## Nov 26, 2012

### Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program_Documented by Marsigit

Godel Work to Show the Un-Success of Hilbert's Program

Gödel showed Hilbert's Program can not succeed. This was proven in what is now called Gödel's Incompleteness Theorem:

Let S be a formal system for number theory. If S is consistent, then there is a sentence, G, such that neither G nor the negation of G (written G) is a theorem of S. Thus, any formal system sufficient to express the theorems of number theory has to be incomplete.

Proof:
S can prove P(n) just in case n is the Gödel-number of a theorem of S. There exists k, such that k is a Gödel-number of the formula P(k)=G. This statement says of itself, it is not provable. Even if we define a new formal system S = S + G (thus including the undecidable theorem as an axiom), we can find G which isn't provable in (is independent of) S. The reasoning Gödel used for his incompleteness theorem is finitary, so it could be formalized inside S. Thus, S can prove that if S is consistent, then G is not provable. Note that the underlined phrase is what G says, so S proves Cst(S)  implies G is true, but G says G is not provable. Suppose S can prove Cst(S), then S can prove G, but if S is consistent, it can't prove G, thus it can't prove its consistency. Thus, Hilbert's Program does not work; one cannot prove the consistency of a mathematical theory.

1. Dita Nur Syarafina
NIM. 16709251003
PPs Pendidikan Matematika Kelas A 2016

Elegi di atas membuktikan bahwa jika matematika dipandang secara filsafat, maka tidak ada konsistensi. Matematika bersifat kontradiktif, bisa berubah sesuai ruang dan waktunya. Hilbert mengemukakan matematika formal dimana bagaimanapun caranya suatu teorema menjadi benar jika elemen-elemen dan hasilnya bersifat konsisten. Bagi para formalist ini dianggap benar. Namun bagi para filsafatis, ini baru separuh matematika, belum sepenuhnya.

2. Aprisal
16709251019
PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

Assalamu Alaikum Wr.Wb

Artikel di atas menjelaskan tentang pembuktian kekonsistenan dalam matematika. Dari sudut pandang filsafat semua yang di dunia ini sifatnya kontradiktif karena masih terikat ruang dan waktu termasuk matematika di dalamnya. Dari pendapat Hilbert di atas kita bisa menangkap bahwa b semua pernyataan matematika yang benar dapat dibuktikan dalam formal dan tidak ada kontradiksi atau dengan kata lain kekonsistenan dapat diperoleh dalam formalisme matematika.

Waalaikum salam wr.wb.

3. Erlinda Rahma Dewi
16709251006
S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

Pada tahun 1931, Kurt Godel mempublikasikan teorema ketidaklengkapan yang terkenal untuk membuktikan bahwa prosedur/ algoritma yang dari David Hilbert tersebut telah gagal. Godel melakukan pembuktian terhadap hasil-hasil yang diperoleh lewat sistem aksiomatik, yaitu sistem aksiomatik matematika yang digunakan untuk membuktikan salah atau benar preposisi-preposisi yang terkandung dalam sistem aksioma. Theorema Godel memang tidak menghancurkan semua ide dasar kaum formalis, namun di sini dipaparkan bahwa sistem apapun dapat menjadi lebih komprehensif daripada yang dijabarkan oleh David Hilbert.

4. Konstantinus Denny Pareira Meke
NIM. 16709251020
PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

Hilbert (1862 – 1943) Berpendapat bahwa matematika merupakan pengetahuan tentang struktur formal dari lambang . Kaum formalis menekankan pada aspek formal dari matematika sebagai bahasa lambang dan mengusahakan konsistensi dalam penggunaan matematika sebagai bahasa lambang. Kaum Formalis membantah aliran logistik dan menyatakan bahwa masalah-masalah dalam logika sama sekali tidak ada hubungan dengan matematika. Hilbert berusaha untuk menciptakan matematika sebagai suatu sistem yang tunggal, lengkap dan selalu konsisten. Namun usaha Hilbert kemudian dapat dipatahkan oleh muridnya sendiri yang bernama Godel. Godel menyatakan bahwa tidaklah mungkin matematika bersifat tunggal, lengkap dan konsisten, karena jika matematika mempertahankan kekonsistenan, maka akan menjadi tidak lengkap. Sedangkan jika matematika mempertahankan kelengkapannya, maka matematika akan terancam menjadi tidak konsisten.

5. This comment has been removed by the author.

6. Rhomiy Handican
156709251031
PPs Pendidikan Matematika B 2016

Logika matematika benar-benar mengacu kepada dua bidang penelitian yang berbeda: yang pertama adalah penerapan teknik-teknik formal logika matematika dan penalaran matematika, dan yang kedua, di arah lain, penerapan matematika teknik untuk representasi dan analisis logika formal. Penggunaan paling awal matematika dan geometri dalam kaitannya dengan logika dan filsafat akan kembali ke Yunani kuno seperti Euclid, Plato, dan Aristoteles. Banyak filsuf kuno dan abad pertengahan matematika diterapkan ide dan metode filosofis mereka klaim. Paling berani mencoba untuk menerapkan logika matematika tidak diragukan lagi dalam logicism dipelopori oleh filsuf-ahli logika seperti Gottlob Frege dan Bertrand Russell: ide adalah bahwa teori-teori matematika logis tautologies, dan program adalah untuk menunjukkan hal ini dengan berarti pengurangan matematika untuk logika. Berbagai upaya untuk melakukan hal ini bertemu dengan serangkaian kegagalan, dari yang melumpuhkan dari proyek Frege dalam Grundgesetze oleh Russell paradoks, untuk kekalahan Hilbert program oleh teorema ketidaklengkapan Gödel's. Kedua pernyataan Hilbert program dan sanggahan oleh Gödel bergantung pada pekerjaan mereka mendirikan daerah kedua logika matematika, penerapan matematika untuk logika dalam bentuk teori bukti. Meskipun sifat negatif teorema ketidaklengkapan, Gödel's kelengkapan teorema, yang mengakibatkan model teori dan aplikasi lain ke logika matematika, dapat dipahami sebagai menunjukkan betapa dekatnya logicism datang untuk menjadi benar: setiap teori matematika didefinisikan secara ketat dapat persis ditangkap oleh orde pertama teori logis.

7. Devi Anggriyani
16701251023
S2 PEP B 2016

8. MARTIN/RWANDA
PPS2016PEP B
The domain of contentual number theory consists in the finitary numerals, i.e., sequences of strokes. These have no meaning, i.e., they do not stand for abstract objects, but they can be operated on (e.g., concatenated) and compared. Knowledge of their properties and relations is intuitive and unmediated by logical inference. Contentual number theory developed this way is secure, according to Hilbert: no contradictions can arise simply because there is no logical structure in the propositions of contentual number theory.

9. Rospala Hanisah Yukti Sari
16790251016
S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

Dalam elegi tersebut memperlihatkan bagaimana kekonsistenan matematika yang dipandang dengan ruang dan waktu. Jika dalam ranah filsafat, maka konsistensi tersebut tidaklah berlaku dan pembuktian bersifat kontradiktif. Oleh karenanya, bila ingin suatu teorema menjadi benar maka perlu adanya penyesuaian antara ruang dan waktu tersebut.

Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

10. Fevi Rahmawati Suwanto
16709251005
PMat A / S2

Adanya kontradiksi yang dilakukan Godel pada Program Hilbert diperlihatkan melalui pembuktian terhadap sebuah teorema di atas dan kemudian disebut dengan kekurangan teorema Godel. Pembuktian ini jelas menunjukkan bahwa tidak ada seseorang yang dapat membuktikan kekonsistenan dalam matematika karena adanya pengaruh ruang dan waktu.

11. Siska Nur Rahmawati
16701251028
PEP-B 2016

Uraian di atas memguraikan pembuktian yang dilakukan Godel terhadap program Hilbert. Gödel menunjukkan Program Hilbert tidak dapat berhasil. Hal ini terbukti dalam apa yang sekarang disebut Gödel Kekurangan Teorema. Secara filsafat memang akan timbul thesis dan anti-thesis dari setiap pernyataan.

16709251025
PPs PM B 2016

Assalamualaikum
Dari uraian diatas menjelaskan bagaimana Godel menunjukkan Program Hilbert tidak dapat berhasil. Hal ini terbukti dalam apa yang sekarang disebut Teorema ketaklengkapan Godel. Pada tahun 1931, Kurt Godel mempublikasikan teorema ketidaklengkapan yang terkenal untuk membuktikan bahwa prosedur/algoritma yang dikehendaki David Hilbert tersebut tidak akan pernah ada.Usaha untuk mendapatkan sebuah teori yang lengkap yang tersusun atas semua teori adalah sia sia. Godel membangun rumus di kalkulus predikat yang diterapkan pada bilangan bulat yang memiliki pernyataan pernyataan definisi yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya maupun yang tidak dapat dibantah di dalam sistem logika yang mungkin dibangun manusia.

16701251032
PEP S2 B

Godel showed what is called Gödel's Incompleteness Theorem: Gödel showed that Hilbert's Program can not succeed. Let S be a formal system for number theory. If S is consistent, then there is a sentence, G, such that neither G nor the negation of G (written G) is a theorem of S. Thus, any formal system sufficient to express the theorems of number theory has to be incomplete.

16701251032
PEP S2 B

S dapat membuktikan P (n) hanya dalam kasus n adalah Gödel-jumlah Teorema dari S. Ada ada k, sehingga k adalah Gödel-nomor dari rumus P (k) = G. Alasan Gödel digunakan untuk teorema ketidaklengkapan nya finitary, sehingga bisa diformalkan dalam S. Dengan demikian, S dapat membuktikan bahwa jika S konsisten, maka G tidak dapat dibuktikan

15. Semua formula dalam matematika dapat dibuktikan karena berasal dari gejala alam semesta. Matematika yang benar juga dapat membuktikan beberapa kejadian alam semesta, karena beberapa kejadian dapat diukur namun memerlukan waktu yang lama. Keterbatasan manusia dalam membuat formula pengukuran menjadi alasan mengapa tidak banyak formula yang mampu menghitung kejadian (fenomena) secara matematis. Hal ini membuktikan bahwa hanya Allah SWT yang Maha Sempurna sehingga tidak satupun formula manusia benar 100 persen.

Nur Tjahjono Suharto
PEP S3 (A)
16701261007

16. This comment has been removed by the author.

17. Azwar Anwar
16709251038
Pendidikan Matematika S2 Kelas B 2016

Godel menyatakan bahwa program yang dilakukan oleh Hilbert tidak dapat berhasil. Pada contoh di atas itulah yang dinamakan dengan teori ketidaklengkapan Godel yaitu teorema logika matematika yang menetapkan batasan inheren dari semua kecuali sistem aksiomatik yang paling trivial yang mampu mengerjakan aritmetika. Pada teori Godel ini terjadi ketidakkonsistenan suatu sistem formal yang mengandung aritmatika tidak dapat dibuktikan secara formal pada sistem tersebut.

18. Fatya Azizah
16709251039
Pendidikan Matematika B PPS UNY 2016

Godel merupakan seorang murid hilbert yang berhasil mematahkan teori hilbert yang menyatakan matematika yang tunggal dan konsisten. caranya mematahkan teori tersebut adalah dengan pembuktian yang dituliskan pada artikel diatas yaitu dengan pendekatan teori bilangan.

19. Fitri Ayu Ningtiyas
16709251037
S2 P.Mat B UNY 2016

Kurt Godel mempublikasikan teorema ketidaklengkapan. Godel membangun rumus di kalkulus predikat yang diterapkan pada bilangan bulat yang memiliki pernyataan pernyataan definisi yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya maupun yang tidak dapat dibantah di dalam sistem logika yang mungkin dibangun manusia.

20. 16701251016
PEP B S2

Beberapa posting yang sudah saya baca, dengan keterbatasan pemahaman tentang matematika membuat saya kebingungan antar relevansi dengan bidang jurusan sekarang ini. Meskipun disi lain membaca adalah pintu bagi pengetahuan, maka dengan membaca postingan ini juga saya dapat mengambil hikmah dan pengetahuan. dengan pemikiran yang awam akan matematika menjadikan beberapa komen mungkin kurang bermakna, atau bahkan sangat jauh dari penjelasan teori yang disampaikan dalam postingan.
Namun jika melihat dari kacamata yang lebih luas bahwasanya mayoritas yang belajar dalam prodi PEP adalah matematika saya rasa masih sangat relevan atau bahkan bisa mempertajam dan memeprluas matematika sendiri.

Beberapa point yang saya sampaikan itu adalah terkhusus bidang matematika.

21. 16701251016
PEP B S2

Godel menunjukkan bahwa pernyataan hilbert kurang dapat dibuktikan. Teori angka khususnya, dikatakan bahwa S konsisten maka S tersebut adalah bahasa yang merupakan teorema yang lengkap, dalam sebuah bahasa terdiri dari sifat yang lain yaitu bia kalimat, kata, atau huruf

22. Nira Arsoetar
16709251018
PPS UNY Pendidikan Matematika
Kelas A

Godel mengungkapkan kekurangan teorema Hilbert, dimana Hilbert menyebutkan bahwa S merupakan sistem formal untuk teori bilangan. Jika S konsisten, baik G maupun negasi dari G (ditulis G) adalah teorema dari S. Dengan demikian, setiap sistem formal yang cukup untuk mengekspresikan teorema dari teori bilangan harus lengkap. Godel menunjukkan Program Hilbert tidak bekerja karena konsistensi teori matematika tidak dapat dibuktikan. Hal ini nampak pada pembuktian sebagai berikut, misalkan S dapat membuktikan Cst (S), maka S dapat membuktikan G, tetapi jika S konsisten, tidak dapat membuktikan G, sehingga tidak dapat membuktikan konsistensi.

23. This comment has been removed by the author.

24. Wan Denny Pramana Putra
16709251010
PPs Pendidikan Matematika A

Godel menunjukkan bahwa Program Hilbert yang mencoba menciptakan algoritma umum yang membuktikan(seluruh) persoalan matematika secara otomatis itu tidak akan pernah ada. Teori untuk membantah teori hilbert ini dinamakan teorema ketidaklengkapan Godel. Godel membangun rumus di kalkulus predikat yang diterapkan pada bilangan bulat yang memiliki pernyataan pernyataan definisi yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya maupun yang tidak dapat dibantah di dalam sistem logika yang mungkin dibangun manusia.

25. Dalam elegi tersebut memperlihatkan bagaimana kekonsistenan matematika yang dipandang dengan ruang dan waktu. Jika dalam ranah filsafat, maka konsistensi tersebut tidaklah berlaku dan pembuktian bersifat kontradiktif. Adanya kontradiksi yang dilakukan Godel pada Program Hilbert diperlihatkan melalui pembuktian terhadap sebuah teorema di atas dan kemudian disebut dengan kekurangan teorema Godel. Pembuktian ini jelas menunjukkan bahwa tidak ada seseorang yang dapat membuktikan kekonsistenan dalam matematika karena adanya pengaruh ruang dan waktu.

M. Saufi Rahman
PEP KElas A
16701261024

26. Johanis Risambessy
16701251029
PPs PEP B 2016

Konsisten matematika harus dapat dibuktikan sehingga tidak menjadi kontradiktif karena harus diterikat oleh ruang dan waktu menurut pandangan filsafat. Penjelasan dari Hibert memberikan penjelasan bahwa matematika harus dapat menjelaskan semua kebenaran dari konsep yang ada sehingg dapat dibuktikan agar tidak muncul kontradiktif yang membuat orang menjadi bingung.

27. Bismillah
Ratih Kartika
16701251005
PPS PEP B 2016

Assalamualaikumwarahmatulahiwabarrakatuh
Gödel memperlihatkan bahwa matematika memuat pernyataan-pernyataan yang tidak dapat dibuktikan dengan cara itu. Kesimpulannya itu ia dasarkan pada dua paradoks yang berbunyi “Pernyataan ini salah” dan “Pernyataan ini tidak dapat dibuktikan’. Inilah yang kemudian dikenal sebagai ‘teorema ketidaklengkapan’ Kurt Gödel.

Terimakasih.
Wassalamualaikumwarahmatulahiwabarakatuh

28. Budi Yanto
16709251024
P. Mat S2 Kelas B 2016
Kurt Gödel adalah seorang filsuf sekaligus matematikawan yang memiliki sumbangsih besar dalam revolusi logika seperti Gottlob Frege, Bertrand Russel, Alfred North Whitehead, dan Ludwig Wittgenstein. Gödel mengemukakan dalil atau teorema “ketidaklengkapannya” melalui tulisan Teorema VI dan Teorema XI dalam makalah berjudul, On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related Systems I. Lewat kajiannya tentang sistem (deret) aritmatika yang menghasilkan bukti logis tentang teori angka elementer, Gödel meluluhlantakkan anggapan para ahli matematika sebelumnya bahwa sesuatu yang benar selalu dapat dibuktikan, dan begitu pula sebaliknya: sesuatu yang memiliki bukti pastilah benar. Dalam kajian Gödel, jika kita menyusun sebuah daftar angka—semacam gramatika angka—maka mau tak mau kita akan menemui deret yang tercecer, tak lengkap, inkonsisten, pun menghasilkan berbagai kontradiksi terhadap dirinya. Kontradiksi inilah yang memaksa kita mengesampingkan salah satu sistem karena dua sistem yang disusun misalnya, tak mungkin sama benar meski keduanya terbukti. Dengan demikian simpul Gödel, apa yang memiliki bukti belum tentu benar, dan apa yang benar belum tentu terbukti. Dalil ketidaklengkapan cetusan Kurt Gödel ini begitu berpengaruh terhadap perkembangan filsafat logika.

marsigitina@yahoo.com, marsigitina@gmail.com, marsigit@uny.ac.id