Nov 30, 2012

Non-Euclidean Geometries_Transcribed by Marsigit




Non-Euclidean Geometries
Transcribed by Marsigit , Yogyakarta State University, Indonesia
Email: marsigitina@yahoo.com


The historical developments of non-Euclidean geometry were attempts to deal with the fifth axiom.

Mathematicians first tried to directly prove that the first 4 axioms could prove the fifth. However, mathematicians were becoming frustrated and tried some indirect methods.

Girolamo Saccheri (1667-1733) tried to prove a contradiction by denying the fifth axiom. He started with quadrilateral ABCD (later called the Saccheri Quadrilateral) with right angles at A and B and where AD = BC. Since he is not using the fifth axiom, he concludes there are three possible outcomes. Angles at C and D are right angles, C and D are both obtuse, or C and D are both acute. Saccheri knew that the only possible solution was right angles.

Saccheri said this was enough to claim a contradiction and he stopped. His reasoning to stop was based on faulty logic. He was going on the presumption that lines and parallel lines worked like those in flat geometry. So his contradiction was only applicable in Euclidean geometry, which was not a contradiction to what he was actually trying to prove. Of course Saccheri did not realize this at the time and he died thinking he had proved Euclid’s fifth axiom from the first four.

A contemporary of Saccheri, Johann Lambert (1728-1777), picked up where Saccheri left off and took the problem just a few steps further. Lambert considered the three possibilities that Saccheri had concluded as consequences of the first four axioms. Instead of finding a contradiction, he found two alternatives to Euclidean geometry. The first option represented Euclidean geometry and while the other two appeared silly, they could not be proven wrong.
Through time (and quite a lot of criticism), these two other possibilities were now being considered as “alternative geometries” to Euclid’s geometry. Eventually these alternate geometries were scholarly acknowledged as geometries, which could stand alone to Euclidean geometry.

The two non-Euclidean geometries were known as hyperbolic and elliptic. Hyperbolic geometry was explained by taking the acute angles for C and D on the Saccheri Quadrilateral while elliptic assumed them to be obtuse.

Let’s compare hyperbolic, elliptic and Euclidean geometries with respect to Playfair’s parallel axiom and see what role parallel lines have in these geometries:
1.)             Euclidean: Given a line L and a point P not on L, there is exactly one line passing through P, parallel to L.
2.)             Hyperbolic: Given a line L and a point P not on L, there are at least two lines passing through P, parallel to L.
3.)             Elliptic: Given a line L and a point P not on L, there are no lines passing through P, parallel to L.

Elliptic Geometry

Elliptic geometry also says that the shortest distance between two points is an arc on a great circle (the “greatest” size circle that can be made on a sphere’s surface).

As part of the revised parallel postulate for elliptic geometries, we learn that there are no parallel lines in elliptical geometry.

This means that all straight lines on the sphere’s surface intersect (specifically, they all interesect in two places).

A famous non-Euclidean geometer, Bernhard Riemann, who dealt mostly with and is credited with the development of elliptical geometries, theorized that the space (we are talking about outer space now) could be boundless without necessarily implying that space extends forever in all directions.

This theory suggests that if we were to travel one direction in space for a really long time, we would eventually come back to where we started! This theory involves the existence of four-dimensional space similar to how the surface of a sphere (which is three dimensional) represents an elliptic 2 dimensional geometry.

Hyperbolic Geometry

Recalling the corresponding Playfair’s axiom for hyperbolic geometry, we see that in hyperbolic geometry, there is more than one parallel line to L, passing through point P, not on L.

Hyperbolic geometries comes with some more restrictions about parallel lines. In Euclidean geometry, we can show that parallel lines are always equidistant, but in hyperbolic geometries, of course, this is not the case.

In hyperbolic geometries, we merely can assume that parallel lines carry only the restriction that they don’t interesect. Furthermore, the parallel lines don’t seem straight in the conventional sense. They can even approach each other in an asymptotically fashion. The surfaces on which these rules on lines and parallels hold true are on negatively curved surfaces.

In hyperbolic geometry, the triangle’s angle sum is less than 180 degrees whereas elliptic geometry has more than 180 degrees. The larger the sides of the triangle, the greater the distortion of the angle sums on both elliptic and hyperbolic geometries. Much like elliptic geometries, the area of a triangle is proportional to its angle sum and of course this implies that there are no similar triangles as well.

37 comments:

  1. Sumandri
    16709251072
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Menurut saya artikel diatas cukup menyita perhatian apalagi seorang matematikawan, dalam artikel itu membahas tentang geometri non-euclidean. Dimana Perkembangan sejarah geometri non-Euclidean adalah upaya untuk menangani aksioma kelima. Matematikawan pertama kali mencoba untuk langsung membuktikan bahwa aksioma 4 sebelumnya bisa membuktikan aksioma kelima. Namun, ahli matematika yang menjadi frustrasi dan mencoba beberapa metode tidak langsung. Dua geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan eliptik. geometri hiperbolik dijelaskan dengan mengambil sudut akut untuk C dan D di Saccheri Segiempat sementara eliptik diasumsikan mereka untuk menjadi tumpul. Teori Geometri elliptic menunjukkan bahwa jika kita melakukan perjalanan satu arah dalam ruang untuk waktu yang sangat lama, kita akhirnya akan kembali ke mana kita mulai! Teori ini melibatkan keberadaan ruang empat dimensi mirip dengan bagaimana permukaan bola (yang tiga dimensi) merupakan elips 2 dimensi geometri. Dalam geometri hiperbolik, kita hanya bisa berasumsi bahwa garis sejajar hanya membawa pembatasan bahwa mereka tidak interesect. Selanjutnya, garis paralel tampaknya tidak langsung dalam arti konvensional. Mereka bahkan dapat mendekati satu sama lain dalam mode asimtotik. Permukaan yang aturan-aturan ini pada baris dan paralel berlaku adalah pada permukaan negatif melengkung. Dalam geometri hiperbolik, jumlah sudut segitiga adalah kurang dari 180 derajat sedangkan geometri eliptik memiliki lebih dari 180 derajat.

    ReplyDelete
  2. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)

    Ada 2 geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan elips. Geometri hiperbolik dijelaskan dengan mengambil sudut akut untuk C dan D pada Saccheri Segiempat sementara eliptik diasumsikan mereka untuk menjadi tumpul.

    Geometri hiperbolik: Geometri yang awalnya dikembangkan oleh matematikawan Janos Bolyai dan Lobachevsky. Geometri ini mulanya mempersoalkan aksioma ke-5 dari lima aksioma geometri bidang euclid, yaitu aksioma kesejajaran. Para matematikawan mencoba untuk membuktikan bahwa aksioma kelima Euclide bukanlah aksioma , dengan menggunakan aksioma ke-1 hingga ke-4, namun usaha mereka tidaklah berhasil. Berangkat dari percobaan untuk membuktikan bahwa aksioma kesejajaran bukanlah sebagai suatu aksioma melainkan teorema, munculah inspirasi pengetahuan baru mengenai geometri hiperbolik. Janos Bolyai dan Nicholas Lobhacevsky adalah matematikawan yang layak untuk dihargai karena berhasil menemukan sesuatu yang baru tersebut, ditempat yang berbeda dan secara sendiri-sendiri.

    Geometri Non Euclid lahir setelah terpecahkannya permasalahan postulat kesejajaran Euclid oleh Bolya dan Lobachevsky. Geometri non euclid diantaranya geometri Lobachevsky dan geometri Riemann. Geometri Lobachevsky disebut geometri Hiperbolik, mengingat bahwa melalui 1 titik di luar suatu garis dapat dibuat 2 garis yang sejajar garis tersebut. Geometri Riemann disebut geometri Eliptik, mengingat tidak ada garis yang dapat dibuat sejajar garis tersebut. Sedangkan geometri Euclid disebut geometri Parabolik, mengingat bahwa hanya ada 1 garis yang sejajar garis tersebut

    ReplyDelete
  3. Saepul Watan
    16709251057
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Geometri non Euclidean dibagi menjadi dua yaitu geometri hiperbolik dan geometri elips. Geometri hiperbolik dijelaskan dengan mengambil sudut akut pada segiempat, sementara elips diasumsikan untuk sudut tumpul. Menurut teori Bernhard Riemann tentang geometri elips, mengemukakan bahwa ruang (ruang angkasa sekarang) bisa tak terbatas tanpa perlu menyiratkan bahwa ruang meluas selama-lamanya di segala penjuru.
    Teori ini menunjukkan bahwa jika kita melakukan perjalanan satu arah di ruang untuk waktu yang sangat lama, kita akhirnya akan kembali ke mana kita mulai. Geometri hiperbolik dilengkapi dengan beberapa pembatasan lain tentang paralel baris. Dalam geometri Euclidean, kita dapat menunjukkan bahwa paralel baris selalu turutan,tetapi dalam geometri hiperbolik, tentu saja, hal ini tidak terjadi. Dalam geometri hiperbolik, kita hanya bisa berasumsi bahwa paralel baris membawahanya pembatasan bahwa mereka tidak interesect. Selain itu, garis-garis paralel tampaknya tidak langsung dalam arti konvensional. Mereka bahkan dapat mendekati satu sama lain dalam asimtotik mode. Permukaan dimana aturan-aturan ini pada baris dan paralel berlaku adalah dipermukaan yang lengkung negatif.

    ReplyDelete
  4. Wahyu Lestari
    16709251024
    PPs P.Matematika Kelas D

    dari arikel di atas, geometri alternatif ini diakui secara ilmiah sebagai geometri, yang bisa berdiri sendiri untuk geometri Euclidean. Dua geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan elips. Geometri hiperbolik dijelaskan dengan mengambil sudut akut untuk C dan D pada Quadratateral Saccheri sementara elips menganggapnya tumpul.

    ReplyDelete
  5. Syahlan Romadon
    PM C 2016/ 16709251047

    Geometri non-euclidian muncul karena adanya kecacatan pada postulat kelima. Matematikawan awalnya mencoba untuk membuktikan postulat kelima secara langsung dengan menggunakan empat postulat pertama. Kemudian matematikawan belum dapat membuktikannya dan mencoba membuktikannya dengan menggunakan metode tidak langsung seperti kontradiksi. Namun postulat kelima belum dapat terbukti sehingga muncullah geometry non-euclidean. Geometri non-Euclidean adalah geometri yang berbeda dengan geometri Euclid. Setiap geometri non-Euclidean adalah sistem yang konsisten dari definisi, asumsi, dan bukti-bukti yang menggambarkan objek, seperti titik, garis dan bidang. Yang paling umum dalam geometri non-Euclidean adalah geometri eliptik dan geometri hiperbolik. Perbedaan penting antara geometri Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis parallel.

    ReplyDelete
  6. Annisa Hasanah
    16709251051
    PPS Pendidikan Matematika C 2016

    Geometri Euclidian muncul karena cacatnya postulat kelima, beberapa matematikawan menganggap bahwa postulat kelima Euclid bukan postulat dan dapat dibuktikan dengan keempat postulat yang lain. Postulat kelima ini masih sukar diterima dan dipahami maka beberapa matematikawan berusaha untuk membuktikan dan menggantikannya dengan postulat yang ekuivalen.
    Geometri Non Euclid timbul karena para matematikawan berusaha untuk membuktikan postulat kelima dari Euclides. Sehingga Geometri Non Euclid masih berdasarkan empat postulat pertama dari Euclides dan hanya berbeda pada 4 postulat kelimanya. Ada dua macam Geometri Non Euclid yang pertama adalah Geometri Hiperbolik atau Geometri Lobachevsky dan Geometri Eliptik atau Geometri Riemann.

    ReplyDelete
  7. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Postulat Kesejajaran Euclid menyatakan bahwa (A) dua garis yang tegak lurus dengan garis yang sama akan sejajar (bab 2, teorema 2, corollary).
    Sifat (A) adalah akibat langsung dari Teorema Sudut Eksterior, sehingga harus ditentukan postulat mana yang bergantung pada Teorema Susut Eksterior.
    Akan tetapi pembuktian Teorema Sudut Eksterior cukup kompleks dan melibatkan pembahasan secara grafik melalui diagram.
    Akibatnya, cukup sulit menentukan sifat penting mana yang harus dihilangkan.
    Tetapi, ada bukti alternatif (A) yang cukup mudah dan tidak membutuhkan sifat-sifat yang penting.

    ReplyDelete
  8. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Para peneliti pertama dalam geometri hiperbolik terdiri dari mencoba untuk menemukan inkonsistensi sekitar aksioma paralel: Proclus, Omar Khayyam, Nasir al-Din al-Tusi, dan kemudian Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert, dan Legendre . Pada abad kesembilan belas, János Bolyai dan kerja Nikolai Ivanovich Lobachevsky adalah sangat efektif, sehingga beberapa bagian dari hiperbolik Geometri sedang diingat oleh nama-nama mereka. Karl Friedrich Gauss bekerja di bidang ini, namun pekerjaan dirahasiakan. Setelah model yang disediakan Eugenio Beltrami, dan menggunakan model ini geometri hiperbolik itu konsisten jika Euclidean geometri terbukti konsisten. Geometri hiperbolik (hyperboloid geometri -saddl ke geometry- atau disebut juga Lobachevski geometri) hanya pesawat hiperbolis berpotongan jangka paralel digunakan untuk menggambarkan sebuah lingkaran tetapi dalam pasangan yang berpotongan di tak terhingga. Jika itu benar apa sepasang pesawat hiperbolis maupun lingkaran di persimpangan di tak terhingga (yang tidak berpotongan dalam kedua kasus) disebut aşırıparalel. Sebuah fitur yang signifikan hiperbolis dari pesawat dapat ditarik satu strut adalah umum untuk dua baris untuk masing-masing pasangan aşırıparalel yang benar.

    ReplyDelete
  9. Resvita Febrima
    16709251076
    P-Mat D 2016
    Geometri hiperbolik merupakan salah satu bentuk dari geometri non-Euclid yang muncul akibat kontroversi terhadap postulat kesejajaran euclid. Didalam geometri Euclid terdapat lima postulat (aksioma/teorema) yang sangat terkenal. Empat postulat pertama sangat jelas dan mudah dibuktikan oleh para matematikawan pada saat itu, tetapi postulat yang kelima menimbulkan perdebatan diantara para matematikawan.

    ReplyDelete
  10. Resvita Febrima
    16709251076
    P-Mat D 2016

    Dalam matematika, geometri non-Euklides (bahasa Inggris: non-Euclidean geometry) adalah himpunan kecil geometri berdasarkan aksioma yang berkaitan erat dengan geometri Euklides. Jika geometri Euklides terbentang antara geometri metrik dan geometri Affine, geometri non-Euklides muncul saat ruang metrik tidak ada, atau postulat paralel diabaikan. Perbedaan mendasar dari geometri metrik adalah keadaan garis paralel. Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri tersebut adalah dengan menggambarkan dua garis lurus dengan panjang tak hingga yang keduanya tegak lurus dengan sebuah garis ketiga.

    ReplyDelete
  11. Dessy Rasihen
    16709251063
    S2 P.MAT D

    Dalam matematika, geometri non-Euclide merupakan himpunan kecil geometri berdasarkan aksioma yang berkaitan erat dengan geometri Euklides. Geometri non-Euklides muncul saat ruang metrik tidak ada, atau postulat paralel diabaikan. Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Euclid ‘s kelima mendalilkan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui l dan titik A, yang tidak pada l, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan pada l. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak baris melalui A l tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap baris melalui A memotong.

    ReplyDelete
  12. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Geometri hiperbolik merupakan salah satu bentuk dari geometri non-Euclid yang muncul akibat kontroversi terhadap postulat kesejajaran euclid.
    Dalam geometri euclid terdapat lima postulat (aksioma/teorema) yang sangat terkenal.
    Empat postulat pertama sangat jelas sehingga mudah dibuktikan oleh para matematikawan, berbeda dengan postulat yang kelima menimbulkan perdebatan diantara para matematikawan.
    Postulat kelima dikenal dengan postulat kesejajaran geometri euclid yang menjadi titik tolak munculnya geometri non-euclid.
    Geometri hiperbolik adalah geometri yang menggunakan empat postulat geometri euclid dan mengganti postulat kesejajaran euclid dengan negasinya yaitu postulat kesejajaran hiperbolik. Akibat pergantian postulat ini terjadi sifat antara geometri euclid dan geometri hiperbolik salah satunya adalah jumlah ukuran sudut segitiga.

    ReplyDelete
  13. ARNY HADA INDA
    16709251079
    PPS-MAT D 2016
    Euclid, yang merupakan ahli logika ternama, bergantung sepenuhnya pada pembuktian menggunakan gambar. Postulat sejajar Euclid, yakni berupa satu kalimat penting dalam sejarah kontroversi intelektual, dapat dinyatakan sebagai berikut : Jika dua garis dibagi oleh garis transversal sedemikian sehingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada sisi transversal adalah kurang dari 180o, garis tersebut akan bertemu pada sisi transversal tersebut. Sejarah pentingnya postulat sejajar tersebut didasarkan pada peran pentingnya dalam teori Euclid. Oleh karena itu, pertama dimulai dengan mensketsa teori geometri bidang Euclid. Agar menjadi bukti, penting dilakukan pemeriksaan terhadap struktur teori ini. Perlakuan yang dilakukan tidak mengikuti detailnya perkembangan Euclid, tetapi menekankan pada ide dasarnya dengan menggunakan istilah yang lebih modern dan juga perlakuan yang cukup sesuai dengan hasil kerjanya yang sekarang, sehingga banyak dipakai di berbagai buku ajar.

    ReplyDelete
  14. ARNY HADA INDA
    16709251079
    PPS-MAT D 2016
    Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri yang tidak geometri Euclidean , tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri.
    Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Euclid ‘s kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara dengan yang Playfair postulat yang menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan A titik, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak baris melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap baris melalui A memotong ℓ .

    ReplyDelete
  15. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2

    Dapat kita pahami bahwa Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri yang tidak geometri Euclidean , tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri. Geometri non-Euclidean muncul sebagai upaya untuk menangani postulate ke-5. Postulate ke-5 berbunyi Jika 2 buah garis memotong memotong garis ketiga membentuk dua sudut dalam yang jumlah sudutnya kurang dari jumlah 2 sudut siku-siku maka kedua garis tersebut akan berpotongan satu sama lain. Postulate ke-5 dinamakan Postulate Kesejajaran, Mengapa? Karena menurut Postulate ke-5, dua garis akan sejajar jika dipotong oleh suatu garis maka jumlah 2 sudut dalam yang terbentuk adalah 180°. Nah…postulate kesejajaran ini ekuivalen dengan Aksioma Fair Play. Aksioma Fairplay: Diberikan garis lurus g dan titik P yang bukan berada di g maka hanya ada satu garis yang melalui P dan sejajar dengan garis g.

    ReplyDelete
  16. Lana Sugiarti
    16709251062
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Dari artikel tersebut saya dapat mengambil kesimpulan bahwa Sacceri beranggapan bahwa garis dan garis sejajar bekerja seperti geometri datar. Jadi kontradiksinya hanya berlaku pada geometri Euclidean, yang bukan kontradiksi dengan apa yang sebenarnya dia coba buktikan. Saccheri tidak menyadari hal ini pada saat itu dan dia meninggal karena mengira dia telah membuktikan aksioma kelima Euclid dari empat yang pertama. Selain itu, Lambert mempertimbangkan tiga kemungkinan yang telah disimpulkan Saccheri sebagai konsekuensi dari empat aksioma pertama. Alih-alih menemukan kontradiksi, ia menemukan dua alternatif geometri Euclidean. Pilihan pertama mewakili geometri Euclidean dan sementara dua lainnya tampak konyol, mereka tidak dapat dibuktikan salah.
    Melalui waktu (dan cukup banyak kritik), kedua kemungkinan lainnya sekarang dianggap sebagai "geometri alternatif" bagi geometri Euclid. Akhirnya geometri alternatif ini diakui secara ilmiah sebagai geometri, yang bisa berdiri sendiri untuk geometri Euclidean. Hingga saat ini geometri Euclid diterapkan dibanyak materi geometri hingga di pendidikan tinggi.

    ReplyDelete
  17. Primaningtyas Nur Arifah
    16709251042
    Pend. Matematika S2 kelas C 2016
    Assalamu’alaikum. Geometri Euclid adalah Geometri bidang datar, yang menjelaskan sifat-sifat titik dan garis pada bidang datar. Euclid menyadari bahwa titik dan garis yang digambarkan di selembar kertas mempunyai sifat-sifat yang konsisten. Dari sinilah dia menuliskan 5 aksioma bagi Geometrinya yang dikenal dengan sebutan Lima Postulat. Pada abad ke-19, Para Matematikawan mulai berpikiran “bagaimana jika Postulate kesejaran tidak berlaku?”. Akibatnya pemikiran ini timbulah Geometri baru dimana postulate kesejajaran tidak berlaku tetapi postulate 1-4 tetap berlaku. Geometri baru inilah yang disebut Geometri non-Euclidian. Ada 2 macam Geometri non-Euclidian yaitu Geometri Elliptik dan Geometri Hiperbolik

    ReplyDelete
  18. Loviga Denny Pratama
    16709251075
    S2 P.Mat D

    Di artikel ini salah satu pembahasannya yaitu elliptic dimana tidak ada garis sejajar dalam geometri elips. Ini berarti bahwa semua garis lurus pada permukaan bola berpotongan (khususnya, semuanya saling terkait di dua tempat). Sehingga dari sini pada ruang (kita sedang berbicara tentang angkasa sekarang) dapat tanpa batas tanpa harus menyiratkan bahwa ruang meluas selamanya ke segala arah. Teori ini menunjukkan bahwa jika kita menempuh satu arah dalam ruang untuk waktu yang sangat lama, akhirnya kita akan kembali ke tempat kita memulai. itulah yang dapat saya ceritakan sebagai dari elliptic geometri.

    ReplyDelete
  19. Ahmad Wafa Nizami
    16709251065
    S2 Pendidikan Matematika D

    Artikel ini membahas bagaimana girolamo Saccheri (1667-1733) mencoba membuktikan kontradiksi dengan menolak aksioma kelima. Dia memulai dengan ABCD segiempat (kemudian disebut Saccheri Quadrilateral) dengan sudut kanan di A dan B dan di mana AD = SM. Karena dia tidak menggunakan aksioma kelima, dia menyimpulkan ada tiga kemungkinan hasil. Sudut di C dan D adalah sudut siku-siku, C dan D keduanya tumpul, atau C dan D keduanya akut. Saccheri tahu bahwa satu-satunya solusi yang mungkin adalah sudut yang benar. Hal serupa juga terjadi pada geometri hiperbolik, jumlah sudut segitiga kurang dari 180 derajat sedangkan geometri elips memiliki lebih dari 180 derajat. Semakin besar sisi segitiga, semakin besar distorsi sudut pada geometri eliptik dan hiperbolik. Sama seperti geometri elips, luas segitiga sebanding dengan jumlah sudutnya dan tentu saja ini menyiratkan bahwa tidak ada segitiga serupa juga.

    ReplyDelete
  20. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Geometri non Euclid muncul karena tidak mengikutsertakan aksioma kelima Euclid yaitu” Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu.” Euclid berusaha menghindari menggunakan postulat kelima dan berhasil dalam 28 proposisi pertama dalam bukunya The Elements, tetapi untuk proposisi ke 29 ia membutuhkannya. Bagian dari geometri yang dapat diturunkan hanya dengan menggunakan empat postulat pertama Euclid kemudian dikenal sebagai geometri absolut. Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel garis. Euclid ‘s kelima menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui misal garis ℓ dan titik A yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan dengan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak garis melalui A yang tidak berpotongan dengan garis ℓ, sementara itu dalam geometri eliptik, setiap garis yang melalui A memotong ℓ atau tidak ada garis yang melalui A yang sejajar dengan garis ℓ.

    ReplyDelete
  21. Ardeniyansah
    16709251053
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Ada 2 geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan elips. Model untuk geometri hiperbolik dijawab oleh Eugenio Beltrami pada 1868 yang pertama kali menunjukkan bahwa permukaan yang disebut pseudosphere memiliki sesuai kelengkungan untuk model sebagian dari ruang hiperbolik, dalam makalah kedua di tahun yang sama, mendefinisikan Model Klein yang model keseluruhan dari ruang hiperbolik digunakan untuk menunjukkan bahwa geometri Euclidean dan geometri hiperbolik adalah equiconsistent sehingga geometri hiperbolik adalah logis konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean adalah Implikasi terbalik berikut dari horosphere model geometri Euclidean.

    ReplyDelete
  22. Cendekia Ad Dien
    16709251044
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Geometri Non-Euclid adalah salah satu dari dua geometri tertentu, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat, yaitu geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Dengan kata lain, untuk memperoleh geometri non-Euclidean, dalil paralel (atau ekuivalen) harus diganti oleh yang negasi yaitu dengan meniadakan aksioma Playfair. Adanya penemuan geometri non-Euclidean memiliki efek riak yang jauh melampaui batas-batas matematika dan ilmu pengetahuan. Filsuf Immanuel Kant memiliki peran khusus untuk geometri. Sayangnya bagi Kant, konsep geometri tanpa disengaja benar adalah Euclidean. Teologi juga dipengaruhi oleh perubahan dari kebenaran absolut untuk kebenaran relatif dalam matematika yang adalah hasil dari pergeseran paradigma.

    ReplyDelete
  23. Syaifulloh Bakhri
    16709251049
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Assalamu’alaikum wr.wb.
    In mathematics, non-Euclidean geometry consists of two geometries based on axioms closely related to those specifying Euclidean geometry. As Euclidean geometry lies at the intersection of metric geometry and affine geometry, non-Euclidean geometry arises when either the metric requirement is relaxed, or the parallel postulate is replaced with an alternative one. In the latter case one obtains hyperbolic geometry and elliptic geometry, the traditional non-Euclidean geometries. When the metric requirement is relaxed, then there are affine planes associated with the planar algebras which give rise to kinematic geometries that have also been called non-Euclidean geometry.
    The essential difference between the metric geometries is the nature of parallel lines. Another way to describe the differences between these geometries is to consider two straight lines indefinitely extended in a two-dimensional plane that are both perpendicular to a third line.
    In hyperbolic geometry they "curve away" from each other, increasing in distance as one moves further from the points of intersection with the common perpendicular; these lines are often called ultraparallels.
    In elliptic geometry the lines "curve toward" each other and intersect.

    ReplyDelete
  24. Heni Lilia Dewi
    16709251054
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Euclid bersama dengan buku-bukunya melahirkan sebuah geometri Euclid berupa definisi, dalil, postulat dan teorema nya. Namun, pada postulat kelima terjadi banyak perdebadan karena dianggap bukan postulat (dapat dibuktikan dari keempat postulat lainnya). Oleh karena itu lahirlah geometri non-Euclid yang terjadi pada bidang ellips dan hiperbola. Geometri Eliptik berbeda dengan geometri Euclid hanya pada postulat kesejajarannya saja. Pada geometri Hiperbolik sebuah bidang direpresentasikan oleh sebuah lingkaran O.

    ReplyDelete
  25. Desy Dwi Frimadani
    16709251050
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Euclid ‘s kelima mendalilkan, yang paralel mendalilkan , setara dengan yang Playfair postulat yang menyatakan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui l dan A titik, yang tidak pada l, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan l.

    ReplyDelete
  26. Windi Agustiar Basuki
    16709251055
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    geometri non-Euclidean adalah geometri eliptik dan geometri hiperbolik dimana setiap geometri non-Euclidean adalah sistem yang konsisten dari definisi, asumsi, dan bukti-bukti yang menggambarkan objek, seperti titik, garis dan bidang. Penemuan geometri non-Euclidean juga memiliki dampak yang besar pada perkembangan matematika pada abad 19 dan 20. Sebagai hasilnya, metode aksiomatik telah terpisah dari intuisi dan diformalkan, yang akhirnya menyebabkan perkembangan metamatika, Teori Model, Godel dan Non-Standar Analisis Abraham Robinson.

    ReplyDelete
  27. Luki Slamet Purwoko
    14301241008
    S1 Pendidikan Matematika I 2014

    Bagitulah kakekat dari Ilmu yaitu Kontradiksi. Begitu juga Matematika sebagai Ilmu. Seperti yang dipaparkan dalam artikel di atas, Matematika khusunya dalam bidang geometri juga terdapat kontradiksi. Setiap manusia dapat memikirkan satu objek dengan berbagai sudut pandang. Contohnya dalam memandang Sistem Geometri Euclid. Ada yang memandang bahwa geometri Euclid ada yang tidak benar seperti bahwa dua garis pasti akan berpotongan di suatu titik. Dalam geometri Euclid ada kalanya tidak seperti itu. Namun ada orang yang membantah hal tersebut dan mendapatkan ilmu baru sebagai ilmu tentang system geometri bola. Begitulah hakekeat ilmu, selagi tetap berpikir pasti akan terjadi kontradiksi di dalamnya yang ada dan yang mungkin ada.

    ReplyDelete
  28. Ratih Eka Safitri
    16709251059
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat, yaitu hiperbolik dan geometri eliptik. Dalam geometri Euclidean garis tetap konstan jarak dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.
    Dalam geometri hiperbolik mereka “kurva pergi” satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak lurus umum, garis-garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri berbentuk bulat panjang garis “kurva ke arah” satu sama lain dan akhirnya berpotongan. Geometri non-Euclidean tidak secara luas diterima sebagai sah hingga abad ke-19. Perdebatan yang akhirnya mengarah pada penemuan geometri non-Euclidean dimulai segera setelah pekerjaan Euclid Elements ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lainnya (proposisi) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai "Postulat Euclid Kelima," atau sekadar "postulat sejajar". Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Ruang lingkup geometri non-Euclidean meliputi teori ruang-waktu Herman Minkowski. Ini pengganti geometri bentuk bilinear untuk jarak metrik biasa. Konsep dalam geometri ini mengacu pada sudut hiperbolik daripada sudut Euclidean biasa, misalnya pemetaan bergerak memencet sudut ini seperti halnya sudut bergerak rotasi Euclidean biasa. Alih-alih garis tegak lurus, geometri ruang-waktu menggunakan garis hiperbolik-ortogonal yang menentukan hyperplanes simultanitas.

    ReplyDelete
  29. Hajarul Masi Hanifatur Rohman
    S2 Pendidikan Matematika C 2016
    16709251052

    Bismillaah....
    Geometri non-Eucledian merupakan upaya untuk membuktikan kontradiksi dengan menyangkal aksioma kelima, yang berbunyi “Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, jika kedua garis itu diperpanjang tak terbatas, akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku”. Dua geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan eliptik. Dalam geometri hiperbolik garis sejajar hanya membawa pembatasan tidak interesect. Selain itu, garis paralel tampaknya tidak langsung dan bisa mendekati satu sama lain dalam mode asimtotik, dan jumlah sudut segitiga kurang dari 180 derajat. Sedangkan dalam geometri eliptik tidak ada garis paralel (garis lurus pada permukaan bola berpotongan) dan jumlah sudut segitiga lebih dari 180 derajat.

    ReplyDelete
  30. Lihar Raudina Izzati
    16709251046
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Geometri yang dipelajari di sekolah dari tingkat SD-SMA adalah geometri euclidean, dinamakan demikian karena geometri tersebut dirumuskan oleh Euclid sekitar 300 SM. Geometri euclid adalah geometri bidang datar yang menjelaskan sifat-sifat titik dan garis pada bidang datar. Euclid menyadari bahwa titik dan garis yang digambarkan di selembar kertas mempunyai sifat-sifat yang konsisten.

    ReplyDelete
  31. Muh Ferry Irwansyah
    15709251062
    Pendidikan Matematika PPS UNY
    Kelas D
    Terdapat dua geometri non-Euclidean yaitu geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Geometri eliptik mengatakan bahwa jarak terpendek antara dua titik adalah busur pada lingkaran besar. Ini berarti bahwa semua garis lurus pada permukaan bola itu berpotongan. Teori ini menunjukkan bahwa jika kita melakukan perjalanan satu arah dalam ruang untuk waktu yang sangat lama, kita akhirnya akan kembali ke tempat kita mulai. Teori ini melibatkan keberadaan ruang empat dimensi yang mirip dengan bagaimana permukaan bola (tiga dimensi) merupakan elips geometri 2 dimensi. Dalam geometri hiperbolik, kita hanya bisa berasumsi bahwa garis sejajar hanya membawa pembatasan bahwa mereka tidak memotong. Dalam geometri hiperbolik, sudut jumlah segitiga adalah kurang dari 180 derajat sedangkan geometri eliptik memiliki lebih dari 180 derajat.

    ReplyDelete
  32. Listia Palupi Wisnu Aji
    14301241007
    S1 Pendidikan Matematika I 2014

    Selama ini kita beranggapan bahwa jumlah sudut dalam segitiga adalah 180 derajat. Hal itu benar, karena memang geometri yang kita pelajari di sekolah adalah Geometri Euclid. Akan tetapi, ada pendapat yang mengatakan bahwa hal itu tidak benar, yaitu jika dipandang dari Geometri non Euclid. Yang termasuk dalam geometri non-Euclid adalah geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Dalam geometri eliptik, jumlah sudut dalam segitiga adalah lebih dari 180 derajat sedangkan dalam geometri hiperbolik, jumlah sudut dalam segitiga adalah kurang dari 180 derajat.

    ReplyDelete
  33. Ahmad Bahauddin
    16709251058
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Dalam tiga dimensi, ada tiga kelas geometri kelengkungan yang konstan. Semua didasarkan pada empat dalil Euclid pertama, namun masing-masing menggunakan versinya sendiri dari dalil paralel. Geometri rata-rata "datar" dari intuisi sehari-hari disebut geometri Euclidean (atau geometri parabola), dan geometri non-Euclidean disebut geometri hiperbolik (atau geometri Lobachevsky-Bolyai-Gauss) dan geometri elips (atau geometri Riemannian). Geometri sferis adalah geometri dua dimensi non-Euclidean. Baru pada tahun 1868 Beltrami membuktikan bahwa geometri non-Euclidean sama logisnya dengan geometri Euclidean.

    ReplyDelete
  34. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Geometri non-euclidean muncul akibat para filsuf berpikiran bagaimana jika postulat kesejajaran tidak berlaku? Akibat pemikiran ini timbullah geometri non-euclidean dimana postulat kesejajaran tidka berlaku tetapi postulate 1-4 tetap berlaku. Geometri non-euclidean dibagi menjadi dua yaitu geometri elliptic dan geometri hiperbolik. Geometri elliptic mengenai sifat-sifat titik dan garis pada permukaan bola. Pada geometri ellipti jumlah sudut segitiga selalu lebih dari 180 sedangkan geometri hiperbolik kurang dari 180.

    ReplyDelete
  35. Kunny Kunhertanti
    16709251060
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Dalam artikel ini yang menjelaskan sejarah non-euclides dalam upaya untuk menghadapi aksioma kelima. Geometri yang berada di luar dari bentuk geometri euclidean disebut sebagai geometri selain bidang dua. Karena geometri bidang dua adalah cakupan dari geometri euclidean. Namun untuk bentuk segitiga ketika di letakan pada bidang diluar bidang datar maka bisa saja jumlah sudutnya lebih dari 180 derajat atau lebih dari 180 derajat

    ReplyDelete
  36. Fatmawati
    16709251071
    PM.D 2016
    Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri non-Euclidean termasuk geometri hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan ℓ.

    ReplyDelete
  37. Fatmawati
    16709251071
    PM.D 2016
    Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ. Konsep non-Euclidean geometri sistem geometryNon-Euclidean berbeda dari geometri Euclid dalam bahwa mereka memodifikasi postulat kelima Euclid, yang juga dikenal sebagai postulat paralel. Secara umum, ada dua bentuk (homogen) geometri non-Euclidean, geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Dalam geometri hiperbolik ada garis yang jelas banyak melalui titik tertentu yang tidak akan bersinggungan dengan baris lain yang diberikan. Dalam geometri eliptik tidak ada baris yang tidak akan berpotongan, karena semua yang dimulai terpisah akan berkumpul.

    ReplyDelete