Nov 30, 2012

Non-Euclidean Geometries_Transcribed by Marsigit




Non-Euclidean Geometries
Transcribed by Marsigit , Yogyakarta State University, Indonesia
Email: marsigitina@yahoo.com


The historical developments of non-Euclidean geometry were attempts to deal with the fifth axiom.

Mathematicians first tried to directly prove that the first 4 axioms could prove the fifth. However, mathematicians were becoming frustrated and tried some indirect methods.

Girolamo Saccheri (1667-1733) tried to prove a contradiction by denying the fifth axiom. He started with quadrilateral ABCD (later called the Saccheri Quadrilateral) with right angles at A and B and where AD = BC. Since he is not using the fifth axiom, he concludes there are three possible outcomes. Angles at C and D are right angles, C and D are both obtuse, or C and D are both acute. Saccheri knew that the only possible solution was right angles.

Saccheri said this was enough to claim a contradiction and he stopped. His reasoning to stop was based on faulty logic. He was going on the presumption that lines and parallel lines worked like those in flat geometry. So his contradiction was only applicable in Euclidean geometry, which was not a contradiction to what he was actually trying to prove. Of course Saccheri did not realize this at the time and he died thinking he had proved Euclid’s fifth axiom from the first four.

A contemporary of Saccheri, Johann Lambert (1728-1777), picked up where Saccheri left off and took the problem just a few steps further. Lambert considered the three possibilities that Saccheri had concluded as consequences of the first four axioms. Instead of finding a contradiction, he found two alternatives to Euclidean geometry. The first option represented Euclidean geometry and while the other two appeared silly, they could not be proven wrong.
Through time (and quite a lot of criticism), these two other possibilities were now being considered as “alternative geometries” to Euclid’s geometry. Eventually these alternate geometries were scholarly acknowledged as geometries, which could stand alone to Euclidean geometry.

The two non-Euclidean geometries were known as hyperbolic and elliptic. Hyperbolic geometry was explained by taking the acute angles for C and D on the Saccheri Quadrilateral while elliptic assumed them to be obtuse.

Let’s compare hyperbolic, elliptic and Euclidean geometries with respect to Playfair’s parallel axiom and see what role parallel lines have in these geometries:
1.)             Euclidean: Given a line L and a point P not on L, there is exactly one line passing through P, parallel to L.
2.)             Hyperbolic: Given a line L and a point P not on L, there are at least two lines passing through P, parallel to L.
3.)             Elliptic: Given a line L and a point P not on L, there are no lines passing through P, parallel to L.

Elliptic Geometry

Elliptic geometry also says that the shortest distance between two points is an arc on a great circle (the “greatest” size circle that can be made on a sphere’s surface).

As part of the revised parallel postulate for elliptic geometries, we learn that there are no parallel lines in elliptical geometry.

This means that all straight lines on the sphere’s surface intersect (specifically, they all interesect in two places).

A famous non-Euclidean geometer, Bernhard Riemann, who dealt mostly with and is credited with the development of elliptical geometries, theorized that the space (we are talking about outer space now) could be boundless without necessarily implying that space extends forever in all directions.

This theory suggests that if we were to travel one direction in space for a really long time, we would eventually come back to where we started! This theory involves the existence of four-dimensional space similar to how the surface of a sphere (which is three dimensional) represents an elliptic 2 dimensional geometry.

Hyperbolic Geometry

Recalling the corresponding Playfair’s axiom for hyperbolic geometry, we see that in hyperbolic geometry, there is more than one parallel line to L, passing through point P, not on L.

Hyperbolic geometries comes with some more restrictions about parallel lines. In Euclidean geometry, we can show that parallel lines are always equidistant, but in hyperbolic geometries, of course, this is not the case.

In hyperbolic geometries, we merely can assume that parallel lines carry only the restriction that they don’t interesect. Furthermore, the parallel lines don’t seem straight in the conventional sense. They can even approach each other in an asymptotically fashion. The surfaces on which these rules on lines and parallels hold true are on negatively curved surfaces.

In hyperbolic geometry, the triangle’s angle sum is less than 180 degrees whereas elliptic geometry has more than 180 degrees. The larger the sides of the triangle, the greater the distortion of the angle sums on both elliptic and hyperbolic geometries. Much like elliptic geometries, the area of a triangle is proportional to its angle sum and of course this implies that there are no similar triangles as well.

21 comments:

  1. MUTIARA KUSUMAWATI
    16701251007
    PEP S2 B

    Ilmu pengetahuan memiliki batas dan batas ini adalah bentuk ilmiah atau bentuk dari ilmu pengetahuan. Ilmu pengetahuan banyak yang bersifat rasional (dapat diterima dengan akal). Namun tidak sedikit pula yang tidak dapat diterangkan dengan akal. Jangankan ketika dibandingkan dengan waktu dan dimensi ciptaan Allah yang tidak terjangkau, dengan hal-hal yang ada disekitar saja, ilmu pengetahuan manusia kadangkala menemui kebuntuan. Ilmu pengetahuan memiliki sebuah batasan yang jelas dan sama sekali tidak dapat menjadi bagian dari penelitian akan sesuatu yang muncul. Ilmu pada kenyataannya mengatakan kepada kita bagaimana bumi mengitari matahari, bagaimana manusia di lahirkan dan bagaimana manusia mati. Akan tetapi ilmu belum dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan ini selain kemungkinan yang di berikan sama sekali tidak ada maksud yang lain. Ilmu hingga hari ini belum mampu memahami dunia sebagimana mestinya.

    ReplyDelete
  2. MUTIARA KUSUMAWATI
    16701251007
    PEP S2 B

    Segala sesuatu yang tak tertandingi dengan dimensi tubuh manusia direduksi menjadi gagasan yang sepadan untuk tubuh yang. fenomenologis ini menjelaskan beberapa penemuan paling penting dalam ilmu kontemporer. Teori Relativitas Khusus menunjukkan ketergantungan ruang dan waktu pada sistem akuntansi. Mekanika kuantum menampilkan batas pengamatan (Heisenberg) dan ketaktentuan logis dengan penciptaan menarik dari macropresentation mikro-benda dan mendapat sekitar logika (Feyerabend) melalui prinsip tambah. ilmu eksperimental telah keluar sebagai proyeksi buatan ekspansi manusia, bukan sebagai refleksi dari urutan transenden dari dunia itu sendiri. "Dunia kehidupan" berhasil mengambil tempat "objektif dunia " rasionalitas yang modern.

    ReplyDelete
  3. Aprisal
    16709251019
    PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Assalamu Alaikum Wr.Wb

    Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Ini adalah satu istilah yang, untuk alasan sejarah, memiliki arti dalam matematika yang jauh lebih sempit dari yang terlihat untuk memiliki dalam bahasa Inggris umum. Ada banyak sekali geometri yang tidak geometri Euclidean , tetapi hanya dua yang disebut sebagai non-Euclidean geometri. Geometri non-Euclidean muncul sebagai upaya untuk menangani postulate ke-5. Postulate ke-5 berbunyi Jika 2 buah garis memotong memotong garis ketiga membentuk dua sudut dalam yang jumlah sudutnya kurang dari jumlah 2 sudut siku-siku maka kedua garis tersebut akan berpotongan satu sama lain. Postulate ke-5 dinamakan Postulate Kesejajaran, Mengapa? Karena menurut Postulate ke-5, dua garis akan sejajar jika dipotong oleh suatu garis maka jumlah 2 sudut dalam yang terbentuk adalah 180°. Nah…postulate kesejajaran ini ekuivalen dengan Aksioma Fair Play. Aksioma Fairplay: Diberikan garis lurus g dan titik P yang bukan berada di g maka hanya ada satu garis yang melalui P dan sejajar dengan garis g.

    Waalaikum salam wr.wb.

    ReplyDelete
  4. Erlinda Rahma Dewi
    16709251006
    S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

    Euclides memiliki lima postulat, dengan postulat kelimanya menuai kontroversi. postulat kelima berbunyi, "Bahwa jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku." Postulat kelima ini sering disebut dengan postulat kesejajaran, dan sekaligus menjadi kelemahan dari geometri Euclides. Karena para matematikawan berusaha membuktikan postulat kelima ini, maka timbullah geometri Non-Euclides, yaitu geometri yang berdasarkan empat postulat pertama Euclides dan berbeda postulat kelimanya.
    Geometri Non-Euclides yang pertama adalah geometri Hiperbolik juga dikenal sebagai Geometri Lobachevsky yang memandang bahwa bumi itu berbentuk lingkaran. Akibat dari memandang bahwa bumi itu berbentuk lingkaran, maka terdapat aksioma yang berbunyi:
    Untuk suatu titik A dan suatu garis r yang tidak melalui A, maka ada dua garis yang melalui A dan sejajar dengan r.
    Geometri Non-Euclides yang kedua adalah geometri Elliptik juga dikenal sebagai Geometri Riemann yang memandang bahwa bumi itu berbentuk bulat seperti bola. Akibat dari memandang bahwa bumi itu berbentuk seperti bola, maka terdapat aksioma yang berbunyi:
    Untuk suatu titik A dan suatu garis r yang tidak melalui A, maka tidak ada garis yang melalui A dalam bidang Ar yang sejajar dengan r.
    Atau singkatnya dalam geometri Elliptik tidak ada garis sejajar.

    ReplyDelete
  5. Konstantinus Denny Pareira Meke
    NIM. 16709251020
    PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik . Ada 2 geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan elips. Model untuk geometri hiperbolik dijawab oleh Eugenio Beltrami , pada 1868, yang pertama kali menunjukkan bahwa permukaan yang disebut pseudosphere memiliki sesuai kelengkungan untuk model sebagian dari ruang hiperbolik , dan dalam makalah kedua di tahun yang sama, mendefinisikan Model Klein yang model keseluruhan dari ruang hiperbolik, dan digunakan ini untuk menunjukkan bahwa geometri Euclidean dan geometri hiperbolik adalah equiconsistent , sehingga geometri hiperbolik adalah logis konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean adalah. (Implikasi terbalik berikut dari horosphere model geometri Euclidean. Sedangkan Dalam karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua Cacat), yang diterbitkan pada tahun 1733, Saccheri cepat dibuang geometri eliptik sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri elips untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik.

    ReplyDelete
  6. Asri Fauzi
    16709251009
    Pend. Matematika S2 Kelas A 2016
    Perkembangan sejarah geometri non-Euclidean adalah upaya untuk menangani aksioma kelima yang berbunyi "jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku." Postulat kelima ini sering disebut dengan postulat kesejajaran, dan sekaligus menjadi kelemahan dari geometri Euclides. Girolamo Saccheri (1667-1733) mencoba untuk membuktikan kontradiksi dengan menyangkal aksioma kelima. Dia mulai dengan segiempat ABCD (kemudian disebut Saccheri Segiempat) dengan sudut yang tepat di A dan B dan di mana AD = BC. Karena ia tidak menggunakan aksioma kelima, ia menyimpulkan ada tiga kemungkinan hasil. Sudut pada C dan D adalah sudut kanan, C dan D keduanya tumpul, atau C dan D yang baik yang akut. Saccheri tahu bahwa satu-satunya solusi yang mungkin adalah sudut kanan. Saccheri mengatakan ini adalah cukup untuk mengklaim kontradiksi dan dia berhenti. alasannya untuk berhenti didasarkan pada logika yang salah. Ia terjadi anggapan bahwa garis dan garis paralel bekerja seperti yang ada di geometri datar. Jadi kontradiksi nya hanya berlaku dalam geometri Euclidean, yang tidak bertentangan dengan apa yang dia benar-benar mencoba untuk membuktikan.

    ReplyDelete
  7. Rhomiy Handican
    16709251031
    PPs Pendidikan Matematika B 2016

    Non-Euclidean geometri adalah salah satu dari dua geometri tertentu yang, longgar berbicara, diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat , yaitu hiperbolik dan geometri eliptik. Dalam geometri Euclidean garis tetap konstan jarak dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.
    Dalam geometri hiperbolik mereka “kurva pergi” satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik persimpangan dengan tegak lurus umum, garis-garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri berbentuk bulat panjang garis “kurva ke arah” satu sama lain dan akhirnya berpotongan. geometri non-Euclidean tidak secara luas diterima sebagai sah hingga abad ke-19. Perdebatan yang akhirnya mengarah pada penemuan geometri non-Euclidean dimulai segera setelah pekerjaan Euclid Elements ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lainnya (proposisi) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai "Postulat Euclid Kelima," atau sekadar "postulat sejajar". Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap.Ruang lingkup geometri non-Euclidean meliputi teori ruang-waktu Herman Minkowski. Ini pengganti geometri bentuk bilinear untuk jarak metrik biasa. Konsep dalam geometri ini mengacu pada sudut hiperbolik daripada sudut Euclidean biasa, misalnya pemetaan bergerak memencet sudut ini seperti halnya sudut bergerak rotasi Euclidean biasa. Alih-alih garis tegak lurus, geometri ruang-waktu menggunakan garis hiperbolik-ortogonal yang menentukan hyperplanes simultanitas

    ReplyDelete
  8. Devi Anggriyani
    16701251023
    S2 PEP B 2016

    Berdasarkan artikel di atas, non-Euclidean geometri terdiri dari dua geometri berdasarkan aksioma terkait erat dengan menentukan geometri Euclidean. geometri sebagai Euclidean terletak di persimpangan metrik geometri dan geometri affine, non-Euclidean geometri muncul ketika baik persyaratan metrik santai, atau postulat paralel diganti dengan salah satu alternatif. Dalam kasus terakhir satu memperoleh geometri hiperbolik dan geometri berbentuk bulat panjang, geometri non-Euclidean tradisional. Ketika kebutuhan metrik santai, maka ada pesawat affine terkait dengan algebras planar yang menimbulkan geometri kinematik yang juga telah disebut geometri non-Euclidean.

    ReplyDelete
  9. 377. Devi Anggriyani
    16701251023
    S2 PEP B 2016

    Dari artikel di atas kita menyadari bahwa ilmu pengetahuan dahulunya ditemukan berdasarkan penemuan oleh para ahli, oelh sebab itu pembelajaran seharusnya dilakukan dengan memberikan pengalaman belajar kepada siswa, agar siswa mampu menemukan dan berinovasi dengan ilmu pengetahuan yang dibangun oleh dirinya sendiri.

    ReplyDelete
  10. Fatya Azizah
    16709251039
    Pendidikan Matematika B PPS UNY 2016

    pada posting diatas diahas mengenai geometri non euclid. disebuutkan bahwa terdapat dua bentuk yang merupakan geometri non euclid, yaitu hiperbola dan elips. dalam artikel ini juga dibahas mengenai perbandingan hiperbola, elips dan geometri euclid, yaitu:
    euclid: diberikan garis l dan titik P tidak pada l, ada tepat satu garis yang melewati P, sejajar dengan L.
    hiperbola: diberikan garis l dan titik P tidak pada l, setidaknya ada dua jalur yang melewati P, sejajar dengan L.
    elips: diberikan garis l dan titik P tidak pada l, tidak ada garis yang melewati P, sejajar dengan L.

    ReplyDelete
  11. MARTIN/RWANDA
    PPS2016PEP B
    non-Euclidean geometry consists of two geometries based on axioms closely related to those specifying Euclidean geometry. As Euclidean geometry lies at the intersection of metric geometry and affine geometry, non-Euclidean geometry arises when either the metric requirement is relaxed, or the parallel postulate is replaced with an alternative one. In the latter case one obtains hyperbolic geometry and elliptic geometry, the traditional non-Euclidean geometries. When the metric requirement is relaxed, then there are affine planes associated with the planar algebras which give rise to kinematic geometries that have also been called non-Euclidean geometry.

    ReplyDelete
  12. Rospala Hanisah Yukti Sari
    16790251016
    S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

    Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    Dua geometri Non-Euclid dikenal sebagai hiperbola dan elips. Geometri hyperbola dijelaskan dari pengambilan sudut lancip untuk C dan D dalam kuadratik Saccheri, sedangkan elips diasumsikan menjadi tumpul. Misalkan membandingkan hiperbola, elips, dan geometri euclid dengan memperhatikan kepada aksioma parallel Playfair dan melihat apa peran garis parallel memiliki dalam geometri ini: (1) euclid: diberikan sebuah garis L dan titik P bukan L, disana secara pasti satu garis melalui P, paralel ke L. (2) Hiperbola: diberikan sebuah garis L dan sebuah titik P bukan L, disana paling sedikit dua garis melewati P, paralel ke L. (3) Elips: diberikan sebuah garis L dan sebuah titik P bukan L, disana tidak ada garis yang melewati P, paralel ke L.

    Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    ReplyDelete
  13. Fevi Rahmawati Suwanto
    16709251005
    PMat A / S2

    Geometri non-Eucledian merupakan upaya untuk membuktikan kontradiksi dengan menyangkal aksioma kelima, yang berbunyi “Jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku. Dua geometri non-Euclidean dikenal sebagai hiperbolik dan eliptik. Dalam geometri hiperbolik garis sejajar hanya membawa pembatasan tidak interesect. Selain itu, garis paralel tampaknya tidak langsung dan bisa mendekati satu sama lain dalam mode asimtotik, dan jumlah sudut segitiga kurang dari 180 derajat. Sedangkan dalam geometri eliptik tidak ada garis paralel (garis lurus pada permukaan bola berpotongan) dan jumlah sudut segitiga lebih dari 180 derajat.

    ReplyDelete
  14. Nanang Ade Putra Yaman
    16709251025
    PPs PM B 2016

    Assalamualaikum
    dari kelima postulat Euclides, postulat kelima berbunyi, "Bahwa jika suatu garis lurus memotong dua garis lurus dan membuat sudut-sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu jika diperpanjang tak terbatas, akan bertemu di pihak tempat kedua sudut dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku." Hal ini menuai kontroversi, salah satu yang menyangkalnya adalah Girolamo Saccheri (1667-1733) yang menyimpulkan ada tiga kemungkinan hasil. Sudut pada C dan D adalah sudut kanan, C dan D keduanya tumpul, atau C dan D yang baik yang akut. Saccheri tahu bahwa satu-satunya solusi yang mungkin adalah sudut kanan. Saccheri mengatakan ini adalah cukup untuk mengklaim kontradiksi dan dia berhenti. alasannya untuk berhenti didasarkan pada logika yang salah. Ia terjadi anggapan bahwa garis dan garis paralel bekerja seperti yang ada di geometri datar.

    ReplyDelete
  15. Siska Nur Rahmawati
    16701251028
    PEP-B 2016



    Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Ruang lingkup geometri non-Euclidean meliputi teori ruang-waktu Herman Minkowski. Ini pengganti geometri bentuk bilinear untuk jarak metrik biasa. Konsep dalam geometri dan garis lurus ini mengacu pada sudut hiperbolik daripada sudut Euclidean biasa.

    ReplyDelete
  16. Matematika adalah ilmu pasti atau exact. Namun ternyata dalam matematika masih ada perbedaan pendapat mengenai beberapa formulanya. Hal ini membuktikan bahwa apapun ilmu yang dikatakan sebagai Ilmu Pasti ada juga kekurangannya. Ilmu memiliki batas dan selalu ada perbaikan atau penyempurnaannya.

    Nur Tjahjono Suharto
    PEP S3 (A)
    16701261007

    ReplyDelete
  17. Azwar Anwar
    16709251038
    Pendidikan Matematika S2 Kelas B 2016

    Geometri Non-Euclidean menjelaskan mengenai definisi, postulat, aksioma dan dalil. Namun Geomerti Euclidean ini memiliki kelemahan, salah satu kelemahanya ada pada postulat kelima dari euclid 2 yang terkenal dengan Postulat. Parallel atau Postulat Kesejajaran yang terlalu panjang sehingga merisaukan para matematikawan. Non-Euclidean geometri merupakan contoh dari sebuah pergeseran paradigma dalam sejarah ilmu pengetahuan. Dari geometri non-euclidean ini seharusnya kita bisa belajar banyak dan menjadikan sebuah pengetahuan di dalam kehidupan.

    ReplyDelete
  18. Achmad Rasyidinnur
    16701251032
    PEP S2 B

    Geometri Euclidean dinamai matematikawan Yunani sebagai Euclid. Non-Euclidean geometri dipandang sebgai salah satu dari dua geometri tertentu yang diperoleh dengan meniadakan Euclidean paralel postulat, yaitu hiperbolik dan geometri eliptik. Geometri Euclid, Geometri bidang datar, yang menjelaskan sifat-sifat titik dan garis pada bidang datar. Euclid menyadari bahwa titik dan garis yang digambarkan di selembar kertas mempunyai sifat-sifat yang konsisten.

    ReplyDelete
  19. Achmad Rasyidinnur
    16701251032
    PEP S2 B

    Terdapat aksioma bagi Geometrinya yang dikenal dengan sebutan Lima Postulat. Satu, potongan garis lurus dapat digambar dengan cara menghubungkan dua titik yang berbeda. Dua, potongan garis dapat diperpaanjang menjadi tak hinnga panjangnya. Tiga, Potongan Garis bisa menjadi jari-jari bagi suatu lingkaran dengan salah satu ujung garis menjadi titik pusat bagi lingkaran tersebut. Empat, semua sudut siku-siku itu sama. Lima, jika 2 buah garis memotong memotong garis ketiga membentuk dua sudut dalam yang jumlah sudutnya kurang dari jumlah 2 sudut siku-siku maka kedua garis tersebut akan berpotongan satu sama lain.

    ReplyDelete
  20. Moh. Bayu Susilo
    16709251012
    S2/P. Matematika/A/2016

    Geometri non euclid muncul karena para matematikawan berusaha untuk membuktikan postulat kelima dari euclides. Sehingga geometri non euclid masih berdasarkan empat postulat pertama dari euclides dan hanya berbeda pada postulat kelimanya. Ada dua macam geometri non euclides yang pertama adalah ditemukan hampir bersamaan oleh tiga tokoh berlainan dan masing-masing bekerja sendiri-sendiri. Yaitu K. Gauss dari Jerman. Yonos Bolyai dari Hongaria, dan Nicolai Ivanovitch Lobachevsky dari Rusia. Geometri ini disebut geometri hiperbolik atau geometri Lobachevsky. Dan yang kedua adalah geometri yang ditemukan oleh Riemann dari Jerman yang disebut geometri Eliptik.

    ReplyDelete
  21. Dalam matematika, geometri non-Euclide merupakan himpunan kecil geometri berdasarkan aksioma yang berkaitan erat dengan geometri Euklides. Geometri non-Euklides muncul saat ruang metrik tidak ada, atau postulat paralel diabaikan. Perbedaan penting antara geometri Euclidean dan non-Euclidean adalah sifat paralel baris. Euclid ‘s kelima mendalilkan bahwa, dalam bidang dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui l dan titik A, yang tidak pada l, ada tepat satu garis melalui A yang tidak berpotongan pada l. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada tak terhingga banyak baris melalui A l tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap baris melalui A memotong.

    ReplyDelete

marsigitina@yahoo.com, marsigitina@gmail.com, marsigit@uny.ac.id