Apr 5, 2013

Elegi Menggapai "Ontological Foundation of Mathematics"

By Marsigit
Yogyakarta State University

Relating to ontological foundation of mathematics, Litlang (2002) views that in mathematical realism, sometimes called Platonism, the existence of a world of mathematical objects independent of humans is postulated; not our axioms, but the very real world of mathematical objects forms the foundation.

The obvious question, then, is: how do we access this world? Some modern theories in the philosophy of mathematics deny the existence of foundations in the original sense.

Some theories tend to focus on mathematical practices and aim to describe and analyze the actual working of mathematicians as a social group.

Others try to create a cognitive science of mathematics, focusing on human cognition as the origin of the reliability of mathematics when applied to the 'real world'.

These theories 1 would propose to find the foundations of mathematics only in human thought, not in any 'objective' outside construct, although it remains controversial.

Litlang indicates that although mathematics might seem the clearest and most certain kind of knowledge we possess, there are problems just as serious as those in any other branch of philosophy.

It is not easy to elaborate the nature of mathematics and in what sense do mathematics propositions have meaning?.

Plato 2 believes, in Forms or Ideas, that there are eternal capable of precise definition and independent of perception.

Plato includes, among such entities, numbers and the objects of geometry such as lines, points or circles which were apprehended not with the senses but with reason.

According to Plato 3, the mathematical objects deal with specific instances of ideal Forms.

Since the true propositions of mathematics 4 are true of the unchangeable relations between unchangeable objects, they are inevitably true, which means that mathematics discovers pre-existing truths out there rather than creates something from our mental predispositions; hence, mathematics dealt with truth and ultimate reality.

Litlang (2002) indicates that Aristotle disagreed with Plato. According to Aristotle, Forms were not entities remote from appearance but something that entered into objects of the world.

That we abstract mathematical object does not mean that these abstractions represent something remote and eternal. However, mathematics is simply reasoning about idealizations.

Aristotle 5 looks closely at the structure of mathematics, distinguishing logic, principles used to demonstrate theorems, definitions and hypotheses.

Litlang implies that while Leibniz brought together logic and mathematics, Aristotle uses propositions of the subject- predicate form.

Leibniz argues that the subject contains the predicate; therefore the truths of mathematical propositions are not based on eternal or idealized entities but based on their denial is logically impossible.

According to Leibniz 6, the truth of mathematics is not only of this world, or the world of eternal Forms, but also of all possible worlds.

Unlike Plato, Leibniz sees the importance of notation i.e. a symbolism of calculation, and became very important in the twentieth century mathematics viz. a method of forming and arranging characters and signs to represent the relationships between mathematical thoughts.

On the other hand, Kant 7 perceives that mathematical entities were a-priori synthetic propositions on which it provides the necessary conditions for objective experience.

According to Kant 8, mathematics is the description of space and time; mathematical concept requires only self-consistency, but the construction of such concepts involves space having a certain structure.

On the other hand, Frege, Russell and their followers 9 develop Leibniz's idea that mathematics is something logically undeniable.

Frege 10 uses general laws of logic plus definitions, formulating a symbolic notation for the reasoning required. Inevitably, through the long chains of reasoning, these symbols became less intuitively obvious, the transition being mediated by definitions.

Russell 11 sees the definitions as notational conveniences, mere steps in the argument. While Frege sees them as implying something worthy of careful thought, often presenting key mathematical concepts from new angles.

For Russell 12, the definitions had no objective existence; while for Frege, it is ambiguous due to he states that the definitions are logical objects which claim an existence equal to other mathematical entities.

Eves H. and Newsom C.V. write that the logistic thesis is that mathematics is a branch of logic.

All mathematical concepts are to be formulated in terms of logical concepts, and all theorems of mathematics are to be developed as theorems of logic.

The distinction between mathematics and logic 13 becomes merely one of practίcal convenience; the actual reduction of mathematical concepts to logical concepts is engaged in by Dedekind (1888) and Frege (1884-1903), and the statement of mathematical theorems by means of a logical symbolism as undertaken by Peano (1889-1908).

The logistic thesis arises naturally from the effort to push down the foundations of mathematics to as deep a level as possible. 14

Further, Eves H. and Newsom C.V. (1964) state:

The foundations of mathematics were established in the real number system, and were pushed back from the real number system to the natural number system, and thence into set theory. Since the theory of classes is an essential part of logic, the idea of reducing mathematics to logίc certainly suggests itself.

The logistic thesis is thus an attempted synthesization suggested why an important trend in the history of the application of the mathematical method.

Meanwhile, Litlangs determines that in geometry, logic is developed in two ways.

The 15 first is to use one-to-one correspondences between geometrical entities and numbers.

Lines, points, circle, etc. are matched with numbers or sets of numbers, and geometric relationships are matched with relationships between numbers.

The second is to avoid numbers altogether and define geometric entities partially but directly by their relationships to other geometric entities.

Litlangs comments that such definitions are logically disconnected from perceptual statements so that the dichotomy between pure and applied mathematics continues.

It is somewhat paralleling Plato's distinction between pure Forms and their earthly copies.

Accordingly, alternative self-consistent geometries can be developed, therefore, and one cannot say beforehand whether actuality is or is not Euclidean; moreover, the shortcomings of the logistic procedures remain, in geometry and in number theory.

Furthermore, Litlangs (2002) claims that there are mathematicians perceiving mathematics as the intuition of non-perceptual objects and constructions.

According to them, mathematics is introspectively self-evident and begins with an activity of the mind which moves on from one thing to another but keeps a memory of the first as the empty form of a common substratum of all such moves.

Next, he states:
Subsequently, such constructions have to be communicated so that they can be repeated clearly, succinctly and honestly. Intuitionist mathematics employs a special notation, and makes more restricted use of the law of the excluded middle viz. that something cannot be p' and not-p' at the same time. A postulate, for example, that the irrational number pi has an infinite number of unbroken sequences of a hundred zeros in its full expression would be conjectured as un-decidable rather than true or false. 16

The law of excluded middle, tertium non datur in Latin, states that for any proposition P, it is true that “P or not P”. For example, if P is “Joko is a man” then the inclusive disjunction “Joko is a man, or Joko is not a man” is true.

P not P P or not P
True False True
False True True

Litlangs (2002), further, adds that different writers perceive mathematics as simply what mathematicians do; for them, mathematics arises out of its practice, and must ultimately be a free creation of the human mind, not an exercise in logic or a discovery of preexisting fundamentals.

Mathematics 17 does tell us, as Kant points out, something about the physical world, but it is a physical world sensed and understood by human beings.

On the other hand 18, relativists remind that nature presents herself as an organic whole, with space, matter and time.

Humans have in the past analyzed nature, selected certain properties as the most important, forgotten that they were abstracted aspects of a whole, and regarded them thereafter as distinct entities; hence, for them, men have carried out mathematical reasoning independent of sense experience.

1. Ibid
2Litlangs, 2002-2004, “Math Theory” Retrieved 2004
3 Ibid.
4 Ibid.
5 Ibid.
6 Ibid.
7 Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston, p.70
8 Ibid.p.70
9 Ibid.p.286
10 Litlangs, 2002-2004, “Math Theory” Retrieved 2004
13Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston, p. 286
15Litlangs, 2002-2004, “Math Theory” Retrieved 2004
18Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston, p.289
19Ibid.p. 290


  1. Amalia Nur Rachman
    S2 Pendidikan Matematika B UNY 2018

    Ontologi erat kaitannya dengan hakekat dari sesuatu. Ontologi merupakan ilmu yang mempelajari realitas secara kritis, sifat, keberadaan serta kategori berdasarkan keberadaan dan hubungan. Ilmu matematika dari ontologinya merupakan ilmu yang bersifat algoritmis, sistematis, metodis, koheren, komprehensif, rasional, universal, dan radikal. Maka dalam menggapai ontologi matematika, didasarkan pada berbagai perspektif mengenai matematika

  2. Nani Maryani
    S2 Pendidikan Matematika (A) 2018
    Assalamu'alaikum Wr.Wb.

    Ontologi merupakan ilmu tentang hahikat sesuatu ata tentang realitas dengan apa adanya. Menurut Ernest (1995), aliran platonisme memandang bahwa objek dan struktur matematika mempunyai keberadaan yang riil yang tidak bergantung kepada manusia, dan bahwa mengerjakan matematika adalah suatu proses penemuan tentang hubungan keberadaan sebelumnya.

    Wassalamu'alaikum Wr.Wb

  3. Janu Arlinwibowo
    PEP 2018

    Ontologi merupakan ilmu yang mengkaji permasalahan yang bersifat real atau dapat dikatakan pula bahwa ontology menempatkan bukti empiris sebagai salah satu landasan pokok dalam berpikir. Matematika secara ontologi menunjukkan bahwa matematika suatu ilmu yang tersetruktur. Dalam pemahamannya matematika memiliki sifat metodis, sistematis, koheren, rasional, komprehensif, radikal dan universal.

  4. Rindang Maaris Aadzaar
    S2 Pendidikan Matematika 2018

    Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh
    Pada artikel di atas, dapat kita ketahui bahwa landasan ontologis matematika menurut Litlang, dalam realisme matematika bisa disebut juga sebagai Platonisme yang artinya keberadaan dunia benda-benda matematika yang independen dari manusia didalilkan. Hal ini artinya bukanlah merupakan suatu aksioma, tetapi pada dunia nyata benda-benda matematika membentuk fondasi.
    Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh

  5. Luthfannisa Afif Nabila
    S2 Pendidikan Matematika B 2018
    Assalamu'alaikum Warohmatullohi Wabarokatuh.
    Elegi diatas menjelaskan perbedaan pendapat para ahli mengenai matematika. Dari pendapat awal para ahli kemudian disempurnakan/dikembangkan pendapatnya oleh ahli yang lain seiring berjalannya waktu. Beberapa teori cenderung berfokus pada praktik matematika dan bertujuan untuk menggambarkan dan menganalisis kerja aktual matematikawan sebagai kelompok sosial. Yang lain mencoba untuk menciptakan ilmu kognitif matematika, berfokus pada kognisi manusia sebagai asal reliabilitas matematika ketika diterapkan pada 'dunia nyata'. Menurut Plato, objek matematika berurusan dengan contoh spesifik dari Bentuk ideal. Menurut Aristoteles, Bentuk bukanlah entitas jauh dari penampilan tetapi sesuatu yang masuk ke objek dunia. Aristoteles melihat lebih dekat pada struktur matematika, membedakan logika, prinsip yang digunakan untuk mendemonstrasikan teorema, definisi dan hipotesis. Leibniz berpendapat bahwa subjek mengandung predikat; oleh karena itu kebenaran proposisi matematika tidak didasarkan pada entitas yang kekal atau ideal tetapi berdasarkan penolakan mereka secara logis tidak mungkin. Di sisi lain, Kant merasakan bahwa entitas matematika adalah proposisi sintetik a priori di mana ia menyediakan kondisi yang diperlukan untuk pengalaman obyektif. Di sisi lain, Frege, Russell dan para pengikutnya mengembangkan gagasan Leibniz bahwa matematika adalah sesuatu yang secara logis tidak dapat disangkal.
    Wassalamu'alaikum Warohmatullohi Wabarokatuh

  6. Jefri Mailool
    PEP 18701261002

    Ontologi matematika berusaha memahami keseluruhan dan kenyataan matematika, yaitu segala matematika yang mengada. Dalam kaitannya dengan matematika, pendekatan ontologis matematika adalah dengan mencari pengertian menurut akar dan dasar terdalam dari kenyataan matematika. Pendekatan ontologis digunakan untuk menerima kenyataan dalam matematika.

  7. Bayuk Nusantara Kr.J.T
    PEP S3

    Ontologi adalah hakikat apa yang dikaji. Dari elegi di atas dapat diketahui ada beberapa pandangan mengenai hal ini.

  8. Dini Arrum Putri
    S2 P Math A 2018

    Ontologi disini adalah hakekat akan sesuatu yang mempelajari tentang keberadaan yang real atau realitas. Ontologi matematika berarti mengungkapkan bahaa matematika sebagai ilmu yang real atau ilmu pasti bersifat konkret. Objek objek dan struktur dalam matematika juga dikatakan real itulah mengapa matematika disebut sebagai sumber dari segala pengetahuan.

  9. Septia Ayu Pratiwi
    S2 pendidikan matematika 2018

    Ontologi bisa dirumuskan sebagai ilmu yang mempelajari realitas atau kenyataan konkret secara kritis. Ontologi Matematika merupakan segala aspek yang ada dalam ilmu matematika yang bersifat kongkrit. Contoh dari ontologi matematika adalah segala sesuatu yang ada dalam matematika, seperti misalnya teorema-teorema. Teorema terbentuk secara terstruktur dan sistematis. Dalam elegi diatas dijelaskan bahwa beberapa teori cenderung fokus pada praktik matematika dan bertujuan untuk mendeskripsikan dan menganalisis kerja actual dari matematikawan sebagai sebuah grup sosial. selain itu, beberapa teori yang lain memfokuskan pada kognitif. Kemudian teori terhadap fondasi atau dasar matematika disempurnakan oleh filsuf-filsuf lain seperti Plato, Aristoteles, Leibniz dan lain sebagainya.

  10. Sintha Sih Dewanti
    PPs S3 PEP UNY

    Memahami ontologi matematika sekolah akan memperkuat arah pencapaian tujuan pendidikan matematika dan memberi landasan lebih kuat bagi siswa dalam meningkatkan makna dan kegunaan matematika dalam kehidupan. Mempersipakn siswa meggunakan matematika dan pola pikir matematika dalam kehidupan sehari dan dalam mepelajari berbagai ilmu pengetahuan. Melatih cara bepikir dan bernalar dalam pembelajaran matematika sangatlah penting. Mempunyai pola pikir deduktif merupakan salah satu tujuan yang bersifat formal, yang memberi penekanan pada penataan nalar. Matematika tidak saja dituntut sekedar menghitung, tetapi siswa juga dituntut agar lebih mampu menghadapi berbagai masalah dalam hidup ini. Masalah itu baik mengenai matematika itu sendiri maupun masalah dalam lmu lain, sehingga apabila telah memahami konsep matematika secara mendasar dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.

  11. Rosi Anista
    S2 Pendidikan Matematika B

    Assalamualaikum wr wb
    Ontologi adalah ilmu tentang yang ada. Ontologi secara ringkas membahas realitas atau suatu entitas dengan apa adanya. Pembahasan mengenai ontologi berarti membahas kebenaran suatu fakta. Untuk mendapatkan kebenaran itu, ontologi memerlukan proses bagaimana realitas tersebut dapat diakui kebenarannya. Untuk itu proses tersebut memerlukan dasar pola berfikir, dan pola berfikir didasarkan pada bagaimana ilmu pengetahuan digunakan sebagai dasar pembahasan realitas. Sehingga Ontologi matematika menyelidik sifat dasar dari apa yang yanta secara frudamental dan cara berbeda dimana entitas dari kategori-kategori logis yang berlainan (objek-objek fisik, hal universal) dapat dikatak ada, dalam kerangka tradisional ontologi dianggap sebagai teori mengenai prinsip-prinsip umum dari hal yang ada, sedangkan dalam hal pemakaiannya akhir-akhir ini ontologi dipandang sebagai teori mengenai apa yang ada.

  12. Yoga Prasetya
    S2 Pendidikan Matematika UNY 2018 A
    Setiap para ahli memiliki makna dan pengertian yang berbeda dalam ontology. Ada yang berkaitan dengan menenmpatkan bukti empiris sebagai landasan pokok dalm berpikir.. Matematika berkaitan dengan olah pikir manusia untuk berpikir secara logis dan melibatkan ruang dan waktu tertentu. Elegi diatas dijelaskan bahwa ada beberapa teori yang mendefinisikan bahwa matematika yang sebenarnya sebagai kelompok atau aktivitas sosial. Matematika dapat di bawa ke segala bidang ilmu, ilmu sosial, ekonomi, dan ilmu yang lain yang berada dalam kehidupan nyata.

  13. Fabri Hidayatullah
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Landasan matematika secara ontologi berarti landasan matematika berdasarkan hakikatnya. Terdapat banyak berbagai macam pendapat tentang hakikat matematika dari para ahli. Berdasarkan elegi ini, hakekat matematika ialah matematika realisme, yaitu bahwa matematika bukanlah aksioma tetapi matematika ialah ada di dalam dunia nyata. Namun yang menjadi permasalahan selanjutnya ialah bagaimana dapat mengakses dunia ini. Terdapat berbagai macam pendapat tentang hal tersebut seperti yang diuraikan dalam elegi ini.

  14. Herlingga Putuwita Nanmumpuni
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Dikatakan pad elegi di atas jika beberapa teori modern dalam filsafat matematika menyangkal keberadaan dasar dalam arti aslinya. Beberapa teori cenderung berfokus pada praktik matematika dan bertujuan untuk mendeskripsikan dan menganalisis kerja matematika yang sebenarnya sebagai kelompok sosial. Yang lain mencoba membuat ilmu kognitif matematika, dengan fokus pada kognisi manusia sebagai asal dari keandalan matematika ketika diterapkan pada 'dunia nyata'.

  15. Nur Afni
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.
    Dari elegi ini bahwa keyakinan plato, dalam Bentuk atau Gagasan, bahwa ada yang kekal yang mampu mendefinisikan secara tepat dan bebas dari persepsi. meliputi, di antara entitas-entitas, angka-angka dan objek-objek geometri seperti garis, titik atau lingkaran yang ditangkap bukan dengan indera tetapi dengan alasan. Menurut Plato 3, objek matematika berurusan dengan contoh spesifik dari Bentuk ideal. terimakasih

  16. Atin Argianti
    PPs PM A 2018
    Dalam postingan tersebut, ontology dari matematika yang mempunyai esensi ilmu yang berstruktur. Struktur matematika yang sistematis, koheren, rasional, komprehensif, radikal, dan universal. Hal tersebut menyatakan keberadaan matematika sebagai objek sumber dari segala sumber pengetahuan yang mengenai prinsip umum dari hal yang ada.

  17. Ahmad Syajili
    S2 PMD 2019

    Assalamualaikum wr.wb

    Dari tulisan ini, saya memahami tentang ontologi dalam matematika. Ontologi pada dasarnya adalah suatu studi tentang hakekat realitas yang mempelajari suatu yang terdapat pada kenyataan dan berdasarkan kepada logika yang ada. Maka jika dikaitkan dengan elegi ini, ontologi dari matematika merupakan hakekat dasar dari matematika itu sendiri. Dimana, secara ontologis matematika dipandang dalam realisme matematis bukan sebagai aksioma melainkan sebagai objek dari dunia nyata. Terdapat beberapa teori yang membahas tentang ontologi dari filsafat matematika seperti yang dijelaskan pada tulisan diatas.

  18. Vera Yuli Erviana
    NIM 19706261005
    S3 Pendidikan Dasar 2019

    Assalamu'alaikum Wr. Wb.
    Pada artikel di atas, dapat kita ketahui bahwa ontologi merupakan ilmu yang mengkaji permasalahan yang bersifat nyata dan kongkret atau dapat dikatakan pula bahwa ontology menempatkan bukti empiris sebagai salah satu landasan pokok dalam berpikir. lmu matematika dari ontologinya merupakan ilmu yang bersifat algoritmis, sistematis, metodis, koheren, komprehensif, rasional, universal, dan radikal. Maka dalam menggapai ontologi matematika, didasarkan pada berbagai perspektif mengenai matematika.

  19. Sekar Hidayatun Najakh
    S2 PEP A 2019

    Assalamualaykum wr wb...
    Filsafat sangat erat kaitannya dengan perkembangan dan pemahaman ilmu pengetahuan. Mulai dari lahirnya teori, hukum, prinsip, postulat, maupun asumsi. Ilmu, termasuk matematika merupakan unsur dari suatu proses, prosedur, dan produk. Paradigma yang terbentuk adalah proses merupakan jalan lahirnya penelitian, prosedur merupakan jalan lahirnya metode, dan produk merupakan jalan lahirnya pengetahuan yang sistematis. Ideologinya, tentang apa yang dikaji disebut ontologi, yaitu cabang dari metafisika yang membicarakan eksistensi dan ragam-ragam dari suatu kenyataan. Dalam pembelajaran matematika terhadap penyampaian kepada peserta didik, tentu harus menyesuaikan jenjang dari peserta didik. Misalnya untuk jenjang sekolah dasar, matematika perlu diajarkan melalui benda-benda konkret. Sedangkan pada jenjang yang lebih tinggi, matematika perlu diajarkan melalui pengalaman dan paradigma logis. Kembali lagi secara ontologi, ilmu matematika hakikatnya adalah kesatuan dari interaksi antara aktivitas, metode, dan pengetahuan. Sehingga, matematika seharusnya berjalan mengikuti alur seperti itu.

    Terimakasih Prof...