Nov 26, 2012

MATHEMATICAL PROOF 1_ Documented by Marsigit



MATHEMATICAL PROOF 1

In mathematics, a proof is a demonstration that, given certain axioms, some statement of interest is necessarily true. 

Proofs employ logic but usually include some amount of natural language which of course admits some ambiguity. In the context of proof theory, where purely formal proofs are considered, such not entirely formal demonstrations are called "social proofs". 

The distinction has led to much examination of current and historical mathematical practice, quasi-empiricism in mathematics, and so-called folk mathematics (in both senses of that term). 

The philosophy of mathematics is concerned with the role of language and logic in proofs, and mathematics as a language

Regardless of one's attitude to formalism, the result that is proved to be true is a theorem; in a completely formal proof it would be the final line, and the complete proof shows how it follows from the axioms alone.


31 comments:

  1. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)

    Faktor intuisi dan pola berpikir induktif banyak berperan pada proses awal dalam merumuskan suatu konjektur (conjecture) yaitu dugaan awal dalam matematika. Proses penemuan dalam matematika dimulai dengan pencarian pola dan struktur, contoh kasus dan objek matematika lainnya. Selanjutnya, semua informasi dan fakta yang terkumpul secara individual ini dibangun suatu koherensi untuk kemudian disusun suatu konjektur. Setelah konjektur dapat dibuktikan kebenarannya atau ketidakbenaranya maka selanjutnya ia menjadi suatu teorema. Pernyataan-pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan pernyataan lainnya pada umumnya berbentuk kalimat logika, dapat berupa implikasi, biimplikasi, negasi, atau berupa kalimat berkuantor. Operator logika seperti and, or, not, xor juga sering termuat dalam suatu pernyataan matematika. Jadi membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan kebenaran suatu kalimat logika.

    ReplyDelete
  2. Sumandri
    16709251072
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Salah satu ciri khas ilmu matematika adalah bukti matematika dan pembuktian matematis. Filsafat matematika berurusan dengan peran bahasa dan logika matematika dalam pembuktian, dan dengan ilmu matematika yang dapat dipandang sebagai suatu bahasa. Bukti dan pembuktian dalam matematika menggunakan logika matematika namun tidak dapat lepas dari penggunaan bahasa sehari-hari yang biasanya mengandung kekaburan makna. Suatu bukti atau pembuktian adalah suatu cara untuk memastikan kebenaran suatu pernyataan. Suatu bukti matematika adalah suatu hasil upaya untuk menunjukkan bahwa, dengan bertumpu pada aksioma-aksioma tertentu dan dengan aturan-aturan logika matematika, suatu pernyataan adalah benar. Bukti matematika adalah argumen yang menggunakan logika, bukan bukti yang empiris.

    ReplyDelete
  3. 16709251057
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Dalam Matematika sebuah bukti adalah demonstrasi yang memberikan kepastian aksioma dari beberapa penarikan statemen tentunya benar. Hal ini berarti bahwa pembuktian yang diberikan dapat menunjukan kebenaran dalam aksioma matematika. Pembuktiannya merupakan peranan matematika dalam bahasa dan pembuktian dengan logika. Dalam artikel ini dikatakan bahwa bukti merupakan garis akhir dalam matematika untuk dapat mengikuti suatu aksioma.

    ReplyDelete
  4. Wahyu Lestari
    16709251024
    PPs P.Matematika Kelas D

    Filosofi matematika berkaitan dengan peran bahasa dan logika dalam pembuktian, dan matematika sebagai bahasa.Terlepas dari sikap seseorang terhadap formalisme, akibat yang terbukti benar adalah sebuah teorema; Dalam bukti yang benar-benar formal itu akan menjadi garis akhir, dan bukti lengkap menunjukkan bagaimana hal itu mengikuti aksioma saja.

    ReplyDelete
  5. Zuliyanti
    14301241009
    S1 Pendidikan Matematika


    Meskipun tidak semua pernyataan atau fakta matematika perlu yang dipelajari perlu dipahami pembuktiannya. Namun dengan membuktikan pernyataan, seseorang dapat dikatakan cukup memahami, juga dapat lebih meyakinkan diri bahwa apa yang selama ini dianggap benar adalah memang benar. Langkah-langkah dalam pembuktian pada setiap argumen haruslah dijustifikasi oleh langkah-langkah sebelumnya yang tentunya benar, baik itu yang berupa social proofs atau pembuktian formal.

    ReplyDelete
  6. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Matematika merupakan sebuah pengetahuan yang memperkenalkan berbagai rumus, konsep, aksioma dan sebagainya.
    Sebagai sebuah pengetahuan maka segala sesuatu didalamnya perlu adanya proses pembuktian.
    Pembuktian dalam matematika dapat dilakukan dengan menggunakan teorema dan aksioma sebagai dasardengan aksioma dan teorema tersebut telah dibuktikan dengan teorema dan aksioma sebelumnya yang dapat memunculkan dalil dalil dalam matematika.

    ReplyDelete
  7. Dessy Rasihen
    16709251063
    S2 P.MAT D

    Filosofi matematika terkait dengan bukti peran bahasa dan logika dan peran matematika sebagai bahasa. Terlepas dari sikap seseorang untuk sebuah formalitas, hasil yang terbukti benar merupakan sebuah teorema. Karena teorema sendiri merupakan sebuah pernyataan, sering dinyatakan dalam bahasa alami, yang dapat dibuktikan atas dasar asumsi yang dinyatakan secara eksplisit ataupun yang sebelumnya disetujui dan merupakan suatu pernyataan matematika yang masih memerlukan pembuktian dan pernyataanya dapat ditunjukkan nilai kebenarannya atau bernilai benar.

    ReplyDelete
  8. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Dalam membuktikan suatu rumus dalam matematika diperlukan kemampuan berpikir dengan menggunakan logika. Sebab untuk menghubungkan dasar-dasar teorema yang satu dengan yang lain yang menjadi pembangun suatu rumus harus dilakukan secara sistematis, hubungan antara teorema yang satu dengan teorema yang lain dari tiap langkah-langkah pembuktian rumus harus jelas.

    ReplyDelete
  9. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2

    Dalam matematika pembuktian adalah salah satu cara untuk menunjukkan kebenaran dari suatu pernyataan matematis. misalkan pembuktian teorema. Dalam konsep matematika pembuktian suatu pernyataan matematika, misalnya teorema adalah menghubungkan atau mengaitkan antara sistem yang satu dengan sistem yang lain misalnya definisi, aksioma, dll. Jadi di dalam membuktikan suatu konsep matematika, maka perlu adanya pengetahuan awal misalkan definisi matematika yang formal yang mendukung konsep tersebut.

    ReplyDelete
  10. Lana Sugiarti
    16709251062
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Artikel tersebut menjelaskan bahwa dalam matematika sebuah bukti adalah demonstrasi bahwa dengan adanya aksioma tertentu, beberapa pernyataan kepentingan tentu benar adanya. Maka matematika tidak dapat dipisahkan dari asumsi, definisi, aksioma, dan yang lainnya. Terutama matematika membutuhkan logika untuk dapat melakukan pembuktian seperti yang dijelaskan dalam filosofi matematika bahwa peran bahasa dan logika dalam pembuktian sangat penting, dan matematika sebagai bahasa.

    ReplyDelete
  11. Loviga Denny Pratama
    16709251075
    S2 P.Mat D

    Dari artikel ini saya memperoleh pemahaman bahwa dalam bukti yang menggunakan logika tapi mencakup sejumlah bahasa alami yang tentu saja mengakui beberapa ketidakjelasan. Dalam konteks teori bukti, di mana bukti formal yang banyak dipertimbangkan. Sedangkan demonstrasi yang tidak sepenuhnya formal disebut bukti sosial. Dengan adanya bukti-bukti ini kita bisa menemukan dan mengeklam sebuah ilmu baru yaitu berupa aksioma, lemma, dll.

    ReplyDelete

  12. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Terkadang, beberapa orang mempunyai pendirian sangat kuat bahwa suatu konjektur adalah benar. Keyakinan
    ini mungkin berasal dari penjelasan informal atau dari beberapa kasus yang ditemuinya. Bagi mereka tidak ada keraguan terhadap keyakinan itu, tapi belum tentu berlaku untuk orang dari kelompok lain. Disinilah bukti dapat dijadikan sarana untuk meyakinkan orang lain akan kebenaran suatu idea. Akan tetapi untuk menyusun bukti formal terhadap kebenaran suatu fakta tidaklah mudah. Mengikuti bukti yang sudah ditemukan dan disusun orang lain saja tidak mudah apalagi menyusun sendiri. Membuktikan merupakan tantangan sendiri para matematikawan, membuat penasaran dan begitu terselesaikan maka diperoleh kepuasan intelektual. Ibarat seni, matematika itu indah. Ini paling tidak pendapat para matematika. Bagi orang awam keindahan matematika terlihat dari pola dan struktur objek matematika, seperti bilangan, bangun geometri, simulasi matematika pada komputer. Namun bagi mereka yang sudah mencapai begawan matematika, keindahan sesungguhnya dari matematika (the real beauty of mathematics) terletak pada pola penalaran yang berupa interkoneksi argumen-argumen logis.

    ReplyDelete
  13. Ahmad Wafa Nizami
    16709251065
    S2 Pendidikan Matematika D

    Dalam matematika pasti tidak terlepas dengan namnya proof, atau bukti. Pembuktian sangat penting karena dengan adanya bukti maka suatau teorema dapat kita percaya. Dan juga Dalam matematika, sebuah bukti adalah demonstrasi bahwa, dengan adanya aksioma tertentu, beberapa pernyataan kepentingan tentu benar adanya.

    ReplyDelete
  14. Cendekia Ad Dien
    16709251044
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Di dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan pernyataan lainnya pada umumnya berbentuk kalimat logika, dapat berupa implikasi, biimplikasi, negasi, atau berupa kalimat berkuantor. Operator logika seperti and, or, not, xor juga sering termuat dalam suatu pernyataan matematika. Jadi membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan kebenaran suatu kalimat logika. Paling tidak terdapat enam motivasi mengapa orang membuktikan, yaitu to establish a fact with certainty, to gain understanding, to communicate an idea to others, for the challenge, to create something beautiful, to construct a large mathematical theory.

    ReplyDelete
  15. Ardeniyansah
    16709251053
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Di dalam matematika adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Argumen ini dapat berasal dari premis pernyataan itu sendiri, teorem lainnya, definisi, dan akhirnya dapat berasal dari postulat dimana sistem matematika tersebut. Yang dimaksud logis di sini, adalah semua langkah pada setiap argumen harus dijustfikasi oleh langkah sebelumnya. Jadi kebenaran semua premis pada setiap deduksi sudah dibuktikan atau diberikan sebagai asumsi.

    ReplyDelete
  16. Annisa Hasanah
    16709251051
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Pembuktian merupakan hal yang sangat diperlukan dalam matematika. Pembuktian menggunakan logika tapi seringkali adanya penggunaan bahasa mengakibatkan ambiguitas. Sehingga dalam filsafat, matematka berhuungan tidak hanya dalam logika tetapi juga dalam bahasa. Juga mengenai matematika sebagai bahasa.

    ReplyDelete
  17. Resvita Febrima
    16709251076
    P-Mat D 2016
    Di dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Argumen-argumen ini dapat berasal dari premis pernyataan itu sendiri, teorema-teorema lainnya, definisi, dan akhirnya dapat berasal dari postulat dimana sistem matematika tersebut berasal. Yang dimaksud logis di sini, adalah semua langkah pada setiap argumen harus dijustfikasi oleh langkah sebelumnya. Jadi kebenaran semua premis pada setiap deduksi sudah dibuktikan atau diberikan sebagai asumsi.
    Pernyataan-pernyataan matematika seperti definisi, teorema dan pernyataan lainnya pada umumnya berbentuk kalimat logika, dapat berupa implikasi, biimplikasi, negasi, atau berupa kalimat berkuantor. Jadi membuktikan kebenaran suatu teorema tidak lain adalah membuktikan kebenaran suatu kalimat logika.

    ReplyDelete
  18. Syaifulloh Bakhri
    16709251049
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Assalamu’alaikum wr.wb.
    Pembuktian matematika dapat dilakukan dengan induktif, deduktif, maupun logika berdasarkan argumen-argumen/premis-premis yang telah ada sebelumnya. Untuk menarik kesimpulan/konklusi berdasarkan premis-premis yang telah ada baik itu ponens, tollens, maupun silogisme. Dalam logika dikenal adanya konjungsi, disjungsi, implikasi, dan implikasi. Selain itu dikenal pula dengan negasi/ingkaran. Dalam hal ini bisa diinterpretasikan ke dalam bahasa karena adanya hubungan dari premis-premis tersebut.

    ReplyDelete
  19. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Pembuktian yang ada di dalam matematika menunjukkan bahwa pernyataan matematika yang menjadi pokok bahasan dalam pembuktian matematika adalah benar adanya. Artinya dalam teori pembuktian, pernyataan matematika yang dapat dibuktikan kebenarannya melaui serangkaian logika dan bahasa adalah bernilai benar. Dalam membuktikan pernyataan atau konsep matematika kita menggunakan logika sebagai alat untuk berpikir, menelaah hubungan-hubungan yang terjadi antar pernyataan tersebut, apabila hubungan-hubungan yang terjalin itu sesuai dan konsisten terhadap pernyataan yang dibuktikan maka akan mengakibatkan bahwa pernyataan matematika tersebut juga benar adanya. Dalam menerjemahkan serangkaian bukti-bukti tersebut kita menggunakan bahasa, sehingga matematika juga merupakan bahasa.

    ReplyDelete
  20. Heni Lilia Dewi
    16709251054
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Teori pembuktian dalam matematika memang ada beragam macamnya, ada teori induksi, deduksi, yang menggunakan matematika formal di dalamnya dalam pemerolehan bukti. Saya sependapat bahwa Filosofi matematika berkaitan dengan peran bahasa dan logika dalam pembuktian, dan matematika sebagai bahasa. Filsafat matematika terutama ontologi dan epistemologi matematika berkaitan dengan bahasa, baik sebagai penunjang dalam pembuktian atau sebagai matematika itus sendiri. Bahasa yang dimaksud bisa dalam bentuk simbol atau struktur bahasa dalam matematika.

    ReplyDelete
  21. Windi Agustiar Basuki
    16709251055
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Peran bukti dalam matematika tidak dapat digantikan. Semua penyataan matematika yang tidak ditetapkan sebagai suatu aksioma hanya dapat diterima dengan bukti. Bukti meyakinkan kebenaran proposisi. Peran bukti dalam matematika dapat dipandang sebagai batu uji dan penjamin kebenaran bagi pernyataan matematika

    ReplyDelete
  22. Desy Dwi Frimadani
    16709251050
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Dalam matematika sebuah pembuktian dengan adanya aksioma dan beberapa pernyataan maka benar nilainya. Pembuktian Matematika adalah sebuah demonstrasi yang meyakinkan atas rumus, teorema itu benar, dengan bantuan logika dan matematika

    ReplyDelete
  23. Luki Slamet Purwoko
    14301241008
    S1 Pendidikan Matematika I 2014

    Pembuktian dan bukti matematis merupakan hal yang sangat penting dalam matemtakika. Karena matematika berkembang dengan berlandaskan dengan aksioma-aksima dan teri-teori yang sebelumnya terbukti, sehingga memunculkan premis baru atau teorema baru. Dan filsafatpun mempelajari tentangpembuktian dan bukti matematis tersebut. Hal itu dilandaskan karena ilmu itu dapat didapatkan dari mana saja. Sehingga dalam memahami lebih dalam filsafat pun memikirkannya. Sehingga jika suatu saat ada bukti matematika yang runtuh maka filsafat dapat membantunya bagaimana intuisi dalam bukti itu dapat terjadi. Dan mengapa terdapat kontradiksi didalamnya.

    ReplyDelete
  24. Syahlan Romadon
    PM C 2016 / 16709251047

    Pembuktian merupakan hal yang penting dalam matematika. Terkait dengan pembuktian matematika, terdapat beberapa istilah antara lain definisi, teorema, , aksioma, lemma, dan corollary (akibat). Definisi adalah kesepakatan mengenai pengertian suatu istilah. Teorema adalah pernyataan yang dapat dibuktikan kebenarannya. Aksioma adalah pernyataan yang diasumsikan benar dan digunakan untuk membuktikan teorema. Lemma adalah teorema “kecil” yang biasalnya digunakan untuk membuktikan teorema. Sedangkan corollary adalah teorema yang kebenarannya dapat dibuktikan langsung dari teorema yang sudah dibuktikan.

    ReplyDelete
  25. Muh Ferry Irwansyah
    15709251062
    Pendidikan Matematika PPS UNY
    Kelas D
    Pembuktian dapat menjelaskan seseorang untuk dapat memahami kebenaran suatu pernyataan. Pembuktian Matematika adalah sebuah demonstrasi aksioma tertentu untuk meyakinkan kebenaran atas pernyataan matematika. Membuktikan suatu pernyataan dalam matematika dengan berfikir formal dan logis. Bukti menggunakan logika biasanya mencakup beberapa jumlah bahasa alami yang tentu saja mengakui beberapa ambiguitas. Hasil yang terbukti benar yaitu teorema, dalam bukti benar-benar resmi itu akan menjadi hasil akhir, dan bukti lengkap menunjukkan bagaimana mengikuti dari aksioma.

    ReplyDelete
  26. Ratih Eka Safitri
    16709251059
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Pada matematika, semuanya dikembangkan secara aksiomatis dan semua fakta harus dibuktikan dengan setepat-tepatnya. Metode pembuktian yang tepat versi kontemporer (yang terkini) berbeda dengan pembuktian dua kolom yang terkadang digunakan saat SMA untuk membuktikan geometri, hal ini adalah konsteks dari bagaimana. Teori Pembuktian sangat penting dalam filsafat logika, dimana ketertarikan utamanya adalah ide sebuah Pembuktian Teoritik Semantik, sebuah ide yang bergantung pada ide-ide teknis dalam Teori Pembuktian Struktural untuk menjadi layak.

    ReplyDelete
  27. Lihar Raudina Izzati
    16709251046
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Stuktur-struktur di dalam matematika perlu dibuktikan. Matematika dianggap benar jika sudah dibuktikan. Dalam pembuktian matematika, biasanya menggunakan struktur-struktur formal dalam matematika karena pembuktian matematika harus bersifat general/umum, tidak bisa diambil dari suatu kasus lalu digeneralisasikan. Struktur-struktur formal itu bisa berupa definisi, teorema, lemma, dll.

    ReplyDelete
  28. Kunny Kunhertanti
    16709251060
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Matematika disusun oleh pembuktian dengan menggunakan aksioma-aksioma tertentu yang kemudian di tarik kesimpulan. Bahasa dan logika memiliki peran dalam pembuktian , oleh karena itu ada bukti matematika sebagai bahasa. Dan sari setiap aksioma-aksioma tersebut terdapat pula pembuktian yang lebih lagi.

    ReplyDelete
  29. Ujang Herlan Permana
    14301249001
    S1 Pendidikan Matematika I 2014

    Kemampuan pemecahan masalah dan berpikir matematis dapat dilihat bagaimana cara siswa bisa membuktikan suatu masalah matematika, dalam membuktikan matematika diperlukan pengorganisasian aksioma-aksioma, pembuktian matematika juga diperlukan suatu keterampilan berbahasa yang baik, kemampuan menyampaikan informasi dan menggunakan aksioma-aksioma sangat diperlukan dalam pembuktian matematika.

    ReplyDelete
  30. Ahmad Bahauddin
    16709251058
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Pembuktian mengacu pada bukti, atau tindakan mengumpulkan bukti, atau penyajian bukti yang diperdebatkan, untuk menetapkan fakta, kebenaran suatu kejadian atau proposisi logis, atau penyebab suatu fenomena. Pembuktian diterapkan pada fenomena tunggal dalam aktivitas sehari-hari. Hal ini juga digunakan untuk membangun generalisasi ilmiah. Pembuktian juga digunakan dalam arti memberikan pembenaran untuk pernyataan matematis seperti dalam bukti matematis.

    ReplyDelete
  31. ahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Bukti merupakan hasil dari adanya aksioma tertentu, beberapa pernyataan kepentingan tentu benar adanya. Bukti menggunakan logika. Filosofi matematika berkaitan dengan peran bahasa dan logika dalam pembuktian, dan matematika sebagai bahasa. Bahasa selalu berkaitan dengan matematika atau sebaliknya. Dalam pembelajaran matematika materi pembuktian masih kurang dipahami siswa dikarenakan jika akan melakukan pembuktian maka ia harus memiliki banyak aksioma atau teorema yang dapat membuktikan kebenaran dari suatu kebenaran pernyataan.

    ReplyDelete