## Nov 30, 2012

### Non-Euclidean Geometries_Transcribed by Marsigit

Non-Euclidean Geometries
Transcribed by Marsigit , Yogyakarta State University, Indonesia
Email: marsigitina@yahoo.com

The historical developments of non-Euclidean geometry were attempts to deal with the fifth axiom.

Mathematicians first tried to directly prove that the first 4 axioms could prove the fifth. However, mathematicians were becoming frustrated and tried some indirect methods.

Girolamo Saccheri (1667-1733) tried to prove a contradiction by denying the fifth axiom. He started with quadrilateral ABCD (later called the Saccheri Quadrilateral) with right angles at A and B and where AD = BC. Since he is not using the fifth axiom, he concludes there are three possible outcomes. Angles at C and D are right angles, C and D are both obtuse, or C and D are both acute. Saccheri knew that the only possible solution was right angles.

Saccheri said this was enough to claim a contradiction and he stopped. His reasoning to stop was based on faulty logic. He was going on the presumption that lines and parallel lines worked like those in flat geometry. So his contradiction was only applicable in Euclidean geometry, which was not a contradiction to what he was actually trying to prove. Of course Saccheri did not realize this at the time and he died thinking he had proved Euclid’s fifth axiom from the first four.

A contemporary of Saccheri, Johann Lambert (1728-1777), picked up where Saccheri left off and took the problem just a few steps further. Lambert considered the three possibilities that Saccheri had concluded as consequences of the first four axioms. Instead of finding a contradiction, he found two alternatives to Euclidean geometry. The first option represented Euclidean geometry and while the other two appeared silly, they could not be proven wrong.
Through time (and quite a lot of criticism), these two other possibilities were now being considered as “alternative geometries” to Euclid’s geometry. Eventually these alternate geometries were scholarly acknowledged as geometries, which could stand alone to Euclidean geometry.

The two non-Euclidean geometries were known as hyperbolic and elliptic. Hyperbolic geometry was explained by taking the acute angles for C and D on the Saccheri Quadrilateral while elliptic assumed them to be obtuse.

Let’s compare hyperbolic, elliptic and Euclidean geometries with respect to Playfair’s parallel axiom and see what role parallel lines have in these geometries:
1.)             Euclidean: Given a line L and a point P not on L, there is exactly one line passing through P, parallel to L.
2.)             Hyperbolic: Given a line L and a point P not on L, there are at least two lines passing through P, parallel to L.
3.)             Elliptic: Given a line L and a point P not on L, there are no lines passing through P, parallel to L.

Elliptic Geometry

Elliptic geometry also says that the shortest distance between two points is an arc on a great circle (the “greatest” size circle that can be made on a sphere’s surface).

As part of the revised parallel postulate for elliptic geometries, we learn that there are no parallel lines in elliptical geometry.

This means that all straight lines on the sphere’s surface intersect (specifically, they all interesect in two places).

A famous non-Euclidean geometer, Bernhard Riemann, who dealt mostly with and is credited with the development of elliptical geometries, theorized that the space (we are talking about outer space now) could be boundless without necessarily implying that space extends forever in all directions.

This theory suggests that if we were to travel one direction in space for a really long time, we would eventually come back to where we started! This theory involves the existence of four-dimensional space similar to how the surface of a sphere (which is three dimensional) represents an elliptic 2 dimensional geometry.

Hyperbolic Geometry

Recalling the corresponding Playfair’s axiom for hyperbolic geometry, we see that in hyperbolic geometry, there is more than one parallel line to L, passing through point P, not on L.

Hyperbolic geometries comes with some more restrictions about parallel lines. In Euclidean geometry, we can show that parallel lines are always equidistant, but in hyperbolic geometries, of course, this is not the case.

In hyperbolic geometries, we merely can assume that parallel lines carry only the restriction that they don’t interesect. Furthermore, the parallel lines don’t seem straight in the conventional sense. They can even approach each other in an asymptotically fashion. The surfaces on which these rules on lines and parallels hold true are on negatively curved surfaces.

In hyperbolic geometry, the triangle’s angle sum is less than 180 degrees whereas elliptic geometry has more than 180 degrees. The larger the sides of the triangle, the greater the distortion of the angle sums on both elliptic and hyperbolic geometries. Much like elliptic geometries, the area of a triangle is proportional to its angle sum and of course this implies that there are no similar triangles as well.

1. Annisa Hasanah
16709251051
PPS Pendidikan Matematika C 2016

Geometri Euclidian muncul karena cacatnya postulat kelima, beberapa matematikawan menganggap bahwa postulat kelima Euclid bukan postulat dan dapat dibuktikan dengan keempat postulat yang lain. Postulat kelima ini masih sukar diterima dan dipahami maka beberapa matematikawan berusaha untuk membuktikan dan menggantikannya dengan postulat yang ekuivalen.
Geometri Non Euclid timbul karena para matematikawan berusaha untuk membuktikan postulat kelima dari Euclides. Sehingga Geometri Non Euclid masih berdasarkan empat postulat pertama dari Euclides dan hanya berbeda pada 4 postulat kelimanya. Ada dua macam Geometri Non Euclid yang pertama adalah Geometri Hiperbolik atau Geometri Lobachevsky dan Geometri Eliptik atau Geometri Riemann.

16709251067
S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

Postulat Kesejajaran Euclid menyatakan bahwa (A) dua garis yang tegak lurus dengan garis yang sama akan sejajar (bab 2, teorema 2, corollary).
Sifat (A) adalah akibat langsung dari Teorema Sudut Eksterior, sehingga harus ditentukan postulat mana yang bergantung pada Teorema Susut Eksterior.
Akan tetapi pembuktian Teorema Sudut Eksterior cukup kompleks dan melibatkan pembahasan secara grafik melalui diagram.
Akibatnya, cukup sulit menentukan sifat penting mana yang harus dihilangkan.
Tetapi, ada bukti alternatif (A) yang cukup mudah dan tidak membutuhkan sifat-sifat yang penting.

3. Yosepha Patricia Wua Laja
16709251080
S2 Pendidikan Matematika D 2016

Para peneliti pertama dalam geometri hiperbolik terdiri dari mencoba untuk menemukan inkonsistensi sekitar aksioma paralel: Proclus, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, dan kemudian Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert, dan Legendre . Pada abad kesembilan belas, János Bolyai dan kerja Nikolai Ivanovich Lobachevsky adalah sangat efektif, sehingga beberapa bagian dari hiperbolik Geometri sedang diingat oleh nama-nama mereka. Karl Friedrich Gauss bekerja di bidang ini, namun pekerjaan dirahasiakan. Setelah model yang disediakan Eugenio Beltrami, dan menggunakan model ini geometri hiperbolik itu konsisten jika Euclidean geometri terbukti konsisten. Geometri hiperbolik (hyperboloid geometri -saddl ke geometry- atau disebut juga Lobachevski geometri) hanya pesawat hiperbolis berpotongan jangka paralel digunakan untuk menggambarkan sebuah lingkaran tetapi dalam pasangan yang berpotongan di tak terhingga. Jika itu benar apa sepasang pesawat hiperbolis maupun lingkaran di persimpangan di tak terhingga (yang tidak berpotongan dalam kedua kasus) disebut aşırıparalel. Sebuah fitur yang signifikan hiperbolis dari pesawat dapat ditarik satu strut adalah umum untuk dua baris untuk masing-masing pasangan aşırıparalel yang benar.

4. Resvita Febrima
16709251076
P-Mat D 2016
Geometri hiperbolik merupakan salah satu bentuk dari geometri non-Euclid yang muncul akibat kontroversi terhadap postulat kesejajaran euclid. Didalam geometri Euclid terdapat lima postulat (aksioma/teorema) yang sangat terkenal. Empat postulat pertama sangat jelas dan mudah dibuktikan oleh para matematikawan pada saat itu, tetapi postulat yang kelima menimbulkan perdebatan diantara para matematikawan.

5. Resvita Febrima
16709251076
P-Mat D 2016

Dalam matematika, geometri non-Euklides (bahasa Inggris: non-Euclidean geometry) adalah himpunan kecil geometri berdasarkan aksioma yang berkaitan erat dengan geometri Euklides. Jika geometri Euklides terbentang antara geometri metrik dan geometri Affine, geometri non-Euklides muncul saat ruang metrik tidak ada, atau postulat paralel diabaikan. Perbedaan mendasar dari geometri metrik adalah keadaan garis paralel. Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri tersebut adalah dengan menggambarkan dua garis lurus dengan panjang tak hingga yang keduanya tegak lurus dengan sebuah garis ketiga.

6. Dessy Rasihen
16709251063
S2 P.MAT D

Dalam matematika, geometri non-Euclide merupakan himpunan kecil geometri berdasarkan aksioma yang berkaitan erat dengan geometri Euklides. Geometri non-Euklides muncul saat ruang metrik tidak ada, atau postulat paralel diabaikan. Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Euclid ‘s kelima mendalilkan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui l dan titik A, yang tidak pada l, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan pada l. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak baris melalui A l tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap baris melalui A memotong.

16709251067
S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

Geometri hiperbolik merupakan salah satu bentuk dari geometri non-Euclid yang muncul akibat kontroversi terhadap postulat kesejajaran euclid.
Dalam geometri euclid terdapat lima postulat (aksioma/teorema) yang sangat terkenal.
Empat postulat pertama sangat jelas sehingga mudah dibuktikan oleh para matematikawan, berbeda dengan postulat yang kelima menimbulkan perdebatan diantara para matematikawan.
Postulat kelima dikenal dengan postulat kesejajaran geometri euclid yang menjadi titik tolak munculnya geometri non-euclid.
Geometri hiperbolik adalah geometri yang menggunakan empat postulat geometri euclid dan mengganti postulat kesejajaran euclid dengan negasinya yaitu postulat kesejajaran hiperbolik. Akibat pergantian postulat ini terjadi sifat antara geometri euclid dan geometri hiperbolik salah satunya adalah jumlah ukuran sudut segitiga.

16709251079
PPS-MAT D 2016
Euclid, yang merupakan ahli logika ternama, bergantung sepenuhnya pada pembuktian menggunakan gambar. Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah kontroversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut : Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada sisi transversal adalah kurang dari 180o, garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut. Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan pada peran pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai dengan mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting dilakukan pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan tidak mengikuti detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide dasarnya dengan menggunakan istilah yang lebih modern dan juga perlakuan yang cukup sesuai dengan hasil kerjanya yang sekarang, sehingga banyak dipakai di berbagai buku ajar.

16709251079
PPS-MAT D 2016
Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri yang tidak geometri Euclidean , tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri.
Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Euclid ‘s kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara dengan yang Playfair postulat yang menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan A titik, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak baris melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap baris melalui A memotong ℓ .

Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2

Dapat kita pahami bahwa Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri yang tidak geometri Euclidean , tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri. Geometri non-Euclidean muncul sebagai upaya untuk menangani postulate ke-5. Postulate ke-5 berbunyi Jika 2 buah garis memotong memotong garis ketiga membentuk dua sudut dalam yang jumlah sudutnya kurang dari jumlah 2 sudut siku-siku maka kedua garis tersebut akan berpotongan satu sama lain. Postulate ke-5 dinamakan Postulate Kesejajaran, Mengapa? Karena menurut Postulate ke-5, dua garis akan sejajar jika dipotong oleh suatu garis maka jumlah 2 sudut dalam yang terbentuk adalah 180°. Nah…postulate kesejajaran ini ekuivalen dengan Aksioma Fair Play. Aksioma Fairplay: Diberikan garis lurus g dan titik P yang bukan berada di g maka hanya ada satu garis yang melalui P dan sejajar dengan garis g.

11. Lana Sugiarti
16709251062
PPs Pendidikan Matematika D 2016

Dari artikel tersebut saya dapat mengambil kesimpulan bahwa Sacceri beranggapan bahwa garis dan garis sejajar bekerja seperti geometri datar. Jadi kontradiksinya hanya berlaku pada geometri Euclidean, yang bukan kontradiksi dengan apa yang sebenarnya dia coba buktikan. Saccheri tidak menyadari hal ini pada saat itu dan dia meninggal karena mengira dia telah membuktikan aksioma kelima Euclid dari empat yang pertama. Selain itu, Lambert mempertimbangkan tiga kemungkinan yang telah disimpulkan Saccheri sebagai konsekuensi dari empat aksioma pertama. Alih-alih menemukan kontradiksi, ia menemukan dua alternatif geometri Euclidean. Pilihan pertama mewakili geometri Euclidean dan sementara dua lainnya tampak konyol, mereka tidak dapat dibuktikan salah.
Melalui waktu (dan cukup banyak kritik), kedua kemungkinan lainnya sekarang dianggap sebagai "geometri alternatif" bagi geometri Euclid. Akhirnya geometri alternatif ini diakui secara ilmiah sebagai geometri, yang bisa berdiri sendiri untuk geometri Euclidean. Hingga saat ini geometri Euclid diterapkan dibanyak materi geometri hingga di pendidikan tinggi.

12. Primaningtyas Nur Arifah
16709251042
Pend. Matematika S2 kelas C 2016
Assalamu’alaikum. Geometri Euclid adalah Geometri bidang datar, yang menjelaskan sifat-sifat titik dan garis pada bidang datar. Euclid menyadari bahwa titik dan garis yang digambarkan di selembar kertas mempunyai sifat-sifat yang konsisten. Dari sinilah dia menuliskan 5 aksioma bagi Geometrinya yang dikenal dengan sebutan Lima Postulat. Pada abad ke-19, Para Matematikawan mulai berpikiran “bagaimana jika Postulate kesejaran tidak berlaku?”. Akibatnya pemikiran ini timbulah Geometri baru dimana postulate kesejajaran tidak berlaku tetapi postulate 1-4 tetap berlaku. Geometri baru inilah yang disebut Geometri non-Euclidian. Ada 2 macam Geometri non-Euclidian yaitu Geometri Elliptik dan Geometri Hiperbolik

13. Loviga Denny Pratama
16709251075
S2 P.Mat D

Di artikel ini salah satu pembahasannya yaitu elliptic dimana tidak ada garis sejajar dalam geometri elips. Ini berarti bahwa semua garis lurus pada permukaan bola berpotongan (khususnya, semuanya saling terkait di dua tempat). Sehingga dari sini pada ruang (kita sedang berbicara tentang angkasa sekarang) dapat tanpa batas tanpa harus menyiratkan bahwa ruang meluas selamanya ke segala arah. Teori ini menunjukkan bahwa jika kita menempuh satu arah dalam ruang untuk waktu yang sangat lama, akhirnya kita akan kembali ke tempat kita memulai. itulah yang dapat saya ceritakan sebagai dari elliptic geometri.

16709251065
S2 Pendidikan Matematika D

Artikel ini membahas bagaimana girolamo Saccheri (1667-1733) mencoba membuktikan kontradiksi dengan menolak aksioma kelima. Dia memulai dengan ABCD segiempat (kemudian disebut Saccheri Quadrilateral) dengan sudut kanan di A dan B dan di mana AD = SM. Karena dia tidak menggunakan aksioma kelima, dia menyimpulkan ada tiga kemungkinan hasil. Sudut di C dan D adalah sudut siku-siku, C dan D keduanya tumpul, atau C dan D keduanya akut. Saccheri tahu bahwa satu-satunya solusi yang mungkin adalah sudut yang benar. Hal serupa juga terjadi pada geometri hiperbolik, jumlah sudut segitiga kurang dari 180 derajat sedangkan geometri elips memiliki lebih dari 180 derajat. Semakin besar sisi segitiga, semakin besar distorsi sudut pada geometri eliptik dan hiperbolik. Sama seperti geometri elips, luas segitiga sebanding dengan jumlah sudutnya dan tentu saja ini menyiratkan bahwa tidak ada segitiga serupa juga.

15. Sehar Trihatun
16709251043
S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

Geometri non Euclid muncul karena tidak mengikutsertakan aksioma kelima Euclid yaitu” Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu.” Euclid berusaha menghindari menggunakan postulat kelima dan berhasil dalam 28 proposisi pertama dalam bukunya The Elements, tetapi untuk proposisi ke 29 ia membutuhkannya. Bagian dari geometri yang dapat diturunkan hanya dengan menggunakan empat postulat pertama Euclid kemudian dikenal sebagai geometri absolut. Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel garis. Euclid ‘s kelima menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui misal garis ℓ dan titik A yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan dengan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak garis melalui A yang tidak berpotongan dengan garis ℓ, sementara itu dalam geometri eliptik, setiap garis yang melalui A memotong ℓ atau tidak ada garis yang melalui A yang sejajar dengan garis ℓ.

16. Ardeniyansah
16709251053
S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

Assalamualaikum wr. . wb.
Ada 2 geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan elips. Model untuk geometri hiperbolik dijawab oleh Eugenio Beltrami pada 1868 yang pertama kali menunjukkan bahwa permukaan yang disebut pseudosphere memiliki sesuai kelengkungan untuk model sebagian dari ruang hiperbolik, dalam makalah kedua di tahun yang sama, mendefinisikan Model Klein yang model keseluruhan dari ruang hiperbolik digunakan untuk menunjukkan bahwa geometri Euclidean dan geometri hiperbolik adalah equiconsistent sehingga geometri hiperbolik adalah logis konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean adalah Implikasi terbalik berikut dari horosphere model geometri Euclidean.

16709251044
PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

Geometri Non-Euclid adalah salah satu dari dua geometri tertentu, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat, yaitu geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Dengan kata lain, untuk memperoleh geometri non-Euclidean, dalil paralel (atau ekuivalen) harus diganti oleh yang negasi yaitu dengan meniadakan aksioma Playfair. Adanya penemuan geometri non-Euclidean memiliki efek riak yang jauh melampaui batas-batas matematika dan ilmu pengetahuan. Filsuf Immanuel Kant memiliki peran khusus untuk geometri. Sayangnya bagi Kant, konsep geometri tanpa disengaja benar adalah Euclidean. Teologi juga dipengaruhi oleh perubahan dari kebenaran absolut untuk kebenaran relatif dalam matematika yang adalah hasil dari pergeseran paradigma.

18. Syaifulloh Bakhri
16709251049
S2 Pendidikan Matematika C 2016

Assalamu’alaikum wr.wb.
In mathematics, non-Euclidean geometry consists of two geometries based on axioms closely related to those specifying Euclidean geometry. As Euclidean geometry lies at the intersection of metric geometry and affine geometry, non-Euclidean geometry arises when either the metric requirement is relaxed, or the parallel postulate is replaced with an alternative one. In the latter case one obtains hyperbolic geometry and elliptic geometry, the traditional non-Euclidean geometries. When the metric requirement is relaxed, then there are affine planes associated with the planar algebras which give rise to kinematic geometries that have also been called non-Euclidean geometry.
The essential difference between the metric geometries is the nature of parallel lines. Another way to describe the differences between these geometries is to consider two straight lines indefinitely extended in a two-dimensional plane that are both perpendicular to a third line.
In hyperbolic geometry they "curve away" from each other, increasing in distance as one moves further from the points of intersection with the common perpendicular; these lines are often called ultraparallels.
In elliptic geometry the lines "curve toward" each other and intersect.

19. Heni Lilia Dewi
16709251054
PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

Euclid bersama dengan buku-bukunya melahirkan sebuah geometri Euclid berupa definisi, dalil, postulat dan teorema nya. Namun, pada postulat kelima terjadi banyak perdebadan karena dianggap bukan postulat (dapat dibuktikan dari keempat postulat lainnya). Oleh karena itu lahirlah geometri non-Euclid yang terjadi pada bidang ellips dan hiperbola. Geometri Eliptik berbeda dengan geometri Euclid hanya pada postulat kesejajarannya saja. Pada geometri Hiperbolik sebuah bidang direpresentasikan oleh sebuah lingkaran O.

16709251050
PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Euclid ‘s kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara dengan yang Playfair postulat yang menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui l dan A titik, yang tidak pada l, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan l.

21. Windi Agustiar Basuki
16709251055
S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

geometri non-Euclidean adalah geometri eliptik dan geometri hiperbolik dimana setiap geometri non-Euclidean adalah sistem yang konsisten dari definisi, asumsi, dan bukti-bukti yang menggambarkan objek, seperti titik, garis dan bidang. Penemuan geometri non-Euclidean juga memiliki dampak yang besar pada perkembangan matematika pada abad 19 dan 20. Sebagai hasilnya, metode aksiomatik telah terpisah dari intuisi dan diformalkan, yang akhirnya menyebabkan perkembangan metamatika, Teori Model, Godel dan Non-Standar Analisis Abraham Robinson.

22. Luki Slamet Purwoko
14301241008
S1 Pendidikan Matematika I 2014

Bagitulah kakekat dari Ilmu yaitu Kontradiksi. Begitu juga Matematika sebagai Ilmu. Seperti yang dipaparkan dalam artikel di atas, Matematika khusunya dalam bidang geometri juga terdapat kontradiksi. Setiap manusia dapat memikirkan satu objek dengan berbagai sudut pandang. Contohnya dalam memandang Sistem Geometri Euclid. Ada yang memandang bahwa geometri Euclid ada yang tidak benar seperti bahwa dua garis pasti akan berpotongan di suatu titik. Dalam geometri Euclid ada kalanya tidak seperti itu. Namun ada orang yang membantah hal tersebut dan mendapatkan ilmu baru sebagai ilmu tentang system geometri bola. Begitulah hakekeat ilmu, selagi tetap berpikir pasti akan terjadi kontradiksi di dalamnya yang ada dan yang mungkin ada.

23. Ratih Eka Safitri
16709251059
PPs Pendidikan Matematika C 2016

Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat, yaitu hiperbolik dan geometri eliptik. Dalam geometri Euclidean garis tetap konstan jarak dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.
Dalam geometri hiperbolik mereka “kurva pergi” satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak lurus umum, garis-garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri berbentuk bulat panjang garis “kurva ke arah” satu sama lain dan akhirnya berpotongan. Geometri non-Euclidean tidak secara luas diterima sebagai sah hingga abad ke-19. Perdebatan yang akhirnya mengarah pada penemuan geometri non-Euclidean dimulai segera setelah pekerjaan Euclid Elements ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lainnya (proposisi) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai "Postulat Euclid Kelima," atau sekadar "postulat sejajar". Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Ruang lingkup geometri non-Euclidean meliputi teori ruang-waktu Herman Minkowski. Ini pengganti geometri bentuk bilinear untuk jarak metrik biasa. Konsep dalam geometri ini mengacu pada sudut hiperbolik daripada sudut Euclidean biasa, misalnya pemetaan bergerak memencet sudut ini seperti halnya sudut bergerak rotasi Euclidean biasa. Alih-alih garis tegak lurus, geometri ruang-waktu menggunakan garis hiperbolik-ortogonal yang menentukan hyperplanes simultanitas.

24. Hajarul Masi Hanifatur Rohman
S2 Pendidikan Matematika C 2016
16709251052

Bismillaah....
Geometri non-Eucledian merupakan upaya untuk membuktikan kontradiksi dengan menyangkal aksioma kelima, yang berbunyi “Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, jika kedua garis itu diperpanjang tak terbatas, akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku”. Dua geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan eliptik. Dalam geometri hiperbolik garis sejajar hanya membawa pembatasan tidak interesect. Selain itu, garis paralel tampaknya tidak langsung dan bisa mendekati satu sama lain dalam mode asimtotik, dan jumlah sudut segitiga kurang dari 180 derajat. Sedangkan dalam geometri eliptik tidak ada garis paralel (garis lurus pada permukaan bola berpotongan) dan jumlah sudut segitiga lebih dari 180 derajat.

16709251058
PPs P.Mat C 2016

Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
Dalam tiga dimensi, ada tiga kelas geometri kelengkungan yang konstan. Semua didasarkan pada empat dalil Euclid pertama, namun masing-masing menggunakan versinya sendiri dari dalil paralel. Geometri rata-rata "datar" dari intuisi sehari-hari disebut geometri Euclidean (atau geometri parabola), dan geometri non-Euclidean disebut geometri hiperbolik (atau geometri Lobachevsky-Bolyai-Gauss) dan geometri elips (atau geometri Riemannian). Geometri sferis adalah geometri dua dimensi non-Euclidean. Baru pada tahun 1868 Beltrami membuktikan bahwa geometri non-Euclidean sama logisnya dengan geometri Euclidean.

26. Wahyu Berti Rahmantiwi
PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
16709251045

Geometri non-euclidean muncul akibat para filsuf berpikiran bagaimana jika postulat kesejajaran tidak berlaku? Akibat pemikiran ini timbullah geometri non-euclidean dimana postulat kesejajaran tidka berlaku tetapi postulate 1-4 tetap berlaku. Geometri non-euclidean dibagi menjadi dua yaitu geometri elliptic dan geometri hiperbolik. Geometri elliptic mengenai sifat-sifat titik dan garis pada permukaan bola. Pada geometri ellipti jumlah sudut segitiga selalu lebih dari 180 sedangkan geometri hiperbolik kurang dari 180.

27. Kunny Kunhertanti
16709251060
PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

Dalam artikel ini yang menjelaskan sejarah non-euclides dalam upaya untuk menghadapi aksioma kelima. Geometri yang berada di luar dari bentuk geometri euclidean disebut sebagai geometri selain bidang dua. Karena geometri bidang dua adalah cakupan dari geometri euclidean. Namun untuk bentuk segitiga ketika di letakan pada bidang diluar bidang datar maka bisa saja jumlah sudutnya lebih dari 180 derajat atau lebih dari 180 derajat

28. Fatmawati
16709251071
PM.D 2016
Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri non-Euclidean termasuk geometri hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ.

29. Fatmawati
16709251071
PM.D 2016
Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ. Konsep non-Euclidean geometri sistem geometryNon-Euclidean berbeda dari geometri Euclid dalam bahwa mereka memodifikasi postulat kelima Euclid, yang juga dikenal sebagai postulat paralel. Secara umum, ada dua bentuk (homogen) geometri non-Euclidean, geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Dalam geometri hiperbolik ada garis yang jelas banyak melalui titik tertentu yang tidak akan bersinggungan dengan baris lain yang diberikan. Dalam geometri eliptik tidak ada baris yang tidak akan berpotongan, karena semua yang dimulai terpisah akan berkumpul.

30. Angga Kristiyajati
17709251001
Pps UNY P.Mat A 2017

Terima kasih Banyak Pak Prof. Marsigit.

Sepemahaman kami, geometri yang selama ini dikenal dan dipelajari di sekolah-sekolah (SD, SMP dan SMA) merupakan geometri euclid. Geometri yang berada di luar dari bentuk geometri euclid tersebut disebut sebagai geometri non euclid. Salah satu contohnya adalah geometri pada bidang datar (dua dimensi) adalah bagian dari geometri euclid. Suatu segitiga pada bidang datar jumlah ketiga sudutnya adalah 180 derajat, akan tetapi jika segitiga terletak pada bukan bidang datar maka bisa saja jumlah sudutnya lebih dari 180 derajat atau kurang dari 180 derajat.

31. Anisa Safitri
17701251038
PEP B

Bahasan tersebut dipelajari dalam bidang matematika. Menjelaskan tentang geometeri non Euclidean yang juga dikenal sebagai hiperbolik dan eliptik. Euclid menulis The Elements yang menjadi salah satu buku terkenal yang menyatakan 5 postulat. Pada geometri non-Euclidean sebagai pengambilan sudut pusat pada geometri hiperbolik. Dan untuk geometri eliptik sebagai bagian yang tumpul. Dan masih banyak lagi geomtri yang lain.

32. Tri Wulaningrum
17701251032
PEP S2 B

Menjadi hal yang sangat baru bagi saya. Pembahasan pada postingan di atas membawa saya pada beberapa kata maupun frasa yang sangat asing di telinga saya. Syukur Alhamdulillah, saya diberikan kesempatan untuk berjumpa dengan pengetahuan ini. karena di saat yang akan datang, jika bertemu dengan yang seperti ini, tidaklah asing lagi di telinga saya. Akan tetapi, tidak asing bukan berarti saya sudah memahaminya. Sejujurnya sangat sulit bagi saya untuk memahami postingan di atas. Beberapa istilah muncul, seperti hiperbolik, elliptic dan Euclidean, semuanya benar benar menguras pikiran saya. Tetapi, saya akan terus berusaha. Melalui sudut pandang orang awam, saya melihat jika ada geometri Euclid maka sudah pasti ada geometri non Euclid, karena di dunia tiada lah yang tidak kontradiktif. Akan tetapi, untuk pembahasan yang lebih mendalam, saya masih berusaha untuk memahaminya. Karena pada topik geometri tentu ada pembahasan tentang sudut, kelengkungan, dan lainnya. Refleksi nya ialah, mata pelajaran geometri yang ku dapat di sekolah dulu belumlah sebagai geometri yang seutuhnya.

33. Dimas Candra Saputra, S.Pd.
PPs PMA 2017
17709251005

Assalamualaikum prof,
Geometri non-Euclidean merupakan ilmu tentang bentuk dan konstruksi yang tidak dipetakan langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi. Contoh geometri non-Euclidean ialah geometri hiperbolik dan elips yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. Postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak tidak berpotongan ℓ. Berbeda dengan geometri hiperbolik, yaitu ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan. Sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ. Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah dengan mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus ke baris ketiga: Dalam geometri Euclid baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas dan dikenal sebagai garis sejajar. Dalam geometri hiperbolik kurva jauh dari satu sama lain, terdapat peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum. Garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri eliptik baris kurva terhadap satu sama lain dan akhirnya berpotongan.

34. Wisniarti
17709251037
PM B Pascasarjana

Terimakasih pak atas artikel yang membahas mengenai Geometri Non-Euclid. Berdasarkan uraian di atas, Geometri Non-Eulid ini terdiri dari geometri Elipstic dan geometri hyperbolic. Kedua objek geometri tersebut sering disebut dengan irisan kerucut. Saya memperoleh pengetahuan mengenai materi geometri non-euclid ini ketika masa S1. Namun, dengan kurikulum 2013, siswa SMA sudah memperoleh pengetahuan mengenai geometri non-euclid, pada tingkat SMA disebu dengan irisan kerucut. Kita dapat menemukan materi ini pada matematika peminatan pada sekolah yang menerapkan kurikulum 2013.

35. Gamarina Isti R
17709251036
Pendidkan Matematika Kelas B (Pascasarjana)

Dalam postingan blog ini saya mendapatkan ilmu baru mengenai cara pembuktian lain selain menggunakan aksioma yaitu meggunakan geometri non-Euclidean. Seperti pada geometri elips dan geometri hiperbolik. Setelah saya pahami saya dapat menyimpulkan bahwa pembuktian menggunakan geometri non-Euclidean dapat membuktikan teori yang sulit dibuktikan dengan 4 langkah aksioma. Selain itu pembuktian dengan geometri non-Euclidean akan dapat melebar sampai empat dimensi dan distorsi.Jujur saja postingan ini ilmu baru bagi saya, sehingga saya semakin sadar bahwa ilmu yang saya punya masih sedikit dan tugas saya dalam memperbaiki kualitas ilmu saya adalah dengan selalu belajar dan tidak berouas diri.

36. Kartika Pramudita
17701251021
PEP S2 B

Selama ini yang saya pelajari tentang geometri adalah geometri euclid. Sehingga saya masih perlu belajar banyak tentang geometri non-euclid. Geometri non-euclid merupakan teorema kelima. Geometri non-euclid diklasifikasikan menjadi geometri hiperbolik dan elips. Salah satu yang membedakan geometri euclid, non-euclid hiperbola, dan non euclid ellips adalah jumlah besar sudut segitiga. Pada geometri euclid jumlah besar sudut segitiga adalah 1800, pada geometri non-euclid hiperbola jumlah besar sudut segitiga kurang dari 1800, dan pada geometri non-euclid ellips jumlah besar sudut segitiga lebih dari 1800.
Dengan belajar tentang non-euclid maka semakin menyadari bahwa perlu untuk belajar lebih luas agar memandang sesuatu hal tidak hanya berasal dari satu sudut pandang saja, tidak hanya menganggap benar pada euclid saja namun sesuatu yang tidak tepat diterapkan di euclid dapat tepat diterapkan pada non euclid.

37. Uswatun Hasanah
17701251022
S2 PEP B

Postingan ini bukanlah sesuatu hal yang amat baru saya ketahui. Sudut-sudut yang membentuk bangun ruang tertentu saya pelajari saat masa sekolah. Saya mengaitkan informasi di atas dengan diibaratkan perjalanan seseorang semasa di dunia. Berbagai garis dan sudut yang dihadapi bahkan dalam setiap ruangnya tidaklah sama peristiwa yang akan terjadi. Masing-masing sudut memiliki cerita tersendiri. Hidup diibaratkan garis yang membentuk dua bidang daripada sebuah lingkaran. Lingkaran tersebut dapat diibaratkan dengan kehidupan dunia dan kehidupan akhirat. Keseimbangan dalam hidup adalah jalan yang dapat digapai oleh seseorang. Menjalani dengan mengikuti prinsip-prinsipnya maka akan memudahkan seseorang bergerak dalam ruang dan dimensi pada sebuah lingkaran.

38. Nama: Hendrawansyah
NIM: 17701251030
S2 PEP 2017 Kelas B

Assalamualaikum wr wb
.
Membaca artikel tentang Non-Eucelidean Geometris ini mengulas kembali pandangan saya kepada dua orang filsuf yang bernama Plato dan Aristoteles.Sepertnyai ketiga ilmuwan tersebut memmunyai paham yang sama dan bersahabat lewat teori-teorinya.Bermain dengan seperangkat definisa, konsep, aksioma, symbol,titik, garis, dan bidang.Yang terkadang juga membuat saya terbuai ketika masa-masa SMA dan S1 dulu.Namun sedikit saya tercerahkan dengan kehadiran Sang filsuf yang bernama Immanuel Khant yang terkenal dengan cara pandang dan pikir kritisnya terhadap kebenaran ilmu.

39. This comment has been removed by the author.

17701251023
PEP B
Terima kasih Prof, sebelumnya saya tidak pernah mempelajari ilmu matematika begitu mendalam, namun melalui artikel ini saya mencoba memahaminya. Dalam matematika memiliki konsep-konsep yang memberi subangsih besar bagi pengetahuan terutama dalam tatanan praktis kehidupan. Seperti contoh konsep geometri elips ternyata banyak digunakan dalam kesehatan terutama litotripsi. Pada penggunaannya aplikasi sifat elips digunakan bersamaan dengan gelombang ultarasonik untuk memberikan shock pada saluran kandung kemih. Dengan demikian, rangsangan yang diberikan akan memecah ‘batu’ ginjal sehinga lebih mudah dikeluarkan.

41. Geometri terbagi menjadi dua yaitu geometri euclid dan non euclid. Geometri euclid adalah geometri yang sering kita dapatkan. Ilmuwan dari Geometri euclid adalah euclid yang berasalh dari Alexandria, Mesir. Dia adalah matematikawan kuno yang menghasilkan karya monumental dalam Geometri, yaitu the Elements. Buku itu menjadi buku teks sekolah yang memuat geometri dan Teori Bilangan, buku itu terdiri dari 13 bagian buku. Euclid mengemukakan 5 aksioma dan 5 postulat. Sedangkan Geometri Non-Euclides timbul muncul karena para ahli matematika berusaha membuktikan kebenaran dari postulat yang kelima dari Euclid dengan mendasarkan keempat postulat sebelumnya.Geometri non euclid juga sering disebut dengan geometri Playfair dan Lobachevsky.

Nama: Dian Andarwati
NIM: 17709251063
Kelas: Pendidikan Matematika (S2) Kelas C

42. Widuri Asmaranti
17709251035
S2 Pend Matematika B 2017

Geometri salah satu materi pelajaran di matematika yang mengaitkan dengan titik, garis, sudut, bagun datar, bangun ruang, dll. Pada geometri ada geometri euclid dan ada geometri non euclid. Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik. Geometri eliptik adalah salah satu geometri non euclid dimana bola adalah bidangnya. Sedangkan geometri hiperbolik adalah salah satu geometri non-Euclid yang muncul akibat kontroversi terhadap postulat kesejajaran euclid.

43. Widuri Asmaranti
17709251035
S2 Pend Matematika B 2017

Geometri salah satu materi pelajaran di matematika yang mengaitkan dengan titik, garis, sudut, bagun datar, bangun ruang, dll. Pada geometri ada geometri euclid dan ada geometri non euclid. Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik. Geometri eliptik adalah salah satu geometri non euclid dimana bola adalah bidangnya. Sedangkan geometri hiperbolik adalah salah satu geometri non-Euclid yang muncul akibat kontroversi terhadap postulat kesejajaran euclid.

44. Mariana Ramelan
17709251056
S2 Pend. Matematika C 2017

Adanya perkembangan sejarah geometri non-euclid merupakan upaya menghadapi aksioma kelima. Matematikawan terdahulu telah membuktikan secara langsung keempat aksioma nah kemudia matematikawan mencoba menemukan hal baru tentang geometri non-euclid ini. Geometri non-Euclide ada dua yang kita kenal sebagai hiperbolik dan elips. Geometri hiperbolik dijelaskan dengan mengambil sudut akut untuk C dan D pada Quadratateral Saccheri sementara elips menganggapnya tumpul. Beberapa pembuktian dilakukan hingga ditemukanlah apa yang sering kita pelajari disekolah tentang hiperbola dan elips.

45. Arung Mega Ratna
17709251049
PPs PMC 2017

Geometri non-Eucledian merupakan upaya untuk membuktikan kontradiksi dengan menyangkal aksioma kelima, yang berbunyi “Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku”. Dua geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan eliptik. Dalam geometri hiperbolik garis sejajar hanya membawa pembatasan tidak interesect. Selain itu, garis paralel tampaknya tidak langsung dan bisa mendekati satu sama lain dalam mode asimtotik, dan jumlah sudut segitiga kurang dari 180 derajat. Sedangkan dalam geometri eliptik tidak ada garis paralel (garis lurus pada permukaan bola berpotongan) dan jumlah sudut segitiga lebih dari 180 derajat.

46. Latifah Fitriasari
17709251055
PPs PM C

Ada 2 geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan elips. Geometri hiperbolik dijelaskan dengan mengambil sudut akut untuk C dan D pada Saccheri Segiempat sementara eliptik diasumsikan mereka untuk menjadi tumpul. Geometri hiperbolik: Berangkat dari percobaan untuk membuktikan bahwa aksioma kesejajaran bukanlah sebagai suatu aksioma melainkan teorema, munculah inspirasi pengetahuan baru mengenai geometri hiperbolik. Geometri Non Euclid lahir setelah terpecahkannya permasalahan postulat kesejajaran Euclid oleh Bolya dan Lobachevsky. Geometri non euclid diantaranya geometri Lobachevsky dan geometri Riemann.

47. Rahma Dewi Indrayanti
17709251038
PPS Pendidikan Matematika Kelas B

Keberadaan non-Euclidean geometri berdampak pada “kehidupan intelektual” dari Inggris Victoria dalam banyak hal dan khususnya adalah salah satu faktor yang menyebabkan yang menyebabkan pemeriksaan ulang pengajaran geometri berdasarkan Euclid ‘s Elemen.

48. Junianto
PM C

Geometri yang familier adalah geometri Euclid. Saya mencob amemahami maksud dari geometri non-euclidian. Dari artikel ini bisa saya pahami sedikit bahwa perkembangannya merupakan upaya untuk menghadapi aksioma kelima. Harapan para matematikawan murni adalah bisa membuktikan aksioma kelima menggunakan 4 aksioma sebelumnya. Namun, para matematikawan tidak mampu membuktikannya. Beberapa ilmuwan yang mencoba membuktikan dengan cara mencari kontradiksi ternyata juga mengalami kegagalan. Geometri non-euclid ini juga memberikan kesadaran pada para matematikawan bahwa hal yang belum dipelajari masih terbuka luas.

49. Firman Indra Pamungkas
17709251048
S2 Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

Assalamualaikum Warohmatullah Wabarokatuh
Geometri non-euclidian muncul karena adanya kecacatan pada postulat kelima. Matematikawan awalnya mencoba untuk membuktikan postulat kelima secara langsung dengan menggunakan empat postulat pertama. Kemudian matematikawan belum dapat membuktikannya dan mencoba membuktikannya dengan menggunakan metode tidak langsung seperti kontradiksi. Namun postulat kelima belum dapat terbukti sehingga muncullah geometry non-euclidean. Geometri non-Euclidean adalah geometri yang berbeda dengan geometri Euclid. Setiap geometri non-Euclidean adalah sistem yang konsisten dari definisi, asumsi, dan bukti-bukti yang menggambarkan objek, seperti titik, garis dan bidang. Yang paling umum dalam geometri non-Euclidean adalah geometri eliptik dan geometri hiperbolik. Perbedaan penting antara geometri Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis parallel.

50. Nurika Miftahuljannah
PPs Pendidikan Matematika Kelas C
17709251060
Assalamu'alaikum wr. wb.
Geometri Euclidean, diberi nama oleh matematikawan Yunani Euclid, termasuk beberapa dari matematika tertua, non-Euclidean geometri tidak secara luas diterima sampai abad ke-19. Perdebatan tersebut akhirnya menyebabkan penemuan non-Euclidean geometri mulai muncul setelah karya Euclid ‘s Elemen ditulis. Dalam Elemen, Euclid memulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lain ( proposisi ) dalam karyanya.
Wassalamu'alaikum wr. wb.

51. Nurika Miftahuljannah
PPs Pendidikan Matematika Kelas C
17709251060
Assalamu'alaikum wr. wb.
Dalam buku pertamanya, Euclid menjelaskan mengenai definisi, postulat aksioma, dan dalil. Akan tetapi, Geometri Euclid ini memiliki kelemahan, salah satu kelemahannya ada pada postulat kelima dari Euclid 2 yang terkenal dengan Postulat Paralel atau Postulat Kesejajaran seperti yang sudah kita kenal selama ini. Postulat Kesejajaran Euclid tersebut adalah “Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari sudut siku-siku.”

52. Yusrina Wardani
17709251057
PPs PMAT C 2017
Terimakasih prof atas ilmunya. Geometri yang saya dapat selama masa kuliah dulu adalah geometri euclid. Ini adalah hal yang baru dan tentunya sangat menarik. Geometri noneuclides timbul karena para matematikaawan berusaha untuk membuktikan postulat kelima dari Euclides. Jadi geometri non-euclides masih berdasarkan empat postulat pertama dari Euclides dan hanya berbeda pada postulat kelimanya. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa geometri Non-Euclides termuat dalam geometri absolut.

53. Yusrina Wardani
17709251057
PPs PMAT C 2017

Dalam geometri euclid terdapat lima postulat (aksioma/teorema) yang sangat terkenal. Empat postulat pertama sangat jelas sehingga mudah dibuktikan oleh para matematikawan, berbeda dengan postulat yang kelima menimbulkan perdebatan diantara para matematikawan. Postulat kelima dikenal dengan postulat kesejajaran geometri euclid yang menjadi titik tolak munculnya geometri non-euclid.

54. Muh Wildanul Firdaus
17709251047
Pendidikan matematika S2 kls C

Geometri non-euclidean muncul akibat para filsuf berpikiran bagaimana jika postulat kesejajaran tidak berlaku? Akibat pemikiran ini timbullah geometri non-euclidean dimana postulat kesejajaran tidak berlaku tetapi postulat 1-4 tetap berlaku. Geometri non-euclidean dibagi menjadi dua yaitu geometri elliptic dan geometri hiperbolik. Geometri elliptic mengenai sifat-sifat titik dan garis pada permukaan bola. Pada geometri elliptic jumlah sudut segitiga selalu lebih dari 180 sedangkan geometri hiperbolik kurang dari 180 derajat

55. Auliaul Fitrah Samsuddin
17709251013
PPs P.Mat A 2017
Terima kasih atas postingannya, Prof. geometri merupakan salah satu cabang matematika yang dipelajari di sekolah. Di bangku sekolah, siswa lebih familiar dengan geometri euclid. Namun ternyata ada geometri lainnya yang terpisah dan berbeda dari geometri euclid, yaitu geometri non-euclid. Geometri non-euclid sendiri terdiri dari geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Perbedaan mendasar antara geometri euclid dan non-euclid adalah jarak antara dua garis berbeda yang sama-sama tegak lurus dengan suatu garis lainnya. Pada geometri euklid kedua garis yang dimaksud memiliki jarak yang sama atau sejajar sedangkan pada geometri non-euclid, hal ini tidak berlaku.

56. Gina Sasmita Pratama
17709251003
S2 P.Mat A 2017

Geometri adalah salah satu cabang ilmu dari matematika yang membahas tentang pengukuran. Geometri euclid dan geometri non euclid merupakan cabang dari geometri itu sendiri. Hal yang membedakan geometri euclid dan non-euclid ialah pernyataan tentang kesejajaran. Geometri non-euclid tidak mempercayai adanya kesejajaran. Geometri non-euclid ini meliputi hiperbolik dan eliptik. Tetapi sebenarnya, dalam proses pembelajaran di sekolah, kita dapat menggunakan kedua materi ini sesuai dengan kompetensi yang harus dicapai. Karena sesungguhnya, kesejajaran itu nyata adanya dan hiperbolik serta eliptik juga nyata adanya.

57. Pangestika Nur Afnia
PEP B- S2
17701251037

Terima kasih Prof untuk penjelasannya. Sejujurnya saya bukan berlatar belakang matematika sehingga perlu pemahaman mendalam untuk mengerti tulisan tersebut. Namun di dalam kimia juga terdapat materi mengenai geometri yakni materi mengenai bentuk molekul dan orbital. Dan materi tersebutlah yang menurut saya susah untuk dipahami karena kemampuan daya abstraksi ruang saya yang kurang.

58. Isoka Amanah Kurnia
17709251051
PPs Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

Geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap.Ruang lingkup geometri non-Euclidean meliputi teori ruang-waktu Herman Minkowski. Ini pengganti geometri bentuk bilinear untuk jarak metrik biasa. Konsep dalam geometri ini mengacu pada sudut hiperbolik daripada sudut Euclidean biasa, misalnya pemetaan bergerak memencet sudut ini seperti halnya sudut bergerak rotasi Euclidean biasa.