Nov 26, 2012

Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program_Documented by Marsigit



Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program


Gödel showed Hilbert's Program can not succeed. This was proven in what is now called Gödel's Incompleteness Theorem:

Let S be a formal system for number theory. If S is consistent, then there is a sentence, G, such that neither G nor the negation of G (written G) is a theorem of S. Thus, any formal system sufficient to express the theorems of number theory has to be incomplete.

Proof:
S can prove P(n) just in case n is the Gödel-number of a theorem of S. There exists k, such that k is a Gödel-number of the formula P(k)=G. This statement says of itself, it is not provable. Even if we define a new formal system S = S + G (thus including the undecidable theorem as an axiom), we can find G which isn't provable in (is independent of) S. The reasoning Gödel used for his incompleteness theorem is finitary, so it could be formalized inside S. Thus, S can prove that if S is consistent, then G is not provable. Note that the underlined phrase is what G says, so S proves Cst(S)  implies G is true, but G says G is not provable. Suppose S can prove Cst(S), then S can prove G, but if S is consistent, it can't prove G, thus it can't prove its consistency. Thus, Hilbert's Program does not work; one cannot prove the consistency of a mathematical theory.




4 comments:

  1. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)

    Gödel menunjukkan Program Hilbert tidak bisa berhasil. Hal ini terbukti dalam apa yang sekarang disebut Teorema Ketidaklengkapan Gödel.
    Teorema ketidaklengkapan pertama menyatakan bahwa tidak ada sistem aksioma yang konsisten yang teoremanya dapat didaftar dengan "prosedur yang efektif" (misalnya, sebuah program komputer, tetapi bisa menjadi algoritma apapun) mampu membuktikan semua kebenaran tentang hubungan bilangan asli (aritmatika). Untuk setiap sistem tersebut, akan selalu ada pernyataan tentang bilangan asli yang benar, tapi yang dibuktikan dalam sistem. Teorema ketidaklengkapan kedua, perpanjangan pertama, menunjukkan bahwa sistem tersebut tidak dapat menunjukkan konsistensinya sendiri.

    ReplyDelete
  2. Sumandri
    16709251072
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Kurt Godel mempublikasikan teorema ketidaklengkapan yang terkenal untuk membuktikan bahwa prosedur/ algoritma yang dikehendaki David Hilbert tersebut tidak akan pernah ada. Usaha untuk mendapatkan sebuah teori yang lengkap yang tersusun atas semua teori adalah sia sia. Godel membangun rumus di kalkulus predikat yang diterapkan pada bilangan bulat yang memiliki pernyataan pernyataan definisi yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya maupun yang tidak dapat dibantah di dalam sistem logika yang mungkin dibangun manusia. Formalisasi argumen teorema ketidak lengkapan Godel serta penjelasan dan formalisasi selanjutnya secara intuisi merupakan salah satu pencapaian intelektual terbesar abad 20, dimana formalisasi berkembang semarak.

    ReplyDelete
  3. Saepul Watan
    16709251057
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Artikel ini memaparkan ketidakkonsistenan dalam matematika. Ketidakkonsistenan tersebut ditunjukan berdasarkan pembuktian dari Godel yang menunjukkan bahwa Program Hilbert tidak berhasil. Sebagai contoh nya adalah Godel menunjukkan bahwa pernyataan-pertanyaan matematika tertentu tidak dapat dibuktikan maupun dibantah kebenarannya. Hal ini berarti bahwa jika kebenaran sebuah penyataan dapat dibuktikan, maka pernyataan tersebut tidak benar. Dan jika pernyataan tidak dapat dibuktikan, maka pernyataan itu benar. Kontradiksi antara kesua hal ini menunjukkan ketidakkonsistenan dalam matematika dan dapat diarikan sebagai matematika yang tidak lengkap.

    ReplyDelete
  4. Wahyu Lestari
    16709251024
    PPs P.Matematika Kelas D

    Teorema ketaklengkapan Gödel (bahasa Inggris: Gödel's incompleteness theorems) adalah dua teorema logika matematika yang menetapkan batasan (limitation) inheren dari semua kecuali sistem aksiomatik yang paling trivial yang mampu mengerjakan aritmetika. Teorema-teorema ini, dibuktikan oleh Kurt Gödel pada tahun 1931, penting baik dalam logika matematika maupun dalam filsafat matematika. Kedua hasil ini secara luas, tetapi tidak secara universal, ditafsirkan telah menunjukkan bahwa program Hilbert untuk menghitung himpunan lengkap dan konsisten dari aksioma-aksioma bagi semua matematika adalah tidak mungkin, sehingga memberikan jawaban negatif terhadap soal Hilbert yang kedua.

    ReplyDelete