Nov 26, 2012

Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program_Documented by Marsigit



Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program


Gödel showed Hilbert's Program can not succeed. This was proven in what is now called Gödel's Incompleteness Theorem:

Let S be a formal system for number theory. If S is consistent, then there is a sentence, G, such that neither G nor the negation of G (written G) is a theorem of S. Thus, any formal system sufficient to express the theorems of number theory has to be incomplete.

Proof:
S can prove P(n) just in case n is the Gödel-number of a theorem of S. There exists k, such that k is a Gödel-number of the formula P(k)=G. This statement says of itself, it is not provable. Even if we define a new formal system S = S + G (thus including the undecidable theorem as an axiom), we can find G which isn't provable in (is independent of) S. The reasoning Gödel used for his incompleteness theorem is finitary, so it could be formalized inside S. Thus, S can prove that if S is consistent, then G is not provable. Note that the underlined phrase is what G says, so S proves Cst(S)  implies G is true, but G says G is not provable. Suppose S can prove Cst(S), then S can prove G, but if S is consistent, it can't prove G, thus it can't prove its consistency. Thus, Hilbert's Program does not work; one cannot prove the consistency of a mathematical theory.




45 comments:

  1. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Gödel merupakan muridnya Hilbert yang menghasilkan sebuah Teorema Ketidakkonsistenan Gödel. Misalkan S adalah sistem formal untuk teori bilangan. Jika S konsisten, maka ada sebuah kalimat, G, sedemikian rupa sehingga baik G maupun negasi G (ditulis G) adalah teorema S. Jadi, sistem formal apa pun yang cukup untuk mengungkapkan teorema teori bilangan harus tidak lengkap.
    Bukti:
    S dapat membuktikan P (n) jika n adalah bilangan Gödel dari teorema S. Ada k, sehingga k adalah bilangan Gödel dari rumus P (k) = G. Pernyataan ini mengatakan tentang dirinya sendiri, ini tidak dapat dibuktikan. Bahkan jika kita mendefinisikan sistem formal baru S = S + G (dengan demikian termasuk teorema yang tidak dapat diputuskan sebagai sebuah aksioma), kita dapat menemukan G yang tidak dapat dibuktikan dalam (tidak bergantung). Alasan yang digunakan Gödel untuk teorema ketidaklengkapannya adalah Finiter, sehingga bisa diformalkan di dalam S. Jadi, S dapat membuktikan bahwa jika S konsisten, maka G tidak dapat dibuktikan. Perhatikan bahwa frase yang digarisbawahi adalah apa yang G katakan, jadi S membuktikan bahwa Cst (S) menyiratkan G adalah benar, namun G mengatakan G tidak dapat dibuktikan. Misalkan S dapat membuktikan Cst (S), maka S dapat membuktikan G, tetapi jika S konsisten, tidak dapat membuktikan G, sehingga tidak dapat membuktikan konsistensinya. Dengan demikian, Program Hilbert tidak berjalan; Seseorang tidak bisa membuktikan konsistensi sebuah teori matematika.

    ReplyDelete
  2. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2

    Yang dapat saya pahami dari artikel di atas menjelaskan tentang pembuktian kekonsistenan dalam matematika. Dari sudut pandang filsafat semua yang di dunia ini sifatnya kontradiktif karena masih terikat ruang dan waktu termasuk matematika di dalamnya. Dari pendapat Hilbert di atas kita bisa menangkap bahwa b semua pernyataan matematika yang benar dapat dibuktikan dalam formal dan tidak ada kontradiksi atau dengan kata lain kekonsistenan dapat diperoleh dalam formalisme matematika.

    ReplyDelete
  3. Primaningtyas Nur Arifah
    16709251042
    Pend. Matematika S2 kelas C 2016
    Assalamu’alaikum. Program formalis Hilbert bertujuan untuk menerjemahkan matematika ke dalam sistem formal. Artinya, dalam lingkup terbatas tetapi sangat mengarah pada sistem formal yang menunjukkan sifat matematika, dengan menurunkan mitra resmi dari semua kebenaran matematika melalui bukti konsistensi. Ketidak lengkapan Teorema Kurt Godel (Godel, 1931) menunjukkan syarat yang tidak bisa dipenuhi. Teorema pertamanya menunjukkan bahwa bahkan tidak semua kebenaran dari aritmatika dapat diturunkan dari aksioma Peano. Teorema ketidaklengkapan kedua menunjukkan bahwa dalam kasus konsistensi pembuktian memerlukan meta-matematika. Misalnya, untuk membuktikan konsistensi dari aritmatika Peano mengharuskan semua aksioma dari sistem itu dan asumsi lebih lanjut, seperti prinsip induksi transfinit seperti bilangan ofer kountbale.

    ReplyDelete
  4. Lana Sugiarti
    16709251062
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Godel menunjukkan bahwa Hilbert belum berhasil. Hal ini menunjukkan bahwa ada kontradiksi dalam matematika. Suatu petunjuk untuk dapat memperbaiki temuan dan berusaha membuka wawasan atas temuan orang lain. Dari hal ini dapat diambil kesimpulan bahwa segala hal mungkin saja terjadi dalam matematika. Sesuatu yang sudah diyakini kebenarannya tentunya mungkin tidak selamanya benar. Karena ada kemungkinan bahwa ada temuan dan pembuktian lain selain yang digunakan bersama.

    ReplyDelete
  5. Ahmad Wafa Nizami
    16709251065
    S2 Pendidikan Matematika D

    Menambahkan beberapa hal tentang godel work, kita tahu bahwa ödel menerbitkan dua teorema ketidaklengkapannya pada tahun 1931 saat ia berusia 25 tahun, satu tahun setelah menyelesaikan gelar doktor di Universitas Wina. Teorema ketidaklengkapan yang pertama menyatakan bahwa untuk sistem aksiomatik rekursif yang konsisten sendiri yang cukup kuat untuk menggambarkan aritmatika bilangan natural (misalnya Peano aritmatika), ada proposisi yang benar tentang naturals yang tidak dapat dibuktikan dari aksioma. Untuk membuktikan teorema ini, Gödel mengembangkan teknik yang sekarang dikenal sebagai penomoran Gödel, yang mengelompokkan ekspresi formal sebagai bilangan natural.
    Dia juga menunjukkan bahwa baik aksioma pilihan maupun hipotesis kontinum dapat dibantah dari aksioma teori set yang diterima, dengan asumsi aksioma ini konsisten. Hasil yang pertama membuka pintu bagi para matematikawan untuk menganggap aksioma pilihan dalam bukti mereka. Dia juga membuat kontribusi penting untuk membuktikan teori dengan mengklarifikasi hubungan antara logika klasik, logika intuisi, dan logika modal.

    ReplyDelete
  6. Cendekia Ad Dien
    16709251044
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    David Hilbert mencoba menciptakan algoritma umum yang membuktikan (seluruh) persoalan matematika secara otomatis. Teori ini bertujuan untuk membuat program yang mampu menentukan salah dan benarnya sebarang proporsi matematika. Pada tahun 1931, Kurt Godel mempublikasikan teoremanya yang terkenal yaitu Gödel's Incompleteness Theorems untuk membuktikan bahwa prosedur/algoritma yang dikehendaki David Hilbert tersebut tidak akan pernah ada (Wikiwand, 2017). Gödel's Incompleteness Theorems ini menyiratkan bahwa terdapat inkonsistensi dalam sistem matematika yang lengkap dan terdapat ketidaklengkapan dalam kekonsistenan sistem matematika. Dengan demikian, tidak benar-benar ada teori matematika yang benar-benar lengkap.

    ReplyDelete
  7. Resvita Febrima
    16709251076
    P-Mat D 2016
    Teorema ketaklengkapan Gödel adalah dua teorema logika matematika yang menetapkan batasan (limitation) inheren dari semua kecuali sistem aksiomatik yang paling trivial yang mampu mengerjakan aritmetika. Teorema-teorema ini, dibuktikan oleh Kurt Gödel pada tahun 1931, penting baik dalam logika matematika maupun dalam filsafat matematika. Kedua hasil ini secara luas, tetapi tidak secara universal, ditafsirkan telah menunjukkan bahwa program Hilbert untuk menghitung himpunan lengkap dan konsisten dari aksioma-aksioma bagi semua matematika adalah tidak mungkin, sehingga memberikan jawaban negatif terhadap soal Hilbert yang kedua.

    ReplyDelete
  8. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS
    16709251061

    Pada tahun 1931, Kurt Godel mempublikasikan teorema ketidaklengkapan yang terkenal untuk membuktikan bahwa prosedur/ algoritma yang dari David Hilbert tersebut telah gagal. Godel melakukan pembuktian terhadap hasil-hasil yang diperoleh lewat sistem aksiomatik, yaitu sistem aksiomatik matematika yang digunakan untuk membuktikan salah atau benar preposisi-preposisi yang terkandung dalam sistem aksioma. Theorema Godel memang tidak menghancurkan semua ide dasar kaum formalis, namun di sini dipaparkan bahwa sistem apapun dapat menjadi lebih komprehensif daripada yang dijabarkan oleh David Hilbert.

    ReplyDelete
  9. Ardeniyansah
    16709251053
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Hilbert (1862 – 1943) Berpendapat bahwa matematika merupakan pengetahuan tentang struktur formal dari lambang . Kaum formalis menekankan pada aspek formal dari matematika sebagai bahasa lambang dan mengusahakan konsistensi dalam penggunaan matematika sebagai bahasa lambang. Kaum Formalis membantah aliran logistik dan menyatakan bahwa masalah dalam logika sama sekali tidak ada hubungan dengan matematika. Hilbert berusaha untuk menciptakan matematika sebagai suatu sistem yang tunggal, lengkap dan selalu konsisten. Namun usaha Hilbert kemudian dapat dipatahkan oleh muridnya sendiri yang bernama Godel. Godel menyatakan bahwa tidaklah mungkin matematika bersifat tunggal, lengkap dan konsisten, karena jika matematika mempertahankan kekonsistenan, maka akan menjadi tidak lengkap. Sedangkan jika matematika mempertahankan kelengkapannya, maka matematika akan terancam menjadi tidak konsisten.

    ReplyDelete
  10. Annisa Hasanah
    16709251051
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Godel merupakan seorang murid hilbert yang berhasil mematahkan teori hilbert yang menyatakan matematika yang tunggal dan konsisten. caranya mematahkan teori tersebut adalah dengan pembuktian yang dituliskan pada artikel di atas yaitu dengan pendekatan teori bilangan.

    ReplyDelete
  11. Syaifulloh Bakhri
    16709251049
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Assalamu’alaikum wr.wb.
    Dari artikel di atas menunjukkan bahwa adanya kontradiksi dalam matematika karena masih terikat oleh ruang dan waktu. Apa yang kita pikirkan itu benar menurut kita, namun belum tentu menurut orang lain itu benar. Dengan adanya kontradiksi berarti saling melengkapi atau adanya penemuan yang lebih baik sehingga dengan demikian transformasi selalu ada selama masih ada kontradiksi.

    ReplyDelete
  12. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Pada zaman dulu, kemampuan matematika dianggap tak terbatas. Para ahli matematika, terutama David Hilbert percaya, bahwa setiap pernyataan dapat dijawab dan ditunjukkan benar atau salah. Tetapi, kepercayaan David Hilbert tersebut seolah-olah mulai sirna ketika seorang ahli logika yaitu Kurt Godel pertama kali menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan matematika tertentu tidak dapat dibuktikan maupun dibantah kebenarannya. Hasilnya, Godel menunjukkan bahwa paradoks logika aritmetika seperti pernyataan “Pernyataan ini tak dapat dibuktikan kebenarannya” tak bisa dihindari. Dengan kata lain, jika pernyataan itu dapat dibuktikan kebenarannya, maka pernyataan itu tidak benar, dan artinya matematika tidak konsisten. Dan jika pernyataan itu tidak dapat dibuktikan kebenarannya, maka pernyataan itu benar dan matematika berarti tidak lengkap.

    ReplyDelete
  13. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Permasalahannya jadi semakin rumit ketika Godel juga menunjukkkan, tak mungkin membuktikan bahwa suatu sistem matematika itu secara logika konsisten terhadap dirinya sendiri.
    Orang harus melangkah ke luar kalkulus matematika baku untuk membuktikan kebenarannya. Hal ini adalah penemuan yang menggegerkan. Seolah hendak mendramatisasi keterbatasan kekuatan logika murni. Godel sendiri menjadi sedemikian paranoidnya pada kehidupannya hingga akhirnya diapun mogok makan sampai meninggal.

    ReplyDelete
  14. Resvita Febrima
    16709251076
    P-Mat D 2016
    Pada tahun 1931, Kurt Godel mempublikasikan teorema ketidaklengkapan yang terkenal untuk membuktikan bahwa prosedur / algoritma yang dikehendaki David Hilbert tersebut tidak akan pernah ada. Usaha untuk mendapatkan sebuah teori yang lengkap yang tersusun atas semua teori adalah sia sia. Godel mengklaim bahwa kombinasi Hilbertian materialisme dan aspek matematika klasik terbukti mustahil. Godel, K., 1961, menegaskan bahwa kepastian matematika adalah harus diamankan tidak dengan membuktikan sifat tertentu dengan proyeksi ke sistem bahan yaitu manipulasi simbol-simbol fisik melainkan dengan mengembangkan atau memperdalam pengetahuan tentang konsep-konsep abstrak sendiri yang mengarah pada pengaturan dari sistem mekanik, dan selanjutnya dengan mencari, sesuai dengan prosedur yang sama, untuk memperoleh wawasan solvabilitas, dan metode aktual untuk solusi, dari semua masalah matematika yang bermakna.

    ReplyDelete
  15. Desy Dwi Frimadani
    16709251050
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Artikel ini menjelaskan tentang pembuktian kekonsistenan dalam matematika.Teorema ketaklengkapan Gödel (bahasa Inggris: Gödel's incompleteness theorems) adalah dua teorema logika matematika yang menetapkan batasan (limitation) inheren dari semua kecuali sistem aksiomatik yang paling trivial yang mampu mengerjakan aritmetika

    ReplyDelete
  16. Heni Lilia Dewi
    16709251054
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Godel mengungkapkan bahwa tidak mungkin ada sistem yang lengkap sekaligus konsisten. Klaim ini membantah dari pernyataan Hilbert. Bantahan ini dituangkan dalam pembuktian yang tertulis dalam elegi ini, yang berujung pada hasil bahwa bahwa jika matematika lengkap, makabersifat terbuka dan inkonsisten. Pada dasarnya matematika bersifat konsisten, maka tidaklah mungkin matematika itu lengkap dan bersifat multifacet.

    ReplyDelete
  17. Windi Agustiar Basuki
    16709251055
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    David Hilbert mencoba menciptakan algoritma umum yang membuktikan(seluruh) persoalan matematika secara otomatis. Teori ini bertujuan untuk membuat program yang mampu menentukan salah dan benarnya sebarang proporsi matematika. Kurt Godel mempublikasikan teorema ketidaklengkapan yang terkenal untuk membuktikan bahwa prosedur/ algoritma yang dikehendaki David Hilbert tersebut tidak akan pernah ada.

    ReplyDelete
  18. Syahlan Romadon
    PM C 2016 / 16709251047

    Godel, yang merupakan murid dari Hilbert, memperlihatkan ketidaksuksesan program hilbert dengan menggunakan teori ketidaklengkapan Godel. Inti dari teori ketidaklengkapan Godel adalah jika matematika konsisten maka matematika tidaklah lengkap, jika matematika lengkap maka matematika tidaklah konsisten. Teori ketidaklengkapan Godel ini membuktikan bahwa tidak mungkin mencipatakan matematika yang tunggal, lengkap, dan konsisten.

    ReplyDelete
  19. Muh Ferry Irwansyah
    15709251062
    Pendidikan Matematika PPS UNY
    Kelas D
    Godel menunjukkan bahwa pernyataan-pertanyaan matematika tertentu tidak dapat dibuktikan maupun dibantah kebenarannya. Jika pernyataan itu dapat dibuktikan kebenaranya, maka pernyataan itu tidak benar. Hal tersebut berarti matematika tidak konsisten. Jika pernyataan itu tidak dapat dibuktikan kebenarannya, maka pernyataan itu benar dan matematika berarti tidak lengkap. Godel juga menunjukkan, tak mungkin membuktikan bahwa suatu sistem matematika itu secara logika konsisten terhadap dirinya sendiri. Namun Hilbert, percaya setiap pernyataan dapat dijawab dan tunjukkan benar atau salah, maka riset Godel merupakan pukulan bagi Hilbert karena Godel menunjukkan program Hilbert tidak dapat berhasil.

    ReplyDelete
  20. Ratih Eka Safitri
    16709251059
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Logika matematika benar-benar mengacu kepada dua bidang penelitian yang berbeda: yang pertama adalah penerapan teknik-teknik formal logika matematika dan penalaran matematika, dan yang kedua, di arah lain, penerapan matematika teknik untuk representasi dan analisis logika formal. Penggunaan paling awal matematika dan geometri dalam kaitannya dengan logika dan filsafat akan kembali ke Yunani kuno seperti Euclid, Plato, dan Aristoteles. Banyak filsuf kuno dan abad pertengahan matematika diterapkan ide dan metode filosofis mereka klaim. Paling berani mencoba untuk menerapkan logika matematika tidak diragukan lagi dalam logicism dipelopori oleh filsuf-ahli logika seperti Gottlob Frege dan Bertrand Russell: ide adalah bahwa teori-teori matematika logis tautologies, dan program adalah untuk menunjukkan hal ini dengan berarti pengurangan matematika untuk logika. Berbagai upaya untuk melakukan hal ini bertemu dengan serangkaian kegagalan, dari yang melumpuhkan dari proyek Frege dalam Grundgesetze oleh Russell paradoks, untuk kekalahan Hilbert program oleh teorema ketidaklengkapan Godel. Kedua pernyataan Hilbert program dan sanggahan oleh Godel bergantung pada pekerjaan mereka mendirikan daerah kedua logika matematika, penerapan matematika untuk logika dalam bentuk teori bukti.

    ReplyDelete
  21. Kunny Kunhertanti
    16709251060
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Godel menunjukkan bahwa Program Hilbert tidak akan berhasil. Ini terbukti dalam apa yang sekarang disebut Teorema Ketidakkonsistenan Gödel, dan ini telah dibuktikan oleh Godel: Misalkan S adalah sistem formal untuk teori bilangan. Jika S konsisten, maka ada sebuah kalimat, G, sedemikian rupa sehingga baik G maupun negasi G (ditulis G) adalah teorema S. Jadi, sistem formal apa pun yang cukup untuk mengungkapkan teorema teori bilangan harus tidak lengkap.

    ReplyDelete
  22. Ahmad Bahauddin
    16709251058
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Program Hilbert terinspirasi oleh krisis fundamental matematika yang mencakup banyak paradoks termasuk paradoks Russell. Dia ingin meletakkan semua teori matematika yang ada ke rangkaian aksioma yang terbatas, konsisten, dan lengkap. Dia mengusulkan agar hal ini dapat dikurangi hanya dengan melakukan aritmatika karena tampaknya lebih mudah dan lebih masuk akal. Namun, hal ini ditantang oleh Godel. Dalam penulisan ini, Godel mengajukan sebuah teorema ketaklengkapan.

    ReplyDelete
  23. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Dalam matematika terdapat istilah postulat, definisi, lemma, teori, aksioma dan lain sebagainya. Aksioma merupakan pemikiran tradisional mengenai kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya, akan tetapi pengertian ini justru memincu munculnya permasalahan. Tahap formal, sebuah aksioma hanyalah lambang yang memiliki makna dari sistem aksioma yang ada. Akan tetapi menurut Teorema ketidaklengkapan Gödel tiap-tiap sistem aksioma memiliki rumus-rumus yang tidak dapat ditentukan. Oleh karena itu aksiomatisasi yang dilakukan pada tahap akhirpun gagal diterapkan. Meski demikian tiap-tiap pernyataan atau bukti matematika dapat dikemas ke dalam rumus-rumus teori himpunan.

    ReplyDelete
  24. Angga Kristiyajati
    17709251001
    Pps UNY P.Mat A 2017

    Terima kasih Banyak Pak Prof. Marsigit.

    Sepemahaman kami, Prestasi pemikiran Gödel sangat terkait dengan logika matematika pada pertengahan abad ke-20. Pemikiran Godel ini termasuk pula bukti kelengkapan kalkulus predikat orde pertama, dan hasil ground-breaking yang biasa disebut teorema Gödel. Dia juga membuktikan bahwa tidak ada sistem yang dapat menunjukkan konsistensinya sendiri, yang secara efektif mengakhiri pemikiran Hilbert, meski demikian bukti yang diutarakan oleh Gentzen bahwa jika induksi transfinite menunjukkan konsistensi pada aritmatika, telah memberikan semacam hiburan kepada Hilbert.

    Sumber:
    Blackburn, S. (1996). The Oxford Dictionary of Philosophy Oxford Paperback Reference. Oxford: Oxford University Press.

    ReplyDelete
  25. Dimas Candra Saputra, S.Pd.
    PPs PMA 2017
    17709251005

    Assalamualaikum prof,
    Dalam postingan tersebut, Godel telah menunjukkan bahwa prosedur atau algoritma dari Hilbert tidak pernah ada. Menurutnya usaha untuk mendapatkan sebuah teori yang lengkap yang tersusun atas semua teori adalah sia sia. Godel membangun rumus di kalkulus predikat yang diterapkan pada bilangan bulat yang memiliki pernyataan pernyataan definisi yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya maupun yang tidak dapat dibantah di dalam sistem logika yang mungkin dibangun manusia. Pembuktiannya tersebut dilakukan melalui sesuatu yang sekarang kita kenal sebagai teorema ketidaklengkapan Godel. Isi teorema tersebut adalah bahwa andaikan S adalah sistem formal untuk teori bilangan. Jika S konsisten, maka ada sebuah kalimat, G, sedemikian sehingga baik G maupun negasi G bukan merupakan teorema dari S. Maka, beberapa sistem formal cukup untuk menyatakan teorema dari teori bilangan menjadi tidak lengkap.

    ReplyDelete
  26. Tri Wulaningrum
    17701251032
    PEP S2 B

    Di akhir postingan di atas saya membaca bahwa tidak ada seseorang yang bisa membuktikan konsistensi suatu teori matematika. Kalimat tersebut membawa saya pada keputusan untuk membaca ulang postingan di atas. Dengan harapan menemukan alasan munculnya statement bahwa tidak ada seorangpun yang bisa membuktikan suatu teori matematika. Ternyata memang artikel di atas berisi penjelasan adanya fakta bahwa tidak ada seorangpun yang mampu mempertahankan konsistensi teori matematika. Terbukti dari beberapa poin kalimat awal, yaitu munculnya pernyataan “ketidakkonsistenan Godel”. Kemudian dilanjutkan dengan alasan adanya ketidakkonsistenan tersebut. Dari contoh-contoh dan upaya pembuktian tersebut membawa saya pada kesetujuan bahwa memang sulit atau bahkan kecil kemungkinan atau bahkan tidak mungkin seseorang untuk membutktikan teori matematika. Bacaan-bacaan seperti ini sangat menarik bagi saya. Saya merasa diberikan ruang untuk berpendapat sekaligus belajar, karena saya masih awam dengan hal-hal seperti ini. Terimakasih

    ReplyDelete
  27. Kartika Pramudita
    17701251021
    PEP S2 B

    Godel merupakan tokoh matematika yang mengkritisi program Hilbert’s. Menganggap bahwa program Hilbert’s tidak akan pernah berhasil. Godel memaparkan alasan pernyataannya. Pembuktian ketidakkonsistenan dari Godel ini dikenal dengan teorema ketidakkonsistenan Godel. Matematika tidak akan bisa menggapai kelengkapan dan kekonsistenannya secara bersamaan. Apabila matematika konsisten maka akan tidak lengkap sedangkan apabila matematika lengkap maka akan ditemukan kontradiksi.

    ReplyDelete
  28. Uswatun Hasanah
    17701251022
    S2 PEP B

    Ulasan di atas menyiratkan bahwa suatu konsep atau ilmu memiliki dua sisi, yaitu sisi konsisten dan tidak konsisten. Kebenaran dari suatu konsep tidak hanya dapat dilihat sejauhmana pola yang dibentuk dapat terus konsisten. Ketidakkonsistenan adalah wujud daripada konsistensi suatu keadaan itu sendiri. Tidak ada sesuatu hal yang benar-benar konsisten. Sebaik-baik hidup adalah interaksi daripada konsisten dan tidak konsisten. Konsisten dapat diterapkan sesuai dengan waktunya. Sedangkan waktu itu sendiri memiliki pergerakan. Jadi, bisa saja satu waktu bersifat konsisten namun di waktu yang lain mengalami ketidakkonsistenan.

    ReplyDelete
  29. Nama: Hendrawansyah
    NIM: 17701251030
    S2 PEP 2017 Kelas B

    Assalamualaikum wr wb

    Sesuatu dapat dikatakan menjadi sebuah ilmu jika memiliki korelasi antara satu dengan yang lain.Ilmu dapat terbentuk jika ada antara idealitas dan realitas,dan antara identitas dan kontradiksi.Jika salah satunya tidak terpenuhi maka bukan merupakan suatu ilmu.Yang ditunjukkan oleh Godel bahwa suatu pembuktian mengalami kontradiksi dengan suatu teori.Oleh karenanya suatu teori bukanlah suatu kebenaran yang komplit karena toeri itu seolah-olah dipaksakan untuk menelusup ke dalam pikiran tanpa harus mencari dan menemukan.Karena sejauh teori tersebut berargumen maka sejauh itu pula pikiran kita.Dengan kata lain tidak ada keleluasaan untuk memngembarakan pikiran karena sudah dibatasi oleh sebuah teori.

    ReplyDelete
  30. Widuri Asmaranti
    17709251035
    S2 Pend Matematika B 2017

    Godel adalah salah satu matematikawan yang berasal dari Austria. Gödel memberikan dampak luar biasa pada pemikiran ilmiah dan filsafat pada abad ke-20. Dan godel adalah matematikawan yang menentang/menolak/ mengkritisi . Ini dilihat karena Gödel menunjukkan bahwa Program Hilbert tidak akan berhasil. Ini terbukti dalam apa yang sekarang disebut Teorema Ketidakkonsistenan Gödel.

    ReplyDelete
  31. I Nyoman Indhi Wiradika
    17701251023
    PEP B

    Dalam artikel di atas dijelaskan bahwa Godel mengritik sekaligus membantah pernyataan dari Hilbert. Godel mengungkapkan bahwa tidak mungkin ada sistem yang lengkap sekaligus konsisten. Lebih lanjut Godel menegaskan dengan pembuktian-pembuktian bahwa jika matematika lengkap, maka ia bersifat terbuka dan inkonsisten.

    ReplyDelete
  32. Mariana Ramelan
    17709251056
    S2 Pend. Matematika C 2017

    Pada artikel ini menceritakan tentang Pembuktian seorang Godel tentang ketidakberhasilan Program Hilbert. Hasil pembuktian tersebut saat ini dikenal dengan nama “Teorema Ketidakkonsistenan Godel”. Setelah saya mencermati pembuktian yang dilakukan Godel ini saya teringat dengan pembuktian-pembuktian yang saya mempelajari pada mata kuliah analisis real dan aljabar abstrak.

    ReplyDelete
  33. Gamarina Isti R
    17709251036
    Pendidkan Matematika Kelas B (Pascasarjana)


    Saya rasa pada postingan ini, materi yang digunakan adalah tentang teori bilangan, setelah saya membaca postingan ini dan beberapa referensi saya dapat menyimpulkan bahwa Godel tidak menyetujui prosedur atau algoritma dari Hilbert. Menurut Godel terdapat bilangan bulat tidak dapat dibuktikan kebenarannya atau disebut teorema ketidaklengkapan Godel. Saya rasa teori Godel ini ada pada materi logika. Sebenarnya saya kurang memahami tentang logika, namun yang mau saya bahas adalah bagaimana para penemu-penemu terus berusaha untuk mengungkapakan ilmu-ilmu dan mengembangkan ilmu yang telah ada. Hal ini masih jauh dengan saya yang lebih memilih untuk menerima saja apa yang diberikan buku atau materi yang sudah saya pelajari mungkin hal ini disebabkan karena saya masih mengalami pembelajaran teacher center saat masih sekolah.

    ReplyDelete
  34. Rahma Dewi Indrayanti
    17709251038
    PPS Pendidikan Matematika Kelas B

    Teorema ketaklengkapan Gödel adalah dua teorema logika matematika yang menetapkan batasan (limitation) inheren dari semua kecuali sistem aksiomatik yang paling trivial yang mampu mengerjakan aritmetika. Teorema-teorema ini, dibuktikan oleh Kurt Gödel pada tahun 1931, penting baik dalam logika matematika maupun dalam filsafat matematika. Kedua hasil ini secara luas, tetapi tidak secara universal.

    ReplyDelete
  35. Junianto
    PM C

    Godel merupakan tokoh yang berasal dari Austria. Godel menyatakan bahwa program Hilbert tidak akan pernah sukses. Teori ini dibuktikan dengan apa yang disebut sebagai teori ketidakkonsistenan Gobel. Dalam teori ini dijelaskan Gobel bahwa matematika tidak akan pernah menggapai kelengkapan secara mutlak bersamaan dengna kekonsistenannya. Teori ini merupakan bantahan terhadap pernyataan Hilmert. Godel menambahkan bahwa dengan pembuktian-pembuktian bahwa jika matematika lengkap, maka ia bersifat terbuka dan inkonsisten.

    ReplyDelete
  36. Arung Mega Ratna
    17709251049
    PPs PMC 2017


    Adanya kontradiksi yang dilakukan Godel pada Program Hilbert diperlihatkan melalui pembuktian terhadap sebuah teorema di atas dan kemudian disebut dengan kekurangan teorema Godel. Pembuktian ini jelas menunjukkan bahwa tidak ada seseorang yang dapat membuktikan kekonsistenan dalam matematika karena adanya pengaruh ruang dan waktu.

    ReplyDelete
  37. Arung Mega Ratna
    17709251049
    PPs PMC 2017


    Adanya kontradiksi yang dilakukan Godel pada Program Hilbert diperlihatkan melalui pembuktian terhadap sebuah teorema di atas dan kemudian disebut dengan kekurangan teorema Godel. Pembuktian ini jelas menunjukkan bahwa tidak ada seseorang yang dapat membuktikan kekonsistenan dalam matematika karena adanya pengaruh ruang dan waktu.

    ReplyDelete
  38. Arung Mega Ratna
    17709251049
    PPs PMC 2017


    Adanya kontradiksi yang dilakukan Godel pada Program Hilbert diperlihatkan melalui pembuktian terhadap sebuah teorema di atas dan kemudian disebut dengan kekurangan teorema Godel. Pembuktian ini jelas menunjukkan bahwa tidak ada seseorang yang dapat membuktikan kekonsistenan dalam matematika karena adanya pengaruh ruang dan waktu.

    ReplyDelete
  39. Firman Indra Pamungkas
    17709251048
    S2 Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    Assalamualaikum Warohmatullah Wabarokatuh
    Godel, yang merupakan murid dari Hilbert, memperlihatkan ketidaksuksesan program hilbert dengan menggunakan teori ketidaklengkapan Godel. Inti dari teori ketidaklengkapan Godel adalah jika matematika konsisten maka matematika tidaklah lengkap, jika matematika lengkap maka matematika tidaklah konsisten. Teori ketidaklengkapan Godel ini membuktikan bahwa tidak mungkin mencipatakan matematika yang tunggal, lengkap, dan konsisten

    ReplyDelete
  40. Muh Wildanul Firdaus
    17709251047
    Pendidikan matematika S2 kls C

    Program Hilbert terinspirasi oleh krisis fundamental matematika yang mencakup banyak paradoks termasuk paradoks Russell. Dia ingin meletakkan semua teori matematika yang ada ke rangkaian aksioma yang terbatas, konsisten, dan lengkap. Dia mengusulkan agar hal ini dapat dikurangi hanya dengan melakukan aritmatika karena tampaknya lebih mudah dan lebih masuk akal. Namun, hal ini ditantang oleh Godel. Dalam penulisan ini, Godel mengajukan sebuah teorema ketaklengkapan.

    ReplyDelete
  41. Nama: Dian Andarwati
    NIM: 17709251063
    Kelas: Pendidikan Matematika (S2) Kelas C

    Assalamu’alaikum. Program formalis Hilbert bertujuan untuk menerjemahkan matematika ke dalam sistem formal. Artinya, dalam lingkup terbatas tetapi sangat mengarah pada sistem formal yang menunjukkan sifat matematika, dengan menurunkan mitra resmi dari semua kebenaran matematika melalui bukti konsistensi. Ketidak lengkapan Teorema Kurt Godel (Godel, 1931) menunjukkan syarat yang tidak bisa dipenuhi. Teorema pertamanya menunjukkan bahwa bahkan tidak semua kebenaran dari aritmatika dapat diturunkan dari aksioma Peano. Teorema ketidaklengkapan kedua menunjukkan bahwa dalam kasus konsistensi pembuktian memerlukan meta-matematika. Misalnya, untuk membuktikan konsistensi dari aritmatika Peano mengharuskan semua aksioma dari sistem itu dan asumsi lebih lanjut, seperti prinsip induksi transfinit seperti bilangan ofer kountbale.

    ReplyDelete
  42. Latifah Fitriasari
    PM C

    Program formalis Hilbert bertujuan untuk menerjemahkan ke dalam sistem formal matematika yang tidak ditafsirkan. Dengan cara pembatasan tetapi teorema ketidak lengkapan Kurt Godel menunjukkan bahwa program tidak dapat terpenuhi. Dengan demikian program Hilbert tidak bekerja, satu tidak dapat membuktikan konsistensi teori matematika. Namun, Folkerts menunjukkan bahwa Gentzen melihat Teorema ketidaklengkapan Godel dan bertanya-tanya mengapa sistem formal untuk aritmatika sangat lemah

    ReplyDelete
  43. Auliaul Fitrah Samsuddin
    17709251013
    PPs P.Mat A 2017
    Terima kasih atas postingannya, Prof. Godel membuktikan ketidakberhasilan program Hilbert. Hilbert ingin Matematika dirumuskan di atas landasan logis yang kuat dan lengkap. Oleh karena itu ia menunjukkan : 1) Matematika mengikuti sistem aksioma yang terhingga dan dipilih secara benar. 2) Sistem aksioma yang dimaksud konsisten dalam beberapa makna misalnya kalkulus Epsilon. Namun Godel menunjukkan kesalahannya dengan Teorema Ketidak lengkapan Godel yang berbunyi : Misalkan S adalah sistem formal dalam teori bilangan. Jika S konsisten, maka terdapat pernyataan G, dimana G dan ingkaran G bukan merupakan teorema S. Maka, suatu sistem formal yang cukup untuk menggambarkan teorema dari teori bilangan akan tidak lengkap.

    ReplyDelete
  44. Isoka Amanah Kurnia
    17709251051
    PPs Pendidikan Matematika 2017 Kelas

    Godel mengembangkan rumus yang diterapkan pada bilangan bulat yang memiliki pernyataan pernyataan definisi yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya maupun yang tidak dapat dibantah di dalam sistem logika yang mungkin dibangun manusia. Sanggahan oleh Godel bergantung pada penelitian yang mendirikan daerah kedua logika matematika, penerapan matematika untuk logika dalam pembuktian teori. Meskipun terdapat sifat negatif ari teorema ketidaklengkapan, teorema kelengkapan Godel mengakibatkan model teori dan aplikasi lain ke logika matematika dapat dipahami. Ini menunjukkan betapa dekatnya logicism diakui kebenarannya.

    ReplyDelete
  45. Anisa Safitri
    17701251038
    PEP B

    Gödel memperlihatkan bahwa matematika memuat pernyataan-pernyataan yang tidak dapat dibuktikan dengan cara itu. Kesimpulannya itu ia dasarkan pada dua paradoks yang berbunyi “Pernyataan ini salah” dan “Pernyataan ini tidak dapat dibuktikan’. Inilah yang kemudian dikenal sebagai ‘teorema ketidaklengkapan’ Kurt Gödel.

    ReplyDelete