Nov 26, 2012

Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program_Documented by Marsigit



Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program


Gödel showed Hilbert's Program can not succeed. This was proven in what is now called Gödel's Incompleteness Theorem:

Let S be a formal system for number theory. If S is consistent, then there is a sentence, G, such that neither G nor the negation of G (written G) is a theorem of S. Thus, any formal system sufficient to express the theorems of number theory has to be incomplete.

Proof:
S can prove P(n) just in case n is the Gödel-number of a theorem of S. There exists k, such that k is a Gödel-number of the formula P(k)=G. This statement says of itself, it is not provable. Even if we define a new formal system S = S + G (thus including the undecidable theorem as an axiom), we can find G which isn't provable in (is independent of) S. The reasoning Gödel used for his incompleteness theorem is finitary, so it could be formalized inside S. Thus, S can prove that if S is consistent, then G is not provable. Note that the underlined phrase is what G says, so S proves Cst(S)  implies G is true, but G says G is not provable. Suppose S can prove Cst(S), then S can prove G, but if S is consistent, it can't prove G, thus it can't prove its consistency. Thus, Hilbert's Program does not work; one cannot prove the consistency of a mathematical theory.




10 comments:

  1. Anggoro Yugo Pamungkas
    18709251026
    S2 Pend.Matematika B 2018

    Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
    Berdasarkan artikel diatas, Hilbert berpendapat bahwa pembuktiannya memperkuat posisi epistemologis dari foundationalism, namun pada tahun 1931 Kurt Godel, seorang jenius muda matematika membuktikan kesalahan pernyataan Hilbert. Godel berhasil membuktikan adanya pernyataan yang tidak dapat dibuktikan benar ataupun salah bahkan dalam sistem formal yang sufficiently rich. Godel membuktikan kesalahan Hilbert, dan dengan demikian telah meledakkan bom di dalam matematika itu sendiri. Dia membuat orang sadar bahwa matematika pun tak dapat membuktikan dirinya sendiri sebagai sistem yang dapat menjamin konsistensi dan mendeteksi adanya inkonsistensi dari dalam sistem itu sendiri. Teorema Godel ini secara singkat menyatakan bahwa dalam sebuah sistem formal aritmetika S, akan ada kalimat P dalam bahasa S sedemikian rupa sehingga (jika S konsisten) baik P maupun negasinya tidak akan dapat dibuktikan di dalam S. Jika Godel benar, maka foundationalism tidak lagi dapat menyandarkan jaminan Epistemologisnya pada kepastian matematika, karena formalisme matematika itu sendiri telah terbukti gagal dalam menjamin konsistensi dirinya.

    ReplyDelete
  2. Fabri Hidayatullah
    18709251028
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Dalam postingan tersebut, Godel telah menunjukkan bahwa prosedur atau algoritma dari Hilbert tidak pernah ada. Menurutnya usaha untuk mendapatkan sebuah teori yang lengkap yang tersusun atas semua teori adalah sia sia. Godel membangun rumus di kalkulus predikat yang diterapkan pada bilangan bulat yang memiliki pernyataan pernyataan definisi yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya maupun yang tidak dapat dibantah di dalam sistem logika yang mungkin dibangun manusia. Pembuktiannya tersebut dilakukan melalui sesuatu yang sekarang kita kenal sebagai teorema ketidaklengkapan Godel. Isi teorema tersebut adalah bahwa andaikan S adalah sistem formal untuk teori bilangan. Jika S konsisten, maka ada sebuah kalimat, G, sedemikian sehingga baik G maupun negasi G bukan merupakan teorema dari S. Maka, beberapa sistem formal cukup untuk menyatakan teorema dari teori bilangan menjadi tidak lengkap.

    ReplyDelete
  3. Fany Isti Bigo
    18709251020
    PPs UNY PM A 2018

    Artikel ini memaparkan ketidakkonsistenan dalam matematika. Ketidakkonsistenan tersebut ditunjukan berdasarkan pembuktian dari Godel yang menunjukkan bahwa Program Hilbert tidak berhasil. Sebagai contohnya adalah Godel menunjukkan bahwa pernyataan-pertanyaan matematika tertentu tidak dapat dibuktikan maupun dibantah kebenarannya. Hal ini berarti bahwa jika kebenaran sebuah penyataan dapat dibuktikan, maka pernyataan tersebut tidak benar. Dan jika pernyataan tidak dapat dibuktikan, maka pernyataan itu benar. Kontradiksi antara kesesuaian hal ini menunjukkan ketidakkonsistenan dalam matematika dan dapat diartikan sebagai matematika yang tidak lengkap.

    ReplyDelete
  4. Diana Prastiwi
    18709251004
    S2 P. Mat A 2018

    Dalam artikel tersebut, Gödel memperlihatkan bahwa matematika memuat pernyataan-pernyataan yang tidak dapat dibuktikan dengan cara itu. Kesimpulannya itu ia dasarkan pada dua paradoks yang berbunyi “Pernyataan ini salah” dan “Pernyataan ini tidak dapat dibuktikan’. Inilah yang kemudian dikenal sebagai ‘teorema ketidaklengkapan’ Kurt Gödel

    ReplyDelete
  5. Dini Arrum Putri
    18709251003
    S2 P Math A 2018

    Dalam matematika kita mengenal yang namanya teorema. Teorema adalah sebuah konsep matematika yang perlu dibuktikan kebenarannya berbeda dengan aksioma yang tidak membutuhkan pembuktian karena definisi yang sudah dianggap jelas. Namun kurt godel memaparkan bahwa ada dua konsep dalam matematika yaitu sebuah pernyataan yang tidak dapat dibuktikan dan pernyataan tersebut dianggap salah. Sehingga godel menunjukkam bahwa matematika pun memiliki ketidakkonsistenanya dalam hal pembuktian.

    ReplyDelete
  6. Amalia Nur Rachman
    18709251042
    S2 Pendidikan Matematika B UNY 2018

    Teorema Hilbert menyebutkan bahwa S merupakan sistem formal untuk teori bilangan. Teorema dari S dimana S konsisten, baik G maupun negasi dari G. Maka, setiap sistem formal yang cukup untuk mengekspresikan teorema dari teori bilangan harus lengkap. Godel menunjukkan kekurangan Program Hilbert tidak bekerja karena konsistensi teori matematika tidak dapat dibuktikan. Penjelasannya sebagai berikut, misalkan S dapat membuktikan S, maka S dapat membuktikan G, namun jika S konsisten, tidak dapat membuktikan G, sehingga tidak dapat membuktikan konsistensi

    ReplyDelete
  7. Rosi Anista
    18709251040
    S2 Pendidikan Matematika B

    Godel membangun rumus di kalkulus predikat yang diterapkan pada bilangan bulat yang memiliki pernyataan pernyataan definisi yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya maupun yang tidak dapat dibantah di dalam sistem logika yang mungkin dibangun manusia. Godel membuktikan kesalahan Hilbert, dan dengan demikian telah meledakkan bom di dalam matematika itu sendiri.

    ReplyDelete
  8. Nur Afni
    18709251027
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh
    Berdasarkan elegi ini, Godel mencoba membuktikan kesalahan pada pernyataan Hilbert. Godel berhasil memberikan pembuktian bahwa terdapat pernyataan yang tidak dapat dibuktikan benar ataupun salah. Godel memberikan bukti bahwa matematikapun tidak dapat membuktikan dirinya sendiri sebagai sistem yang dapat menjamin konsistensi dan inkonsistensi dari sistem itu sendiri. terimakasih

    ReplyDelete
  9. Sintha Sih Dewanti
    18701261013
    PPs S3 PEP UNY

    Teorema ketidaklengkapan Gödel adalah dua teorema logika matematika yang menunjukkan keterbatasan yang melekat pada setiap sistem aksiomatik formal yang mampu memodelkan aritmatika dasar. Teorema ketidaklengkapan pertama menyatakan bahwa tidak ada sistem aksioma yang konsisten yang teorema-teorema-teorema-nya dapat didaftar dengan prosedur yang efektif yang mampu membuktikan semua kebenaran tentang aritmatika bilangan asli. Untuk sistem formal yang konsisten seperti itu, akan selalu ada pernyataan tentang bilangan asli yang benar, tetapi tidak dapat dibuktikan dalam sistem. Teorema ketidaklengkapan kedua, perpanjangan dari yang pertama, menunjukkan bahwa sistem tidak dapat menunjukkan konsistensinya sendiri.

    ReplyDelete
  10. Wow! this is Amazing! Do you know your hidden name meaning ? Click here to find your hidden name meaning

    ReplyDelete