Nov 26, 2012

MATHEMATICAL PROOF 2_Docemented by Marsigit




MATHEMATICAL PROOF 2

Once a theorem is proved, it can be used as the basis to prove further statements. The so-called foundations of mathematics are those statements one cannot, or need not, prove. These were once the primary study of philosophers of mathematics. Today focus is more on practice, i.e. acceptable techniques. 

Some common proof techniques are:

Direct proof: where the conclusion is established by logically combining the axioms, definitions and earlier theorems
·          
Proof by induction: where a base case is proved, and an induction rule used to prove an (often infinite) series of other cases 

Proof by contradiction: where it is shown that if some property were true, a logical contradiction occurs, hence the property must be false.
· 
Proof by construction: constructing a concrete example with a property to show that something having that property exists.

Proof by exhaustion: where the conclusion is established by dividing it into a finite number of cases and proving each one separately

6 comments:

  1. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)
    Ada beberapa metode dalam pembuktian matematika, diantaranya sebagai berikut :

    1. PEMBUKTIAN LANGSUNG
    Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema yang q. Di sini p sebagai hipotesis digunakan sebagaiÞberbentuk implikasi p fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan berlaku q. Secara logika pembuktian q benarÞlangsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan p dimana diketahui p benar.
    2. PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG
    q ekuivalen denganÞKita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p p. Jadi pekerjaan membuktikan~ Þq ~nilai kebenaran kontraposisinya kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.
    3. PEMBUKTIAN “BUKTI” KOSONG
    q sudah bernilai salah makaÞBila hipotesis p pada implikasi p q selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jikaÞimplikasi p kita dapat menunjukkan bahwa p salah maka kita telah berhasil q.Þmembuktikan kebenaran p
    4. PEMBUKTIAN TRIVIAL
    q, dapat ditunjukkan bahwa q benar makaÞBila pada implikasi p implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa q benar maka kita telah berhasil q.Þmembuktikan kebenaran p

    ReplyDelete
  2. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)
    Ada beberapa metode dalam pembuktian matematika, diantaranya sebagai berikut :

    5. PEMBUKTIAN DENGAN KONTRADIKSI
    Metode ini mempunyai keunikan tersendiri, tidak mudah diterima oleh q kita berangkatÞorang awam. Dalam membuktikan kebenaran implikasi p dari diketahui p dan :q.
    6.PEMBUKTIAN EKSISTENSIAL
    Ada dua tipe bukti eksitensial ini, yaitu konstruktif dan takkonstruktif. Pada metoda konstruktif, eksistensinya ditunjukkan secara eksplisit. Sedangkan pada metoda takkonstruktif, eksistensinya tidak diperlihatkan secara eksplisit. Contoh Buktikan, ada bilangan irrasional x dan y sehingga xy rasional.
    7. PEMBUKTIAN KETUNGGALAN
    Dalam membuktikan ketunggalan, pertama harus ditunjukkan eksistensi suatu objek, katakan objek itu x. Ada dua pendekatan yang dapat ditempuh untuk membuktikan bahwa x hanya satu-satunya objek yang memenuhi.
    8. PEMBUKTIAN DENGAN COUNTER EXAMPLE
    Untuk membuktikan suatu konjektur terkadang kita membutuhkan penjabaran yang cukup panjang dan sulit. Tapi bila kita dapat menemukan satu saja kasus yang tidak memenuhi konjektur tersebut maka selesailah urusannya.
    9. PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKA
    Secara umum penalaran di dalam matematika menggunakan pendekatakan deduktif.
    .

    ReplyDelete
  3. Sumandri
    16709251072
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Dari artikel pembuktian matematika 2 ini saya dapat mengambil kesimpulan bahwa pembuktian matematika ada beberapa cara diantarany adalah:
    1.Bukti langsung
    2.Bukti dengan induksi
    3.Bukti dengan kontradiksi
    4.Bukti dengan konstruksi
    5.Bukti dengan exhaustion

    ReplyDelete
  4. Saepul Watan
    16709251057
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Dari artikel dijelaskan bahwa setelah pembuktikan dalam teorema terbukti dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut. Terdapat lima cara dalam setiap pembuktian matematika yaitu: bukti langsung, bukti dengan induksi, bukti dengan kontradiksi, bukti dengan konstruksi dan bukti dengan kelelahan. Dari setiap cara yang digunakan dalam pembuktian Matematika akan ditemukan sebuah kesimpulan yang menentukan nilai kebenaran.

    ReplyDelete
  5. dari paparan di atas di jelaskan tentang Beberapa teknik pembuktian yang umum diantaranya:
    Bukti langsung: dimana kesimpulannya ditetapkan secara logis menggabungkan aksioma,definisi dan teorema sebelumnya
    Bukti dengan induksi: di mana kasus dasar terbukti, dan peraturan induksi digunakan untuk membuktikan serangkaian kasus lain (seringkali tak terbatas).
    Bukti kontradiksi: di mana ditunjukkan bahwa jika beberapa properti benar, kontradiksi logis terjadi, maka propertinya harus salah.
    ·Bukti dengan konstruksi: membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa ada sesuatu yang memiliki properti itu.
    Bukti dengan kelelahan: di mana kesimpulan dibuat dengan membaginya menjadi sejumlah kasus yang terbatas dan membuktikannya secara terpisah

    ReplyDelete
  6. Sylviyani Hardiarti
    16709251069
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Di dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Paling tidak terdapat enam alasan mengapa seseorang melakukan pembuktian matematika, yaitu to establish a fact with certainty, to understand more deeply, to communicate an idea to others, for the challenge, to create something beautiful, or to construct a large mathematical theory. Ada beberapa metode dalam pembuktian matematika yaitu: 1) Bukti langsung, 2) Bukti dengan induksi, 3) Bukti dengan kontradiksi, 4) Bukti dengan konstruksi, dan 5) Bukti dengan exhaustion.

    ReplyDelete