Nov 26, 2012

MATHEMATICAL PROOF 2_Docemented by Marsigit




MATHEMATICAL PROOF 2

Once a theorem is proved, it can be used as the basis to prove further statements. The so-called foundations of mathematics are those statements one cannot, or need not, prove. These were once the primary study of philosophers of mathematics. Today focus is more on practice, i.e. acceptable techniques. 

Some common proof techniques are:

Direct proof: where the conclusion is established by logically combining the axioms, definitions and earlier theorems
·          
Proof by induction: where a base case is proved, and an induction rule used to prove an (often infinite) series of other cases 

Proof by contradiction: where it is shown that if some property were true, a logical contradiction occurs, hence the property must be false.
· 
Proof by construction: constructing a concrete example with a property to show that something having that property exists.

Proof by exhaustion: where the conclusion is established by dividing it into a finite number of cases and proving each one separately

24 comments:

  1. RAIZAL REZKY
    16709251029
    S2 P.MAT B 2016

    dalam membuktikan sesuatu maka ada beberapa yang dapat kita lakukan yaitu pertama pembuktian langsung yang berarti kesimpulan kita dapat peroleh dari penggabungan antara definisi, aksioma, dan teorema, kedua pembuktian secara induksi yang berarti melihat segala sesuatu dari pola dasarnya, ketiga pembuktian dengan kontradiksi dimana kita membuktian secara terbalik, keempat pembuktian dengan susunan pembentuknya yang berarti pembuktiannya dengan melihat unsur-unsur penyusunnya, dan kelima yaitu pembuktian exhaustion dimana kesimpulan diperoleh dari membagi permasalahan secara banyak untuk dapat memilahnya satu persatu.

    ReplyDelete
  2. Dita Nur Syarafina
    NIM. 16709251003
    PPs Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Jika satu teorema telah dapat dibuktikan, maka pembuktian tersebut dapat digunakan untuk pembuktian-pembuktian selanjutnya. Cara pembuktian yang dapat kita lakukan ada berbagai macam yaitu bukti langsung yaitu menitikberatkan pada penggunaan logika; bukti dengan induksi terjadi ketika kasus dasar sudah terbukti maka gunakan aturannya untuk membuktikan kasus lainnya; bukti dengan kontradiksi yaitu membuktikan bahwa kontradiksinya salah maka pernyataan ini benar; dan bukti karena lelah yaitu membagi pembuktian tersebut dilakukan secara terpisah.

    ReplyDelete
  3. MUTIARA KUSUMAWATI
    16701251007
    PEP S2 B

    Dalam matematika, terdapat sejumlah cara untuk membuktikan sebuah pernyataan pada: 1) pembuktian dengan cara Induksi: membuktikan kebenaran suatu pernyataan di suatu kejadian tertentu dan kemudian membuktikan kejadian selanjutnya juga benar, 2) pembuktian dengan cara kontradiksi: dengan cara menunjukkan bahwa jika beberapa pernyataan salah, sebuah kontradiksi logika terjadi, karena itu pernyataan harus benar, 3) pembuktian dengan cara langsung : membuktikan suatu implikasi (A → B) dengan asumsi pada hipotesis A itu benar dan kemudian membuktikan kesimpulan B itu benar, 4) pembuktian dengan cara mengkontruksi sesuatu yang konkret, dan 5) pembuktian dengan cara pemisahan dengan membagi – bagi dalam beberapa hal untuk mencapai suatu kesimpulan.

    ReplyDelete
  4. Aprisal
    16709251019
    PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Assalamu Alaikum Wr.Wb

    Dalam pembuktian suatu konsep matematika maka dapat digunakan teorema sebelumnya yang telah terbukti. Pembuktian dalam matematika dapat dilakukan dengan berbagai cara, antara lain: 1) pembuktian langsung yaitu menarik kesimpulan yang didasarkan pada logis dengan menggabungkan aksioma, definisi dan teorema sebelumnya. 2) Pembuktian dengan induksi yaitu dengan terlebih dahulu membuktikan untuk kasus yang dasar dan kemudian digunakan untuk membuktikan kasus secara umum. 3) pembuktian dengan kontradiksi yaitu adalah pembuktian yang menggunakan argumen logika yang dimulai dengan suatu asumsi, lalu dari asumsi tersebut diturunkan suatu hasil yang absurd, tidak masuk akal, atau kontradiktif, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa asumsi tadi adalah salah (dan ingkarannya benar). Dalam disiplin matematika dan logika, pembuktian melalui kontradiksi merujuk secara khusus kepada argumen di mana sebuah kontradiksi dihasilkan dari suatu asumsi (sehingga membuktikan asumsi tadi salah) Argumen ini menggunakan hukum non-kontradiksi - yaitu suatu pernyataan tidak mungkin benar dan salah sekaligus. Dan pembuktian di mana kesimpulan yang diperoleh dari hasil membagi konsep secara terpisah dan dibuktikan masing-masing.
    ·
    Waalaikum salam wr.wb.

    ReplyDelete
  5. Yurizka Melia Sari
    16701261003
    PPs PEP A 2016

    Dalam pembelajaran matematika baik dari SD, SMP dan SMA, kita mulai belajar pembuktian matematika mulai dari dasar. Di SD, membuktikan pernyataan matematika dengan sensorimotor dan obyek di sekita mereka juga termasuk dalam pembuktian meskipun dalam level yang sederhana. Di SMP, kita melakukan pembuktian dengan eksperimen atau percobaan seperti membuktikan volume kerucut adalah 1/3 dari volume tabung. Sedangkan di SMA mulai meningkat dengan membuktikan rumus luas segitiga jika diketahui panjang sisi-sisinya melalui rumus-rumus yang telah dipelajari sewaktu SMP.

    ReplyDelete
  6. Yurizka Melia Sari
    16701261003
    PPs PEP A 2016

    Akan tetapi ketika saya menempuh pendidikan strata 1 di bidang matematika. Kemampuan pembuktian juga mengalami peningkatan level. Seperti yang tercantum pada mata kuliah teori bilangan, analisis real, geometri dan lain sebagainya. Disitulah saya menemukan metode pembuktian seperti yang telah dikemukakan oleh Prof. Marsigit. Tentunya dengan pembekalan pemahaman melalui mata kuliah pengantar dasar matematika.

    ReplyDelete
  7. Yurizka Melia Sari
    16701261003
    PPs PEP A 2016

    Dalam setiap teorema dalam matematika, menurut saya memiliki uniqueness dalam metode pembuktiannya. Jadi tanpa sadar melalui latihan pembuktian terus menerus, kita mengetahui kapan menggunakan direct proof, indirect proof dan lain lain. Contohnya buktikan bahwa akar dua adalah bilangan irasional yang dapat dibuktikan melalui indirect proof.

    ReplyDelete
  8. Erlinda Rahma Dewi
    16709251006
    S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

    Pembuktian melalui kontradiksi adalah argumen logika yang dimulai dengan suatu asumsi, lalu dari asumsi tersebut diturunkan suatu hasil yang absurd, tidak masuk akal, atau kontradiktif, sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa asumsi tadi adalah salah (dan ingkarannya benar). Dalam disiplin matematika dan logika, pembuktian melalui kontradiksi merujuk secara khusus kepada argumen dimana sebuah kontradiksi dihasilkan dari suatu asumsi (sehingga membuktikan asumsi tadi salah) Argumen ini menggunakan hukum non-kontradiksi - yaitu suatu pernyataan tidak mungkin benar dan salah sekaligus.

    ReplyDelete
  9. Asri Fauzi
    16709251009
    Pend. Matematika S2 Kelas A 2016
    Ketika teorema terbukti kebenarannya, maka dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan teorema selanjutnya. Untuk membuktika sebuah teorema ada beberapa teknik pembuktian secara umum yaitu: bukti langsung, dimana kesimpulan didirikan secara logis da menggabungkan aksioma, definisi, dan teorema sebelumnya. Bukti dengan induksi, dimana kasus dasarnya terbukti, dan aturan induksi digunakan untuk membuktikan kasus-kasus lain. Bukti dengan kontradiksi, dimana dala pembuktiannya menunjukkan bahwa dari pernyataan yang benar, terjadi kontradiksi yang logis, maka itu harusnya salah. Bukti dengan konstruksi, dalam pembuktian ini digunakan sebuah contoh konkret untuk menunjukkan bahwa sebuah pernyataan itu benar. Bukti oleh kelelaha, dimana kesimpulan didirikan dengan membaginya ke dalam jumlah terbatas kasus dan membuktikan masing-masing secara terpisah.

    ReplyDelete
  10. Devi Anggriyani
    16701251023
    S2 PEP B 2016

    Berdasarkan artikel di atas, teknik yang digunakan untuk pembuktian dapat dilakukan dengan cara yaitu pembuktian langsung di mana kesimpulan didirikan oleh logika menggabungkan aksioma, definisi dan teorema sebelumnya. Pembuktian dengan induksi di mana kasus dasar terbukti, dan aturan induksi digunakan untuk membuktikan suatu seri dari kasus-kasus lain. Pembuktian dengan kontradiksi: di mana ia menunjukkan bahwa jika beberapa properti yang benar, jika kontradiksi logika terjadi maka properti harus palsu. Pembuktian dengan konstruksi: membangun contoh konkret. Pembuktian oleh kelelahan yang mana kesimpulan didirikan dengan membaginya ke dalam jumlah terbatas kasus dan membuktikan masing-masing secara terpisah.

    ReplyDelete
  11. Intan Fitriani
    13301241024
    Pend. Matematika A 2013

    Seringkali kita kebingungan bagaimana cara untuk membuktikan suatu teorema. Untuk membuktikan suatu teorema, ada beberapa teknik yang bisa kita gunakan, yaitu: direct proof, proof by induction, proof by contradiction, proof by construction, dan proof by exhaustion.

    ReplyDelete
  12. Konstantinus Denny Pareira Meke
    NIM. 16709251020
    PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Definisi memainkan peranan penting di dalam matematika. Topik-topik baru matematika selalu diawali dengan membuat definisi baru. Sebagai contoh, teori fungsi kompleks diawali dengan mendefinisikan bilangan imajiner i, yaitu i2 = -1. Berangkat dari definisi dihasilkan sejumlah teorema beserta akibat-akibatnya. Teorema-teorema inilah yang perlu dibuktikan. Pada kasus sederhana, kadangkala teorema pada suatu buku ditetapkan sebagai definisi pada buku yang lain, begitu juga sebaliknya. Selanjutnya, untuk memahami materi selanjutnya dibutuhkan prasyarat pengetahuan logika matematika. Ada beberapa metode dalam pembuktian matematika, diantaranya sebagai berikut: pembuktian langsung, pembuktian tak langsung, pembuktian “bukti” kosong, pembuktian trivial, pembuktian dengan kontradiksi, pembuktian eksistensial, pembuktian ketunggalan, pembuktian dengan counter example, pembuktian dengan induksi matematika.

    ReplyDelete
  13. Rhomiy Handican
    16709251031
    PPs Pendidikan Matematika B 2016


    Saat ini, Teori Pembuktian bisa diperlihatkan sebagai studi umum mengenai sistem deduktif formal. Perlu diketahui bahwa sistem formal ini bisa digunakan untuk memodelkan tipe inferensi yang lebih luas - modal, temporal, probabilistik, induktif, defisibel, deontic, dan lain-lain - pekerjaan dalam bidang ini sangat luas dan bervariasi. Disini, kita memfokuskan bahwa Teori Pembuktian dari Penalaran Matematis, tapi walaupun dengan batasan ini, bidang ini sangat 'luas'. dari beragam teknik bukti umum diatas yang difokuskan dewasa sekarang ini adalah pada praktek pada pembuktian tersebut.

    ReplyDelete
  14. Rospala Hanisah Yukti Sari
    16790251016
    S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

    Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    Sebuah teorema dibuktikan, dapat digunakan sebagai dasar dari pembuktian pernyataan yang lebih baik. Beberapa teknik pembuktian secara umum yaitu pembuktian langsung, pembuktian dari induksi, pembuktian dari kontradiksi, pembuktian dari konstruksi dan pembuktian secara terpisah.
    Dengan menggunakan beberapa teknik pembuktian teorema tersebut dapat memudahkan dalam pemahaman konsep matematika. Juga dapat menjadi perhatian bahwa dalam pembelajaran matematika di SD dan SMP, pembuktian matematika dihubungkan dengan suatu hal yang konkrit.

    Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    ReplyDelete
  15. MARTIN/RWANDA
    PPS2016PEP B
    In mathematics, a proof is a deductive argument for a mathematical statement. In the argument, other previously established statements, such as theorems, can be used.

    ReplyDelete
  16. Siska Nur Rahmawati
    16701251028
    PEP-B 2016


    Setelah teorema terbukti, dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut. Pembuktian pernyataan selanjutnya digunakan beberapa cara, diantaranya pembuktian langsung, pembuktian dengan induksi, pembuktian dengan kontradiksi, pembuktian konstruksi, dan pembuktian pemisahan.

    ReplyDelete
  17. Nanang Ade Putra Yaman
    16709251025
    PPs PM B 2016

    Assalamualaikum
    pada pembuktian matematika bagian dua ini, dijelaskan bagaimana membuktikan matematika dengan dasar teorema. Beberapa teknik pembuktian yang umuma adalah: bukti langsung: di mana kesimpulan didirikan oleh logis menggabungkan aksioma, definisi dan teorema sebelumnya, dengan induksi: di mana kasus dasar terbukti, dan aturan induksi digunakan untuk membuktikan suatu seri, pembuktian dengan kontradiksi: di mana ia menunjukkan bahwa jika beberapa sifat yang benar, kontradiksi logis terjadi, maka sifat menjadi tidak benar, pembuktian dengan konstruksi: membangun contoh konkret dengan sifat untuk menunjukkan bahwa sesuatu yang memiliki sifat itu ada, dan pembuktian oleh exhaustion: dimana kesimpulan didirikan dengan membaginya ke dalam jumlah terbatas kasus dan membuktikan masing-masing secara terpisah.

    ReplyDelete
  18. Achmad Rasyidinnur
    16701251032
    PEP S2 B
    Kebenaran matematika dapat dihasilkan dari hasil sebelumnya. Pembuktiannya dapat dilakukan dengan cara menarik kesimpulan berdasarkan konsep yang logis. Melalui proses induksi, dari dasar ke umum. Dan melalui perbedaan berdasarkan logika dari suatu asumsi yang dimiliki.

    ReplyDelete
  19. Achmad Rasyidinnur
    16701251032
    PEP S2 B

    Matematika menurut filsof aristotellers menjelaskan bahwa memandang matematika melalui benda aslinya, atau mengedialisasikan atau juga mencari hal-hal yang benar, maka dengan idealisasi kita dapat membuat definisi, menemukan struktur matematika, menemukan logika, menemukan teorema, dan melakukan hipotesis.

    ReplyDelete
  20. Fevi Rahmawati Suwanto
    16709251005
    PMat A / S2

    Pembuktian sebuah teorema dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan selanjutnya. Beberapa teknik pembuktian umum yaitu pembuktian langsung, pembuktian induksi, pembuktian dengan kontradiksi, pembuktian dengan konstruksi, dan pembuktian kelelahan. Pembuktian langsung dilakukan dengan menyimpulkan penggabungan aksioma, definisi, dan teorema sebelumnya secara logis. Pembuktian induksi digunakan untuk membuktikan suatu seri (sering tak terbatas) dari kasus. Pembuktian kontradiksi dengan menunjukkan bahwa jika beberapa properti yang benar, kontradiksi logis terjadi, maka properti harus palsu. Pembuktian konstruksi dengan membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa sesuatu yang memiliki properti itu ada. Pembuktian kelelahan dimana penyimpulan didirikan dengan membaginya ke dalam kasus yang jumlahnya terbatas dan membuktikan masing-masing secara terpisah.

    ReplyDelete
  21. Azwar Anwar
    16709251038
    Pendidikan Matematika S2 Kelas B 2016

    Bukti dari dalil matematika adalah rentetan yang terbatas dari pernyataan akhir pada dalil, yang memenuhi sebuah sifat. Setiap pernyataan merupakan aksioma diambil dari seperangkat aksioma sebelumnya, atau diturunkan dengan aturan kesimpulan dari satu atau lebih pernyataan yang terjadi sebelumnya dalam urutan. Istilah 'sekumpulan aksioma' dipahami secara luas, untuk memasukkan apa pun pernyataan diterima menjadi bukti tanpa demonstrasi, termasuk aksioma, dalil-dalil dan definisi.

    ReplyDelete
  22. Fatya Azizah
    16709251039
    Pendidikan Matematika B PPS UNY 2016

    Sebuah teorema yang telah terbukti bisa menjadi dasar untuk membuktikan pernytaan yng lebih lanjut. Namun pembuktian pada saat ini lebih kea rah latihan saja. Beberapa teknik pembuktian yang biasanya digunakan adalah: (1)pembuktian langsung, (2) pembuktian dengan induksi, (3) pembuktian dengan kontradiksi, (4) pembuktian dengan konstruksi dan terakhir (5) pembuktian mendalam.

    ReplyDelete
  23. 16701251016
    PEP B S2

    Fondasi yang ada adalah kumpulan berbagai teori yang teruji atau terbukti. Dalam berbagai konsep tekmik dan metode pembuktian suatu konsep maktematika adalah dengan pembuktian langsung, yaitu keterkaitan aksioma dan teori maupun definisi. Dengan induk si yaitu ubtuk berbagai kasus lain yang tiada batasa. Dengan kontradiksi, adanya pila berlawanan atau salaing bertolak belakang untuk membuktijan. Dengan konsteuksi atau dengan memberikan berbagai contoh konkret yang dapat ditangkap indera manusia

    ReplyDelete
  24. Fitri Ayu Ningtiyas
    16709251037
    S2 P.Mat B UNY 2016

    Setelah teorema terbukti, dapat digunakan sebagai dasar untuk membuktikan pernyataan lebih lanjut. Beberapa teknik pembuktian umum adalah pembuktian langsung di mana kesimpulan didirikan oleh penggabungan aksioma yang logis, definisi dan teorema sebelumnya. Pembuktian dengan induksi di mana kasus dasar terbukti, dan aturan induksi digunakan untuk membuktikan suatu seri dari kasus-kasus lain. Pembuktian dengan kontradiksi di mana ia menunjukkan bahwa jika beberapa properti yang benar, kontradiksi logis terjadi. Pembuktian dengan konstruksi dengan membangun contoh konkret dengan properti untuk menunjukkan bahwa sesuatu yang memiliki properti itu ada. Pembuktian oleh kelelahan: mana kesimpulan didirikan dengan membaginya ke dalam jumlah kasus terbatas dan membuktikan masing-masingnya secara terpisah.

    ReplyDelete

marsigitina@yahoo.com, marsigitina@gmail.com, marsigit@uny.ac.id