Nov 26, 2012

CATEGORY THEORY_Documented by Marsigit




CATEGORY THEORY

A category E consists of two classes, the members of the first of which -- denoted by letters X, Y, ...--are called objects (structures) and the members of the second of which -- denoted by the letters f,g,... --are called arrows (morphisms). 

Each arrow f is assigned an object X as domain and an object Y as   codomain, indicated by writing f: X -> Y. If g is any arrow g: Y -> Z with domain Y, the codomain of f, there is an arrow fg: X -> Z called the composition of f and g. 

For each object Y there is an arrow idY:Y -> Y called the identity arrow of Y. These notions are assumed to satisfy the following identity and associativity axioms:

f C idY = f,  idY C g = g, f(gh) = (fg)h for any arrows f: X -> Y, g: Y -> Z, h: Z -> W .

Given two categories D and E, a functor F from D to E     consists of a pair of functions(both denoted by F), one from the class of objects of D to that of E, and the           other from the class of arrows of D to that of E, such that if f: X -> Y in D, then F(f): F(X) -> F(Y) in E; F(idX) = idF(X)  and      F(fg) = F(f)F(g) for composable arrows f,g of D. A functor can be thought of as a morphism of categories. Categories and functors are found in many seemingly diverse branches of mathematics. Some categories are:

 Set: objects - the sets; arrows - the (set) functions
 Grp: objects - the groups; arrows - group homomorphisms
 Top: objects - topological spaces; arrows - continuous functions
         
An example of a functor is the "forgetful" functor from Grp to Top of Set which assigns to each group or topological space its underlying set. This functor has the effect of "forgetting" the structure and just maintaining the elements.

24 comments:

  1. Dita Nur Syarafina
    NIM. 16709251003
    PPs Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Pada elegi ini diketahui bahwa teori kategori itu terdiri dari dua hal yaitu objek dan tanda panah (penunjuk). Semisal kategori O mempunyai dua objek M dan N dan tanda panah berguna untuk menghubungkan keterkaitan antara keduanya. M sebagai daerah asal dan N sebagai daerah hasil. Dalam matematika, kategori ini dipelajari pada materi relasi fungsi. Dalam kehidupan dunia ini berarti hubungan sebab akibat antara dua hal. Semisal kategorinya adalah nakal, maka sebabnya bisa karena faktor lingkungan, faktor kondisi rumah, faktor trauma, dsb dan akibatnya adalah bisa dihukum, dicemooh, dijauhi, dsb.

    ReplyDelete
  2. MUTIARA KUSUMAWATI
    16701251007
    PEP S2 B

    Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur hubunganya bersifat abstrak. Secara umum, objek dan panah atau entitas abstrak apapun, serta gagasan kategori menyediakan cara mendasar dan abstrak untuk menggambarkan entitas matematika dan hubungan mereka. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis.

    ReplyDelete
  3. Aprisal
    16709251019
    PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Assalamu Alaikum Wr.Wb

    Teori kategori dalam matematika di atas adalah sebuah objek atau struktur dan suatu panah yang menunjukkan hubungan atau morpisme dalam matematika yang saling mempunyai hubungan. Teori kategori yang diperlihatkan pada artikel di atas adalah teori kategori dalam himpunan khususnya pada relasi fungsi. Seperti yang yang dijelaskan di atas bahwa Misalkan kita mempunyai himpunan (objek) beserta fungsi total di antar himpunan tersebut (morphism), maka properti kategorinya yaitu: Tipe Fungsi. f: A -> B berarti fungsi f memetakan dari himpunan A ke himpunan B. Komposisi. Kita bisa menggabungkan dua fungsi f dan g, jika himpunan target dari fungsi pertama sama dengan himpunan sumber dari fungsi kedua, misal f: A -> B dan g: B -> C untuk beberapa himpunan A,B, dan C. Komposisi biasanya dilambangkan dengan g o f. Fungsi Identitas. Untuk setiap himpunan A, terdapat fungsi identitas yaitu A : A -> A

    Waalaikum salam wr.wb.

    ReplyDelete
  4. Erlinda Rahma Dewi
    16709251006
    S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

    Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar. Teori kategori merupakan sebuah objek yang menarik dari studi filsafat , dan merupakan alat yang formal untuk menyelidiki folosifis konsep ruang, system, dan bahkan kebenaran.

    ReplyDelete
  5. Konstantinus Denny Pareira Meke
    NIM. 16709251020
    PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Pada abad pertengahan, sebuah teori matematik baru telah diciptakan oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane, yang dikenal dengan teori kategori, dan teori ini menjadi pesaing baru bagi bahasa dasar dalam berfikir secara matematik (Mac Lane 1998). Teori Kategori bisa memberikan dasar alternatif matematika, dalam tempat teori himpunan (Lawvere, 1966). Klaim ini belum sepenuhnya dibenarkan, namun meski demikian ini merupakan tantangan bagi keunikan fondasi teoritik himpunan. Ada cabang teori kategori (teori Topos) yang kedua-duanya logika intuisi dan klasik dapat diturunkan (Bell, 1981). Karena teori himpunan dapat ditunjukkan dalam logika klasik urutan pertama, maka bisa diturunkan untuk teori kategori.

    ReplyDelete
  6. Asri Fauzi
    16709251009
    Pend. Matematika S2 Kelas A 2016
    Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Teori kategori terdiri dari sebuah fungsi dan himpunan yang dihubungkan dengan tanda panah. Contohnya f: A -> B artinya bahwa fungsi f memetakkan dari himpunan A ke himpunan B. dalam matematika yang termasuk dalam teori kategori adalah relasi fungsi. Dalam artikel tersebut, contohf ditugaskan X objek sebagai domain dan obyek Y sebagai kodomain, ditunjukkan dengan menulis f: X -> Y. Jika g adalah setiap panah g: Y -> Z dengan domain Y, kodomain dari f, maka f o g: X -> Z disebut komposisi f dan g.

    ReplyDelete
  7. Rhomiy Handican
    16709251031
    PPs Pendidikan Matematika B 2016

    Dijelaskan dari artikel diatas adalah Sebuah kategori semisalnya E terdiri dari dua kelas, para anggota yang pertama dilambangkan dengan huruf seperti X, Y, ... , disebut objek (struktur) dan para anggota kedua yang dilambangkan dengan huruf f , g, ... - disebut panah (morphisms). Setiap panah f ditugaskan X objek sebagai domain dan obyek Y sebagai kodomain, ditunjukkan dengan menulis f: X -> Y. Jika g adalah setiap panah g: Y -> Z dengan domain Y, kodomain dari f, ada Selengkapnya fg: X -> Z disebut komposisi f dan g.

    ReplyDelete
  8. Devi Anggriyani
    16701251023
    S2 PEP B 2016

    Berdasarkan artikel di atas, yang dapat saya simpulkan adalah bahwa teori kategori telah datang untuk menempati posisi sentral dalam matematika kontemporer dan teori ilmu komputer, dan juga diterapkan untuk matematika fisika. Teori kategori adalah sebuah objek yang menarik dari studi filsafat dan alat formal yang berpotensi kuat untuk penyelidikan konsep seperti ruang, sistem, dan bahkan kebenaran. Teori kategori merupakan alternatif untuk menetapkan teori sebagai dasar untuk matematika. Dengan demikian, hal itu menimbulkan banyak masalah tentang ontologi matematika dan epistemologi.

    ReplyDelete
  9. MARTIN/RWANDA
    PEP2016PEP B
    Category theory has come to occupy a central position in contemporary mathematics and theoretical computer science, and is also applied to mathematical physics. Roughly, it is a general mathematical theory of structures and of systems of structures. As category theory is still evolving, its functions are correspondingly developing, expanding and multiplying. At minimum, it is a powerful language, or conceptual framework, allowing us to see the universal components of a family of structures of a given kind, and how structures of different kinds are interrelated. Category theory is both an interesting object of philosophical study, and a potentially powerful formal tool for philosophical investigations of concepts such as space, system, and even truth. It can be applied to the study of logical systems in which case category theory is called “categorical doctrines” at the syntactic, proof-theoretic, and semantic levels. Category theory is an alternative to set theory as a foundation for mathematics.

    ReplyDelete
  10. Rospala Hanisah Yukti Sari
    16790251016
    S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

    Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    Sebuah kategori terdiri atas dua kelas, anggota-anggota yang pertama dari yang dinotasikan dengan huruf X, Y yang disebut objek (struktur) dan anggota yang kedua yang dinotasikan dengan huruf f,g disebut dengan panah (morfis). Hal ini berhubungan dengan fungsi, dimana antar domain dan kodomain dihubungkan dengan panah yang memetakan antar unsur-unsur yang berada di domain dan dipetakan dengan unsur-unsur yang kodomain.

    Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    ReplyDelete
  11. Siska Nur Rahmawati
    16701251028
    PEP-B 2016




    Artikel di atas menjelaskan tentang teori kategori. Teori kategori memandang bahwa ada sebuah hubungan antara objek struktur yaitu X, Y dengan anggota-anggotanya yaitu f, g,.... . Hubungan antar keduanya dihubungkan dengan simbol panah. Simbol panah digunakan untuk memetakan bahwa keduanya memiliki hubungan kategori yang saling mempengaruhi.

    ReplyDelete
  12. Nanang Ade Putra Yaman
    16709251025
    PPs PM B 2016

    Assalamualaikum
    Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak sebagaimana dicontohkan dengan kategori E dan unsur-unsurnya diatas. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar.

    ReplyDelete
  13. Fevi Rahmawati Suwanto
    16709251005
    PMat A / S2

    Teori kategori yang diperkenalkan Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane ini pada awalnya berhubungan dengan topologi aljabar. Teori ini terus berkembang dalam struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak hingga berkontribusi bagi peradaban baik dalam bidang matematika, informatika teori, maupun fisika matematis sampai saat ini.

    ReplyDelete
  14. Achmad Rasyidinnur
    16701251032
    PEP S2 B

    Hubungan antara struktur matematika dan struktur secara abstrak merupakan teori katagori. Pada matematika yang termasuk dalam teori kategori adalah relasi fungsi. Contohnya ditugaskan X objek sebagai domain dan obyek Y sebagai kodomain, ditunjukkan dengan menulis f: X -> Y. Jika g adalah setiap panah g: Y -> Z dengan domain Y, kodomain dari f, maka f o g: X -> Z disebut komposisi f dan g.

    ReplyDelete
  15. Achmad Rasyidinnur
    16701251032
    PEP S2 B

    Teori tentang kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Saat ini kategori digunakan dalam matematika, informatika teori, dan fisika matematis. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane dalam hubungannya dengan topologi aljabar

    ReplyDelete
  16. Kategori Teori diatas berbasis matematis yaitu adanya hubungan kausalitas X dan Y dan seterusnya. Dari sisi Filsafat, segala sesuatu yang ada pasti memiliki hubungan kausalitas dan saling mempengaruhi. Teori kategori adalah berasal dari kausalitas hubungan yang ada di alam semesta dan dirangkum menjadi sebuah formulasi untuk menjelaskan obyek tertentu. Tidak heran bila dalam Filsafat basis matematika digunakan untuk menjelaskan fenomena tertentu.

    Nur Tjahjono Suharto
    PEP S3 (A)
    16701261007

    ReplyDelete
  17. Fatya Azizah
    16709251039
    Pendidikan Matematika B PPS UNY 2016

    pada artikel diatas dijelaskan mengenai teori dari sebuah kategori melalui penjelasan secara matematis atau lebih tepatnya dengan pemetaan. penjelasan disini mencakup tentang domain, kodomain, komposisi, identitas, dan lain-lain.

    ReplyDelete
  18. Azwar Anwar
    16709251038
    Pendidikan Matematika S2 Kelas B 2016

    Teori kategori merupakan teori yang digunakan dalam menerapkan berbagai bidang ilmu terutama dalam matematika kontemporer, teori ilmu komputer dan untuk matematika fisika. Hubungan teori kategori dengan matematika ini dapat berpotensi untuk mengetahui sebua filosofis konsep seperti ruang, sistem, dan bahkan kebenaran. Pada contoh diatas sangat erat kairannya dengan fungsi, ada domain dan kodomain dihubungkan dengan panah.

    ReplyDelete
  19. Fitri Ayu Ningtiyas
    16709251037
    S2 P.Mat B UNY 2016

    Teori kategori yang dibahas pada artikel di atas adalah teori kategori dalam himpunan terutama pada materi relasi fungsi. Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur hubunganya bersifat abstrak. Dalam kehidupan dunia ini berarti hubungan sebab akibat antara dua hal.

    ReplyDelete
  20. 16701251016
    PEP B S2

    Teori kategori melibatkan notasi dengan wujud perumpamaan huruf yang merupakan struktur saling berhubungan antar obyek. Teori kategori juga berkaitan dengan disiplin ilmu lain, karena kategori ilmu adalah mendefinisikan suatu cara yang mendasar dan abstrak untuk dapat dinyatakan dalam suatu teori tertentu

    ReplyDelete
  21. ULFA LU'LUILMAKNUN
    16709251022
    S2 Pendidikan Matematika 2016 Kelas B

    Assalamualaikum Wr.Wb.

    Banyak kategori yang dapat ditemukan pada berbagai macam matematika. Kategori diperkenalkan pertama kali oleh Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane pada tahun 1942-1945, dalam hubungannya dengan topologi aljabar. Teori kategori berhubungan dengan struktur matematika dan hubungan antar struktur tersebut secara abstrak. Banyak objek matematika, misalnya himpunan bilangan dan fungsi, memamerkan struktur bagian dalam. Sifat-sifat struktural objek-objek ini diselidiki di dalam pengkajian grup, gelanggang, lapangan dan sistem abstrak lainnya, yang mereka sendiri adalah objek juga. Untuk memperjelas dasar-dasar matematika, lapangan logika matematika dan teori himpunan dikembangkan, juga teori kategori masih dikembangkan.

    Wassalamualaikum Wr.Wb.

    ReplyDelete
  22. 16709251018
    PPS UNY Pendidikan Matematika
    Kelas A

    Teori kategori lebih fleksibel dan mengakomodasi logika tingkat tinggi semantik berbagai fitur baru seperti aljabar, kemudian hasilnya sekarang diterapkan untuk semua cabang matematika. Khusus Domain Topologi Adams bahkan dapat menggantikan teori himpunan aksiomatik sebagai dasar matematika. Namun, berbagai teori kategori berdasarkan aplikasi ini masih kontroversial, tetapi sebagai dasar untuk matematika atau komentar yang konstruktif, teori kategori sedang dipelajari cukup teliti. Namun demikian, dapat dikatakan, teori himpunan aksiomatik khususnya, masih merupakan bahasa umum matematikawan dan belum diganti dengan komentar-komentar dari teori kategori.

    ReplyDelete
  23. Artikel di atas menyajikan tentang elemen-elemen dari Euclid. Euclid elemen adalah elemen-elemen dalam geometri. Point, line, plane, surface, angle, line to line, dan lainnya itu dipelajari pada materi geometri. Elemen ini merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai geometri atau biasa disebut dengan aksioma dalam geometri. Aksioma demikian tidak berlaku terhadap pembuktian, tetapi dapat digunakan bersama dengan definisi matematika untuk titik, garis lurus, kurva, permukaan dan ruang untuk menggambarkan kesimpulan logis. Dengan adanya aksioma ini, dapat dijadikan pedoman dalam menggambar atau menghitung bangun geometri yang tentunya hal ini menjadi warisan yang berguna bagi pengembangan matematika.

    M. Saufi Rahman
    PEP KElas A
    16701261024

    ReplyDelete
  24. pemahaman sy terhadap category of theory dalam matematika tersebut merupakan sebuah objek atau struktur dan suatu panah yang menunjukkan hubungan dalam matematika yang saling mempunyai hubungan. category of theory yang diperlihatkan pada artikel tersebut merupakan teori kategori dalam himpunan khususnya pada relasi fungsi. Seperti yang yang dijelaskan di atas bahwa Misalkan kita mempunyai himpunan (objek) beserta fungsi total di antar himpunan tersebut (morphism). Hal ini berhubungan dengan fungsi, dimana antar domain dan kodomain dihubungkan dengan panah yang memetakan antar unsur-unsur yang berada di domain dan dipetakan dengan unsur-unsur yang kodomain.

    M. Saufi Rahman
    PEP KElas A
    16701261024

    ReplyDelete

marsigitina@yahoo.com, marsigitina@gmail.com, marsigit@uny.ac.id