Nov 26, 2012

Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program_Documented by Marsigit



Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program


Gödel showed Hilbert's Program can not succeed. This was proven in what is now called Gödel's Incompleteness Theorem:

Let S be a formal system for number theory. If S is consistent, then there is a sentence, G, such that neither G nor the negation of G (written G) is a theorem of S. Thus, any formal system sufficient to express the theorems of number theory has to be incomplete.

Proof:
S can prove P(n) just in case n is the Gödel-number of a theorem of S. There exists k, such that k is a Gödel-number of the formula P(k)=G. This statement says of itself, it is not provable. Even if we define a new formal system S = S + G (thus including the undecidable theorem as an axiom), we can find G which isn't provable in (is independent of) S. The reasoning Gödel used for his incompleteness theorem is finitary, so it could be formalized inside S. Thus, S can prove that if S is consistent, then G is not provable. Note that the underlined phrase is what G says, so S proves Cst(S)  implies G is true, but G says G is not provable. Suppose S can prove Cst(S), then S can prove G, but if S is consistent, it can't prove G, thus it can't prove its consistency. Thus, Hilbert's Program does not work; one cannot prove the consistency of a mathematical theory.




5 comments:

  1. Kunny Kunhertanti
    16709251060
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Godel menunjukkan bahwa Program Hilbert tidak akan berhasil. Ini terbukti dalam apa yang sekarang disebut Teorema Ketidakkonsistenan Gödel, dan ini telah dibuktikan oleh Godel: Misalkan S adalah sistem formal untuk teori bilangan. Jika S konsisten, maka ada sebuah kalimat, G, sedemikian rupa sehingga baik G maupun negasi G (ditulis G) adalah teorema S. Jadi, sistem formal apa pun yang cukup untuk mengungkapkan teorema teori bilangan harus tidak lengkap.

    ReplyDelete
  2. Ahmad Bahauddin
    16709251058
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Program Hilbert terinspirasi oleh krisis fundamental matematika yang mencakup banyak paradoks termasuk paradoks Russell. Dia ingin meletakkan semua teori matematika yang ada ke rangkaian aksioma yang terbatas, konsisten, dan lengkap. Dia mengusulkan agar hal ini dapat dikurangi hanya dengan melakukan aritmatika karena tampaknya lebih mudah dan lebih masuk akal. Namun, hal ini ditantang oleh Godel. Dalam penulisan ini, Godel mengajukan sebuah teorema ketaklengkapan.

    ReplyDelete
  3. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Dalam matematika terdapat istilah postulat, definisi, lemma, teori, aksioma dan lain sebagainya. Aksioma merupakan pemikiran tradisional mengenai kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya, akan tetapi pengertian ini justru memincu munculnya permasalahan. Tahap formal, sebuah aksioma hanyalah lambang yang memiliki makna dari sistem aksioma yang ada. Akan tetapi menurut Teorema ketidaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma memiliki rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan. Oleh karena itu aksiomatisasi yang dilakukan pada tahap akhirpun gagal diterapkan. Meski demikian tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.

    ReplyDelete
  4. Angga Kristiyajati
    17709251001
    Pps UNY P.Mat A 2017

    Terima kasih Banyak Pak Prof. Marsigit.

    Sepemahaman kami, Prestasi pemikiran Gödel sangat terkait dengan logika matematika pada pertengahan abad ke-20. Pemikiran Godel ini termasuk pula bukti kelengkapan kalkulus predikat orde pertama, dan hasil ground-breaking yang biasa disebut teorema Gödel. Dia juga membuktikan bahwa tidak ada sistem yang dapat menunjukkan konsistensinya sendiri, yang secara efektif mengakhiri pemikiran Hilbert, meski demikian bukti yang diutarakan oleh Gentzen bahwa jika induksi transfinite menunjukkan konsistensi pada aritmatika, telah memberikan semacam hiburan kepada Hilbert.

    Sumber:
    Blackburn, S. (1996). The Oxford Dictionary of Philosophy Oxford Paperback Reference. Oxford: Oxford University Press.

    ReplyDelete
  5. Dimas Candra Saputra, S.Pd.
    PPs PMA 2017
    17709251005

    Assalamualaikum prof,
    Dalam postingan tersebut, Godel telah menunjukkan bahwa prosedur atau algoritma dari Hilbert tidak pernah ada. Menurutnya usaha untuk mendapatkan sebuah teori yang lengkap yang tersusun atas semua teori adalah sia sia. Godel membangun rumus di kalkulus predikat yang diterapkan pada bilangan bulat yang memiliki pernyataan pernyataan definisi yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya maupun yang tidak dapat dibantah di dalam sistem logika yang mungkin dibangun manusia. Pembuktiannya tersebut dilakukan melalui sesuatu yang sekarang kita kenal sebagai teorema ketidaklengkapan Godel. Isi teorema tersebut adalah bahwa andaikan S adalah sistem formal untuk teori bilangan. Jika S konsisten, maka ada sebuah kalimat, G, sedemikian sehingga baik G maupun negasi G bukan merupakan teorema dari S. Maka, beberapa sistem formal cukup untuk menyatakan teorema dari teori bilangan menjadi tidak lengkap.

    ReplyDelete