. Dikatakan juga bahwa semua matematika telah direduksi menjadi sebuah gagasan sederhana. Sangat disayangkan jika masih berlakunya pemahaman yang tidak konsisten. Menurut saya adakalanya kepemahaman konsepktual menjadi konsisten dan in-konsisten.

    ReplyDelete
  31. Lihar Raudina Izzati
    16709251046
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Russell mengatakan bahwa terdapat inkonsistensi dalam matematika. Tidak selamanya matematika itu pasti, ada inkonsistensi, ada ketidakpastian dalam matematika itu. Hal ini dikenal dengan paradoks Russell. Paradoks tersebut bermula dari usaha Frege, Whitehead, Russell, dan teman-temannya untuk menjawab pertanyaan tentang apa sih hakikat matematika (fondasi matematika). Matematika telah berkembang pesat dan banyak cabang-cabang baru. Russell mengajukan logikalah yang menyatukan cabang-cabang itu. Dengan kata lain, setiap pernyataan matematika dapat dipandang sebagai pernyataan logika yang dapat dinilai benar atau salah.

    ReplyDelete
  32. Ahmad Bahauddin
    16709251058
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Paradox ini telah menjadikan perkembangan bahasa pemrograman komputer lebih baik. Yaitu dengan hadirnya type. Paradox ini berawal dari jawaban Russell sendiri terhadap teka-teki itu dalam bentuk "teori tipe." Masalah dalam paradoks itu, menurutnya, adalah kita membingungkan deskripsi kumpulan angka dengan deskripsi set kumpulan angka. Jadi Russell memperkenalkan hierarki objek: angka, kumpulan angka, kumpulan kumpulan angka, dan lain-lain. Sistem ini berfungsi sebagai kendaraan untuk formisialisasi pertama dari fondasi matematika; Hal ini masih digunakan dalam beberapa penyelidikan filosofis dan di cabang ilmu komputer.

    ReplyDelete
  33. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Russel menyadari adanya kesulitan dalam pengertian dasar dari setiap sifat perpangkatan karena ada beberapa sifat yang berlaku hanya untuk dirinya sendiri. Sebagai contoh, sifat abstrak berlaku untuk disirinya sendiri yaitu semua himpunan abstrak juga mencakup semua himpnan abstrak. Sehingga hinpunannya ialah himpunan dirinya sendiri. Seperti dalam operasi perhitungan yang memiliki sifat tertutup bilangan bulat ditambah dengan bilangan bulat pasti akan menghasilkan bilangan bulat.

    ReplyDelete