Nov 26, 2012

Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program_Documented by Marsigit



Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program


Gödel showed Hilbert's Program can not succeed. This was proven in what is now called Gödel's Incompleteness Theorem:

Let S be a formal system for number theory. If S is consistent, then there is a sentence, G, such that neither G nor the negation of G (written G) is a theorem of S. Thus, any formal system sufficient to express the theorems of number theory has to be incomplete.

Proof:
S can prove P(n) just in case n is the Gödel-number of a theorem of S. There exists k, such that k is a Gödel-number of the formula P(k)=G. This statement says of itself, it is not provable. Even if we define a new formal system S = S + G (thus including the undecidable theorem as an axiom), we can find G which isn't provable in (is independent of) S. The reasoning Gödel used for his incompleteness theorem is finitary, so it could be formalized inside S. Thus, S can prove that if S is consistent, then G is not provable. Note that the underlined phrase is what G says, so S proves Cst(S)  implies G is true, but G says G is not provable. Suppose S can prove Cst(S), then S can prove G, but if S is consistent, it can't prove G, thus it can't prove its consistency. Thus, Hilbert's Program does not work; one cannot prove the consistency of a mathematical theory.




30 comments:

  1. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)

    Gödel menunjukkan Program Hilbert tidak bisa berhasil. Hal ini terbukti dalam apa yang sekarang disebut Teorema Ketidaklengkapan Gödel.
    Teorema ketidaklengkapan pertama menyatakan bahwa tidak ada sistem aksioma yang konsisten yang teoremanya dapat didaftar dengan "prosedur yang efektif" (misalnya, sebuah program komputer, tetapi bisa menjadi algoritma apapun) mampu membuktikan semua kebenaran tentang hubungan bilangan asli (aritmatika). Untuk setiap sistem tersebut, akan selalu ada pernyataan tentang bilangan asli yang benar, tapi yang dibuktikan dalam sistem. Teorema ketidaklengkapan kedua, perpanjangan pertama, menunjukkan bahwa sistem tersebut tidak dapat menunjukkan konsistensinya sendiri.

    ReplyDelete
  2. Sumandri
    16709251072
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Kurt Godel mempublikasikan teorema ketidaklengkapan yang terkenal untuk membuktikan bahwa prosedur/ algoritma yang dikehendaki David Hilbert tersebut tidak akan pernah ada. Usaha untuk mendapatkan sebuah teori yang lengkap yang tersusun atas semua teori adalah sia sia. Godel membangun rumus di kalkulus predikat yang diterapkan pada bilangan bulat yang memiliki pernyataan pernyataan definisi yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya maupun yang tidak dapat dibantah di dalam sistem logika yang mungkin dibangun manusia. Formalisasi argumen teorema ketidak lengkapan Godel serta penjelasan dan formalisasi selanjutnya secara intuisi merupakan salah satu pencapaian intelektual terbesar abad 20, dimana formalisasi berkembang semarak.

    ReplyDelete
  3. Saepul Watan
    16709251057
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Artikel ini memaparkan ketidakkonsistenan dalam matematika. Ketidakkonsistenan tersebut ditunjukan berdasarkan pembuktian dari Godel yang menunjukkan bahwa Program Hilbert tidak berhasil. Sebagai contoh nya adalah Godel menunjukkan bahwa pernyataan-pertanyaan matematika tertentu tidak dapat dibuktikan maupun dibantah kebenarannya. Hal ini berarti bahwa jika kebenaran sebuah penyataan dapat dibuktikan, maka pernyataan tersebut tidak benar. Dan jika pernyataan tidak dapat dibuktikan, maka pernyataan itu benar. Kontradiksi antara kesua hal ini menunjukkan ketidakkonsistenan dalam matematika dan dapat diarikan sebagai matematika yang tidak lengkap.

    ReplyDelete
  4. Wahyu Lestari
    16709251024
    PPs P.Matematika Kelas D

    Teorema ketaklengkapan Gödel (bahasa Inggris: Gödel's incompleteness theorems) adalah dua teorema logika matematika yang menetapkan batasan (limitation) inheren dari semua kecuali sistem aksiomatik yang paling trivial yang mampu mengerjakan aritmetika. Teorema-teorema ini, dibuktikan oleh Kurt Gödel pada tahun 1931, penting baik dalam logika matematika maupun dalam filsafat matematika. Kedua hasil ini secara luas, tetapi tidak secara universal, ditafsirkan telah menunjukkan bahwa program Hilbert untuk menghitung himpunan lengkap dan konsisten dari aksioma-aksioma bagi semua matematika adalah tidak mungkin, sehingga memberikan jawaban negatif terhadap soal Hilbert yang kedua.

    ReplyDelete
  5. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Gödel merupakan muridnya Hilbert yang menghasilkan sebuah Teorema Ketidakkonsistenan Gödel. Misalkan S adalah sistem formal untuk teori bilangan. Jika S konsisten, maka ada sebuah kalimat, G, sedemikian rupa sehingga baik G maupun negasi G (ditulis G) adalah teorema S. Jadi, sistem formal apa pun yang cukup untuk mengungkapkan teorema teori bilangan harus tidak lengkap.
    Bukti:
    S dapat membuktikan P (n) jika n adalah bilangan Gödel dari teorema S. Ada k, sehingga k adalah bilangan Gödel dari rumus P (k) = G. Pernyataan ini mengatakan tentang dirinya sendiri, ini tidak dapat dibuktikan. Bahkan jika kita mendefinisikan sistem formal baru S = S + G (dengan demikian termasuk teorema yang tidak dapat diputuskan sebagai sebuah aksioma), kita dapat menemukan G yang tidak dapat dibuktikan dalam (tidak bergantung). Alasan yang digunakan Gödel untuk teorema ketidaklengkapannya adalah Finiter, sehingga bisa diformalkan di dalam S. Jadi, S dapat membuktikan bahwa jika S konsisten, maka G tidak dapat dibuktikan. Perhatikan bahwa frase yang digarisbawahi adalah apa yang G katakan, jadi S membuktikan bahwa Cst (S) menyiratkan G adalah benar, namun G mengatakan G tidak dapat dibuktikan. Misalkan S dapat membuktikan Cst (S), maka S dapat membuktikan G, tetapi jika S konsisten, tidak dapat membuktikan G, sehingga tidak dapat membuktikan konsistensinya. Dengan demikian, Program Hilbert tidak berjalan; Seseorang tidak bisa membuktikan konsistensi sebuah teori matematika.

    ReplyDelete
  6. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2

    Yang dapat saya pahami dari artikel di atas menjelaskan tentang pembuktian kekonsistenan dalam matematika. Dari sudut pandang filsafat semua yang di dunia ini sifatnya kontradiktif karena masih terikat ruang dan waktu termasuk matematika di dalamnya. Dari pendapat Hilbert di atas kita bisa menangkap bahwa b semua pernyataan matematika yang benar dapat dibuktikan dalam formal dan tidak ada kontradiksi atau dengan kata lain kekonsistenan dapat diperoleh dalam formalisme matematika.

    ReplyDelete
  7. Primaningtyas Nur Arifah
    16709251042
    Pend. Matematika S2 kelas C 2016
    Assalamu’alaikum. Program formalis Hilbert bertujuan untuk menerjemahkan matematika ke dalam sistem formal. Artinya, dalam lingkup terbatas tetapi sangat mengarah pada sistem formal yang menunjukkan sifat matematika, dengan menurunkan mitra resmi dari semua kebenaran matematika melalui bukti konsistensi. Ketidak lengkapan Teorema Kurt Godel (Godel, 1931) menunjukkan syarat yang tidak bisa dipenuhi. Teorema pertamanya menunjukkan bahwa bahkan tidak semua kebenaran dari aritmatika dapat diturunkan dari aksioma Peano. Teorema ketidaklengkapan kedua menunjukkan bahwa dalam kasus konsistensi pembuktian memerlukan meta-matematika. Misalnya, untuk membuktikan konsistensi dari aritmatika Peano mengharuskan semua aksioma dari sistem itu dan asumsi lebih lanjut, seperti prinsip induksi transfinit seperti bilangan ofer kountbale.

    ReplyDelete
  8. Lana Sugiarti
    16709251062
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Godel menunjukkan bahwa Hilbert belum berhasil. Hal ini menunjukkan bahwa ada kontradiksi dalam matematika. Suatu petunjuk untuk dapat memperbaiki temuan dan berusaha membuka wawasan atas temuan orang lain. Dari hal ini dapat diambil kesimpulan bahwa segala hal mungkin saja terjadi dalam matematika. Sesuatu yang sudah diyakini kebenarannya tentunya mungkin tidak selamanya benar. Karena ada kemungkinan bahwa ada temuan dan pembuktian lain selain yang digunakan bersama.

    ReplyDelete
  9. Ahmad Wafa Nizami
    16709251065
    S2 Pendidikan Matematika D

    Menambahkan beberapa hal tentang godel work, kita tahu bahwa ödel menerbitkan dua teorema ketidaklengkapannya pada tahun 1931 saat ia berusia 25 tahun, satu tahun setelah menyelesaikan gelar doktor di Universitas Wina. Teorema ketidaklengkapan yang pertama menyatakan bahwa untuk sistem aksiomatik rekursif yang konsisten sendiri yang cukup kuat untuk menggambarkan aritmatika bilangan natural (misalnya Peano aritmatika), ada proposisi yang benar tentang naturals yang tidak dapat dibuktikan dari aksioma. Untuk membuktikan teorema ini, Gödel mengembangkan teknik yang sekarang dikenal sebagai penomoran Gödel, yang mengelompokkan ekspresi formal sebagai bilangan natural.
    Dia juga menunjukkan bahwa baik aksioma pilihan maupun hipotesis kontinum dapat dibantah dari aksioma teori set yang diterima, dengan asumsi aksioma ini konsisten. Hasil yang pertama membuka pintu bagi para matematikawan untuk menganggap aksioma pilihan dalam bukti mereka. Dia juga membuat kontribusi penting untuk membuktikan teori dengan mengklarifikasi hubungan antara logika klasik, logika intuisi, dan logika modal.

    ReplyDelete
  10. Cendekia Ad Dien
    16709251044
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    David Hilbert mencoba menciptakan algoritma umum yang membuktikan (seluruh) persoalan matematika secara otomatis. Teori ini bertujuan untuk membuat program yang mampu menentukan salah dan benarnya sebarang proporsi matematika. Pada tahun 1931, Kurt Godel mempublikasikan teoremanya yang terkenal yaitu Gödel's Incompleteness Theorems untuk membuktikan bahwa prosedur/algoritma yang dikehendaki David Hilbert tersebut tidak akan pernah ada (Wikiwand, 2017). Gödel's Incompleteness Theorems ini menyiratkan bahwa terdapat inkonsistensi dalam sistem matematika yang lengkap dan terdapat ketidaklengkapan dalam kekonsistenan sistem matematika. Dengan demikian, tidak benar-benar ada teori matematika yang benar-benar lengkap.

    ReplyDelete
  11. Resvita Febrima
    16709251076
    P-Mat D 2016
    Teorema ketaklengkapan Gödel adalah dua teorema logika matematika yang menetapkan batasan (limitation) inheren dari semua kecuali sistem aksiomatik yang paling trivial yang mampu mengerjakan aritmetika. Teorema-teorema ini, dibuktikan oleh Kurt Gödel pada tahun 1931, penting baik dalam logika matematika maupun dalam filsafat matematika. Kedua hasil ini secara luas, tetapi tidak secara universal, ditafsirkan telah menunjukkan bahwa program Hilbert untuk menghitung himpunan lengkap dan konsisten dari aksioma-aksioma bagi semua matematika adalah tidak mungkin, sehingga memberikan jawaban negatif terhadap soal Hilbert yang kedua.

    ReplyDelete
  12. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS
    16709251061

    Pada tahun 1931, Kurt Godel mempublikasikan teorema ketidaklengkapan yang terkenal untuk membuktikan bahwa prosedur/ algoritma yang dari David Hilbert tersebut telah gagal. Godel melakukan pembuktian terhadap hasil-hasil yang diperoleh lewat sistem aksiomatik, yaitu sistem aksiomatik matematika yang digunakan untuk membuktikan salah atau benar preposisi-preposisi yang terkandung dalam sistem aksioma. Theorema Godel memang tidak menghancurkan semua ide dasar kaum formalis, namun di sini dipaparkan bahwa sistem apapun dapat menjadi lebih komprehensif daripada yang dijabarkan oleh David Hilbert.

    ReplyDelete
  13. Ardeniyansah
    16709251053
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Hilbert (1862 – 1943) Berpendapat bahwa matematika merupakan pengetahuan tentang struktur formal dari lambang . Kaum formalis menekankan pada aspek formal dari matematika sebagai bahasa lambang dan mengusahakan konsistensi dalam penggunaan matematika sebagai bahasa lambang. Kaum Formalis membantah aliran logistik dan menyatakan bahwa masalah dalam logika sama sekali tidak ada hubungan dengan matematika. Hilbert berusaha untuk menciptakan matematika sebagai suatu sistem yang tunggal, lengkap dan selalu konsisten. Namun usaha Hilbert kemudian dapat dipatahkan oleh muridnya sendiri yang bernama Godel. Godel menyatakan bahwa tidaklah mungkin matematika bersifat tunggal, lengkap dan konsisten, karena jika matematika mempertahankan kekonsistenan, maka akan menjadi tidak lengkap. Sedangkan jika matematika mempertahankan kelengkapannya, maka matematika akan terancam menjadi tidak konsisten.

    ReplyDelete
  14. Annisa Hasanah
    16709251051
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Godel merupakan seorang murid hilbert yang berhasil mematahkan teori hilbert yang menyatakan matematika yang tunggal dan konsisten. caranya mematahkan teori tersebut adalah dengan pembuktian yang dituliskan pada artikel di atas yaitu dengan pendekatan teori bilangan.

    ReplyDelete
  15. Syaifulloh Bakhri
    16709251049
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Assalamu’alaikum wr.wb.
    Dari artikel di atas menunjukkan bahwa adanya kontradiksi dalam matematika karena masih terikat oleh ruang dan waktu. Apa yang kita pikirkan itu benar menurut kita, namun belum tentu menurut orang lain itu benar. Dengan adanya kontradiksi berarti saling melengkapi atau adanya penemuan yang lebih baik sehingga dengan demikian transformasi selalu ada selama masih ada kontradiksi.

    ReplyDelete
  16. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Pada zaman dulu, kemampuan matematika dianggap tak terbatas. Para ahli matematika, terutama David Hilbert percaya, bahwa setiap pernyataan dapat dijawab dan ditunjukkan benar atau salah. Tetapi, kepercayaan David Hilbert tersebut seolah-olah mulai sirna ketika seorang ahli logika yaitu Kurt Godel pertama kali menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan matematika tertentu tidak dapat dibuktikan maupun dibantah kebenarannya. Hasilnya, Godel menunjukkan bahwa paradoks logika aritmetika seperti pernyataan “Pernyataan ini tak dapat dibuktikan kebenarannya” tak bisa dihindari. Dengan kata lain, jika pernyataan itu dapat dibuktikan kebenarannya, maka pernyataan itu tidak benar, dan artinya matematika tidak konsisten. Dan jika pernyataan itu tidak dapat dibuktikan kebenarannya, maka pernyataan itu benar dan matematika berarti tidak lengkap.

    ReplyDelete
  17. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Permasalahannya jadi semakin rumit ketika Godel juga menunjukkkan, tak mungkin membuktikan bahwa suatu sistem matematika itu secara logika konsisten terhadap dirinya sendiri.
    Orang harus melangkah ke luar kalkulus matematika baku untuk membuktikan kebenarannya. Hal ini adalah penemuan yang menggegerkan. Seolah hendak mendramatisasi keterbatasan kekuatan logika murni. Godel sendiri menjadi sedemikian paranoidnya pada kehidupannya hingga akhirnya diapun mogok makan sampai meninggal.

    ReplyDelete
  18. Resvita Febrima
    16709251076
    P-Mat D 2016
    Pada tahun 1931, Kurt Godel mempublikasikan teorema ketidaklengkapan yang terkenal untuk membuktikan bahwa prosedur / algoritma yang dikehendaki David Hilbert tersebut tidak akan pernah ada. Usaha untuk mendapatkan sebuah teori yang lengkap yang tersusun atas semua teori adalah sia sia. Godel mengklaim bahwa kombinasi Hilbertian materialisme dan aspek matematika klasik terbukti mustahil. Godel, K., 1961, menegaskan bahwa kepastian matematika adalah harus diamankan tidak dengan membuktikan sifat tertentu dengan proyeksi ke sistem bahan yaitu manipulasi simbol-simbol fisik melainkan dengan mengembangkan atau memperdalam pengetahuan tentang konsep-konsep abstrak sendiri yang mengarah pada pengaturan dari sistem mekanik, dan selanjutnya dengan mencari, sesuai dengan prosedur yang sama, untuk memperoleh wawasan solvabilitas, dan metode aktual untuk solusi, dari semua masalah matematika yang bermakna.

    ReplyDelete
  19. Desy Dwi Frimadani
    16709251050
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Artikel ini menjelaskan tentang pembuktian kekonsistenan dalam matematika.Teorema ketaklengkapan Gödel (bahasa Inggris: Gödel's incompleteness theorems) adalah dua teorema logika matematika yang menetapkan batasan (limitation) inheren dari semua kecuali sistem aksiomatik yang paling trivial yang mampu mengerjakan aritmetika

    ReplyDelete
  20. Heni Lilia Dewi
    16709251054
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Godel mengungkapkan bahwa tidak mungkin ada sistem yang lengkap sekaligus konsisten. Klaim ini membantah dari pernyataan Hilbert. Bantahan ini dituangkan dalam pembuktian yang tertulis dalam elegi ini, yang berujung pada hasil bahwa bahwa jika matematika lengkap, makabersifat terbuka dan inkonsisten. Pada dasarnya matematika bersifat konsisten, maka tidaklah mungkin matematika itu lengkap dan bersifat multifacet.

    ReplyDelete
  21. Windi Agustiar Basuki
    16709251055
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    David Hilbert mencoba menciptakan algoritma umum yang membuktikan(seluruh) persoalan matematika secara otomatis. Teori ini bertujuan untuk membuat program yang mampu menentukan salah dan benarnya sebarang proporsi matematika. Kurt Godel mempublikasikan teorema ketidaklengkapan yang terkenal untuk membuktikan bahwa prosedur/ algoritma yang dikehendaki David Hilbert tersebut tidak akan pernah ada.

    ReplyDelete
  22. Syahlan Romadon
    PM C 2016 / 16709251047

    Godel, yang merupakan murid dari Hilbert, memperlihatkan ketidaksuksesan program hilbert dengan menggunakan teori ketidaklengkapan Godel. Inti dari teori ketidaklengkapan Godel adalah jika matematika konsisten maka matematika tidaklah lengkap, jika matematika lengkap maka matematika tidaklah konsisten. Teori ketidaklengkapan Godel ini membuktikan bahwa tidak mungkin mencipatakan matematika yang tunggal, lengkap, dan konsisten.

    ReplyDelete
  23. Muh Ferry Irwansyah
    15709251062
    Pendidikan Matematika PPS UNY
    Kelas D
    Godel menunjukkan bahwa pernyataan-pertanyaan matematika tertentu tidak dapat dibuktikan maupun dibantah kebenarannya. Jika pernyataan itu dapat dibuktikan kebenaranya, maka pernyataan itu tidak benar. Hal tersebut berarti matematika tidak konsisten. Jika pernyataan itu tidak dapat dibuktikan kebenarannya, maka pernyataan itu benar dan matematika berarti tidak lengkap. Godel juga menunjukkan, tak mungkin membuktikan bahwa suatu sistem matematika itu secara logika konsisten terhadap dirinya sendiri. Namun Hilbert, percaya setiap pernyataan dapat dijawab dan tunjukkan benar atau salah, maka riset Godel merupakan pukulan bagi Hilbert karena Godel menunjukkan program Hilbert tidak dapat berhasil.

    ReplyDelete
  24. Ratih Eka Safitri
    16709251059
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Logika matematika benar-benar mengacu kepada dua bidang penelitian yang berbeda: yang pertama adalah penerapan teknik-teknik formal logika matematika dan penalaran matematika, dan yang kedua, di arah lain, penerapan matematika teknik untuk representasi dan analisis logika formal. Penggunaan paling awal matematika dan geometri dalam kaitannya dengan logika dan filsafat akan kembali ke Yunani kuno seperti Euclid, Plato, dan Aristoteles. Banyak filsuf kuno dan abad pertengahan matematika diterapkan ide dan metode filosofis mereka klaim. Paling berani mencoba untuk menerapkan logika matematika tidak diragukan lagi dalam logicism dipelopori oleh filsuf-ahli logika seperti Gottlob Frege dan Bertrand Russell: ide adalah bahwa teori-teori matematika logis tautologies, dan program adalah untuk menunjukkan hal ini dengan berarti pengurangan matematika untuk logika. Berbagai upaya untuk melakukan hal ini bertemu dengan serangkaian kegagalan, dari yang melumpuhkan dari proyek Frege dalam Grundgesetze oleh Russell paradoks, untuk kekalahan Hilbert program oleh teorema ketidaklengkapan Godel. Kedua pernyataan Hilbert program dan sanggahan oleh Godel bergantung pada pekerjaan mereka mendirikan daerah kedua logika matematika, penerapan matematika untuk logika dalam bentuk teori bukti.

    ReplyDelete
  25. Lihar Raudina Izzati
    16709251046
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Kekuranglengkapan teorema Kurt Godel menunjukkan bahwa program Hilbert tidak bisa dipenuhi. Teorema yang pertama menunjukkan bahwa tidak semua kebenaran aritmatika dapat diturunkan dari aksioma Peano (atau beberapa himpunan aksioma yang lebih rekursif luas). Ketidaklengkapan teorema yang kedua menunjukkan bahwa dalam kasus konsistensi yang diinginkan membuktikan sebuah meta-matematika lebih kuat daripada sistem yang akan dijaga, yang mana jadinya tidak terjaga sama sekali.

    ReplyDelete
  26. Lihar Raudina Izzati
    16709251046
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Teorema ketidaklengkapan Kurt Godel menunjukkan bahwa program tidak bisa dipenuhi. Teorema yang pertama menunjukkan bahwa tidak semua kebenaran aritmatika dapat diturunkan dari aksioma Peano (atau beberapa himpunan aksioma yang lebih rekursif luas). Teorema ketidaklengkapan yang kedua menunjukkan bahwa dalam kasus konsistensi yang diinginkan membuktikan sebuah meta-matematika lebih kuat daripada sistem yang akan dijaga, yang mana jadinya tidak terjaga sama sekali.

    ReplyDelete
  27. Loviga Denny Pratama
    16709251075
    S2 P.Mat D

    Godel menunjukkan bahwa Program Hilbert yang mencoba menciptakan algoritma umum yang membuktikan(seluruh) persoalan matematika secara otomatis itu tidak akan pernah ada. Teori untuk membantah teori hilbert ini dinamakan teorema ketidaklengkapan Godel. Godel membangun rumus di kalkulus predikat yang diterapkan pada bilangan bulat yang memiliki pernyataan pernyataan definisi yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya maupun yang tidak dapat dibantah di dalam sistem logika yang mungkin dibangun manusia.

    ReplyDelete
  28. Kunny Kunhertanti
    16709251060
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Godel menunjukkan bahwa Program Hilbert tidak akan berhasil. Ini terbukti dalam apa yang sekarang disebut Teorema Ketidakkonsistenan Gödel, dan ini telah dibuktikan oleh Godel: Misalkan S adalah sistem formal untuk teori bilangan. Jika S konsisten, maka ada sebuah kalimat, G, sedemikian rupa sehingga baik G maupun negasi G (ditulis G) adalah teorema S. Jadi, sistem formal apa pun yang cukup untuk mengungkapkan teorema teori bilangan harus tidak lengkap.

    ReplyDelete
  29. Ahmad Bahauddin
    16709251058
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Program Hilbert terinspirasi oleh krisis fundamental matematika yang mencakup banyak paradoks termasuk paradoks Russell. Dia ingin meletakkan semua teori matematika yang ada ke rangkaian aksioma yang terbatas, konsisten, dan lengkap. Dia mengusulkan agar hal ini dapat dikurangi hanya dengan melakukan aritmatika karena tampaknya lebih mudah dan lebih masuk akal. Namun, hal ini ditantang oleh Godel. Dalam penulisan ini, Godel mengajukan sebuah teorema ketaklengkapan.

    ReplyDelete
  30. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Dalam matematika terdapat istilah postulat, definisi, lemma, teori, aksioma dan lain sebagainya. Aksioma merupakan pemikiran tradisional mengenai kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya, akan tetapi pengertian ini justru memincu munculnya permasalahan. Tahap formal, sebuah aksioma hanyalah lambang yang memiliki makna dari sistem aksioma yang ada. Akan tetapi menurut Teorema ketidaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma memiliki rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan. Oleh karena itu aksiomatisasi yang dilakukan pada tahap akhirpun gagal diterapkan. Meski demikian tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.

    ReplyDelete