Nov 26, 2012

CATEGORY THEORY_Documented by Marsigit




CATEGORY THEORY

A category E consists of two classes, the members of the first of which -- denoted by letters X, Y, ...--are called objects (structures) and the members of the second of which -- denoted by the letters f,g,... --are called arrows (morphisms). 

Each arrow f is assigned an object X as domain and an object Y as   codomain, indicated by writing f: X -> Y. If g is any arrow g: Y -> Z with domain Y, the codomain of f, there is an arrow fg: X -> Z called the composition of f and g. 

For each object Y there is an arrow idY:Y -> Y called the identity arrow of Y. These notions are assumed to satisfy the following identity and associativity axioms:

f C idY = f,  idY C g = g, f(gh) = (fg)h for any arrows f: X -> Y, g: Y -> Z, h: Z -> W .

Given two categories D and E, a functor F from D to E     consists of a pair of functions(both denoted by F), one from the class of objects of D to that of E, and the           other from the class of arrows of D to that of E, such that if f: X -> Y in D, then F(f): F(X) -> F(Y) in E; F(idX) = idF(X)  and      F(fg) = F(f)F(g) for composable arrows f,g of D. A functor can be thought of as a morphism of categories. Categories and functors are found in many seemingly diverse branches of mathematics. Some categories are:

 Set: objects - the sets; arrows - the (set) functions
 Grp: objects - the groups; arrows - group homomorphisms
 Top: objects - topological spaces; arrows - continuous functions
         
An example of a functor is the "forgetful" functor from Grp to Top of Set which assigns to each group or topological space its underlying set. This functor has the effect of "forgetting" the structure and just maintaining the elements.

13 comments:

  1. Anggoro Yugo Pamungkas
    18709251026
    S2 Pend.Matematika B 2018

    Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh.
    Berdasarkan artikel diatas, teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar. Misalkan kita mempunyai himpunan yang lalu kita sebut dengan object beserta fungsi total di antara himpunan tersebut yang lalu kita sebut morphism.

    ReplyDelete
  2. Fabri Hidayatullah
    18709251028
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    kategori digunakan dalam berbagai ilmu baik matematika, informatika teori dan fisika mateamtis. kategori juga berkaitan dengan struktur matematika dan juga antara struktur itu sendiri.

    ReplyDelete
  3. Dini Arrum Putri
    18709251003
    S2 P Math A 2018

    Kategori artinya pengelompokan dalam matematika berhubungan dengan struktur matematika. Struktur matematika dikenal dengan sifat sistematis dan logis. Pembuktian pembuktian yang terdapat dalam konsep konsep matematika selalu sifatnya terstruktur , dan membutuhkan pembuktian agar konsep tersebut dikatakan benar.

    ReplyDelete
  4. Fany Isti Bigo
    18709251020
    PPs UNY PM A 2018

    Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Hal ini berkaitan dengan materi ajar Matematika tentang Fungsi Komposisi. Di mana fungsi f yang memetakan x ke y dinotasikan sebagai f :x  y. di mana f adalah sebuah fungsi dalam f, x adalah domain dan y adalah kodomain. Terdapat hubungan antara struktur yang dinotasikan tersebut, yakni apabila dipetakan oleh fungsi tertentu domain akan mempunyai pasangan atau hasil pada daerah kodomain.

    ReplyDelete
  5. Diana Prastiwi
    18709251004
    S2 P. Mat A 2018

    Teori kategori merupakan hubungan antar struktur dalam matematika. Teori kategori merupakan Cabang matematika yang berkaitan dengan ruang dan peta antara mereka dalam abstraksi, mengambil teorema serupa dari berbagai cabang yang lebih konkret yang berbeda dari matematika dan mempersatukan mereka.Dalam matematika karegori sangat penting. dalampembelajaran matematika menghubungkan suatu kategiri dalam bentuk asbtraksi biasanyadan bukan dalam bentuk yang nyata.hubungan pola dalam matematika juga sangat dibutuhkan untuk menyelidiki suatu hubungan dalam suatu peristiwa.

    ReplyDelete
  6. Amalia Nur Rachman
    18709251042
    S2 Pendidikan Matematika B UNY 2018

    Dalam teori kategori lebih fleksibel dan mengakomodasi logika tingkat tinggi semantik berbagai fitur baru seperti aljabar. Namun sekarang hasilnya dapat diterapkan untuk semua cabang matematika. Bahkan khusus Domain Topologi Adams dapat menggantikan teori himpunan aksiomatik sebagai dasar matematika. Teori kategori sedang dipelajari cukup teliti sebagai dasar untuk matematika atau komentar yang konstruktif meskipun berbagai teori kategori berdasarkan aplikasi ini masih kontroversial. Namun demikian, dapat dikatakan, teori himpunan aksiomatik khususnya, masih merupakan bahasa umum matematikawan dan belum diganti dengan komentar-komentar dari teori kategori.

    ReplyDelete
  7. Rosi Anista
    18709251040
    S2 Pendidikan Matematika B

    Pengkategorian tentunya sangat familiar dalam dunia keilmuan. Segala macam pengetahuan sangat erat kaitannya dengan kategori. Misalnya dalam matematika kita mengenal geometri, dan dalam geometri tersebut terdapat dua kategori, euclid dan non-euclid.

    ReplyDelete
  8. Nur Afni
    18709251027
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.
    Kategori dalam pembelajaran matematika berkaitan dengan struktur matematika itu sendiri. Dimana struktur matematika bersifat logis dan sistematis. Pembelajaran konsep matematika juga terstruktur secara sistematis dan dapat diterima oleh logika. terimakasih

    ReplyDelete
  9. Nani Maryani
    18709251008
    S2 Pendidikan Matematika (A) 2018
    Assalamu'alaikum Wr.Wb

    Teori kategori merupakan teori yang berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Kategori biasanya digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Teori ini pertama kali diperkenalkan oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane tahun 1942-1945, yang saat itu berhubungan dengan topologi aljabar.

    Wassalamu'alaikum Wr.Wb

    ReplyDelete
  10. Nani Maryani
    18709251008
    S2 Pendidikan Matematika (A) 2018
    Assalamu'alaikum Wr.Wb

    Contoh dari Kategori adalah misalkan kita mempunyai himpunan, maka properti kategori dinyatakan sebagai berikut: a) Tipe Fungsi. f: A -> B berarti fungsi f memetakan dari himpunan A ke himpunan B ; b) komposisi. Kita bisa menggabungkan dua fungsi f dan g, jika himpunan target dari fungsi pertama sama dengan himpunan sumber dari fungsi kedua, misal f: A -> B dan g: B -> C untuk beberapa himpunan A,B, dan C. Komposisi biasanya dilambangkan dengan g o f; c) fungsi Identitas. Untuk setiap himpunan A, terdapat fungsi identitas id A : A -> A.

    Wassalamu'alaikum Wr.Wb

    ReplyDelete
  11. Sintha Sih Dewanti
    18701261013
    PPs S3 PEP UNY

    Teori kategori memformalkan struktur matematis dan konsep-konsepnya dalam kaitannya dengan graf berarah berlabel yang disebut kategori, yang simpulnya disebut objek, dan yang tepian berarah berlabel disebut panah. Kategori mewakili abstraksi dari konsep matematika lainnya. Banyak bidang matematika dapat diformalkan dengan teori kategori sebagai kategori. Oleh karena itu teori kategori menggunakan abstraksi untuk memungkinkannya menyatakan dan membuktikan banyak hasil matematika yang rumit dan halus dalam bidang-bidang ini dengan cara yang jauh lebih sederhana.

    ReplyDelete
  12. Sri Ningsih
    19709251064
    S2 Pendidikan Matematika kelas D

    Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar.

    ReplyDelete
  13. Wow! this is Amazing! Do you know your hidden name meaning ? Click here to find your hidden name meaning

    ReplyDelete