Nov 26, 2012

MATHEMATICAL PROOF 2_Docemented by Marsigit




MATHEMATICAL PROOF 2

Once a theorem is proved, it can be used as the basis to prove further statements. The so-called foundations of mathematics are those statements one cannot, or need not, prove. These were once the primary study of philosophers of mathematics. Today focus is more on practice, i.e. acceptable techniques. 

Some common proof techniques are:

Direct proof: where the conclusion is established by logically combining the axioms, definitions and earlier theorems
·          
Proof by induction: where a base case is proved, and an induction rule used to prove an (often infinite) series of other cases 

Proof by contradiction: where it is shown that if some property were true, a logical contradiction occurs, hence the property must be false.
· 
Proof by construction: constructing a concrete example with a property to show that something having that property exists.

Proof by exhaustion: where the conclusion is established by dividing it into a finite number of cases and proving each one separately

17 comments:

  1. Uswatun Hasanah
    17701251022
    S2 PEP B

    Ada banyak teknik yang digunakan untuk membuktikan teorema dalam matematika. Menurut saya cara pembuktian yang sangat sederhana adalah pembuktian secara langsung di mana melalui hubungan pernyataan-pernyataan dan definisi seseorang dapat menemukan kebenarannya. Maka dapat pula dilakukan dengan pengujian teoritis. Masih adanya beberapa pernyataan dari teknik kontradiksi dan exhaustion yang menjadi kebingungan dalam pikiran saya. Saya juga tidak begitu memahami keduanya. Untuk bagian konstruksi, diibaratkan dengan gaya belajarnya anak-anak dimana konsep pemahamannya dapat dilihat jika sesuai dengan dunia yang bersifat konkretnya. Gaya pembelajaran ini juga terkadang dipakai oleh orang dewasa.

    ReplyDelete
  2. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  3. Widuri Asmaranti
    17709251035
    S2 Pend Matematika B 2017

    Assalammualaikum Prof,
    Kali ini postingan bapak melanjutkan postingan sebelumnya mengenai bukti matematika yang kedua. Pada bukti matematika yang kedua ini menjelaskan bahwa adanya beberapa teknik pembuktian , yaitu:
    Beberapa teknik pembuktian yang umum adalah bukti langsung yang membuktikan aksioma aksioma, bukti dengan induksi untuk membuktikan konsep dasar, bukti kontradiksi untuk membuktikan sebuah kontradiksi, bukti dengan konstruksi untuk membangun contoh konkret, dan bukti terbatas. Inilah teknik teknik pembuktian yang biasa digunakan pada pembuktian umum di pembelajaran matematika.

    ReplyDelete
  4. I Nyoman Indhi Wiradika
    17701251023
    PEP B

    Matematika memiliki berbagai macam cara untuk menunjukan pembuktiannya. Pembuktian tersebut harus melalui beberapa alur. Beberapa cara pembuktian matematika yaitu: pertama, pembuktian langsung; kedua, pembuktian induksi, yaitu perumuman dari kebenaran untuk P(n), kemudian benar untuk n=1 maka harus dapat ditunjukkan bahwa P(n) juga benar untuk n = k + 1.; kedua, pembuktian kontradiksi, yang merupakan pengandaian; keempat, pembuktian konstruktif, dan kelima, pembuktian exhaustion. Semuanya cara tersebut merupakan dalil fundamental dalam mengkonstruk rumus dan pengetahuan matematika.

    ReplyDelete
  5. Nama: Hendrawansyah
    NIM: 17701251030
    S2 PEP 2017 Kelas B

    Assalamualaikum wr wb

    Bentuk aksioma adalah suatu abstraksi.Kebanyakan dilegalkan di dalam ilmu murni hingga mendapatkan pengakuan dari khalayak umum .Seperti telah membuming meskipun akan berbahaya bagi generasi muda.Saya menjadi teringat kembali dengan hegemoni dimana orang-orang meletakkan hal tersebut pada dunia anak. Kebebasan dan hak anak secara tidak langsung telah dieksploitasi untuk mengembangkan kepentingan dunianya orang dewasa.Yang pastinya belajar tentang aksioma berdasarkan pengalaman sebelumnya kita harus berkutat dan harus menjadi pesuruhnya aksioma.

    ReplyDelete
  6. Irham Baskoro
    17709251004
    S2|Pendidikan Matematika A 2017|UNY

    Uraian yang Prof jelaskan di atas adalah teknik-teknik dalam pembuktian matematika. Pembuktian yang pertama adalah pembuktian langsung. Pembuktian langsung mendapati bahwa kesimpulan dibangun secara logis dengan mengkombinasikan aksioma, definisi, dan teorema sebelumnya. Selanjutnya Bukti dengan induksi yaitu dengan menggunakan aturan induksi matematika. Lalu bukti dengan kontradiksi artinya jika beberapa sifat benar, lalu kontradiksi terjadi pada sifat, sehingga dibuktikan bahwa sifat kontradiksi tadi salah. Bukti selanjutnya adalah adalah bukti konstruksi yaitu mengkontruksi contoh kongkrit dengan sifat untuk menunjukkan sesuatu memiliki sifat tersebut. Dalam beberapa kasus, induksi matematika menjadi aturan paling sederhana untuk pembuktian matematika.

    ReplyDelete
  7. Rahma Dewi Indrayanti
    17709251038
    PPS Pendidikan Matematika Kelas B

    Belajar matematika dengan cara memahami bukti tidaklah mudah. Dibutuhkan waktu untuk memahami matematika sebagai bahasa logika. Dibutuhkan wawasan matematika yang luas untuk belajar membuktikan fakta-fakta yang lebih rumit. Di dalam bukti termuat nilai-nilai strategis yang dapat melatih kita berpikir secara logis. Dengan memahami bukti kita dapat mengikuti alur berpikir para ahli yang pertama kali menemukannya.

    ReplyDelete
  8. Junianto
    PM C

    Pembuktian bisa menggunakan teorem, aksioma maupun kalimat bisa seperti dalam bahasa Indonesia. Ketika sebuah teorema sudah terbukti kebenarannya maka teorema ini dapat dibuktikan untuk menentukan bukti-bukti berikutnya. Dikatakan pula bahwa tidak semua matematika membutuhkan bukti karena adal foundations mathematics yang tidak perlu bukti. Foundations mathematics adalah kalimat/ pernyataan tidak bisa didefinisikan dan tidak memerlukan bukti.

    ReplyDelete
  9. Latifah Fitriasari
    17709251055
    PPs PM C

    Beberapa metode dalam pembuktian matematika, diantaranya:
    1. Pembuktian langsung, 2. Pembuktian tak langsung, 3. Pembuktian bukti kosong, 4.Pembuktian trivial, 5.Pembuktian kontradiksi, 6.Pebuktian eksistensial, 7.Pembuktian ketunggalan, 8.Pembuktian dengan counter example, Dan yang terahir 9. Pembuktian dengan induksi matematika,yang didefiniskan secara umum penalaran di dalam matematika menggunakan pendekatakan deduktif.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Sebagai bukti langsung , kesimpulannya dibuat secara logis menggabungkan aksioma, definisi, dan teorema sebelumnya. Misalnya, bukti langsung bisa digunakan untuk menetapkan bahwa jumlah dua bahkan bilangan bulat selalu genap yaitu untuk dua bilangan bulat bahkan x dan y kita dapat menulis x = 2 a dan y = 2 b untuk beberapa bilangan bulat a dan b , karena keduanya x dan y adalah kelipatan dari 2. Tapi jumlah x + y = 2 a + 2 b = 2 ( a + b ) juga merupakan kelipatan dari 2, jadi oleh karena itu bahkan menurut definisinya. Bukti ini menggunakan definisi bilangan bulat bahkan, dan juga hukum distribusi.

      Delete
  10. Arung Mega Ratna
    17709251049
    PPs PMC 2017


    Pembuktian sebuah teorema dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan selanjutnya. Beberapa teknik pembuktian umum yaitu pembuktian langsung, pembuktian induksi, pembuktian dengan kontradiksi, pembuktian dengan konstruksi, dan pembuktian kelelahan. Pembuktian langsung dilakukan dengan menyimpulkan penggabungan aksioma, definisi, dan teorema sebelumnya secara logis. Pembuktian induksi digunakan untuk membuktikan suatu seri (sering tak terbatas) dari kasus. Pembuktian kontradiksi dengan menunjukkan bahwa jika beberapa properti yang benar, kontradiksi logis terjadi, maka properti harus palsu. Pembuktian konstruksi dengan membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa sesuatu yang memiliki properti itu ada. Pembuktian kelelahan dimana penyimpulan didirikan dengan membaginya ke dalam kasus yang jumlahnya terbatas dan membuktikan masing-masing secara terpisah.

    ReplyDelete
  11. Muh Wildanul Firdaus
    17709251047
    Pendidikan matematika S2 kls C

    Terdapat banyak cara dalam membuktikan kebenaran matematika, dan macam cara pembuktian yang ada dalam matematika adalah sebagai berikut : bukti langsung, bukti dengan induksi, bukti dengan kontradiksi, bukti dengan konstruksi, dan yang terakhir adalah bukti dengan kelelahan. Kelima pembuktian itu yang sampai saat ini masih sering sekali dilakukan dalam membuktikan materi-materi dalam matematika.

    ReplyDelete
  12. Firman Indra Pamungkas
    17709251048
    S2 Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    Assalamualaikum Warohmatullah Wabarokatuh
    Beberapa teknik pembuktian dalam matematika adalah: (1) Pembuktian langsung, (2) Pembuktian dengan induksi, (3) Pembuktian dengan kontradiksi, (4) Pembuktian dengan konstruksi, (5) Proof by exhausting. Proof by exhausting adalah pembuktian dengan membagi masalah kedalam beberapa bagian, yaitu membaginya ke dalam sejumlah kasus tertentu dan membuktiakn masing-masing bagian. Pembuktian dengan proof by exhausting biasa dilakukan pada masalah di teori bilangan. Selain teknik pembuktian di atas, untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai salah adalah dengan memberikan counter example

    ReplyDelete
  13. Auliaul Fitrah Samsuddin
    17709251013
    PPs P.Mat A 2017
    Terima kasih atas postingannya, Prof. Ketika teorema telah terbukti, teorema tersebut dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan penyataan lain. Landasan matematika adalah pernyataan yang tidak dapat atau tidak perlu dibuktikan. Hal ini merupakan bahan kajian utama para filsuf matematika. Saat ini fokus utama lebih kepada praktisi yaitu menggunakan teknik yang telah diterima secara umum

    ReplyDelete
  14. Salmaini Safitri Syam
    17709251012
    PPs PM A

    Apabila teorema sudah terbukti, maka teorema tersebut dapat digunakan sebagai dasar dalam membuktikan pernyataan selanjutnya. Dalam matematika ada beberapa teknik pembuktian yaitu pembuktian langsung, pembuktian induktif dan pembuktian kontradiksi. Pada umumnya, pembuktian langsung dimana kesimpulan didirikan oleh penggabungan aksioma yang logis, definisi dan teorema sebelumnya.

    ReplyDelete
  15. Isoka Amanah Kurnia
    17709251051
    PPs Pendidikan Matematika 2017 Kelas

    Teorema yang sudah dapat dibuktikan dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut. Teknik pembuktian umum adalah pembuktian langsung di mana kesimpulan didirikan oleh penggabungan aksioma yang logis, definisi dan teorema sebelumnya. Aturan induksi digunakan untuk membuktikan suatu seri dari kasus-kasus lain. Pembuktian dengan kontradiksi dilakukan dengan cara mengasumsikan bahwa teorema tersebut berkontradiksi, lalu pada akhirnya akan terlihat bahwa teori tersebut terbukti benar. Pembuktian dengan konstruksi dengan membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa sesuatu yang memiliki properti itu ada.

    ReplyDelete
  16. Gina Sasmita Pratama
    17709251003
    S2 P.Mat A 2017

    Terimakasih banyak Prof atas postingannya. Sebuah teorema yang terbukti kebenarannya dapat dijadikan dasar untuk membuktikan pernyataan (teorema) yang lainnya. Sedangkan definisi atau dasar matematika merupakan pernyataan yang tidak dapat atau tidak perlu dibuktikan. Berdasarkan postingan di atas, beberapa teknik pembuktian yang umum adalah 1) Bukti langsung; 2) Bukti dengan induksi; 3) Bukti kontradiksi; 4)Bukti dengan pemisahan. Pembuktian ini mengisyaratkan kepada kita bahwa orang-orang matematika kebanyakan tidak mempercayai sesuatu sebelum ia membuktikan sendiri.

    ReplyDelete