Nov 30, 2012

Non-Euclidean Geometries_Transcribed by Marsigit




Non-Euclidean Geometries
Transcribed by Marsigit , Yogyakarta State University, Indonesia
Email: marsigitina@yahoo.com


The historical developments of non-Euclidean geometry were attempts to deal with the fifth axiom.

Mathematicians first tried to directly prove that the first 4 axioms could prove the fifth. However, mathematicians were becoming frustrated and tried some indirect methods.

Girolamo Saccheri (1667-1733) tried to prove a contradiction by denying the fifth axiom. He started with quadrilateral ABCD (later called the Saccheri Quadrilateral) with right angles at A and B and where AD = BC. Since he is not using the fifth axiom, he concludes there are three possible outcomes. Angles at C and D are right angles, C and D are both obtuse, or C and D are both acute. Saccheri knew that the only possible solution was right angles.

Saccheri said this was enough to claim a contradiction and he stopped. His reasoning to stop was based on faulty logic. He was going on the presumption that lines and parallel lines worked like those in flat geometry. So his contradiction was only applicable in Euclidean geometry, which was not a contradiction to what he was actually trying to prove. Of course Saccheri did not realize this at the time and he died thinking he had proved Euclid’s fifth axiom from the first four.

A contemporary of Saccheri, Johann Lambert (1728-1777), picked up where Saccheri left off and took the problem just a few steps further. Lambert considered the three possibilities that Saccheri had concluded as consequences of the first four axioms. Instead of finding a contradiction, he found two alternatives to Euclidean geometry. The first option represented Euclidean geometry and while the other two appeared silly, they could not be proven wrong.
Through time (and quite a lot of criticism), these two other possibilities were now being considered as “alternative geometries” to Euclid’s geometry. Eventually these alternate geometries were scholarly acknowledged as geometries, which could stand alone to Euclidean geometry.

The two non-Euclidean geometries were known as hyperbolic and elliptic. Hyperbolic geometry was explained by taking the acute angles for C and D on the Saccheri Quadrilateral while elliptic assumed them to be obtuse.

Let’s compare hyperbolic, elliptic and Euclidean geometries with respect to Playfair’s parallel axiom and see what role parallel lines have in these geometries:
1.)             Euclidean: Given a line L and a point P not on L, there is exactly one line passing through P, parallel to L.
2.)             Hyperbolic: Given a line L and a point P not on L, there are at least two lines passing through P, parallel to L.
3.)             Elliptic: Given a line L and a point P not on L, there are no lines passing through P, parallel to L.

Elliptic Geometry

Elliptic geometry also says that the shortest distance between two points is an arc on a great circle (the “greatest” size circle that can be made on a sphere’s surface).

As part of the revised parallel postulate for elliptic geometries, we learn that there are no parallel lines in elliptical geometry.

This means that all straight lines on the sphere’s surface intersect (specifically, they all interesect in two places).

A famous non-Euclidean geometer, Bernhard Riemann, who dealt mostly with and is credited with the development of elliptical geometries, theorized that the space (we are talking about outer space now) could be boundless without necessarily implying that space extends forever in all directions.

This theory suggests that if we were to travel one direction in space for a really long time, we would eventually come back to where we started! This theory involves the existence of four-dimensional space similar to how the surface of a sphere (which is three dimensional) represents an elliptic 2 dimensional geometry.

Hyperbolic Geometry

Recalling the corresponding Playfair’s axiom for hyperbolic geometry, we see that in hyperbolic geometry, there is more than one parallel line to L, passing through point P, not on L.

Hyperbolic geometries comes with some more restrictions about parallel lines. In Euclidean geometry, we can show that parallel lines are always equidistant, but in hyperbolic geometries, of course, this is not the case.

In hyperbolic geometries, we merely can assume that parallel lines carry only the restriction that they don’t interesect. Furthermore, the parallel lines don’t seem straight in the conventional sense. They can even approach each other in an asymptotically fashion. The surfaces on which these rules on lines and parallels hold true are on negatively curved surfaces.

In hyperbolic geometry, the triangle’s angle sum is less than 180 degrees whereas elliptic geometry has more than 180 degrees. The larger the sides of the triangle, the greater the distortion of the angle sums on both elliptic and hyperbolic geometries. Much like elliptic geometries, the area of a triangle is proportional to its angle sum and of course this implies that there are no similar triangles as well.

9 comments:

  1. Ahmad Bahauddin
    16709251058
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Dalam tiga dimensi, ada tiga kelas geometri kelengkungan yang konstan. Semua didasarkan pada empat dalil Euclid pertama, namun masing-masing menggunakan versinya sendiri dari dalil paralel. Geometri rata-rata "datar" dari intuisi sehari-hari disebut geometri Euclidean (atau geometri parabola), dan geometri non-Euclidean disebut geometri hiperbolik (atau geometri Lobachevsky-Bolyai-Gauss) dan geometri elips (atau geometri Riemannian). Geometri sferis adalah geometri dua dimensi non-Euclidean. Baru pada tahun 1868 Beltrami membuktikan bahwa geometri non-Euclidean sama logisnya dengan geometri Euclidean.

    ReplyDelete
  2. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Geometri non-euclidean muncul akibat para filsuf berpikiran bagaimana jika postulat kesejajaran tidak berlaku? Akibat pemikiran ini timbullah geometri non-euclidean dimana postulat kesejajaran tidka berlaku tetapi postulate 1-4 tetap berlaku. Geometri non-euclidean dibagi menjadi dua yaitu geometri elliptic dan geometri hiperbolik. Geometri elliptic mengenai sifat-sifat titik dan garis pada permukaan bola. Pada geometri ellipti jumlah sudut segitiga selalu lebih dari 180 sedangkan geometri hiperbolik kurang dari 180.

    ReplyDelete
  3. Kunny Kunhertanti
    16709251060
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Dalam artikel ini yang menjelaskan sejarah non-euclides dalam upaya untuk menghadapi aksioma kelima. Geometri yang berada di luar dari bentuk geometri euclidean disebut sebagai geometri selain bidang dua. Karena geometri bidang dua adalah cakupan dari geometri euclidean. Namun untuk bentuk segitiga ketika di letakan pada bidang diluar bidang datar maka bisa saja jumlah sudutnya lebih dari 180 derajat atau lebih dari 180 derajat

    ReplyDelete
  4. Fatmawati
    16709251071
    PM.D 2016
    Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri non-Euclidean termasuk geometri hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ.

    ReplyDelete
  5. Fatmawati
    16709251071
    PM.D 2016
    Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ. Konsep non-Euclidean geometri sistem geometryNon-Euclidean berbeda dari geometri Euclid dalam bahwa mereka memodifikasi postulat kelima Euclid, yang juga dikenal sebagai postulat paralel. Secara umum, ada dua bentuk (homogen) geometri non-Euclidean, geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Dalam geometri hiperbolik ada garis yang jelas banyak melalui titik tertentu yang tidak akan bersinggungan dengan baris lain yang diberikan. Dalam geometri eliptik tidak ada baris yang tidak akan berpotongan, karena semua yang dimulai terpisah akan berkumpul.

    ReplyDelete
  6. Angga Kristiyajati
    17709251001
    Pps UNY P.Mat A 2017

    Terima kasih Banyak Pak Prof. Marsigit.

    Sepemahaman kami, geometri yang selama ini dikenal dan dipelajari di sekolah-sekolah (SD, SMP dan SMA) merupakan geometri euclid. Geometri yang berada di luar dari bentuk geometri euclid tersebut disebut sebagai geometri non euclid. Salah satu contohnya adalah geometri pada bidang datar (dua dimensi) adalah bagian dari geometri euclid. Suatu segitiga pada bidang datar jumlah ketiga sudutnya adalah 180 derajat, akan tetapi jika segitiga terletak pada bukan bidang datar maka bisa saja jumlah sudutnya lebih dari 180 derajat atau kurang dari 180 derajat.

    ReplyDelete
  7. Anisa Safitri
    17701251038
    PEP B

    Bahasan tersebut dipelajari dalam bidang matematika. Menjelaskan tentang geometeri non Euclidean yang juga dikenal sebagai hiperbolik dan eliptik. Euclid menulis The Elements yang menjadi salah satu buku terkenal yang menyatakan 5 postulat. Pada geometri non-Euclidean sebagai pengambilan sudut pusat pada geometri hiperbolik. Dan untuk geometri eliptik sebagai bagian yang tumpul. Dan masih banyak lagi geomtri yang lain.

    ReplyDelete
  8. Tri Wulaningrum
    17701251032
    PEP S2 B

    Menjadi hal yang sangat baru bagi saya. Pembahasan pada postingan di atas membawa saya pada beberapa kata maupun frasa yang sangat asing di telinga saya. Syukur Alhamdulillah, saya diberikan kesempatan untuk berjumpa dengan pengetahuan ini. karena di saat yang akan datang, jika bertemu dengan yang seperti ini, tidaklah asing lagi di telinga saya. Akan tetapi, tidak asing bukan berarti saya sudah memahaminya. Sejujurnya sangat sulit bagi saya untuk memahami postingan di atas. Beberapa istilah muncul, seperti hiperbolik, elliptic dan Euclidean, semuanya benar benar menguras pikiran saya. Tetapi, saya akan terus berusaha. Melalui sudut pandang orang awam, saya melihat jika ada geometri Euclid maka sudah pasti ada geometri non Euclid, karena di dunia tiada lah yang tidak kontradiktif. Akan tetapi, untuk pembahasan yang lebih mendalam, saya masih berusaha untuk memahaminya. Karena pada topik geometri tentu ada pembahasan tentang sudut, kelengkungan, dan lainnya. Refleksi nya ialah, mata pelajaran geometri yang ku dapat di sekolah dulu belumlah sebagai geometri yang seutuhnya.

    ReplyDelete
  9. Dimas Candra Saputra, S.Pd.
    PPs PMA 2017
    17709251005

    Assalamualaikum prof,
    Geometri non-Euclidean merupakan ilmu tentang bentuk dan konstruksi yang tidak dipetakan langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi. Contoh geometri non-Euclidean ialah geometri hiperbolik dan elips yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. Postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak tidak berpotongan ℓ. Berbeda dengan geometri hiperbolik, yaitu ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan. Sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ. Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah dengan mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus ke baris ketiga: Dalam geometri Euclid baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas dan dikenal sebagai garis sejajar. Dalam geometri hiperbolik kurva jauh dari satu sama lain, terdapat peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum. Garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri eliptik baris kurva terhadap satu sama lain dan akhirnya berpotongan.

    ReplyDelete