Nov 30, 2012

Non-Euclidean Geometries_Transcribed by Marsigit




Non-Euclidean Geometries
Transcribed by Marsigit , Yogyakarta State University, Indonesia
Email: marsigitina@yahoo.com


The historical developments of non-Euclidean geometry were attempts to deal with the fifth axiom.

Mathematicians first tried to directly prove that the first 4 axioms could prove the fifth. However, mathematicians were becoming frustrated and tried some indirect methods.

Girolamo Saccheri (1667-1733) tried to prove a contradiction by denying the fifth axiom. He started with quadrilateral ABCD (later called the Saccheri Quadrilateral) with right angles at A and B and where AD = BC. Since he is not using the fifth axiom, he concludes there are three possible outcomes. Angles at C and D are right angles, C and D are both obtuse, or C and D are both acute. Saccheri knew that the only possible solution was right angles.

Saccheri said this was enough to claim a contradiction and he stopped. His reasoning to stop was based on faulty logic. He was going on the presumption that lines and parallel lines worked like those in flat geometry. So his contradiction was only applicable in Euclidean geometry, which was not a contradiction to what he was actually trying to prove. Of course Saccheri did not realize this at the time and he died thinking he had proved Euclid’s fifth axiom from the first four.

A contemporary of Saccheri, Johann Lambert (1728-1777), picked up where Saccheri left off and took the problem just a few steps further. Lambert considered the three possibilities that Saccheri had concluded as consequences of the first four axioms. Instead of finding a contradiction, he found two alternatives to Euclidean geometry. The first option represented Euclidean geometry and while the other two appeared silly, they could not be proven wrong.
Through time (and quite a lot of criticism), these two other possibilities were now being considered as “alternative geometries” to Euclid’s geometry. Eventually these alternate geometries were scholarly acknowledged as geometries, which could stand alone to Euclidean geometry.

The two non-Euclidean geometries were known as hyperbolic and elliptic. Hyperbolic geometry was explained by taking the acute angles for C and D on the Saccheri Quadrilateral while elliptic assumed them to be obtuse.

Let’s compare hyperbolic, elliptic and Euclidean geometries with respect to Playfair’s parallel axiom and see what role parallel lines have in these geometries:
1.)             Euclidean: Given a line L and a point P not on L, there is exactly one line passing through P, parallel to L.
2.)             Hyperbolic: Given a line L and a point P not on L, there are at least two lines passing through P, parallel to L.
3.)             Elliptic: Given a line L and a point P not on L, there are no lines passing through P, parallel to L.

Elliptic Geometry

Elliptic geometry also says that the shortest distance between two points is an arc on a great circle (the “greatest” size circle that can be made on a sphere’s surface).

As part of the revised parallel postulate for elliptic geometries, we learn that there are no parallel lines in elliptical geometry.

This means that all straight lines on the sphere’s surface intersect (specifically, they all interesect in two places).

A famous non-Euclidean geometer, Bernhard Riemann, who dealt mostly with and is credited with the development of elliptical geometries, theorized that the space (we are talking about outer space now) could be boundless without necessarily implying that space extends forever in all directions.

This theory suggests that if we were to travel one direction in space for a really long time, we would eventually come back to where we started! This theory involves the existence of four-dimensional space similar to how the surface of a sphere (which is three dimensional) represents an elliptic 2 dimensional geometry.

Hyperbolic Geometry

Recalling the corresponding Playfair’s axiom for hyperbolic geometry, we see that in hyperbolic geometry, there is more than one parallel line to L, passing through point P, not on L.

Hyperbolic geometries comes with some more restrictions about parallel lines. In Euclidean geometry, we can show that parallel lines are always equidistant, but in hyperbolic geometries, of course, this is not the case.

In hyperbolic geometries, we merely can assume that parallel lines carry only the restriction that they don’t interesect. Furthermore, the parallel lines don’t seem straight in the conventional sense. They can even approach each other in an asymptotically fashion. The surfaces on which these rules on lines and parallels hold true are on negatively curved surfaces.

In hyperbolic geometry, the triangle’s angle sum is less than 180 degrees whereas elliptic geometry has more than 180 degrees. The larger the sides of the triangle, the greater the distortion of the angle sums on both elliptic and hyperbolic geometries. Much like elliptic geometries, the area of a triangle is proportional to its angle sum and of course this implies that there are no similar triangles as well.

14 comments:

  1. Anggoro Yugo Pamungkas
    18709251026
    S2 Pend.Matematika B 2018

    Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
    Berdasarkan artikel diatas, Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang dalam bidang dua dimensi yang baik tegak lurus ke saluran ketiga yaitu yang pertama dalam geometri Euclidean garis tetap konstan jarak dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel, yang kedua dalam geometri hiperbolik mereka kurva pergi satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak lurus umum, garis-garis ini sering disebut ultraparallels, dan yang ketiga dalam geometri berbentuk bulat panjang garis kurva ke arah satu sama lain dan akhirnya berpotongan.

    ReplyDelete
  2. Fabri Hidayatullah
    18709251028
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Geometri non-Euclidean merupakan ilmu tentang bentuk dan konstruksi yang tidak dipetakan langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi. Contoh geometri non-Euclidean ialah geometri hiperbolik dan elips yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. Postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak tidak berpotongan ℓ. Berbeda dengan geometri hiperbolik, yaitu ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan. Sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ. Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah dengan mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus ke baris ketiga: Dalam geometri Euclid baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas dan dikenal sebagai garis sejajar. Dalam geometri hiperbolik kurva jauh dari satu sama lain, terdapat peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum. Garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri eliptik baris kurva terhadap satu sama lain dan akhirnya berpotongan.

    ReplyDelete
  3. Amalia Nur Rachman
    18709251042
    S2 Pendidikan Matematika B UNY 2018

    Terimakasih Prof Marsigit atas ilmunya mengenai geometri non euklid di atas. Dalam Geometri Euclides meliputi geometri metrik hingga geometri Affine, sedangkan geometri non-Euklides muncul ketika ruang metrik tidak ada, atau postulat paralel diabaikan. Dapat dikatakan bahwa Geometri non-Euclides merupakan himpunan kecil geometri berdasarkan aksioma yang berkaitan erat dengan geometri Euclides. Geometri non-Euclid merupakan sebuah tantangan bagi para ilmuwan untuk membuktikan aksioma dan postulat yang digagas oleh euclid

    ReplyDelete
  4. Janu Arlinwibowo
    18701261012
    PEP 2018

    Geometri non Euclid merupakan geometri yang medianya merupakan bidang lengkung. Memang geometri ini tidak sefamiliah geometri Euclid. Dalam geometri ini memiliki berbagai keunikan,salah satunya adalah dimana jumlah sudut pada segitiga itu lebih atau sama dengan 180 derajar dan kurang dari atau sama dengan 270 derajat, sehingga dimungkinkan ketiga sudut pada segitiga merupakan siku-siku.

    ReplyDelete
  5. Fany Isti Bigo
    18709251020
    PPs UNY PM A 2018

    Geometri non euklidean dibagi menjadi dua yaitu geometri hiperbolik dan geomteri elips. Geometri hiperbolik dijelaskan dengan mengambil sudut akut pada segiempat, sementara elips diasumsikan untuk sudut tumpul. Menurut teori Bernhard Riemann tentang geometri elips, dikemukan bahwa ruang (ruang angkasa sekarang) bisa tak terbatas tanpa perlu menyiratkan bahwa ruang meluas selama-lamanya di segala penjuru. Teori ini menunjukkan bahwa jika kita melakukan perjalanan satu arah diruang untuk waktu yang sangat lama, kita akhirnya akan kembali ke mana kita mulai. Geometri hiperbolik dilengkapi dengan beberapa pembatasan lain tentang paralel baris. Dalam geometri euklidean, kita dapat menunjukkan bahwa bahwa paralel baris selalu turutan,tetapi dalam geometri hiperbolik, tentu saja, hal ini tidak terjadi. Dalam geometri hiperbolik, kita hanya bisa berasumsi bahwa paralel baris membawahanya pembatasan bahwa mereka tidak interesect. Selain itu, garis-garis paralel tampaknya tidak langsung dalam arti konvensional.

    ReplyDelete
  6. Aizza Zakkiyatul Fathin
    18709251014
    Pps Pendidikan Matematika A

    Geometri non-euclid adalah salah satu dari dua geometri yang diperoleh dengan meniadakan Euclidean parallel postulat, yaitu hiperboli dan eliptik. Perbedaan yang mendasar antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Dari postingan tersebut teah dijelaskan mengenai perbedaan geometri hiperbolik, elips dan Euclidea sehubungan dengan aksioma parallel Playfair dan melihat peran gasi parallel dalam geometri ini yaitu Euclidean, diberi garis L dan titik P tidak pada L, ada persis satu garis yang melewati P, sejajar dengan L. Hiperbolik, diberikan garis L dan titik P tidak pada L, setidaknya ada dua garis yang melewati P, sejajar dengan L. Eliptik, diberi garis L dan titik P tidak pada L, tidak ada garis yang melewati P, sejajar dengan L.
    Terimakasih Prof atas materi geometri non-Euclidean.

    ReplyDelete
  7. Nani Maryani
    18709251008
    S2 Pendidikan Matematika (A) 2018
    Assalamu'alaikum Wr.Wb

    Dua geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan elips. Geometri hiperbolik dijelaskan dengan mengambil sudut akut untuk C dan D pada Saccheri Quadrilateral, sementara elips menganggapnya sebagai tumpul. Dalam perkembangan sejarahnya, geometri non-euclid merupakan usaha yang berhubungan dengan aksioma kelima. Girolamo Saccheri berupaya untuk membuktikan geometri non-euclid dengan membuktikan menyangkal aksioma kelima menggunakan kontradiksi. Langkah tersebut dimulai dengan ABCD segiempat dengan sudut kanan pada A dan B dan di mana AD = BC. Karena dia tidak menggunakan aksioma kelima, dia menyimpulkan ada tiga kemungkinan hasil. Sudut pada C dan D adalah sudut kanan, C dan D keduanya tumpul, atau C dan D keduanya akut. Kemudian Girolama tahu bahwa satu-satunya solusi yang mungkin adalah sudut kanan.

    Wassalamu'alaikum Wr.Wb

    ReplyDelete
  8. Nani Maryani
    18709251008
    S2 Pendidikan Matematika (A) 2018
    Assalamu'alaikum Wr.Wb

    Girolamo mengatakan bahwa agar dia berhenti hanya cukup dengan mengklaim kontradisi dari pernyataan geometri tersebut. Alasan Ia untuk berhenti sebenarnya didasarkan pada logika yang salah. Ia juga berpendapat bahwa garis-garis dan garis paralel bekerja seperti pada konsep geometri datar. Sehingga kontradiksinya hanya berlaku dalam geometri Euclidean yang bukan kontradiksi dengan apa yang sebenarnya sedang Ia buktikan. Padahal, Girolamo tidak menyadari hal ini dan ia berpikir bahwa ia telah mampu membuktikan aksioma keliam Euclid dari empat yang pertama.

    Wassalamu'alaikum Wr.Wb

    ReplyDelete
  9. Rosi Anista
    18709251040
    S2 Pendidikan Matematika B

    Geometri Non Euclid timbul karena para matematikawan berusaha untuk membuktikan postulat kelima dari Euclides. Non-Euclidean geometri adalah contoh dari sebuah pergeseran paradigma dalam sejarah ilmu pengetahuan.Penemuan non-Euclidean geometri memiliki efek riak yang jauh melampaui batas-batas matematika dan ilmu pengetahuan.

    ReplyDelete
  10. Nur Afni
    18709251027
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.
    Berdasarkan elegi ini diperoleh bahwa Geometri elips juga mengatakan bahwa jarak terpendek antara dua titik adalah busur pada lingkaran besar dimana lingkaran ukuran terbesar yang dapat dibuat pada permukaan bola. Sebagai bagian dari postulat paralel yang direvisi untuk geometri elips, seperti yang sudah diketahui bahwa tidak ada garis paralel dalam geometri elips. Tentunya kajian tentang geometri ini sangat menarik dan terus dikaji serta dilakukan pengembangannya dalam pembelajaran matematika saat ini. terimakasih

    ReplyDelete
  11. Dini Arrum Putri
    18709251003
    S2 P Math A 2018

    Dari tulisan di atas, geomtri non euclid adalah geomtri yang membahas tentang bidang yang lengkung atau hiperbola dan elips. Dalam hal ini geometri nom euclid berhubungan dengan aksioma dan postulat ke lima. Dalam proses pembelajarannya guru perlu menanamkan konsep yang benar benar harus dipahami siswa.

    ReplyDelete
  12. Sintha Sih Dewanti
    18701261013
    PPs S3 PEP UNY

    Geometri non-Euclidean berkembang dimulai dengan pencarian untuk memahami pergerakan bintang dan planet di langit yang tampaknya setengah bola. Sebagai contoh, Euclid (berkembang sekitar 300 SM) menulis tentang geometri bola dalam karya astronominya, Phaenomena. Selain melihat ke langit, orang zaman dahulu berusaha memahami bentuk Bumi dan menggunakan pemahaman ini untuk menyelesaikan masalah dalam navigasi jarak jauh dan kemudian untuk survei skala besar.

    ReplyDelete
  13. Diana Prastiwi
    18709251004
    S2 P. Mat A 2018

    Bahasan tersebut dipelajari dalam bidang matematika. Menjelaskan tentang geometeri non Euclidean yang juga dikenal sebagai hiperbolik dan eliptik. Euclid menulis The Elements yang menjadi salah satu buku terkenal yang menyatakan 5 postulat. Pada geometri non-Euclidean sebagai pengambilan sudut pusat pada geometri hiperbolik. Dan untuk geometri eliptik sebagai bagian yang tumpul. Dan masih banyak lagi geomtri yang lain.

    ReplyDelete
  14. Wow! this is Amazing! Do you know your hidden name meaning ? Click here to find your hidden name meaning

    ReplyDelete