Nov 26, 2012

MATHEMATICAL PROOF 2_Docemented by Marsigit




MATHEMATICAL PROOF 2

Once a theorem is proved, it can be used as the basis to prove further statements. The so-called foundations of mathematics are those statements one cannot, or need not, prove. These were once the primary study of philosophers of mathematics. Today focus is more on practice, i.e. acceptable techniques. 

Some common proof techniques are:

Direct proof: where the conclusion is established by logically combining the axioms, definitions and earlier theorems
·          
Proof by induction: where a base case is proved, and an induction rule used to prove an (often infinite) series of other cases 

Proof by contradiction: where it is shown that if some property were true, a logical contradiction occurs, hence the property must be false.
· 
Proof by construction: constructing a concrete example with a property to show that something having that property exists.

Proof by exhaustion: where the conclusion is established by dividing it into a finite number of cases and proving each one separately

36 comments:

  1. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)
    Ada beberapa metode dalam pembuktian matematika, diantaranya sebagai berikut :

    1. PEMBUKTIAN LANGSUNG
    Bukti langsung ini biasanya diterapkan untuk membuktikan teorema yang q. Di sini p sebagai hipotesis digunakan sebagaiÞberbentuk implikasi p fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan berlaku q. Secara logika pembuktian q benarÞlangsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan p dimana diketahui p benar.
    2. PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG
    q ekuivalen denganÞKita tahu bahwa nilai kebenaran suatu implikasi p p. Jadi pekerjaan membuktikan~ Þq ~nilai kebenaran kontraposisinya kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.
    3. PEMBUKTIAN “BUKTI” KOSONG
    q sudah bernilai salah makaÞBila hipotesis p pada implikasi p q selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jikaÞimplikasi p kita dapat menunjukkan bahwa p salah maka kita telah berhasil q.Þmembuktikan kebenaran p
    4. PEMBUKTIAN TRIVIAL
    q, dapat ditunjukkan bahwa q benar makaÞBila pada implikasi p implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa q benar maka kita telah berhasil q.Þmembuktikan kebenaran p

    ReplyDelete
  2. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)
    Ada beberapa metode dalam pembuktian matematika, diantaranya sebagai berikut :

    5. PEMBUKTIAN DENGAN KONTRADIKSI
    Metode ini mempunyai keunikan tersendiri, tidak mudah diterima oleh q kita berangkatÞorang awam. Dalam membuktikan kebenaran implikasi p dari diketahui p dan :q.
    6.PEMBUKTIAN EKSISTENSIAL
    Ada dua tipe bukti eksitensial ini, yaitu konstruktif dan takkonstruktif. Pada metoda konstruktif, eksistensinya ditunjukkan secara eksplisit. Sedangkan pada metoda takkonstruktif, eksistensinya tidak diperlihatkan secara eksplisit. Contoh Buktikan, ada bilangan irrasional x dan y sehingga xy rasional.
    7. PEMBUKTIAN KETUNGGALAN
    Dalam membuktikan ketunggalan, pertama harus ditunjukkan eksistensi suatu objek, katakan objek itu x. Ada dua pendekatan yang dapat ditempuh untuk membuktikan bahwa x hanya satu-satunya objek yang memenuhi.
    8. PEMBUKTIAN DENGAN COUNTER EXAMPLE
    Untuk membuktikan suatu konjektur terkadang kita membutuhkan penjabaran yang cukup panjang dan sulit. Tapi bila kita dapat menemukan satu saja kasus yang tidak memenuhi konjektur tersebut maka selesailah urusannya.
    9. PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKA
    Secara umum penalaran di dalam matematika menggunakan pendekatakan deduktif.
    .

    ReplyDelete
  3. Sumandri
    16709251072
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Dari artikel pembuktian matematika 2 ini saya dapat mengambil kesimpulan bahwa pembuktian matematika ada beberapa cara diantarany adalah:
    1.Bukti langsung
    2.Bukti dengan induksi
    3.Bukti dengan kontradiksi
    4.Bukti dengan konstruksi
    5.Bukti dengan exhaustion

    ReplyDelete
  4. Saepul Watan
    16709251057
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Dari artikel dijelaskan bahwa setelah pembuktikan dalam teorema terbukti dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut. Terdapat lima cara dalam setiap pembuktian matematika yaitu: bukti langsung, bukti dengan induksi, bukti dengan kontradiksi, bukti dengan konstruksi dan bukti dengan kelelahan. Dari setiap cara yang digunakan dalam pembuktian Matematika akan ditemukan sebuah kesimpulan yang menentukan nilai kebenaran.

    ReplyDelete
  5. dari paparan di atas di jelaskan tentang Beberapa teknik pembuktian yang umum diantaranya:
    Bukti langsung: dimana kesimpulannya ditetapkan secara logis menggabungkan aksioma,definisi dan teorema sebelumnya
    Bukti dengan induksi: di mana kasus dasar terbukti, dan peraturan induksi digunakan untuk membuktikan serangkaian kasus lain (seringkali tak terbatas).
    Bukti kontradiksi: di mana ditunjukkan bahwa jika beberapa properti benar, kontradiksi logis terjadi, maka propertinya harus salah.
    ·Bukti dengan konstruksi: membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa ada sesuatu yang memiliki properti itu.
    Bukti dengan kelelahan: di mana kesimpulan dibuat dengan membaginya menjadi sejumlah kasus yang terbatas dan membuktikannya secara terpisah

    ReplyDelete
  6. Sylviyani Hardiarti
    16709251069
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Di dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Paling tidak terdapat enam alasan mengapa seseorang melakukan pembuktian matematika, yaitu to establish a fact with certainty, to understand more deeply, to communicate an idea to others, for the challenge, to create something beautiful, or to construct a large mathematical theory. Ada beberapa metode dalam pembuktian matematika yaitu: 1) Bukti langsung, 2) Bukti dengan induksi, 3) Bukti dengan kontradiksi, 4) Bukti dengan konstruksi, dan 5) Bukti dengan exhaustion.

    ReplyDelete
  7. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Definisi mempunyai peranan penting di dalam matematika.
    Topik-topik atau materi baru matematika selalu diawali dengan menyusun definis.
    Sebagai contoh, teori fungsi kompleks diawali dengan mendefinisikan bilangan imajiner i, yaitu i2 = -1.
    Sehingga dalam mempelajari suatu topik akan memahami definisinya terlebih dahulu.

    ReplyDelete
  8. Dessy Rasihen
    16709251063
    S2 P.MAT D

    Setelah teorema terbukti, dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut. Beberapa teknik pembuktian umum adalah pembuktian langsung di mana kesimpulan didirikan oleh penggabungan aksioma yang logis, definisi dan teorema sebelumnya. Pembuktian dengan induksi di mana kasus dasar terbukti, dan aturan induksi digunakan untuk membuktikan suatu seri dari kasus-kasus lain. Pembuktian dengan kontradiksi di mana ia menunjukkan bahwa jika beberapa properti yang benar, kontradiksi logis terjadi. Pembuktian dengan konstruksi dengan membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa sesuatu yang memiliki properti itu ada. Pembuktian oleh kelelahan: mana kesimpulan didirikan dengan membaginya ke dalam jumlah kasus terbatas dan membuktikan masing-masingnya secara terpisah.

    ReplyDelete
  9. Nurwanti Adi Rahayu
    16709251067
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Dimulai dari definisi suatu topik maka dihasilkan sejumlah teorema yang sering kali dilengkapi dengan akibat-akibat yang muncul karena teorema.
    Teorema-teorema yang muncul inilah yang perlu dibuktikan.
    Tak hanya teoremam akibatpun perlu dijelaskan kenapa bisa terjadi.
    Pembuktian matematika dilakukan dengan beberapa metode : metode pembuktian langsung dan metode pembuktian tak langsung.

    ReplyDelete
  10. Loviga Denny Pratama
    16709251075
    S2 P.Mat D

    Dari artikel ini membicarakan tentang pembuktian-pembuktian dalam matematika. Pembuktian ini merupakan implikasi dari materi pembelajaran logika pada matematika sekolah. Sehingga semua materi dalam matematika itu dapat berimplikasi ke dalam kehidupan sehari-hari. Salah satunya logika matematika ini yatu digunakan sebagai alat pembuktian sehingga dari sini akan menjadikan postulat, teorema, lemma, dll. Inilah salah satu keterkaitan pada materi tersebut. Dimana beberapa macam pembuktiannya dijelaskan pada artikel ini yang terdiri dari Bukti langsung, Bukti dengan induksi, Bukti dengan kontradiksi, Bukti dengan konstruksi, Bukti dengan exhaustion.

    ReplyDelete
  11. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2


    Pembuktian dalam matematika dapat dilakukan dengan berbagai cara, antara lain: 1) pembuktian langsung yaitu menarik kesimpulan yang didasarkan pada logis dengan menggabungkan aksioma, definisi dan teorema sebelumnya. 2) Pembuktian dengan induksi yaitu dengan terlebih dahulu membuktikan untuk kasus yang dasar dan kemudian digunakan untuk membuktikan kasus secara umum. 3) pembuktian dengan kontradiksi yaitu adalah pembuktian yang menggunakan argumen logika yang dimulai dengan suatu asumsi, lalu dari asumsi tersebut diturunkan suatu hasil yang absurd, tidak masuk akal, atau kontradiktif, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa asumsi tadi adalah salah (dan ingkarannya benar). Dalam disiplin matematika dan logika, pembuktian melalui kontradiksi merujuk secara khusus kepada argumen di mana sebuah kontradiksi dihasilkan dari suatu asumsi (sehingga membuktikan asumsi tadi salah) Argumen ini menggunakan hukum non-kontradiksi - yaitu suatu pernyataan tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Dan pembuktian di mana kesimpulan yang diperoleh dari hasil membagi konsep secara terpisah dan dibuktikan masing-masing.

    ReplyDelete
  12. Lana Sugiarti
    16709251062
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Dalam matematika ada teorema yang dijadikan dasar untk pembuktian. Cara pembuktian dapat dilakukan dengan berbagai cara. Bisa melalui induktif atau deduktif dan yang lainnya. Pembuktian juga dapat dilakukan dengan bukti langsung, bukti kontradiksi, induksi atau pun yang lainnya.

    ReplyDelete
  13. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Berdasarkan artikel yang saya baca melalui 10.1109/TSMC.1984.6313219, Di dalam matematika, bukti adalah serangkaian argumen logis yang menjelaskan kebenaran suatu pernyataan. Argumen-argumen ini dapat berasal dari premis pernyataan itu sendiri, teorema-teorema lainnya, definisi, dan akhirnya dapat berasal dari postulat dimana sistem matematika tersebut berasal. Dalam artikel making mathematics yang berjudul Proof, dapat diakses pada http:/www2.edc.org/makingmath, dijelaskan secara rinci mengenai bukti dalam matematika yang meliputi what is proof, why do we prove, what do we prove, dan how do we prove. Menurut artikel tersebut, paling tidak terdapat enam motivasi mengapa orang membuktikan, yaitu to establish a fact with certainty, to gain
    understanding, to communicate an idea to others, for the challenge, to create something beautiful, to construct a large mathematical theory.

    ReplyDelete
  14. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Beberapa bukti yang belum disampaikan pada artikel ini yang diperoleh melalui 10.1109/TSMC.1984.6313219 antara lain :
    a. Bukti kosong
    Bila hipotesis p pada implikasi p⇒q sudah bernilai salah maka implikasi p⇒q selalu benar apapun nilai kebenaran dari q. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa p salah maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p⇒ q.
    b. Bukti trivial
    Bila pada implikasi p⇒ q, dapat ditunjukkan bahwa q benar maka implikasi ini selalu bernilai benar apapun nilai kebenaran dari p. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa
    q benar maka kita telah berhasil membuktikan kebenaran p⇒ q.
    c. Bukti eksistensial
    Ada dua tipe bukti eksitensial ini, yaitu konstruktif dan takkonstruktif. Pada metoda konstruktif, eksistensinya ditunjukkan secara eksplisit. Sedangkan pada metoda takkonstruktif, eksistensinya tidak diperlihatkan secara eksplisit.

    ReplyDelete
  15. Yosepha Patricia Wua Laja
    16709251080
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    d. Bukti ketunggalan
    Dalam membuktikan ketunggalan, pertama harus ditunjukkan eksistensi suatu objek, katakan objek itu x. Ada dua pendekatan yang dapat ditempuh untuk membuktikan bahwa x hanya satu-satunya objek yang memenuhi, yaitu
    • Diambil objek sebarang, katakan y maka ditunjukkan y = x, atau
    • Misalkan y objek sebarang lainnya dengan y ≠ y, ditunjukkan adanya suatu
    kontradiksi. cara ini tidak lain menggunakan metoda kontradiksi seperti
    yang sudah dibahas sebelumnya.



    e. Bukti dengan counter example
    Untuk membuktikan suatu konjektur terkadang kita membutuhkan penjabaran yang cukup panjang dan sulit. Tapi bila kita dapat menemukan satu saja kasus yang tidak memenuhi konjektur tersebut maka selesailah urusannya.


    ReplyDelete
  16. Ahmad Wafa Nizami
    16709251065
    S2 Pendidikan Matematika D

    Dalam pembuktian juga ada beberapa jenis, jenis-jenis ini juga dapat kita gunakan dalam membuktikan sesuatau. Antara lain : Bukti langsung: dimana kesimpulannya ditetapkan secara logis menggabungkan aksioma, definisi dan teorema sebelumnya
    •Bukti dengan induksi: di mana kasus dasar terbukti, dan peraturan induksi digunakan untuk membuktikan serangkaian kasus lain (seringkali tak terbatas).
    Bukti kontradiksi: di mana ditunjukkan bahwa jika beberapa properti benar, kontradiksi logis terjadi, maka propertinya harus salah.
    •Bukti dengan konstruksi: membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa ada sesuatu yang memiliki properti itu.
    Bukti dengan kelelahan: di mana kesimpulan dibuat dengan membaginya menjadi sejumlah kasus yang terbatas dan membuktikannya secara terpisah

    ReplyDelete
  17. Cendekia Ad Dien
    16709251044
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Suatu bukti matematika adalah suatu urutan berantai penarikan kesimpulan yang didasarkan pada suatu kumpulan aksioma dan sejumlah teorema yang sudah dibuktikan, tunduk kepada aturan-aturan logika matematika, dan berakhir dengan pernyataan yang akan dibuktikan. Pernyataan-pernyataan matematika dapat dibuktikan dengan beberapa teknik pembuktian diantaranya menggunakan pembuktian langsung, pembuktian dengan induksi, pembuktian dengan kontradiksi, pembuktian dengan konstruksi/contoh, pembuktian dengan exhaustion.

    ReplyDelete
  18. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS
    16709251061

    Pembuktian melalui kontradiksi adalah argumen logika yang dimulai dengan suatu asumsi, lalu dari asumsi tersebut diturunkan suatu hasil yang absurd, tidak masuk akal, atau kontradiktif, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa asumsi tadi adalah salah (dan ingkarannya benar). Dalam disiplin matematika dan logika, pembuktian melalui kontradiksi merujuk secara khusus kepada argumen dimana sebuah kontradiksi dihasilkan dari suatu asumsi (sehingga membuktikan asumsi tadi salah) Argumen ini menggunakan hukum non-kontradiksi - yaitu suatu pernyataan tidak mungkin benar dan salah sekaligus.

    ReplyDelete
  19. Ardeniyansah
    16709251053
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Pada kasus sederhana kadangkala teorema pada suatu buku ditetapkan sebagai definisi pada buku yang lain, begitu juga sebaliknya. Selanjutnya untuk memahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan logika matematika. Ada beberapa metode dalam pembuktian matematika, diantaranya sebagai berikut : pembuktian langsung, pembuktian tak langsung, pembuktian “bukti” kosong, pembuktian trivial, pembuktian dengan kontradiksi, pembuktian eksistensial, pembuktian ketunggalan, pembuktian dengan counter example, pembuktian dengan induksi matematika.

    ReplyDelete
  20. Annisa Hasanah
    16709251051
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Sebuah teorema yang telah terbukti bisa menjadi dasar untuk membuktikan pernytaan yng lebih lanjut. Namun pembuktian pada saat ini lebih kea rah latihan saja. Beberapa teknik pembuktian yang biasanya digunakan adalah: (1)pembuktian langsung, (2) pembuktian dengan induksi, (3) pembuktian dengan kontradiksi, (4) pembuktian dengan konstruksi dan terakhir (5) pembuktian mendalam.

    ReplyDelete
  21. Syaifulloh Bakhri
    16709251049
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Assalamu’alaikum wr.wb.
    Pembuktian matematika dapat dilakukan dengan induktif, langsung, maupun kontradiksi. Untuk membuktikannya harus melihat dengan kriteria seperti apa dapat dibuktikan, karena ada pembuktian yang secara khusus dimana tidak semua cara dapat dilakukan. Oleh karena itu, kita harus paham konsep yang menjadikan dasar pijakan konsep-konsep selanjutnya, dimana akan sangat berguna bagi penelitian khususnya pembuktian-pembuktian.

    ReplyDelete
  22. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Pembuktian dalam matematika hanyalah terhadap teorema-teorema maupun pernyataan-pernyataan yang muncul akibat definisi atau teorema tertentu. Tetapi definisi-definisi yang ada di dalam matematika tidak perlu dibuktikan kebenarannya karena definisi-definisi tersebut menjadi dasar dalam matematika, sehingga anggapannya adalah benar. Dan suatu hal yang telah dianggap benar, tidak perlu lagi untuk dibuktikan kebenarannya. Ada beberapa cara atau metode yang digunakan dalam pembuktian secara umum diantaranya adalah melalui bukti langsung, bukti induksi, bukti kontradiksi, bukti konstruksi, bukti dengan exhaustion.

    ReplyDelete
  23. Sehar Trihatun
    16709251043
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Teknik maupun metode pembuktian yang sering digunakan secara umum juga seringkali digunakan di dalam pembuktian matematika, yaitu meliputi bukti langsung yang digunakan dengan cara menggabungkan aksioma,definisi dan teorema sebelumnya dalam menghasilkan suatu kesimpulan. Bukti induksi digunakan ketika kasus dasar atau suatu kasus tertentu terbukti, dan untuk membuktikan kasus-kasus lain secara umum, sehingga tidak hanya berlaku bagi satu kasus saja. Bukti dengan konradiksi atau seringkali kita sebut dengan bukti dengan pengandaian, bukti secara kontradiksi ini digunakan dengan cara pengandaian yaitu mengandaikan suatu pernyataan yang berkontradiksi dengan pernyataan yang akan dibuktikan tersebut adalah benar, kemudian tunjukkan akibat dari pengandaian tersebut itu ternyata berkonstradiksi logis, sehingga pengandaian tersebut salah, dan terbukti benar untuk pernyataan matematika yang dibuktikan tersebut. Bukti dengan konstruksi, dengan menunjukkan atau memberikan contoh-contoh konkret yang memang memiliki sifat-sifat yang sesuai dengan sifat-sifat yang akan dibuktikan. Bukti dengan exhaustion dimana kesimpulan yang dibuat dengan membaginya menjadi sejumlah kasus yang terbatas dan membuktikannya secara terpisah, apabila setiap kasus yang dibuktikan tersebut benar maka pernyataan yang dibangun dari kasus-kasus tersebut juga benar.

    ReplyDelete
  24. Heni Lilia Dewi
    16709251054
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Matematika selalu memiliki peran dalam pengetahuan science. Termasuk dalam alur pembuktiannya. Bukti dari suatu teorema mendasari bukti teorema-teorema selanjutnya. Kemudian, dalam pembuktian matematika ada berbagai macam cara, yaitu: (1) pembuktian langsung; (2) pembuktian induksi, yaitu perumuman dari kebenaran untuk 1, kemudian benar untuk n yang berimbas kebenaran untuk n+1; (3) pembuktian kontradiksi, yang merupakan pengandaian; (4) pembuktian konstruktif, dan (5) pembuktian exhaustion. Semuanya adalah sebagai pondasi dalam matematika. Pondasi matematika merupakan studi tentang konsep matematika dasar (bilangan, gambar geometris, himpunan, fungsi, dan lain-lain) dan bagaimana mereka membentuk hierarki struktur dan konsep yang lebih kompleks, terutama struktur fundamental yang penting yang membentuk bahasa matematika (Rumus, teori dan model mereka yang memberi makna pada formula, definisi, bukti, algoritma, dll).

    ReplyDelete
  25. Windi Agustiar Basuki
    16709251055
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016
    Pada artikel ini dijelaskan bahwa Beberapa teknik pembuktian yang umum diantaranya yaitu
    Pembuktian secara langsung dan cara kontradiksi. Pembuktian cara langsung meliputi modus ponens, transirvitas, modus tollens, deductions theorem, contraposition, proof by cases dan mathematical induction, sedangkan bukti dengan kontradiksi meliputi bukti dengan contoh kontra dan bukti tak langsung.

    ReplyDelete
  26. Desy Dwi Frimadani
    16709251050
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Jika sebuah teorem adapat dibuktikan, maka teorema tersebut bisa dijadika dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut. Berikut 5 teknik pembuktian yaitu 1. pembuktian langsung 2. pembuktian induksi 3. pembuktian kontradiksi 4. pembuktian konstruksi 5. pembuktian exhaustion

    ReplyDelete
  27. Luki Slamet Purwoko
    14301241008
    S1 Pendidikan Matematika I 2014

    Dalam pembuktian matematika, dapat digunakan teorema yang telah terbukti sebagai landasan memikirkan teorema baru seperti yang telah saya jelaskan pada komen di mathematical proof 1. Sehingga dalam memperluas dimensinya mathematika menggunakan pikiran sebelumnya sebelumnya sebagai landasan atau dengan kata lain matematika itu bersifat deduktif. Namun jangan salah karena tidak semua matematika bersifat deduktif karna ada juga objek matematika yng bersifat induktif. Misalnya masalah pi dalam lingkaran. Untuk mencari nilai eksaks, pi tidak berlandaskan teorema-teorema yang telah terbukti namun menggunakan percobaan atau eksperimen dengan mengukur panjang keliling dari lingkaran bagaimana perbandingannya sehingga mendapatkan nilai pi. Namun sampai sekaran digit terakhir untuk pi belum dapat ditemukan.

    ReplyDelete
  28. Luki Slamet Purwoko
    14301241008
    S1 Pendidikan Matematika I 2014

    Dalam artikel ini, Bapak marsigit juga memuncukan cara atau metode dalam pembuktian matematis. Dapat dilihat metodenya apat dilakukan dengan bermacam-macam. Namun, metode tersebut tidaklah selalu dapat digunakan untuk semua masalah. Setiap metode mempunyai kelebihan dan kekurangan dalam pembuktian matematka. Sehingga dalam membuktikan berbagai pembuktian tidak bias digunakan satu metode saja. Namun dengan membuktikan dengan berbagai variasi pembuktian. Sehingga dalam pembuktian matematika dapat dijumpai berbagai cabang pengetahuan yang akan muncul dari kegiatan pembuktian matematis tersebut.

    ReplyDelete
  29. Syahlan Romadon
    PM C 2016 / 16709251047

    Beberapa teknik pembuktian dalam matematika adalah:
    (1) Pembuktian langsung
    (2) Pembuktian dengan induksi
    (3) Pembuktian dengan kontradiksi
    (4) Pembuktian dengan konstruksi
    (5) Proof by exhausting
    Proof by exhausting adalah pembuktian dengan membagi masalah kedalam beberapa bagian, yaitu membaginya ke dalam sejumlah kasus tertentu dan membuktiakn masing-masing bagian. Pembuktian dengan proof by exhausting biasa dilakukan pada masalah di teori bilangan. Selain teknik pembuktian di atas, untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai salah adalah dengan memberikan counter example.

    ReplyDelete
  30. Muh Ferry Irwansyah
    15709251062
    Pendidikan Matematika PPS UNY
    Kelas D
    Pembuktian matematika merupakan berpikir formal dan logis yang dimulai dengan aksioma dan bergerak maju melalui langkah-langkah logis sampai pada suatu kesimpulan. Suatu hal dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut yaitu setelah teoremanya terbukti. Terdapat beberapa cara untuk membuktikan sebuah pernyataan, diantaranya menggunakan bukti langsung, bukti dengan induksi, bukti dengan kontradiksi, bukti dengan kontruksi dan bukti dengan kelelahan.

    ReplyDelete
  31. Ratih Eka Safitri
    16709251059
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Saat ini, Teori Pembuktian bisa diperlihatkan sebagai studi umum mengenai sistem deduktif formal. Perlu diketahui bahwa sistem formal ini bisa digunakan untuk memodelkan tipe inferensi yang lebih luas - modal, temporal, probabilistik, induktif, defisibel, deontic, dan lain-lain - pekerjaan dalam bidang ini sangat luas dan bervariasi. Disini, kita memfokuskan bahwa Teori Pembuktian dari Penalaran Matematis, tapi walaupun dengan batasan ini, bidang ini sangat 'luas'. Dari beragam teknik bukti umum diatas yang difokuskan dewasa sekarang ini adalah pada praktek pada pembuktian tersebut.

    ReplyDelete
  32. Lihar Raudina Izzati
    16709251046
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Ada banyak cara membuktikan kebenaran matematika. Dalam artikel ini dituliskan beberapa cara dalam pembuktian matematika. Beberapa cara tersebut adalah pembuktian langsung, pembuktian dengan induksi matematis, pembuktian dengan kontradiksi, pembuktian dengan konstruksi, pembuktian dengan exhaustion. Jika matematika sudah bisa dibuktikan dengan salah satu cara ini, matematika tersebut sudah bisa dianggap benar secara umum.

    ReplyDelete
  33. Kunny Kunhertanti
    16709251060
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Terdapat banyak cara dalam membuktikan kebenaran matematika, dan macam cara pembuktian yang ada dalam matematika adalah sebagai berikut : bukti langsung, bukti dengan induksi, bukti dengan kontradiksi, bukti dengan konstruksi, dan yang terakhir adalah bukti dengan kelelahan. Kelima pembuktian itu yang sampai saat ini masih sering sekali dilakukakan dalam membuktikan materi-materi dalam matematika.

    ReplyDelete
  34. Ujang Herlan Permana
    14301249001
    S1 Pendidikan Matematika I 2014

    Terdapat beberapa cara dalam pembuktian matematika, diantaranya yaitu pembuktian secara langsung, secara induksi, kontradiksi, dan counter-examples. Menarik bahwa pada kurikulum 2013 ini terdapat materi induksi matematika. Sehingga kemampuan membuktikan matematika ini sudah diajarkan sejak sekolah untuk meningkatkan kemampuan matematis siswa.

    ReplyDelete
  35. Ahmad Bahauddin
    16709251058
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Bukti dikaitkan dengan gagasan tentang fakta obyektif, terlepas dari konteks pengamatan, yang dapat diverifikasi oleh indra atau oleh jalan lain menuju pengetahuan mapan atau teorema yang ada. Dalam kasus generalisationsense scienfiic objektivisme yang terkait dengan bukti bersekutu dengan asumsi tentang sebab dan akibat yang generalisable. Hal ini diperdebatkan oleh pemalsu bukti bahwa bukti induktif dari observasi tidak mungkin dilakukan karena tidak semua pengamatan yang mungkin dilakukan, dan mereka lebih memilih untuk membuat ketidakterbuktian dari teori kerja.

    ReplyDelete
  36. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016
    16709251045

    Banyak teorema dapat dibuktikan yang kemudian dapat digunakan menjadi dasar pembuktian yang lebih lanjut. Pembuktian matematika dibedakan menjadi lima antara lain pembuktian langsung dimana kesimpulannya dengan menggabungkan aksioma, definisi dan teorema sebelumnya, bukti dengan induksi dengan aturan bahwa kasus dasar telah terbukti, dan peraturan induksi digunakan untuk membuktikan serangkaian kasus lain, bukti kontradiksi dengan aturan kontradiksi logis harus terbukti dan sifatnya salah.

    ReplyDelete