Nov 1, 2012

Kant on the Basis Validity of the Concept of Geometrical

By Marsigit
Yogyakarta State University

In his Critic of Pure Reason (1787) Kant elaborates that geometry is based upon the pure intuition of space; and, arithmetic accomplishes its concept of number by the successive addition of units in time; and pure mechanics especially cannot attain its concepts of motion without employing the representation of time. Kant stresses that both representations, however, are only intuitions; for if we omit from the empirical intuitions of bodies and their alterations (motion) everything empirical, or belonging to sensation, space and time still remain.

Therefore, Kant concludes that pure mathematics is synthetical cognition a priori. Pure mathematics is only possible by referring to no other objects than those of the senses, in which, at the basis of their empirical intuition lies a pure intuition of space and time which is a priori. Kant illustrates, that in ordinary and necessary procedure of geometers, all proofs of the complete congruence of two given figures come ultimately to to coincide; which is evidently nothing else than a synthetical proposition resting upon immediate intuition.

This intuition must be pure or given a priori, otherwise the proposition could not rank as apodictically certain, but would have empirical certainty only. Kant further claims that everywhere space has three dimensions. This claim is based on the proposition that not more than three lines can intersect at right angles in one point.
Kant argues that drawing the line to infinity and representing the series of changes e.g. spaces travers by motion can only attach to intuition, then he concludes that the basis of mathematics actually are pure intuitions; while the transcendental deduction of the notions of space and of time explains the possibility of pure mathematics.

Kant defines that geometry is a science which determines the properties of space synthetically, and yet a priori. What, then, must be our representation of space, in order that such a cognition of it may be possible? Kant explains that it must be originally intuition, for from a mere conception, no propositions can be deduced which go out beyond the conception, and yet this happens in geometry. But this intuition must be found in the mind a priori, that is, before any perception of objects, consequently must be pure, not empirical, intuition.

According to Kant , geometrical principles are always apodeictic, that is, united with the consciousness of their necessity; however, propositions as "space has only three dimensions", cannot be empirical judgments nor conclusions from them. Kant claims that it is only by means of our explanation that the possibility of geometry, as a synthetical science a priori, becomes comprehensible.

As the propositions of geometry are cognized synthetically a priori, and with apodeictic certainty. According to Kant , all principles of geometry are no less analytical; and it based upon the pure intuition of space. However, the space of the geometer would be considered a mere fiction, and it would not be credited with objective validity, because we cannot see how things must of necessity agree with an image of them, which we make spontaneously and previous to our acquaintance with them.

But if the image is the essential property of our sensibility and if this sensibility represents not things in themselves, we shall easily comprehend that all external objects of our world of sense must necessarily coincide in the most rigorous way with the propositions of geometry. The space of the geometer is exactly the form of sensuous intuition which we find a priori and contains the ground of the possibility of all external appearances.

In his own remarks on geometry, Kant regularly cites Euclid’s angle-sum theorem as a paradigm example of a synthetic a priori judgment derived via the constructive procedure that he takes to be unique to mathematical reasoning. Kant describes the sort of procedure that leads the geometer to a priori cognition of the necessary and universal truth of the angle-sum theorem as:

The object of the theorem—the constructed triangle—is in this case “determined in accordance with the conditions of…pure intuition.” The triangle is then “assessed in concreto” in pure intuition and the resulting cognition is pure and a priori, thus rational and properly mathematical. To illustrate, I turn to Euclid’s demonstration of the angle-sum theorem, a paradigm case of what Kant considered a priori reasoning based on the ostensive but pure construction of mathematical concepts.

Euclid reasons as follows: given a triangle ABC , extend the base BC to D. Then construct a line through C to E such that CE is parallel to AB. Since AB is parallel to CE and AC is a transversal, angle 1 is equal to angle 1'. Likewise, since BD is a transversal, angle 2

For Kant , the axioms or principles that ground the constructions of Euclidean geometry comprise the features of space that are cognitively accessible to us immediately and uniquely, and which precede the actual practice of geometry. Kant said that space is three dimensional; two straight lines cannot enclose a space; a triangle cannot be constructed except on the condition that any two of its sides are together longer than the third.

Kant takes the procedure of describing geometrical space to be pure, or a priori, since it is performed by means of a prior pure intuition of space itself. According to Kant, our cognition of individual spatial regions is a priori since they are cognized in, or as limitations on, the essentially single and all encompassing space itself.
Of the truths of geometry e.g. in performing the geometric proof on a triangle that the sum of the angles of any triangle is 180°, it would seem that our constructed imaginary triangle is operated on in such a way as to ensure complete independence from any particular empirical content.

So, in term of geometric truths, Kant might suggest that they are necessary truths or are they contingent viz. it being possible to imagine otherwise. Kant argues that geometric truth in general relies on human intuition, and requires a synthetic addition of information from our pure intuition of space, which is a three-dimensional Euclidean space. Kant does not claim that the idea of such intuition can be reduced out to make the truth analytic.

In the Prolegomena, Kant gives an everyday example of a geometric necessary truth for humans that a left and right hand are incongruent. The notion of "hand" here need not be understood as the empirical object hand. According to Kant, we can assume that our pure intuition filter has adequately abstracted our hand-experience into something detached from its empirical component, so we are merely dealing with a three-dimensional geometric figure shaped like a hand.

By “incongruent", the geometer simply means that no matter how we move one figure around in relation to the other, we cannot get the two figures to coincide, to match up perfectly. Kant points out, there is still something true about the 3-D Euclidean case that has some kind of priority over the other cases. Synthetically, it is necessarily true that the figures are incongruent, since the choice of view point in point of fact no choice at all.


Kant, I, 1783. “Prolegomena to Any Future Metaphysic: , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible? Sect.10, p. 34
2Ibid. p. 35
3 Kant, I., 1787, “The Critic Of Pure Reason: SS 9 General Remarks on Transcendental Aesthetic.” Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003
4 Ibid.
5 Ibid.
6 Ibid.
7 Ibid.
9 Ibid.
10 Ibid.
12Kant, I, 1783, “Prolegomena to Any Future Metaphysic: REMARK 1” Trans. Paul Carus.. Retrieved 2003
15Shabel, L., 1998, “Kant’s “Argument from Geometry”, Journal of the History of Philosophy, The Ohio State University, p.24
16Ibid. p. 28
20 …., 1987, “Geometry: Analytic, Synthetic A Priori, or Synthetic A Posteriori?”, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, Vol. I., "Geometry", , The MIT Press, p. 685
21Ibid. p. 686
22Ibid. p. 689
23Ibid. p.690
24Ibid. p.691
25Ibid. p.692


  1. I Nyoman Indhi Wiradika
    PEP B

    Artikel ini menjelaskan tentang geometri yang didasarkan pada intuisi murni dan, aritmatika menyelesaikan konsep nomornya dengan penambahan unit secara berturut-turut; dan mekanik murni tidak dapat mencapai konsep gerak tanpa adanya representasi waktu. Prinsip-prinsip geometris selalu bersifat apodeictic, yaitu bersatu dengan kesadaran akan kebutuhan prinsip-prinsip dan prinsipnya selalu mengalami perkembangan. Proposisi yang menyebutkan bahwa "ruang hanya memiliki tiga dimensi", tidak dapat dijadikan penilaian empiris maupun kesimpulan dari sebuah prinsip. Dengan penjelasan bahwa adanya kemungkinan geometri, sebagai ilmu sintetik a priori, menjadi lebih komprehensif

  2. Arung Mega Ratna
    PPs PMC 2017

    Kant dalam kritikannya terhadap Pure of Reason (1987) menyimpulkan bahwa matematika murni adalah sintetik kognisi apriori. Geometri yang merupakan salah satu bagian dari matematika didasarkan pada intuisi murni ruang sehingga dapat didefinisikan bahwa geometri adalah ilmu yang menentukan sifat-sifat ruang sintetis, namun apriori serta memiliki prinsip selalu apodeictic, kurang analitik, dan berdasarkan intuisi ruang murni.

  3. Latifah Fitriasari
    PPs PM C

    Geometri seharusnya berlandaskan pada intuisi keruangan murni ini adalah pendaat dari Kant. Jika dari konsep-konsep geometri kita hilangkan konsep-konsep empiris atau penginderaan, maka konsep konsep ruang dan waktu masih akan tersisa; yaitu bahwa konsep-konsep geometri bersifat a priori. Akan tetapi Kant menekankan bahwa, seperti halnya pada matematika pada umumnya, berbagai konsep geometri hanya akan bersifat sintetik a priori jika konsep-konsep itu hanya menunjuk kepada obyek-obyek yang diinderanya. Maka di dalam intuisi empiris terdapat intuisi ruang dan waktu yang bersifat a prior.

    1. Intuisi, dengan macam dan jenisnya memegang peranan yang sangat penting untuk mengkonstruksi matematika sekaligus menyelidiki dan menjelaskan bagaimana matematika dipahami dalam bentuk geometri atau arithmetika. Geometri didasarkan pada intuisi murni ruang, dan, aritmatika menyelesaikan konsep angka dengan penambahan berurutan dari unit dalam waktu. Ia menyimpulkan bahwa matematika murni, sebagai kognisi apriori, hanya mungkin dengan mengacu ada benda selain yang indra, di mana, di dasar intuisi empiris mereka terletak sebuah intuisi murni atau ruang dan waktu yang apriori

  4. Rahma Dewi Indrayanti
    PPS Pendidikan Matematika Kelas B

    Ruang geometri adalah bentuk dari intuisi indera yangditemukan apriori dan mengandung dasar dari kemungkinan semua wujud eksternal. Menurut Kant, ruang adalah tiga dimensi, dua garis lurus tidak dapat melingkupi jarak, segitiga tidak dapat dibangun kecuali pada kondisi dimana dua dari sisi-sisinya lebih panjang dari sisi yang ketiga.

  5. Yusrina Wardani
    PPs PMAT C 2017
    Kant menekankan bahwa kedua representasi hanya intuisi, karena jika kita menghilangkan dari empiris intuisi tubuh dan perubahan mereka (gerak) semua empiris, atau milik sensasi, ruang dan waktu masih tetap, karena intuisi murni terletak apriori pada dasar empiris. Oleh karena itu, Kant menyimpulkan bahwa matematika murni, sebagai kognisi sintetis apriori, hanya mungkin mengacu obyek dari indera, di mana, di dasar intuisi empiris terletak sebuah murni intuisi (ruang dan waktu) yang merupakan apriori.

  6. Yusrina Wardani
    PPs PMAT C 2017
    Kant menyatakan bahwa di mana-mana ruang memiliki tiga dimensi, dan ruang yang tidak bisa dengan cara apapun memiliki lebih tiga dimensi, didasarkan pada dalil bahwa tidak lebih dari tiga baris dapat memotong pada sudut tepat di satu titik. Kant mengemukakan bahwa gambar garis untuk tak terhingga dan mewakili serangkaian perubahan.

  7. Muh Wildanul Firdaus
    Pendidikan matematika S2 kls C

    Kant, berpendapat bahwa geometri seharusnya berlandaskan pada intuisi keruangan murni. Jika dari konsep-konsep geometri kita hilangkan konsep-konsep empiris atau penginderaan, maka konsep konsep ruang dan waktu masih akan tersisa; yaitu bahwa konsep-konsep geometri bersifat a priori. Namun Kant menekankan bahwa, seperti halnya pada matematika pada umumnya, konsep-konsep geometri hanya akan bersifat “sintetik a priori” jika konsep-konsep itu hanya menunjuk kepada obyek-obyek yang di inderanya. Jadi di dalam “intuisi empiris” terdapat intuisi ruang dan waktu yang bersifat a priori.

  8. Firman Indra Pamungkas
    S2 Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    Assalamualaikum Warohmatullah Wabarokatuh
    Berdasarkan artikel tersebut, saya mengetahui bahwa menurut Immanuel Kant, geometri berdasar pada intuisi murni ruang, dimana ruang dan waktu hanyalah intuisi. Jika kita menghilangkan intuisi empiris tubuh dan gerak apapun yang empiris, maka ruang dan waktu masih tetap. Menurut Kant, geometri menentukan sifat ruang secara sintetik namun bersifat apriori. Prinsip geometri selalu apodiktik, yaitu bersatu dengan kesadaran kebutuhan. Oleh karena itu, semua prinsip geometri juga bersifat analitik dan berasal dari intuisi murni ruang.

  9. Junianto
    PM C

    Dalam artikel ini untuk membuktikan bahwa ruang dan waktu merupakan bentuk a priori, Kant memiliki dua kelompok argument. Pertama metafisik dan kedua epistimologis. Argument transedental mengenai konsep ruang dan waktu berasal dari geometri. Meskipun geometri adalah konsep ruang, namun pembuktian dalam teori ini juga tetap membutuhkan angka-angka.

  10. Tri Wulaningrum
    PEP S2 B

    Artikel di atas tentu memberikan banyak pengetahuan baru bagi saya. Sebagai orang yang tidak berkecimpung di dunia matematika secara formal, dengan membaca artikel di atas tentu saya memperoleh banyak pengetahuan baru, salah satunya tentang geometri. Dikarenakan keterbatasan ilmu yang saya miliki, saya pun sedikit berhati-hati untuk menyampaikan pendapat saya tentang geometri ini. Akan tetapi, lewat artikel di atas saya kembali ditegaskan bahwa Kant meletakkan gagasan pikirnya terhadap matematika sebagai bidang kajian yang erta kaitannya dengan intuisi manusia sebagai pembelajar utama. Selain itu, juga ditekankan pendapatnya tentang perolehan pengetahuan matematika lewat metode pikir a priori. Pada artikel ini saya kesulitan untuk memahami pernyataan bahwa geometri adalah sebuah ruang. Saya pun bertanya pada diri saya sendiri, apakah geometri ini hanya membicarakan tentang "ruang"? Mohon pencerahannya

  11. Nama: Dian Andarwati
    NIM: 17709251063
    Kelas: Pendidikan Matematika (S2) Kelas C

    Assalamu’alaikum. Kant menguraikan bahwa geometri didasarkan pada intuisi murni ruang. Kant menyimpulkan bahwa matematika murni adalah kognisi sintetis yang apriori. Kant mendefinisikan geometri sebagai ilmu yang menentukan sifat-sifat ruang sintetis, namun apriori. Menurut Kant prinsip geometris selalu bersifat apodeictic. Menurut Kant semua prinsip geometri tidak kurang analitis dan itu didasarkan pada intuisi murni ruang.

  12. Auliaul Fitrah Samsuddin
    PPs P.Mat A 2017
    Terima kasih atas postingannya, Prof. Geometri merupakan ilmu matematika yang berlandaskan intuisi ruang; dan, aritmetika menyempurnakan konsep bilangannya dengan penjumlahan berurutan satuan waktunya. Namun kedua representasi tersebut hanyalah intuisi; yaitu jika kita mengabaikan semua yang empirik, ruang dan waktu tersebut tetap ada.

  13. Kartika Pramudita
    PEP S2 B

    Geometri dikaitkan dengan ruang sedangkan aritmatika dikaitkan dengan waktu. Ruang sebenar-benarnya merupakan bentuk dari intuisi. Untuk mempelajari geometri dibutuhkan intuisi bukan hanya sekedar konseptual. Sehingga menurut Kant yang dapat dijadikan dasar matematika adalah intuisi murni. Dalam mempelajari geometri tidak hanya secara analitik tetapi secara sintetik yang a priori.

  14. Dewi Thufaila
    Pendidikan Matematika Pascasarjana C 2017

    Dalam mempelajari geometri sebaiknya mengaitkan konsep ruang dengan merepresentasikan, mengkonstruksi matematika sekaligus menyelidiki dan menjelaskan bagaimana matematika dipahami dalam bentuk geometri

  15. Dewi Thufaila
    Pendidikan Matematika Pascasarjana C 2017

    Menurut Imanuel Kant proposisi aritmetika seharusnya bersifat sintetik agar diperoleh konsep-konsep baru, apabila mengandalkan metode analitik, tidak akan diperoleh konsep-konsep baru. Konsep bilangan menjadi nyata sesuai dengan pengalaman empirisnya