Nov 26, 2012

Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program_Documented by Marsigit



Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program


Gödel showed Hilbert's Program can not succeed. This was proven in what is now called Gödel's Incompleteness Theorem:

Let S be a formal system for number theory. If S is consistent, then there is a sentence, G, such that neither G nor the negation of G (written G) is a theorem of S. Thus, any formal system sufficient to express the theorems of number theory has to be incomplete.

Proof:
S can prove P(n) just in case n is the Gödel-number of a theorem of S. There exists k, such that k is a Gödel-number of the formula P(k)=G. This statement says of itself, it is not provable. Even if we define a new formal system S = S + G (thus including the undecidable theorem as an axiom), we can find G which isn't provable in (is independent of) S. The reasoning Gödel used for his incompleteness theorem is finitary, so it could be formalized inside S. Thus, S can prove that if S is consistent, then G is not provable. Note that the underlined phrase is what G says, so S proves Cst(S)  implies G is true, but G says G is not provable. Suppose S can prove Cst(S), then S can prove G, but if S is consistent, it can't prove G, thus it can't prove its consistency. Thus, Hilbert's Program does not work; one cannot prove the consistency of a mathematical theory.




17 comments:

  1. Kartika Pramudita
    17701251021
    PEP S2 B

    Godel merupakan tokoh matematika yang mengkritisi program Hilbert’s. Menganggap bahwa program Hilbert’s tidak akan pernah berhasil. Godel memaparkan alasan pernyataannya. Pembuktian ketidakkonsistenan dari Godel ini dikenal dengan teorema ketidakkonsistenan Godel. Matematika tidak akan bisa menggapai kelengkapan dan kekonsistenannya secara bersamaan. Apabila matematika konsisten maka akan tidak lengkap sedangkan apabila matematika lengkap maka akan ditemukan kontradiksi.

    ReplyDelete
  2. Uswatun Hasanah
    17701251022
    S2 PEP B

    Ulasan di atas menyiratkan bahwa suatu konsep atau ilmu memiliki dua sisi, yaitu sisi konsisten dan tidak konsisten. Kebenaran dari suatu konsep tidak hanya dapat dilihat sejauhmana pola yang dibentuk dapat terus konsisten. Ketidakkonsistenan adalah wujud daripada konsistensi suatu keadaan itu sendiri. Tidak ada sesuatu hal yang benar-benar konsisten. Sebaik-baik hidup adalah interaksi daripada konsisten dan tidak konsisten. Konsisten dapat diterapkan sesuai dengan waktunya. Sedangkan waktu itu sendiri memiliki pergerakan. Jadi, bisa saja satu waktu bersifat konsisten namun di waktu yang lain mengalami ketidakkonsistenan.

    ReplyDelete
  3. Nama: Hendrawansyah
    NIM: 17701251030
    S2 PEP 2017 Kelas B

    Assalamualaikum wr wb

    Sesuatu dapat dikatakan menjadi sebuah ilmu jika memiliki korelasi antara satu dengan yang lain.Ilmu dapat terbentuk jika ada antara idealitas dan realitas,dan antara identitas dan kontradiksi.Jika salah satunya tidak terpenuhi maka bukan merupakan suatu ilmu.Yang ditunjukkan oleh Godel bahwa suatu pembuktian mengalami kontradiksi dengan suatu teori.Oleh karenanya suatu teori bukanlah suatu kebenaran yang komplit karena toeri itu seolah-olah dipaksakan untuk menelusup ke dalam pikiran tanpa harus mencari dan menemukan.Karena sejauh teori tersebut berargumen maka sejauh itu pula pikiran kita.Dengan kata lain tidak ada keleluasaan untuk memngembarakan pikiran karena sudah dibatasi oleh sebuah teori.

    ReplyDelete
  4. Widuri Asmaranti
    17709251035
    S2 Pend Matematika B 2017

    Godel adalah salah satu matematikawan yang berasal dari Austria. Gödel memberikan dampak luar biasa pada pemikiran ilmiah dan filsafat pada abad ke-20. Dan godel adalah matematikawan yang menentang/menolak/ mengkritisi . Ini dilihat karena Gödel menunjukkan bahwa Program Hilbert tidak akan berhasil. Ini terbukti dalam apa yang sekarang disebut Teorema Ketidakkonsistenan Gödel.

    ReplyDelete
  5. I Nyoman Indhi Wiradika
    17701251023
    PEP B

    Dalam artikel di atas dijelaskan bahwa Godel mengritik sekaligus membantah pernyataan dari Hilbert. Godel mengungkapkan bahwa tidak mungkin ada sistem yang lengkap sekaligus konsisten. Lebih lanjut Godel menegaskan dengan pembuktian-pembuktian bahwa jika matematika lengkap, maka ia bersifat terbuka dan inkonsisten.

    ReplyDelete
  6. Mariana Ramelan
    17709251056
    S2 Pend. Matematika C 2017

    Pada artikel ini menceritakan tentang Pembuktian seorang Godel tentang ketidakberhasilan Program Hilbert. Hasil pembuktian tersebut saat ini dikenal dengan nama “Teorema Ketidakkonsistenan Godel”. Setelah saya mencermati pembuktian yang dilakukan Godel ini saya teringat dengan pembuktian-pembuktian yang saya mempelajari pada mata kuliah analisis real dan aljabar abstrak.

    ReplyDelete
  7. Gamarina Isti R
    17709251036
    Pendidkan Matematika Kelas B (Pascasarjana)


    Saya rasa pada postingan ini, materi yang digunakan adalah tentang teori bilangan, setelah saya membaca postingan ini dan beberapa referensi saya dapat menyimpulkan bahwa Godel tidak menyetujui prosedur atau algoritma dari Hilbert. Menurut Godel terdapat bilangan bulat tidak dapat dibuktikan kebenarannya atau disebut teorema ketidaklengkapan Godel. Saya rasa teori Godel ini ada pada materi logika. Sebenarnya saya kurang memahami tentang logika, namun yang mau saya bahas adalah bagaimana para penemu-penemu terus berusaha untuk mengungkapakan ilmu-ilmu dan mengembangkan ilmu yang telah ada. Hal ini masih jauh dengan saya yang lebih memilih untuk menerima saja apa yang diberikan buku atau materi yang sudah saya pelajari mungkin hal ini disebabkan karena saya masih mengalami pembelajaran teacher center saat masih sekolah.

    ReplyDelete
  8. Rahma Dewi Indrayanti
    17709251038
    PPS Pendidikan Matematika Kelas B

    Teorema ketaklengkapan Gödel adalah dua teorema logika matematika yang menetapkan batasan (limitation) inheren dari semua kecuali sistem aksiomatik yang paling trivial yang mampu mengerjakan aritmetika. Teorema-teorema ini, dibuktikan oleh Kurt Gödel pada tahun 1931, penting baik dalam logika matematika maupun dalam filsafat matematika. Kedua hasil ini secara luas, tetapi tidak secara universal.

    ReplyDelete
  9. Junianto
    PM C

    Godel merupakan tokoh yang berasal dari Austria. Godel menyatakan bahwa program Hilbert tidak akan pernah sukses. Teori ini dibuktikan dengan apa yang disebut sebagai teori ketidakkonsistenan Gobel. Dalam teori ini dijelaskan Gobel bahwa matematika tidak akan pernah menggapai kelengkapan secara mutlak bersamaan dengna kekonsistenannya. Teori ini merupakan bantahan terhadap pernyataan Hilmert. Godel menambahkan bahwa dengan pembuktian-pembuktian bahwa jika matematika lengkap, maka ia bersifat terbuka dan inkonsisten.

    ReplyDelete
  10. Arung Mega Ratna
    17709251049
    PPs PMC 2017


    Adanya kontradiksi yang dilakukan Godel pada Program Hilbert diperlihatkan melalui pembuktian terhadap sebuah teorema di atas dan kemudian disebut dengan kekurangan teorema Godel. Pembuktian ini jelas menunjukkan bahwa tidak ada seseorang yang dapat membuktikan kekonsistenan dalam matematika karena adanya pengaruh ruang dan waktu.

    ReplyDelete
  11. Firman Indra Pamungkas
    17709251048
    S2 Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    Assalamualaikum Warohmatullah Wabarokatuh
    Godel, yang merupakan murid dari Hilbert, memperlihatkan ketidaksuksesan program hilbert dengan menggunakan teori ketidaklengkapan Godel. Inti dari teori ketidaklengkapan Godel adalah jika matematika konsisten maka matematika tidaklah lengkap, jika matematika lengkap maka matematika tidaklah konsisten. Teori ketidaklengkapan Godel ini membuktikan bahwa tidak mungkin mencipatakan matematika yang tunggal, lengkap, dan konsisten

    ReplyDelete
  12. Muh Wildanul Firdaus
    17709251047
    Pendidikan matematika S2 kls C

    Program Hilbert terinspirasi oleh krisis fundamental matematika yang mencakup banyak paradoks termasuk paradoks Russell. Dia ingin meletakkan semua teori matematika yang ada ke rangkaian aksioma yang terbatas, konsisten, dan lengkap. Dia mengusulkan agar hal ini dapat dikurangi hanya dengan melakukan aritmatika karena tampaknya lebih mudah dan lebih masuk akal. Namun, hal ini ditantang oleh Godel. Dalam penulisan ini, Godel mengajukan sebuah teorema ketaklengkapan.

    ReplyDelete
  13. Nama: Dian Andarwati
    NIM: 17709251063
    Kelas: Pendidikan Matematika (S2) Kelas C

    Assalamu’alaikum. Program formalis Hilbert bertujuan untuk menerjemahkan matematika ke dalam sistem formal. Artinya, dalam lingkup terbatas tetapi sangat mengarah pada sistem formal yang menunjukkan sifat matematika, dengan menurunkan mitra resmi dari semua kebenaran matematika melalui bukti konsistensi. Ketidak lengkapan Teorema Kurt Godel (Godel, 1931) menunjukkan syarat yang tidak bisa dipenuhi. Teorema pertamanya menunjukkan bahwa bahkan tidak semua kebenaran dari aritmatika dapat diturunkan dari aksioma Peano. Teorema ketidaklengkapan kedua menunjukkan bahwa dalam kasus konsistensi pembuktian memerlukan meta-matematika. Misalnya, untuk membuktikan konsistensi dari aritmatika Peano mengharuskan semua aksioma dari sistem itu dan asumsi lebih lanjut, seperti prinsip induksi transfinit seperti bilangan ofer kountbale.

    ReplyDelete
  14. Latifah Fitriasari
    PM C

    Program formalis Hilbert bertujuan untuk menerjemahkan ke dalam sistem formal matematika yang tidak ditafsirkan. Dengan cara pembatasan tetapi teorema ketidak lengkapan Kurt Godel menunjukkan bahwa program tidak dapat terpenuhi. Dengan demikian program Hilbert tidak bekerja, satu tidak dapat membuktikan konsistensi teori matematika. Namun, Folkerts menunjukkan bahwa Gentzen melihat Teorema ketidaklengkapan Godel dan bertanya-tanya mengapa sistem formal untuk aritmatika sangat lemah

    ReplyDelete
  15. Auliaul Fitrah Samsuddin
    17709251013
    PPs P.Mat A 2017
    Terima kasih atas postingannya, Prof. Godel membuktikan ketidakberhasilan program Hilbert. Hilbert ingin Matematika dirumuskan di atas landasan logis yang kuat dan lengkap. Oleh karena itu ia menunjukkan : 1) Matematika mengikuti sistem aksioma yang terhingga dan dipilih secara benar. 2) Sistem aksioma yang dimaksud konsisten dalam beberapa makna misalnya kalkulus Epsilon. Namun Godel menunjukkan kesalahannya dengan Teorema Ketidak lengkapan Godel yang berbunyi : Misalkan S adalah sistem formal dalam teori bilangan. Jika S konsisten, maka terdapat pernyataan G, dimana G dan ingkaran G bukan merupakan teorema S. Maka, suatu sistem formal yang cukup untuk menggambarkan teorema dari teori bilangan akan tidak lengkap.

    ReplyDelete
  16. Isoka Amanah Kurnia
    17709251051
    PPs Pendidikan Matematika 2017 Kelas

    Godel mengembangkan rumus yang diterapkan pada bilangan bulat yang memiliki pernyataan pernyataan definisi yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya maupun yang tidak dapat dibantah di dalam sistem logika yang mungkin dibangun manusia. Sanggahan oleh Godel bergantung pada penelitian yang mendirikan daerah kedua logika matematika, penerapan matematika untuk logika dalam pembuktian teori. Meskipun terdapat sifat negatif ari teorema ketidaklengkapan, teorema kelengkapan Godel mengakibatkan model teori dan aplikasi lain ke logika matematika dapat dipahami. Ini menunjukkan betapa dekatnya logicism diakui kebenarannya.

    ReplyDelete
  17. Anisa Safitri
    17701251038
    PEP B

    Gödel memperlihatkan bahwa matematika memuat pernyataan-pernyataan yang tidak dapat dibuktikan dengan cara itu. Kesimpulannya itu ia dasarkan pada dua paradoks yang berbunyi “Pernyataan ini salah” dan “Pernyataan ini tidak dapat dibuktikan’. Inilah yang kemudian dikenal sebagai ‘teorema ketidaklengkapan’ Kurt Gödel.

    ReplyDelete