Nov 26, 2012

MATHEMATICAL PROOF 2_Docemented by Marsigit




MATHEMATICAL PROOF 2

Once a theorem is proved, it can be used as the basis to prove further statements. The so-called foundations of mathematics are those statements one cannot, or need not, prove. These were once the primary study of philosophers of mathematics. Today focus is more on practice, i.e. acceptable techniques. 

Some common proof techniques are:

Direct proof: where the conclusion is established by logically combining the axioms, definitions and earlier theorems
·          
Proof by induction: where a base case is proved, and an induction rule used to prove an (often infinite) series of other cases 

Proof by contradiction: where it is shown that if some property were true, a logical contradiction occurs, hence the property must be false.
· 
Proof by construction: constructing a concrete example with a property to show that something having that property exists.

Proof by exhaustion: where the conclusion is established by dividing it into a finite number of cases and proving each one separately

53 comments:

  1. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Definisi mempunyai peranan penting di dalam matematika.
    Topik-topik atau materi baru matematika selalu diawali dengan menyusun definis.
    Sebagai contoh, teori fungsi kompleks diawali dengan mendefinisikan bilangan imajiner i, yaitu i2 = -1.
    Sehingga dalam mempelajari suatu topik akan memahami definisinya terlebih dahulu.

    ReplyDelete
  2. Dessy Rasihen
    16709251063
    S2 P.MAT D

    Setelah teorema terbukti, dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut. Beberapa teknik pembuktian umum adalah pembuktian langsung di mana kesimpulan didirikan oleh penggabungan aksioma yang logis, definisi dan teorema sebelumnya. Pembuktian dengan induksi di mana kasus dasar terbukti, dan aturan induksi digunakan untuk membuktikan suatu seri dari kasus-kasus lain. Pembuktian dengan kontradiksi di mana ia menunjukkan bahwa jika beberapa properti yang benar, kontradiksi logis terjadi. Pembuktian dengan konstruksi dengan membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa sesuatu yang memiliki properti itu ada. Pembuktian oleh kelelahan: mana kesimpulan didirikan dengan membaginya ke dalam jumlah kasus terbatas dan membuktikan masing-masingnya secara terpisah.

    ReplyDelete
  3. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Dimulai dari definisi suatu topik maka dihasilkan sejumlah teorema yang sering kali dilengkapi dengan akibat-akibat yang muncul karena teorema.
    Teorema-teorema yang muncul inilah yang perlu dibuktikan.
    Tak hanya teoremam akibatpun perlu dijelaskan kenapa bisa terjadi.
    Pembuktian matematika dilakukan dengan beberapa metode : metode pembuktian langsung dan metode pembuktian tak langsung.

    ReplyDelete
  4. Loviga Denny Pratama
    16709251075
    S2 P.Mat D

    Dari artikel ini membicarakan tentang pembuktian-pembuktian dalam matematika. Pembuktian ini merupakan implikasi dari materi pembelajaran logika pada matematika sekolah. Sehingga semua materi dalam matematika itu dapat berimplikasi ke dalam kehidupan sehari-hari. Salah satunya logika matematika ini yatu digunakan sebagai alat pembuktian sehingga dari sini akan menjadikan postulat, teorema, lemma, dll. Inilah salah satu keterkaitan pada materi tersebut. Dimana beberapa macam pembuktiannya dijelaskan pada artikel ini yang terdiri dari Bukti langsung, Bukti dengan induksi, Bukti dengan kontradiksi, Bukti dengan konstruksi, Bukti dengan exhaustion.

    ReplyDelete
  5. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2


    Pembuktian dalam matematika dapat dilakukan dengan berbagai cara, antara lain: 1) pembuktian langsung yaitu menarik kesimpulan yang didasarkan pada logis dengan menggabungkan aksioma, definisi dan teorema sebelumnya. 2) Pembuktian dengan induksi yaitu dengan terlebih dahulu membuktikan untuk kasus yang dasar dan kemudian digunakan untuk membuktikan kasus secara umum. 3) pembuktian dengan kontradiksi yaitu adalah pembuktian yang menggunakan argumen logika yang dimulai dengan suatu asumsi, lalu dari asumsi tersebut diturunkan suatu hasil yang absurd, tidak masuk akal, atau kontradiktif, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa asumsi tadi adalah salah (dan ingkarannya benar). Dalam disiplin matematika dan logika, pembuktian melalui kontradiksi merujuk secara khusus kepada argumen di mana sebuah kontradiksi dihasilkan dari suatu asumsi (sehingga membuktikan asumsi tadi salah) Argumen ini menggunakan hukum non-kontradiksi - yaitu suatu pernyataan tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Dan pembuktian di mana kesimpulan yang diperoleh dari hasil membagi konsep secara terpisah dan dibuktikan masing-masing.

    ReplyDelete
  6. Lana Sugiarti
    16709251062
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Dalam matematika ada teorema yang dijadikan dasar untk pembuktian. Cara pembuktian dapat dilakukan dengan berbagai cara. Bisa melalui induktif atau deduktif dan yang lainnya. Pembuktian juga dapat dilakukan dengan bukti langsung, bukti kontradiksi, induksi atau pun yang lainnya.

    ReplyDelete
  7. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Berdasarkan artikel yang saya baca melalui 10.1109/TSMC.1984.6313219, Di dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Argumen-argumen ini dapat berasal dari premis pernyataan itu sendiri, teorema-teorema lainnya, definisi, dan akhirnya dapat berasal dari postulat dimana sistem matematika tersebut berasal. Dalam artikel making mathematics yang berjudul Proof, dapat diakses pada http:/www2.edc.org/makingmath, dijelaskan secara rinci mengenai bukti dalam matematika yang meliputi what is proof, why do we prove, what do we prove, dan how do we prove. Menurut artikel tersebut, paling tidak terdapat enam motivasi mengapa orang membuktikan, yaitu to establish a fact with certainty, to gain
    understanding, to communicate an idea to others, for the challenge, to create something beautiful, to construct a large mathematical theory.

    ReplyDelete
  8. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Beberapa bukti yang belum disampaikan pada artikel ini yang diperoleh melalui 10.1109/TSMC.1984.6313219 antara lain :
    a. Bukti kosong
    Bila hipotesis p pada implikasi p⇒q sudah bernilai salah maka implikasi p⇒q selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa p salah maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p⇒ q.
    b. Bukti trivial
    Bila pada implikasi p⇒ q, dapat ditunjukkan bahwa q benar maka implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa
    q benar maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p⇒ q.
    c. Bukti eksistensial
    Ada dua tipe bukti eksitensial ini, yaitu konstruktif dan takkonstruktif. Pada metoda konstruktif, eksistensinya ditunjukkan secara eksplisit. Sedangkan pada metoda takkonstruktif, eksistensinya tidak diperlihatkan secara eksplisit.

    ReplyDelete
  9. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    d. Bukti ketunggalan
    Dalam membuktikan ketunggalan, pertama harus ditunjukkan eksistensi suatu objek, katakan objek itu x. Ada dua pendekatan yang dapat ditempuh untuk membuktikan bahwa x hanya satu-satunya objek yang memenuhi, yaitu
    • Diambil objek sebarang, katakan y maka ditunjukkan y = x, atau
    • Misalkan y objek sebarang lainnya dengan y ≠ y, ditunjukkan adanya suatu
    kontradiksi. cara ini tidak lain menggunakan metoda kontradiksi seperti
    yang sudah dibahas sebelumnya.



    e. Bukti dengan counter example
    Untuk membuktikan suatu konjektur terkadang kita membutuhkan penjabaran yang cukup panjang dan sulit. Tapi bila kita dapat menemukan satu saja kasus yang tidak memenuhi konjektur tersebut maka selesailah urusannya.


    ReplyDelete
  10. Ahmad Wafa Nizami
    16709251065
    S2 Pendidikan Matematika D

    Dalam pembuktian juga ada beberapa jenis, jenis-jenis ini juga dapat kita gunakan dalam membuktikan sesuatau. Antara lain : Bukti langsung: dimana kesimpulannya ditetapkan secara logis menggabungkan aksioma, definisi dan teorema sebelumnya
    •Bukti dengan induksi: di mana kasus dasar terbukti, dan peraturan induksi digunakan untuk membuktikan serangkaian kasus lain (seringkali tak terbatas).
    Bukti kontradiksi: di mana ditunjukkan bahwa jika beberapa properti benar, kontradiksi logis terjadi, maka propertinya harus salah.
    •Bukti dengan konstruksi: membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa ada sesuatu yang memiliki properti itu.
    Bukti dengan kelelahan: di mana kesimpulan dibuat dengan membaginya menjadi sejumlah kasus yang terbatas dan membuktikannya secara terpisah

    ReplyDelete
  11. Cendekia Ad Dien
    16709251044
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Suatu bukti matematika adalah suatu urutan berantai penarikan kesimpulan yang didasarkan pada suatu kumpulan aksioma dan sejumlah teorema yang sudah dibuktikan, tunduk kepada aturan-aturan logika matematika, dan berakhir dengan pernyataan yang akan dibuktikan. Pernyataan-pernyataan matematika dapat dibuktikan dengan beberapa teknik pembuktian diantaranya menggunakan pembuktian langsung, pembuktian dengan induksi, pembuktian dengan kontradiksi, pembuktian dengan konstruksi/contoh, pembuktian dengan exhaustion.

    ReplyDelete
  12. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS
    16709251061

    Pembuktian melalui kontradiksi adalah argumen logika yang dimulai dengan suatu asumsi, lalu dari asumsi tersebut diturunkan suatu hasil yang absurd, tidak masuk akal, atau kontradiktif, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa asumsi tadi adalah salah (dan ingkarannya benar). Dalam disiplin matematika dan logika, pembuktian melalui kontradiksi merujuk secara khusus kepada argumen dimana sebuah kontradiksi dihasilkan dari suatu asumsi (sehingga membuktikan asumsi tadi salah) Argumen ini menggunakan hukum non-kontradiksi - yaitu suatu pernyataan tidak mungkin benar dan salah sekaligus.

    ReplyDelete
  13. Ardeniyansah
    16709251053
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Pada kasus sederhana kadangkala teorema pada suatu buku ditetapkan sebagai definisi pada buku yang lain, begitu juga sebaliknya. Selanjutnya untuk memahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan logika matematika. Ada beberapa metode dalam pembuktian matematika, diantaranya sebagai berikut : pembuktian langsung, pembuktian tak langsung, pembuktian “bukti” kosong, pembuktian trivial, pembuktian dengan kontradiksi, pembuktian eksistensial, pembuktian ketunggalan, pembuktian dengan counter example, pembuktian dengan induksi matematika.

    ReplyDelete
  14. Annisa Hasanah
    16709251051
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Sebuah teorema yang telah terbukti bisa menjadi dasar untuk membuktikan pernytaan yng lebih lanjut. Namun pembuktian pada saat ini lebih kea rah latihan saja. Beberapa teknik pembuktian yang biasanya digunakan adalah: (1)pembuktian langsung, (2) pembuktian dengan induksi, (3) pembuktian dengan kontradiksi, (4) pembuktian dengan konstruksi dan terakhir (5) pembuktian mendalam.

    ReplyDelete
  15. Syaifulloh Bakhri
    16709251049
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Assalamu’alaikum wr.wb.
    Pembuktian matematika dapat dilakukan dengan induktif, langsung, maupun kontradiksi. Untuk membuktikannya harus melihat dengan kriteria seperti apa dapat dibuktikan, karena ada pembuktian yang secara khusus dimana tidak semua cara dapat dilakukan. Oleh karena itu, kita harus paham konsep yang menjadikan dasar pijakan konsep-konsep selanjutnya, dimana akan sangat berguna bagi penelitian khususnya pembuktian-pembuktian.

    ReplyDelete
  16. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Pembuktian dalam matematika hanyalah terhadap teorema-teorema maupun pernyataan-pernyataan yang muncul akibat definisi atau teorema tertentu. Tetapi definisi-definisi yang ada di dalam matematika tidak perlu dibuktikan kebenarannya karena definisi-definisi tersebut menjadi dasar dalam matematika, sehingga anggapannya adalah benar. Dan suatu hal yang telah dianggap benar, tidak perlu lagi untuk dibuktikan kebenarannya. Ada beberapa cara atau metode yang digunakan dalam pembuktian secara umum diantaranya adalah melalui bukti langsung, bukti induksi, bukti kontradiksi, bukti konstruksi, bukti dengan exhaustion.

    ReplyDelete
  17. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Teknik maupun metode pembuktian yang sering digunakan secara umum juga seringkali digunakan di dalam pembuktian matematika, yaitu meliputi bukti langsung yang digunakan dengan cara menggabungkan aksioma,definisi dan teorema sebelumnya dalam menghasilkan suatu kesimpulan. Bukti induksi digunakan ketika kasus dasar atau suatu kasus tertentu terbukti, dan untuk membuktikan kasus-kasus lain secara umum, sehingga tidak hanya berlaku bagi satu kasus saja. Bukti dengan konradiksi atau seringkali kita sebut dengan bukti dengan pengandaian, bukti secara kontradiksi ini digunakan dengan cara pengandaian yaitu mengandaikan suatu pernyataan yang berkontradiksi dengan pernyataan yang akan dibuktikan tersebut adalah benar, kemudian tunjukkan akibat dari pengandaian tersebut itu ternyata berkonstradiksi logis, sehingga pengandaian tersebut salah, dan terbukti benar untuk pernyataan matematika yang dibuktikan tersebut. Bukti dengan konstruksi, dengan menunjukkan atau memberikan contoh-contoh konkret yang memang memiliki sifat-sifat yang sesuai dengan sifat-sifat yang akan dibuktikan. Bukti dengan exhaustion dimana kesimpulan yang dibuat dengan membaginya menjadi sejumlah kasus yang terbatas dan membuktikannya secara terpisah, apabila setiap kasus yang dibuktikan tersebut benar maka pernyataan yang dibangun dari kasus-kasus tersebut juga benar.

    ReplyDelete
  18. Heni Lilia Dewi
    16709251054
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Matematika selalu memiliki peran dalam pengetahuan science. Termasuk dalam alur pembuktiannya. Bukti dari suatu teorema mendasari bukti teorema-teorema selanjutnya. Kemudian, dalam pembuktian matematika ada berbagai macam cara, yaitu: (1) pembuktian langsung; (2) pembuktian induksi, yaitu perumuman dari kebenaran untuk 1, kemudian benar untuk n yang berimbas kebenaran untuk n+1; (3) pembuktian kontradiksi, yang merupakan pengandaian; (4) pembuktian konstruktif, dan (5) pembuktian exhaustion. Semuanya adalah sebagai pondasi dalam matematika. Pondasi matematika merupakan studi tentang konsep matematika dasar (bilangan, gambar geometris, himpunan, fungsi, dan lain-lain) dan bagaimana mereka membentuk hierarki struktur dan konsep yang lebih kompleks, terutama struktur fundamental yang penting yang membentuk bahasa matematika (Rumus, teori dan model mereka yang memberi makna pada formula, definisi, bukti, algoritma, dll).

    ReplyDelete
  19. Windi Agustiar Basuki
    16709251055
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016
    Pada artikel ini dijelaskan bahwa Beberapa teknik pembuktian yang umum diantaranya yaitu
    Pembuktian secara langsung dan cara kontradiksi. Pembuktian cara langsung meliputi modus ponens, transirvitas, modus tollens, deductions theorem, contraposition, proof by cases dan mathematical induction, sedangkan bukti dengan kontradiksi meliputi bukti dengan contoh kontra dan bukti tak langsung.

    ReplyDelete
  20. Desy Dwi Frimadani
    16709251050
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Jika sebuah teorem adapat dibuktikan, maka teorema tersebut bisa dijadika dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut. Berikut 5 teknik pembuktian yaitu 1. pembuktian langsung 2. pembuktian induksi 3. pembuktian kontradiksi 4. pembuktian konstruksi 5. pembuktian exhaustion

    ReplyDelete
  21. Luki Slamet Purwoko
    14301241008
    S1 Pendidikan Matematika I 2014

    Dalam pembuktian matematika, dapat digunakan teorema yang telah terbukti sebagai landasan memikirkan teorema baru seperti yang telah saya jelaskan pada komen di mathematical proof 1. Sehingga dalam memperluas dimensinya mathematika menggunakan pikiran sebelumnya sebelumnya sebagai landasan atau dengan kata lain matematika itu bersifat deduktif. Namun jangan salah karena tidak semua matematika bersifat deduktif karna ada juga objek matematika yng bersifat induktif. Misalnya masalah pi dalam lingkaran. Untuk mencari nilai eksaks, pi tidak berlandaskan teorema-teorema yang telah terbukti namun menggunakan percobaan atau eksperimen dengan mengukur panjang keliling dari lingkaran bagaimana perbandingannya sehingga mendapatkan nilai pi. Namun sampai sekaran digit terakhir untuk pi belum dapat ditemukan.

    ReplyDelete
  22. Luki Slamet Purwoko
    14301241008
    S1 Pendidikan Matematika I 2014

    Dalam artikel ini, Bapak marsigit juga memuncukan cara atau metode dalam pembuktian matematis. Dapat dilihat metodenya apat dilakukan dengan bermacam-macam. Namun, metode tersebut tidaklah selalu dapat digunakan untuk semua masalah. Setiap metode mempunyai kelebihan dan kekurangan dalam pembuktian matematka. Sehingga dalam membuktikan berbagai pembuktian tidak bias digunakan satu metode saja. Namun dengan membuktikan dengan berbagai variasi pembuktian. Sehingga dalam pembuktian matematika dapat dijumpai berbagai cabang pengetahuan yang akan muncul dari kegiatan pembuktian matematis tersebut.

    ReplyDelete
  23. Syahlan Romadon
    PM C 2016 / 16709251047

    Beberapa teknik pembuktian dalam matematika adalah:
    (1) Pembuktian langsung
    (2) Pembuktian dengan induksi
    (3) Pembuktian dengan kontradiksi
    (4) Pembuktian dengan konstruksi
    (5) Proof by exhausting
    Proof by exhausting adalah pembuktian dengan membagi masalah kedalam beberapa bagian, yaitu membaginya ke dalam sejumlah kasus tertentu dan membuktiakn masing-masing bagian. Pembuktian dengan proof by exhausting biasa dilakukan pada masalah di teori bilangan. Selain teknik pembuktian di atas, untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai salah adalah dengan memberikan counter example.

    ReplyDelete
  24. Muh Ferry Irwansyah
    15709251062
    Pendidikan Matematika PPS UNY
    Kelas D
    Pembuktian matematika merupakan berpikir formal dan logis yang dimulai dengan aksioma dan bergerak maju melalui langkah-langkah logis sampai pada suatu kesimpulan. Suatu hal dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut yaitu setelah teoremanya terbukti. Terdapat beberapa cara untuk membuktikan sebuah pernyataan, diantaranya menggunakan bukti langsung, bukti dengan induksi, bukti dengan kontradiksi, bukti dengan kontruksi dan bukti dengan kelelahan.

    ReplyDelete
  25. Kunny Kunhertanti
    16709251060
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Terdapat banyak cara dalam membuktikan kebenaran matematika, dan macam cara pembuktian yang ada dalam matematika adalah sebagai berikut : bukti langsung, bukti dengan induksi, bukti dengan kontradiksi, bukti dengan konstruksi, dan yang terakhir adalah bukti dengan kelelahan. Kelima pembuktian itu yang sampai saat ini masih sering sekali dilakukakan dalam membuktikan materi-materi dalam matematika.

    ReplyDelete
  26. Ujang Herlan Permana
    14301249001
    S1 Pendidikan Matematika I 2014

    Terdapat beberapa cara dalam pembuktian matematika, diantaranya yaitu pembuktian secara langsung, secara induksi, kontradiksi, dan counter-examples. Menarik bahwa pada kurikulum 2013 ini terdapat materi induksi matematika. Sehingga kemampuan membuktikan matematika ini sudah diajarkan sejak sekolah untuk meningkatkan kemampuan matematis siswa.

    ReplyDelete
  27. Ahmad Bahauddin
    16709251058
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Bukti dikaitkan dengan gagasan tentang fakta obyektif, terlepas dari konteks pengamatan, yang dapat diverifikasi oleh indra atau oleh jalan lain menuju pengetahuan mapan atau teorema yang ada. Dalam kasus generalisationsense scienfiic objektivisme yang terkait dengan bukti bersekutu dengan asumsi tentang sebab dan akibat yang generalisable. Hal ini diperdebatkan oleh pemalsu bukti bahwa bukti induktif dari observasi tidak mungkin dilakukan karena tidak semua pengamatan yang mungkin dilakukan, dan mereka lebih memilih untuk membuat ketidakterbuktian dari teori kerja.

    ReplyDelete
  28. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Banyak teorema dapat dibuktikan yang kemudian dapat digunakan menjadi dasar pembuktian yang lebih lanjut. Pembuktian matematika dibedakan menjadi lima antara lain pembuktian langsung dimana kesimpulannya dengan menggabungkan aksioma, definisi dan teorema sebelumnya, bukti dengan induksi dengan aturan bahwa kasus dasar telah terbukti, dan peraturan induksi digunakan untuk membuktikan serangkaian kasus lain, bukti kontradiksi dengan aturan kontradiksi logis harus terbukti dan sifatnya salah.

    ReplyDelete
  29. Shelly Lubis
    17709251040
    S2 P.Mat B 2017

    Assalamu'alaikum wr.wb

    Most of statements that can be proved by induction are the equality of arithmetic or geometric sequences, also inequality, or divisible. while most of theorems are proved by direct proof or contradiction.

    ReplyDelete
  30. Angga Kristiyajati
    17709251001
    Pps UNY P.Mat A 2017

    Terima kasih Banyak Pak Prof. Marsigit.

    Dari tulisan ini kami mengetahui bahwa dalam matematika terdapat berbagai macam metode pembiktian. Macam-macam pembuktian tersebut antara lain : bukti langsung, bukti dengan induksi, bukti dengan kontradiksi, bukti dengan konstruksi, dan bukti dengan kelelahan. Sampai saat ini kelima jenis ini sering sekali dilakukakan dalam pembuktian materi-materi di matematika, dan yang paling sering digunakan dalam pembelajaran matematika saat ini adalah bukti langsung, induksi dan dengan kontradiksi.

    ReplyDelete
  31. Dimas Candra Saputra, S.Pd.
    PPs PMA 2017
    17709251005

    Assalamualaikum prof,
    Seperti yang telah diungkapkan dalam teorema sebelumnya, teorema yang sudah terbukti dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan selanjutnya. Fondasi matematika adalah pernyataan tersebut tidak dapat atau tidak perlu bukti. Beberapa tehnik pembuktian yang sering digunakan ialah pembuktian langsung, dimana kesimpulan diperoleh secara logis dengan mengkombinasikan aksioma, definisi dan teorema terdahulunya; induksi dimana keadaan dasar dibuktikan dan aturan induksi digunakan untuk membuktikan seperangkat keadaan yang lain; dan kontradiksi yaitu dimana ditunjukkan bahwa jika beberapa sifat tidak benar, kontradiksi secara logika terjadi, sehingga sifat harus salah. Selain itu, terdapat tehnik-tehnik lain seperti pembuktian langsung, pembuktian dengan konstruksi contoh konkret, dan pembuktian dengan kelelahan.

    ReplyDelete
  32. Tri Wulaningrum
    17701251032
    PEP S2 B

    Pembuktian matematika ke dua tentu bertalian erat dengan pembuktian matematika ke satu. Jika sebelumnya telah saya sedikit ketahui jika dibutuhkan kemampuan logika dan bahasa untuk membuktikan suatu proposisi matematika. Maka, lewat postingan ini bertambah pengetahuan saya jika teorema yang sudah dibuktikan kemudian digunakan sebagai dasar pembuktian yang lebih lanjut. Dalam postingan ini disebutkan beberapa teknik pembuktian matematika: 1) pembuktian langsung, 2) pembuktian dengan induksi, 3) pembuktian dengan kontradiksi, 4) pembuktian dengan konstruksi, 5) dan proof by exhaustion. Kelima teknik tersebut menarik bagi saya. Salah satunya, adalah teknik pembuktian melalui kontradiksi, saya melihat terdapat upaya mencari anti tesis anti tesis dari tesis tesis (teorama) yang sudah ada. Refleksinya, saya menyadari jika berpikir kritis sangat dibutuhkan di manapun dan kapanpun.

    ReplyDelete
  33. Kartika Pramudita
    17701251021
    PEP S2 B

    Dalam belajar matematika selalu ada nilai kebenaran dari suatu hal. Untuk menentukan nilai kebenaran akan konsep matematika maka perlu dibuktikan. Pembuktian matematika bermacam-macam, yaitu pembuktian langsung, melalui induksi matematika, bukti dengan kontradiksi, bukti dengan konstruksi. Setelah sebuah teorema telah terbukti benar maka teorema tersebut dapat digunakan untuk membuktikan teorema lain yang belum teruji kebenarannya. Sehingga aturan-aturan dalam pembuktian matematika itu memiliki struktur yang saling terkait.

    ReplyDelete
  34. Nama : Habibullah
    NIM : 17709251030
    Kelas : PM B (S2)

    Assalamualaikum wr.wb

    Di dalam pelajaran matematika banyak sekali teorema-teorema ataupun definisi yang memerlukan pembuktian, kecuali teorema ataupun definisi tersebut bersifat dasar dan murni. Namun di dalam pembuktian sebuah teorema terkadang guru mengalami kesulitan dikarenakan kurangnya pengetahuan guru dalam melakukan manipulasi matematis itu sendiri. Untuk bisa membuktikan sebuah teorema guru dan siswa harus mengusai teorema-teorema lain yang menjadi penguat terhadap pembuktian yang dilakukan.

    ReplyDelete
  35. Uswatun Hasanah
    17701251022
    S2 PEP B

    Ada banyak teknik yang digunakan untuk membuktikan teorema dalam matematika. Menurut saya cara pembuktian yang sangat sederhana adalah pembuktian secara langsung di mana melalui hubungan pernyataan-pernyataan dan definisi seseorang dapat menemukan kebenarannya. Maka dapat pula dilakukan dengan pengujian teoritis. Masih adanya beberapa pernyataan dari teknik kontradiksi dan exhaustion yang menjadi kebingungan dalam pikiran saya. Saya juga tidak begitu memahami keduanya. Untuk bagian konstruksi, diibaratkan dengan gaya belajarnya anak-anak dimana konsep pemahamannya dapat dilihat jika sesuai dengan dunia yang bersifat konkretnya. Gaya pembelajaran ini juga terkadang dipakai oleh orang dewasa.

    ReplyDelete
  36. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  37. Widuri Asmaranti
    17709251035
    S2 Pend Matematika B 2017

    Assalammualaikum Prof,
    Kali ini postingan bapak melanjutkan postingan sebelumnya mengenai bukti matematika yang kedua. Pada bukti matematika yang kedua ini menjelaskan bahwa adanya beberapa teknik pembuktian , yaitu:
    Beberapa teknik pembuktian yang umum adalah:
    1. Bukti langsung yang kesimpulannya ditetapkan secara logis menggabungkan aksioma, definisi dan teorema sebelumnya
    2. Bukti dengan induksi untuk membuktikan konsep dasar
    3. Bukti kontradiksi untuk membuktikan sebuah kontradiksi, adapun contoh kontradiksi logis terjadi, maka propertinya harus salah.
    4. Bukti dengan konstruksi yaitu untuk membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa ada sesuatu yang memiliki properti itu.
    5. Bukti terbatas di mana kesimpulan dibuat dengan membaginya menjadi sejumlah kasus yang terbatas dan membuktikannya secara terpisah.

    ReplyDelete
  38. Widuri Asmaranti
    17709251035
    S2 Pend Matematika B 2017

    Assalammualaikum Prof,
    Kali ini postingan bapak melanjutkan postingan sebelumnya mengenai bukti matematika yang kedua. Pada bukti matematika yang kedua ini menjelaskan bahwa adanya beberapa teknik pembuktian , yaitu:
    Beberapa teknik pembuktian yang umum adalah bukti langsung yang membuktikan aksioma aksioma, bukti dengan induksi untuk membuktikan konsep dasar, bukti kontradiksi untuk membuktikan sebuah kontradiksi, bukti dengan konstruksi untuk membangun contoh konkret, dan bukti terbatas. Inilah teknik teknik pembuktian yang biasa digunakan pada pembuktian umum di pembelajaran matematika.

    ReplyDelete
  39. I Nyoman Indhi Wiradika
    17701251023
    PEP B

    Matematika memiliki berbagai macam cara untuk menunjukan pembuktiannya. Pembuktian tersebut harus melalui beberapa alur. Beberapa cara pembuktian matematika yaitu: pertama, pembuktian langsung; kedua, pembuktian induksi, yaitu perumuman dari kebenaran untuk P(n), kemudian benar untuk n=1 maka harus dapat ditunjukkan bahwa P(n) juga benar untuk n = k + 1.; kedua, pembuktian kontradiksi, yang merupakan pengandaian; keempat, pembuktian konstruktif, dan kelima, pembuktian exhaustion. Semuanya cara tersebut merupakan dalil fundamental dalam mengkonstruk rumus dan pengetahuan matematika.

    ReplyDelete
  40. Nama: Hendrawansyah
    NIM: 17701251030
    S2 PEP 2017 Kelas B

    Assalamualaikum wr wb

    Bentuk aksioma adalah suatu abstraksi.Kebanyakan dilegalkan di dalam ilmu murni hingga mendapatkan pengakuan dari khalayak umum .Seperti telah membuming meskipun akan berbahaya bagi generasi muda.Saya menjadi teringat kembali dengan hegemoni dimana orang-orang meletakkan hal tersebut pada dunia anak. Kebebasan dan hak anak secara tidak langsung telah dieksploitasi untuk mengembangkan kepentingan dunianya orang dewasa.Yang pastinya belajar tentang aksioma berdasarkan pengalaman sebelumnya kita harus berkutat dan harus menjadi pesuruhnya aksioma.

    ReplyDelete
  41. Irham Baskoro
    17709251004
    S2|Pendidikan Matematika A 2017|UNY

    Uraian yang Prof jelaskan di atas adalah teknik-teknik dalam pembuktian matematika. Pembuktian yang pertama adalah pembuktian langsung. Pembuktian langsung mendapati bahwa kesimpulan dibangun secara logis dengan mengkombinasikan aksioma, definisi, dan teorema sebelumnya. Selanjutnya Bukti dengan induksi yaitu dengan menggunakan aturan induksi matematika. Lalu bukti dengan kontradiksi artinya jika beberapa sifat benar, lalu kontradiksi terjadi pada sifat, sehingga dibuktikan bahwa sifat kontradiksi tadi salah. Bukti selanjutnya adalah adalah bukti konstruksi yaitu mengkontruksi contoh kongkrit dengan sifat untuk menunjukkan sesuatu memiliki sifat tersebut. Dalam beberapa kasus, induksi matematika menjadi aturan paling sederhana untuk pembuktian matematika.

    ReplyDelete
  42. Rahma Dewi Indrayanti
    17709251038
    PPS Pendidikan Matematika Kelas B

    Belajar matematika dengan cara memahami bukti tidaklah mudah. Dibutuhkan waktu untuk memahami matematika sebagai bahasa logika. Dibutuhkan wawasan matematika yang luas untuk belajar membuktikan fakta-fakta yang lebih rumit. Di dalam bukti termuat nilai-nilai strategis yang dapat melatih kita berpikir secara logis. Dengan memahami bukti kita dapat mengikuti alur berpikir para ahli yang pertama kali menemukannya.

    ReplyDelete
  43. Junianto
    PM C

    Pembuktian bisa menggunakan teorem, aksioma maupun kalimat bisa seperti dalam bahasa Indonesia. Ketika sebuah teorema sudah terbukti kebenarannya maka teorema ini dapat dibuktikan untuk menentukan bukti-bukti berikutnya. Dikatakan pula bahwa tidak semua matematika membutuhkan bukti karena adal foundations mathematics yang tidak perlu bukti. Foundations mathematics adalah kalimat/ pernyataan tidak bisa didefinisikan dan tidak memerlukan bukti.

    ReplyDelete
  44. Latifah Fitriasari
    17709251055
    PPs PM C

    Beberapa metode dalam pembuktian matematika, diantaranya:
    1. Pembuktian langsung, 2. Pembuktian tak langsung, 3. Pembuktian bukti kosong, 4.Pembuktian trivial, 5.Pembuktian kontradiksi, 6.Pebuktian eksistensial, 7.Pembuktian ketunggalan, 8.Pembuktian dengan counter example, Dan yang terahir 9. Pembuktian dengan induksi matematika,yang didefiniskan secara umum penalaran di dalam matematika menggunakan pendekatakan deduktif.

    ReplyDelete
    Replies
    1. Sebagai bukti langsung , kesimpulannya dibuat secara logis menggabungkan aksioma, definisi, dan teorema sebelumnya. Misalnya, bukti langsung bisa digunakan untuk menetapkan bahwa jumlah dua bahkan bilangan bulat selalu genap yaitu untuk dua bilangan bulat bahkan x dan y kita dapat menulis x = 2 a dan y = 2 b untuk beberapa bilangan bulat a dan b , karena keduanya x dan y adalah kelipatan dari 2. Tapi jumlah x + y = 2 a + 2 b = 2 ( a + b ) juga merupakan kelipatan dari 2, jadi oleh karena itu bahkan menurut definisinya. Bukti ini menggunakan definisi bilangan bulat bahkan, dan juga hukum distribusi.

      Delete
  45. Arung Mega Ratna
    17709251049
    PPs PMC 2017


    Pembuktian sebuah teorema dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan selanjutnya. Beberapa teknik pembuktian umum yaitu pembuktian langsung, pembuktian induksi, pembuktian dengan kontradiksi, pembuktian dengan konstruksi, dan pembuktian kelelahan. Pembuktian langsung dilakukan dengan menyimpulkan penggabungan aksioma, definisi, dan teorema sebelumnya secara logis. Pembuktian induksi digunakan untuk membuktikan suatu seri (sering tak terbatas) dari kasus. Pembuktian kontradiksi dengan menunjukkan bahwa jika beberapa properti yang benar, kontradiksi logis terjadi, maka properti harus palsu. Pembuktian konstruksi dengan membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa sesuatu yang memiliki properti itu ada. Pembuktian kelelahan dimana penyimpulan didirikan dengan membaginya ke dalam kasus yang jumlahnya terbatas dan membuktikan masing-masing secara terpisah.

    ReplyDelete
  46. Muh Wildanul Firdaus
    17709251047
    Pendidikan matematika S2 kls C

    Terdapat banyak cara dalam membuktikan kebenaran matematika, dan macam cara pembuktian yang ada dalam matematika adalah sebagai berikut : bukti langsung, bukti dengan induksi, bukti dengan kontradiksi, bukti dengan konstruksi, dan yang terakhir adalah bukti dengan kelelahan. Kelima pembuktian itu yang sampai saat ini masih sering sekali dilakukan dalam membuktikan materi-materi dalam matematika.

    ReplyDelete
  47. Firman Indra Pamungkas
    17709251048
    S2 Pendidikan Matematika 2017 Kelas C

    Assalamualaikum Warohmatullah Wabarokatuh
    Beberapa teknik pembuktian dalam matematika adalah: (1) Pembuktian langsung, (2) Pembuktian dengan induksi, (3) Pembuktian dengan kontradiksi, (4) Pembuktian dengan konstruksi, (5) Proof by exhausting. Proof by exhausting adalah pembuktian dengan membagi masalah kedalam beberapa bagian, yaitu membaginya ke dalam sejumlah kasus tertentu dan membuktiakn masing-masing bagian. Pembuktian dengan proof by exhausting biasa dilakukan pada masalah di teori bilangan. Selain teknik pembuktian di atas, untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai salah adalah dengan memberikan counter example

    ReplyDelete
  48. Auliaul Fitrah Samsuddin
    17709251013
    PPs P.Mat A 2017
    Terima kasih atas postingannya, Prof. Ketika teorema telah terbukti, teorema tersebut dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan penyataan lain. Landasan matematika adalah pernyataan yang tidak dapat atau tidak perlu dibuktikan. Hal ini merupakan bahan kajian utama para filsuf matematika. Saat ini fokus utama lebih kepada praktisi yaitu menggunakan teknik yang telah diterima secara umum

    ReplyDelete
  49. Salmaini Safitri Syam
    17709251012
    PPs PM A

    Apabila teorema sudah terbukti, maka teorema tersebut dapat digunakan sebagai dasar dalam membuktikan pernyataan selanjutnya. Dalam matematika ada beberapa teknik pembuktian yaitu pembuktian langsung, pembuktian induktif dan pembuktian kontradiksi. Pada umumnya, pembuktian langsung dimana kesimpulan didirikan oleh penggabungan aksioma yang logis, definisi dan teorema sebelumnya.

    ReplyDelete
  50. Isoka Amanah Kurnia
    17709251051
    PPs Pendidikan Matematika 2017 Kelas

    Teorema yang sudah dapat dibuktikan dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut. Teknik pembuktian umum adalah pembuktian langsung di mana kesimpulan didirikan oleh penggabungan aksioma yang logis, definisi dan teorema sebelumnya. Aturan induksi digunakan untuk membuktikan suatu seri dari kasus-kasus lain. Pembuktian dengan kontradiksi dilakukan dengan cara mengasumsikan bahwa teorema tersebut berkontradiksi, lalu pada akhirnya akan terlihat bahwa teori tersebut terbukti benar. Pembuktian dengan konstruksi dengan membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa sesuatu yang memiliki properti itu ada.

    ReplyDelete
  51. Gina Sasmita Pratama
    17709251003
    S2 P.Mat A 2017

    Terimakasih banyak Prof atas postingannya. Sebuah teorema yang terbukti kebenarannya dapat dijadikan dasar untuk membuktikan pernyataan (teorema) yang lainnya. Sedangkan definisi atau dasar matematika merupakan pernyataan yang tidak dapat atau tidak perlu dibuktikan. Berdasarkan postingan di atas, beberapa teknik pembuktian yang umum adalah 1) Bukti langsung; 2) Bukti dengan induksi; 3) Bukti kontradiksi; 4)Bukti dengan pemisahan. Pembuktian ini mengisyaratkan kepada kita bahwa orang-orang matematika kebanyakan tidak mempercayai sesuatu sebelum ia membuktikan sendiri.

    ReplyDelete
  52. Ibnu Rafi
    14301241053
    S1 Pendidikan Matematika Kelas I 2014

    Berdasarkan postingan tersebut, saya menjadi tahu bahwa dasar dari matematika adalah pernyataan-peryataan, baik pernyataan yang tidak perlu dibuktikan (aksioma) maupun pernyataan yang perlu dibuktikan kebenarannya (teorema). Ada beberapa strategi yang umumnya digunakan untuk membuktikan suatu teorema, yaitu bukti langsung; bukti dengan induksi; bukti dengan kontradiksi, bukti dengan konstruksi (pemisalan); dan bukti dengan exhaustion (kasus-kasus).

    ReplyDelete