Nov 30, 2012

Non-Euclidean Geometries_Transcribed by Marsigit




Non-Euclidean Geometries
Transcribed by Marsigit , Yogyakarta State University, Indonesia
Email: marsigitina@yahoo.com


The historical developments of non-Euclidean geometry were attempts to deal with the fifth axiom.

Mathematicians first tried to directly prove that the first 4 axioms could prove the fifth. However, mathematicians were becoming frustrated and tried some indirect methods.

Girolamo Saccheri (1667-1733) tried to prove a contradiction by denying the fifth axiom. He started with quadrilateral ABCD (later called the Saccheri Quadrilateral) with right angles at A and B and where AD = BC. Since he is not using the fifth axiom, he concludes there are three possible outcomes. Angles at C and D are right angles, C and D are both obtuse, or C and D are both acute. Saccheri knew that the only possible solution was right angles.

Saccheri said this was enough to claim a contradiction and he stopped. His reasoning to stop was based on faulty logic. He was going on the presumption that lines and parallel lines worked like those in flat geometry. So his contradiction was only applicable in Euclidean geometry, which was not a contradiction to what he was actually trying to prove. Of course Saccheri did not realize this at the time and he died thinking he had proved Euclid’s fifth axiom from the first four.

A contemporary of Saccheri, Johann Lambert (1728-1777), picked up where Saccheri left off and took the problem just a few steps further. Lambert considered the three possibilities that Saccheri had concluded as consequences of the first four axioms. Instead of finding a contradiction, he found two alternatives to Euclidean geometry. The first option represented Euclidean geometry and while the other two appeared silly, they could not be proven wrong.
Through time (and quite a lot of criticism), these two other possibilities were now being considered as “alternative geometries” to Euclid’s geometry. Eventually these alternate geometries were scholarly acknowledged as geometries, which could stand alone to Euclidean geometry.

The two non-Euclidean geometries were known as hyperbolic and elliptic. Hyperbolic geometry was explained by taking the acute angles for C and D on the Saccheri Quadrilateral while elliptic assumed them to be obtuse.

Let’s compare hyperbolic, elliptic and Euclidean geometries with respect to Playfair’s parallel axiom and see what role parallel lines have in these geometries:
1.)             Euclidean: Given a line L and a point P not on L, there is exactly one line passing through P, parallel to L.
2.)             Hyperbolic: Given a line L and a point P not on L, there are at least two lines passing through P, parallel to L.
3.)             Elliptic: Given a line L and a point P not on L, there are no lines passing through P, parallel to L.

Elliptic Geometry

Elliptic geometry also says that the shortest distance between two points is an arc on a great circle (the “greatest” size circle that can be made on a sphere’s surface).

As part of the revised parallel postulate for elliptic geometries, we learn that there are no parallel lines in elliptical geometry.

This means that all straight lines on the sphere’s surface intersect (specifically, they all interesect in two places).

A famous non-Euclidean geometer, Bernhard Riemann, who dealt mostly with and is credited with the development of elliptical geometries, theorized that the space (we are talking about outer space now) could be boundless without necessarily implying that space extends forever in all directions.

This theory suggests that if we were to travel one direction in space for a really long time, we would eventually come back to where we started! This theory involves the existence of four-dimensional space similar to how the surface of a sphere (which is three dimensional) represents an elliptic 2 dimensional geometry.

Hyperbolic Geometry

Recalling the corresponding Playfair’s axiom for hyperbolic geometry, we see that in hyperbolic geometry, there is more than one parallel line to L, passing through point P, not on L.

Hyperbolic geometries comes with some more restrictions about parallel lines. In Euclidean geometry, we can show that parallel lines are always equidistant, but in hyperbolic geometries, of course, this is not the case.

In hyperbolic geometries, we merely can assume that parallel lines carry only the restriction that they don’t interesect. Furthermore, the parallel lines don’t seem straight in the conventional sense. They can even approach each other in an asymptotically fashion. The surfaces on which these rules on lines and parallels hold true are on negatively curved surfaces.

In hyperbolic geometry, the triangle’s angle sum is less than 180 degrees whereas elliptic geometry has more than 180 degrees. The larger the sides of the triangle, the greater the distortion of the angle sums on both elliptic and hyperbolic geometries. Much like elliptic geometries, the area of a triangle is proportional to its angle sum and of course this implies that there are no similar triangles as well.

23 comments:

  1. Kartika Pramudita
    17701251021
    PEP S2 B

    Selama ini yang saya pelajari tentang geometri adalah geometri euclid. Sehingga saya masih perlu belajar banyak tentang geometri non-euclid. Geometri non-euclid merupakan teorema kelima. Geometri non-euclid diklasifikasikan menjadi geometri hiperbolik dan elips. Salah satu yang membedakan geometri euclid, non-euclid hiperbola, dan non euclid ellips adalah jumlah besar sudut segitiga. Pada geometri euclid jumlah besar sudut segitiga adalah 1800, pada geometri non-euclid hiperbola jumlah besar sudut segitiga kurang dari 1800, dan pada geometri non-euclid ellips jumlah besar sudut segitiga lebih dari 1800.
    Dengan belajar tentang non-euclid maka semakin menyadari bahwa perlu untuk belajar lebih luas agar memandang sesuatu hal tidak hanya berasal dari satu sudut pandang saja, tidak hanya menganggap benar pada euclid saja namun sesuatu yang tidak tepat diterapkan di euclid dapat tepat diterapkan pada non euclid.

    ReplyDelete
  2. Uswatun Hasanah
    17701251022
    S2 PEP B

    Postingan ini bukanlah sesuatu hal yang amat baru saya ketahui. Sudut-sudut yang membentuk bangun ruang tertentu saya pelajari saat masa sekolah. Saya mengaitkan informasi di atas dengan diibaratkan perjalanan seseorang semasa di dunia. Berbagai garis dan sudut yang dihadapi bahkan dalam setiap ruangnya tidaklah sama peristiwa yang akan terjadi. Masing-masing sudut memiliki cerita tersendiri. Hidup diibaratkan garis yang membentuk dua bidang daripada sebuah lingkaran. Lingkaran tersebut dapat diibaratkan dengan kehidupan dunia dan kehidupan akhirat. Keseimbangan dalam hidup adalah jalan yang dapat digapai oleh seseorang. Menjalani dengan mengikuti prinsip-prinsipnya maka akan memudahkan seseorang bergerak dalam ruang dan dimensi pada sebuah lingkaran.

    ReplyDelete
  3. Nama: Hendrawansyah
    NIM: 17701251030
    S2 PEP 2017 Kelas B

    Assalamualaikum wr wb
    .
    Membaca artikel tentang Non-Eucelidean Geometris ini mengulas kembali pandangan saya kepada dua orang filsuf yang bernama Plato dan Aristoteles.Sepertnyai ketiga ilmuwan tersebut memmunyai paham yang sama dan bersahabat lewat teori-teorinya.Bermain dengan seperangkat definisa, konsep, aksioma, symbol,titik, garis, dan bidang.Yang terkadang juga membuat saya terbuai ketika masa-masa SMA dan S1 dulu.Namun sedikit saya tercerahkan dengan kehadiran Sang filsuf yang bernama Immanuel Khant yang terkenal dengan cara pandang dan pikir kritisnya terhadap kebenaran ilmu.

    ReplyDelete
  4. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  5. I Nyoman Indhi Wiradika
    17701251023
    PEP B
    Terima kasih Prof, sebelumnya saya tidak pernah mempelajari ilmu matematika begitu mendalam, namun melalui artikel ini saya mencoba memahaminya. Dalam matematika memiliki konsep-konsep yang memberi subangsih besar bagi pengetahuan terutama dalam tatanan praktis kehidupan. Seperti contoh konsep geometri elips ternyata banyak digunakan dalam kesehatan terutama litotripsi. Pada penggunaannya aplikasi sifat elips digunakan bersamaan dengan gelombang ultarasonik untuk memberikan shock pada saluran kandung kemih. Dengan demikian, rangsangan yang diberikan akan memecah ‘batu’ ginjal sehinga lebih mudah dikeluarkan.

    ReplyDelete
  6. Geometri terbagi menjadi dua yaitu geometri euclid dan non euclid. Geometri euclid adalah geometri yang sering kita dapatkan. Ilmuwan dari Geometri euclid adalah euclid yang berasalh dari Alexandria, Mesir. Dia adalah matematikawan kuno yang menghasilkan karya monumental dalam Geometri, yaitu the Elements. Buku itu menjadi buku teks sekolah yang memuat geometri dan Teori Bilangan, buku itu terdiri dari 13 bagian buku. Euclid mengemukakan 5 aksioma dan 5 postulat. Sedangkan Geometri Non-Euclides timbul muncul karena para ahli matematika berusaha membuktikan kebenaran dari postulat yang kelima dari Euclid dengan mendasarkan keempat postulat sebelumnya.Geometri non euclid juga sering disebut dengan geometri Playfair dan Lobachevsky.

    Nama: Dian Andarwati
    NIM: 17709251063
    Kelas: Pendidikan Matematika (S2) Kelas C

    ReplyDelete
  7. Widuri Asmaranti
    17709251035
    S2 Pend Matematika B 2017

    Geometri salah satu materi pelajaran di matematika yang mengaitkan dengan titik, garis, sudut, bagun datar, bangun ruang, dll. Pada geometri ada geometri euclid dan ada geometri non euclid. Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik. Geometri eliptik adalah salah satu geometri non euclid dimana bola adalah bidangnya. Sedangkan geometri hiperbolik adalah salah satu geometri non-Euclid yang muncul akibat kontroversi terhadap postulat kesejajaran euclid.

    ReplyDelete
  8. Widuri Asmaranti
    17709251035
    S2 Pend Matematika B 2017

    Geometri salah satu materi pelajaran di matematika yang mengaitkan dengan titik, garis, sudut, bagun datar, bangun ruang, dll. Pada geometri ada geometri euclid dan ada geometri non euclid. Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik. Geometri eliptik adalah salah satu geometri non euclid dimana bola adalah bidangnya. Sedangkan geometri hiperbolik adalah salah satu geometri non-Euclid yang muncul akibat kontroversi terhadap postulat kesejajaran euclid.

    ReplyDelete
  9. Mariana Ramelan
    17709251056
    S2 Pend. Matematika C 2017

    Adanya perkembangan sejarah geometri non-euclid merupakan upaya menghadapi aksioma kelima. Matematikawan terdahulu telah membuktikan secara langsung keempat aksioma nah kemudia matematikawan mencoba menemukan hal baru tentang geometri non-euclid ini. Geometri non-Euclide ada dua yang kita kenal sebagai hiperbolik dan elips. Geometri hiperbolik dijelaskan dengan mengambil sudut akut untuk C dan D pada Quadratateral Saccheri sementara elips menganggapnya tumpul. Beberapa pembuktian dilakukan hingga ditemukanlah apa yang sering kita pelajari disekolah tentang hiperbola dan elips.

    ReplyDelete
  10. Arung Mega Ratna
    17709251049
    PPs PMC 2017


    Geometri non-Eucledian merupakan upaya untuk membuktikan kontradiksi dengan menyangkal aksioma kelima, yang berbunyi “Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku”. Dua geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan eliptik. Dalam geometri hiperbolik garis sejajar hanya membawa pembatasan tidak interesect. Selain itu, garis paralel tampaknya tidak langsung dan bisa mendekati satu sama lain dalam mode asimtotik, dan jumlah sudut segitiga kurang dari 180 derajat. Sedangkan dalam geometri eliptik tidak ada garis paralel (garis lurus pada permukaan bola berpotongan) dan jumlah sudut segitiga lebih dari 180 derajat.

    ReplyDelete
  11. Latifah Fitriasari
    17709251055
    PPs PM C

    Ada 2 geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan elips. Geometri hiperbolik dijelaskan dengan mengambil sudut akut untuk C dan D pada Saccheri Segiempat sementara eliptik diasumsikan mereka untuk menjadi tumpul. Geometri hiperbolik: Berangkat dari percobaan untuk membuktikan bahwa aksioma kesejajaran bukanlah sebagai suatu aksioma melainkan teorema, munculah inspirasi pengetahuan baru mengenai geometri hiperbolik. Geometri Non Euclid lahir setelah terpecahkannya permasalahan postulat kesejajaran Euclid oleh Bolya dan Lobachevsky. Geometri non euclid diantaranya geometri Lobachevsky dan geometri Riemann.

    ReplyDelete
  12. Rahma Dewi Indrayanti
    17709251038
    PPS Pendidikan Matematika Kelas B

    Keberadaan non-Euclidean geometri berdampak pada “kehidupan intelektual” dari Inggris Victoria dalam banyak hal dan khususnya adalah salah satu faktor yang menyebabkan yang menyebabkan pemeriksaan ulang pengajaran geometri berdasarkan Euclid ‘s Elemen.

    ReplyDelete
  13. Junianto
    PM C

    Geometri yang familier adalah geometri Euclid. Saya mencob amemahami maksud dari geometri non-euclidian. Dari artikel ini bisa saya pahami sedikit bahwa perkembangannya merupakan upaya untuk menghadapi aksioma kelima. Harapan para matematikawan murni adalah bisa membuktikan aksioma kelima menggunakan 4 aksioma sebelumnya. Namun, para matematikawan tidak mampu membuktikannya. Beberapa ilmuwan yang mencoba membuktikan dengan cara mencari kontradiksi ternyata juga mengalami kegagalan. Geometri non-euclid ini juga memberikan kesadaran pada para matematikawan bahwa hal yang belum dipelajari masih terbuka luas.

    ReplyDelete
  14. Firman Indra Pamungkas
    17709251048
    S2 Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    Assalamualaikum Warohmatullah Wabarokatuh
    Geometri non-euclidian muncul karena adanya kecacatan pada postulat kelima. Matematikawan awalnya mencoba untuk membuktikan postulat kelima secara langsung dengan menggunakan empat postulat pertama. Kemudian matematikawan belum dapat membuktikannya dan mencoba membuktikannya dengan menggunakan metode tidak langsung seperti kontradiksi. Namun postulat kelima belum dapat terbukti sehingga muncullah geometry non-euclidean. Geometri non-Euclidean adalah geometri yang berbeda dengan geometri Euclid. Setiap geometri non-Euclidean adalah sistem yang konsisten dari definisi, asumsi, dan bukti-bukti yang menggambarkan objek, seperti titik, garis dan bidang. Yang paling umum dalam geometri non-Euclidean adalah geometri eliptik dan geometri hiperbolik. Perbedaan penting antara geometri Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis parallel.

    ReplyDelete
  15. Nurika Miftahuljannah
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C
    17709251060
    Assalamu'alaikum wr. wb.
    Geometri Euclidean, diberi nama oleh matematikawan Yunani Euclid, termasuk beberapa dari matematika tertua, non-Euclidean geometri tidak secara luas diterima sampai abad ke-19. Perdebatan tersebut akhirnya menyebabkan penemuan non-Euclidean geometri mulai muncul setelah karya Euclid ‘s Elemen ditulis. Dalam Elemen, Euclid memulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lain ( proposisi ) dalam karyanya.
    Wassalamu'alaikum wr. wb.

    ReplyDelete
  16. Nurika Miftahuljannah
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C
    17709251060
    Assalamu'alaikum wr. wb.
    Dalam buku pertamanya, Euclid menjelaskan mengenai definisi, postulat aksioma, dan dalil. Akan tetapi, Geometri Euclid ini memiliki kelemahan, salah satu kelemahannya ada pada postulat kelima dari Euclid 2 yang terkenal dengan Postulat Paralel atau Postulat Kesejajaran seperti yang sudah kita kenal selama ini. Postulat Kesejajaran Euclid tersebut adalah “Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari sudut siku-siku.”

    ReplyDelete
  17. Yusrina Wardani
    17709251057
    PPs PMAT C 2017
    Terimakasih prof atas ilmunya. Geometri yang saya dapat selama masa kuliah dulu adalah geometri euclid. Ini adalah hal yang baru dan tentunya sangat menarik. Geometri noneuclides timbul karena para matematikaawan berusaha untuk membuktikan postulat kelima dari Euclides. Jadi geometri non-euclides masih berdasarkan empat postulat pertama dari Euclides dan hanya berbeda pada postulat kelimanya. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa geometri Non-Euclides termuat dalam geometri absolut.

    ReplyDelete
  18. Yusrina Wardani
    17709251057
    PPs PMAT C 2017

    Dalam geometri euclid terdapat lima postulat (aksioma/teorema) yang sangat terkenal. Empat postulat pertama sangat jelas sehingga mudah dibuktikan oleh para matematikawan, berbeda dengan postulat yang kelima menimbulkan perdebatan diantara para matematikawan. Postulat kelima dikenal dengan postulat kesejajaran geometri euclid yang menjadi titik tolak munculnya geometri non-euclid.

    ReplyDelete
  19. Muh Wildanul Firdaus
    17709251047
    Pendidikan matematika S2 kls C

    Geometri non-euclidean muncul akibat para filsuf berpikiran bagaimana jika postulat kesejajaran tidak berlaku? Akibat pemikiran ini timbullah geometri non-euclidean dimana postulat kesejajaran tidak berlaku tetapi postulat 1-4 tetap berlaku. Geometri non-euclidean dibagi menjadi dua yaitu geometri elliptic dan geometri hiperbolik. Geometri elliptic mengenai sifat-sifat titik dan garis pada permukaan bola. Pada geometri elliptic jumlah sudut segitiga selalu lebih dari 180 sedangkan geometri hiperbolik kurang dari 180 derajat

    ReplyDelete
  20. Auliaul Fitrah Samsuddin
    17709251013
    PPs P.Mat A 2017
    Terima kasih atas postingannya, Prof. geometri merupakan salah satu cabang matematika yang dipelajari di sekolah. Di bangku sekolah, siswa lebih familiar dengan geometri euclid. Namun ternyata ada geometri lainnya yang terpisah dan berbeda dari geometri euclid, yaitu geometri non-euclid. Geometri non-euclid sendiri terdiri dari geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Perbedaan mendasar antara geometri euclid dan non-euclid adalah jarak antara dua garis berbeda yang sama-sama tegak lurus dengan suatu garis lainnya. Pada geometri euklid kedua garis yang dimaksud memiliki jarak yang sama atau sejajar sedangkan pada geometri non-euclid, hal ini tidak berlaku.

    ReplyDelete
  21. Gina Sasmita Pratama
    17709251003
    S2 P.Mat A 2017

    Geometri adalah salah satu cabang ilmu dari matematika yang membahas tentang pengukuran. Geometri euclid dan geometri non euclid merupakan cabang dari geometri itu sendiri. Hal yang membedakan geometri euclid dan non-euclid ialah pernyataan tentang kesejajaran. Geometri non-euclid tidak mempercayai adanya kesejajaran. Geometri non-euclid ini meliputi hiperbolik dan eliptik. Tetapi sebenarnya, dalam proses pembelajaran di sekolah, kita dapat menggunakan kedua materi ini sesuai dengan kompetensi yang harus dicapai. Karena sesungguhnya, kesejajaran itu nyata adanya dan hiperbolik serta eliptik juga nyata adanya.

    ReplyDelete
  22. Pangestika Nur Afnia
    PEP B- S2
    17701251037

    Terima kasih Prof untuk penjelasannya. Sejujurnya saya bukan berlatar belakang matematika sehingga perlu pemahaman mendalam untuk mengerti tulisan tersebut. Namun di dalam kimia juga terdapat materi mengenai geometri yakni materi mengenai bentuk molekul dan orbital. Dan materi tersebutlah yang menurut saya susah untuk dipahami karena kemampuan daya abstraksi ruang saya yang kurang.

    ReplyDelete
  23. Isoka Amanah Kurnia
    17709251051
    PPs Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    Geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap.Ruang lingkup geometri non-Euclidean meliputi teori ruang-waktu Herman Minkowski. Ini pengganti geometri bentuk bilinear untuk jarak metrik biasa. Konsep dalam geometri ini mengacu pada sudut hiperbolik daripada sudut Euclidean biasa, misalnya pemetaan bergerak memencet sudut ini seperti halnya sudut bergerak rotasi Euclidean biasa.

    ReplyDelete