Apr 5, 2013

Elegi Menggapai "Ontological Foundation of Mathematics"

By Marsigit
Yogyakarta State University

Relating to ontological foundation of mathematics, Litlang (2002) views that in mathematical realism, sometimes called Platonism, the existence of a world of mathematical objects independent of humans is postulated; not our axioms, but the very real world of mathematical objects forms the foundation.

The obvious question, then, is: how do we access this world? Some modern theories in the philosophy of mathematics deny the existence of foundations in the original sense.

Some theories tend to focus on mathematical practices and aim to describe and analyze the actual working of mathematicians as a social group.

Others try to create a cognitive science of mathematics, focusing on human cognition as the origin of the reliability of mathematics when applied to the 'real world'.

These theories 1 would propose to find the foundations of mathematics only in human thought, not in any 'objective' outside construct, although it remains controversial.

Litlang indicates that although mathematics might seem the clearest and most certain kind of knowledge we possess, there are problems just as serious as those in any other branch of philosophy.

It is not easy to elaborate the nature of mathematics and in what sense do mathematics propositions have meaning?.

Plato 2 believes, in Forms or Ideas, that there are eternal capable of precise definition and independent of perception.

Plato includes, among such entities, numbers and the objects of geometry such as lines, points or circles which were apprehended not with the senses but with reason.

According to Plato 3, the mathematical objects deal with specific instances of ideal Forms.

Since the true propositions of mathematics 4 are true of the unchangeable relations between unchangeable objects, they are inevitably true, which means that mathematics discovers pre-existing truths out there rather than creates something from our mental predispositions; hence, mathematics dealt with truth and ultimate reality.

Litlang (2002) indicates that Aristotle disagreed with Plato. According to Aristotle, Forms were not entities remote from appearance but something that entered into objects of the world.

That we abstract mathematical object does not mean that these abstractions represent something remote and eternal. However, mathematics is simply reasoning about idealizations.

Aristotle 5 looks closely at the structure of mathematics, distinguishing logic, principles used to demonstrate theorems, definitions and hypotheses.

Litlang implies that while Leibniz brought together logic and mathematics, Aristotle uses propositions of the subject- predicate form.

Leibniz argues that the subject contains the predicate; therefore the truths of mathematical propositions are not based on eternal or idealized entities but based on their denial is logically impossible.

According to Leibniz 6, the truth of mathematics is not only of this world, or the world of eternal Forms, but also of all possible worlds.

Unlike Plato, Leibniz sees the importance of notation i.e. a symbolism of calculation, and became very important in the twentieth century mathematics viz. a method of forming and arranging characters and signs to represent the relationships between mathematical thoughts.

On the other hand, Kant 7 perceives that mathematical entities were a-priori synthetic propositions on which it provides the necessary conditions for objective experience.

According to Kant 8, mathematics is the description of space and time; mathematical concept requires only self-consistency, but the construction of such concepts involves space having a certain structure.

On the other hand, Frege, Russell and their followers 9 develop Leibniz's idea that mathematics is something logically undeniable.

Frege 10 uses general laws of logic plus definitions, formulating a symbolic notation for the reasoning required. Inevitably, through the long chains of reasoning, these symbols became less intuitively obvious, the transition being mediated by definitions.

Russell 11 sees the definitions as notational conveniences, mere steps in the argument. While Frege sees them as implying something worthy of careful thought, often presenting key mathematical concepts from new angles.

For Russell 12, the definitions had no objective existence; while for Frege, it is ambiguous due to he states that the definitions are logical objects which claim an existence equal to other mathematical entities.

Eves H. and Newsom C.V. write that the logistic thesis is that mathematics is a branch of logic.

All mathematical concepts are to be formulated in terms of logical concepts, and all theorems of mathematics are to be developed as theorems of logic.

The distinction between mathematics and logic 13 becomes merely one of practίcal convenience; the actual reduction of mathematical concepts to logical concepts is engaged in by Dedekind (1888) and Frege (1884-1903), and the statement of mathematical theorems by means of a logical symbolism as undertaken by Peano (1889-1908).

The logistic thesis arises naturally from the effort to push down the foundations of mathematics to as deep a level as possible. 14

Further, Eves H. and Newsom C.V. (1964) state:

The foundations of mathematics were established in the real number system, and were pushed back from the real number system to the natural number system, and thence into set theory. Since the theory of classes is an essential part of logic, the idea of reducing mathematics to logίc certainly suggests itself.

The logistic thesis is thus an attempted synthesization suggested why an important trend in the history of the application of the mathematical method.

Meanwhile, Litlangs determines that in geometry, logic is developed in two ways.

The 15 first is to use one-to-one correspondences between geometrical entities and numbers.

Lines, points, circle, etc. are matched with numbers or sets of numbers, and geometric relationships are matched with relationships between numbers.

The second is to avoid numbers altogether and define geometric entities partially but directly by their relationships to other geometric entities.

Litlangs comments that such definitions are logically disconnected from perceptual statements so that the dichotomy between pure and applied mathematics continues.

It is somewhat paralleling Plato's distinction between pure Forms and their earthly copies.

Accordingly, alternative self-consistent geometries can be developed, therefore, and one cannot say beforehand whether actuality is or is not Euclidean; moreover, the shortcomings of the logistic procedures remain, in geometry and in number theory.

Furthermore, Litlangs (2002) claims that there are mathematicians perceiving mathematics as the intuition of non-perceptual objects and constructions.

According to them, mathematics is introspectively self-evident and begins with an activity of the mind which moves on from one thing to another but keeps a memory of the first as the empty form of a common substratum of all such moves.

Next, he states:
Subsequently, such constructions have to be communicated so that they can be repeated clearly, succinctly and honestly. Intuitionist mathematics employs a special notation, and makes more restricted use of the law of the excluded middle viz. that something cannot be p' and not-p' at the same time. A postulate, for example, that the irrational number pi has an infinite number of unbroken sequences of a hundred zeros in its full expression would be conjectured as un-decidable rather than true or false. 16

The law of excluded middle, tertium non datur in Latin, states that for any proposition P, it is true that “P or not P”. For example, if P is “Joko is a man” then the inclusive disjunction “Joko is a man, or Joko is not a man” is true.

P not P P or not P
True False True
False True True

Litlangs (2002), further, adds that different writers perceive mathematics as simply what mathematicians do; for them, mathematics arises out of its practice, and must ultimately be a free creation of the human mind, not an exercise in logic or a discovery of preexisting fundamentals.

Mathematics 17 does tell us, as Kant points out, something about the physical world, but it is a physical world sensed and understood by human beings.

On the other hand 18, relativists remind that nature presents herself as an organic whole, with space, matter and time.

Humans have in the past analyzed nature, selected certain properties as the most important, forgotten that they were abstracted aspects of a whole, and regarded them thereafter as distinct entities; hence, for them, men have carried out mathematical reasoning independent of sense experience.

1. Ibid
2Litlangs, 2002-2004, “Math Theory” Retrieved 2004
3 Ibid.
4 Ibid.
5 Ibid.
6 Ibid.
7 Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston, p.70
8 Ibid.p.70
9 Ibid.p.286
10 Litlangs, 2002-2004, “Math Theory” Retrieved 2004
13Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston, p. 286
15Litlangs, 2002-2004, “Math Theory” Retrieved 2004
18Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston, p.289
19Ibid.p. 290


  1. Tri Wulaningrum
    PEP S2 B

    Yang ada dalam pikiran saya mulanya adalah ontology itu sendiri. Ontologi dalam pemahaman saya adalah ilmu tentang ada. Maka ontologi matematika ialah membahas tentang keberadaan matematika, atau lebih dalam lagi ialah berusaha memahami keseluruhan dari kenyataan matematika. Dari postingan di atas saya melihat kajian ontologism matematika diperoleh melalui beberapa aliran pandangan. Di sana ada platonisme, logisme, formalism (pentingnya notasi yaitu simbolisme perhitungan), dan mungkin beberapa aliran lainnya yang saya sendiri belumlah mampu mengidentifikasinya. Kajian ontologis berdasarkan yang saya pahami (berdasarkan beberapa sumber bacaan lain yang pernah say abaca), diperoleh dari beberapa pertanyaan ontologism, seperti: apa hakikat matematika?; Apa hakikat objek matematika: Bagaimana cara memperoleh hakikat objek tersebut? dan seterusnya. Maka saya memikirkan juga bahwa pernyataan “dan seterusnya” yang saya tuliskan itu menunjukkan bahwa aka nada pertanyaan-pertanyaan selanjutnya. Bahkan pertanyaan yang satu akan melahirkan pertanyaan lainnya. Sepertinya kita sedang membicarakan infinitive regrees, bukan?

  2. Indah Purnama Sari
    PEP B 2017

    Ontologi merupakan salah satu cabang ilmu filsafat yang berhubungan dengan hakikat. Ontologi matematika yaitu penjelasan seperti apa hakikat dari matematika itu sendiri . Ontologi matematika mempersoalkan cakupan pernyataan matematikA sebagai dunia yang nyata atau bukan.

  3. Jika kita mengacu kepada pondasi ontology dari dunia matematika, bahawa sebagaimana menurut Litlang keberadaan dunia dari objek majematika yang independen dari manusia adalah postulat, bukan aksioma manusia, tetapi dunia sesungguhnya dari objek matematika membentuk pondasi. Jika dalam kehidupan manusia, terkadang untuk konsep matematika tingkat tinggi kita tidak melihat adanya bentuk konkretnya di dunianyata, namun sesungguhnya yang kita pelajari adalah kita mengabstraksi objek matematika yang ada dalam kehidupan manusia. Matematika termasuk alas an sederhana tentang sebuah idealisasi.

    Nama : Frenti Ambaranti
    NIM : 17709251034
    Kelas : S2 Pendidikan Matematika B

  4. Isoka Amanah Kurnia
    PPs Pend. Matematika C 2017

    Perdebatan mengenai ontologi matematika memang datang berbagai ahli dan dari berbagai bidang. Sebagian orang mempercayai bahwa matematika adalah ilmu yg abstrak dan karena definisi-definisi matematika tidak dapat direalisasika dalam kehidupan sehari-hari. Namun dari artikel ini kita bisa melihat bahwa banyak filsuf yang mempercayai matematika adalah ilmu yg paling relevan dgn filsafat, dan filsafat berhubungan dgn pikiran dan kehidupan sehingga matematika juga demikian. Contohnya di dalam pembelajaran, dengan menggunakan konsep matematika dalam proses pemecahan masalah, berarti kita telah membawa objek matematika ke dalam bentuk kegunaannya. Objek matematika ada di dalam pikiran, tapi menjadi komponen utama dalam berbagai aspek kehidupan.

  5. Arung Mega Ratna
    PPs PMC 2017

    Fondasi ontologis dalam matematika adalah matematika memang sejatinya membutuhkan kesadaran dan logika yang lebih oleh karena itu kesadaran dan logika harus sudah dilatih sejak sekarang agar kelak dapat berguna.

  6. Nama : Habibullah
    NIM : 17709251030
    Kelas : PM B (S2)

    Assalamualaikum wr.wb

    Menurut Suriasumantri (1998) Ontologi membahas tentang apa yang ingin kita ketahui, seberapa jauh kita ingin tahu atau dengan kata lain suatu pengkajian mengenai teori tentang “ada”. Dengan kita melakukan telaah ontologi maka secara tidak langsung akan menjawab pertanyaan-pertanyaan berupa “apakah objek ilmu yang akan ditelaah”, “bagaimana wujud yang hakiki dari objek tersebut”, dan “bagaimana hubungan antara objek tadi dengan daya tangkap manusia seperti berpikir, merasa, dan mengindera yang membuahkan pengetahuan”. Dengan demikian dapat simpulkan bahwa ontologi adalah bagian dari bidang filsafat yang mencoba mencari hakikat dari sesuatu. Pengertian ini menjadi luas dan dikaji secara tersendiri menurut lingkup cabang-cabang keilmuan tersendiri. Pengertian ontologi ini menjadi sangat bervariasi dan berubah sesuai dengan berjalannya waktu. Ontologi memberikan pengertian untuk penjelasan secara eksplisit dari konsep terhadap representasi pengetahuan pada sebuah dasar pengetahuan.

  7. Rahma Dewi Indrayanti
    PPS Pendidikan Matematika Kelas B

    Banyak pendapat tentang matematika dari para pakar. Yang selanjutkan dapat disimpulkan bahwa matematika dalam memandang harus realisme keberadaannya di dunia, matematika bukan aksioma tapi merupakan obyek, tetapi teori modern dalam filsafat matematika menyangkal pendapat itu tetapi ada beberapa teori cenderung untuk berfokus pada praktek matematika dan bertujuan untuk mendeskripsikan dan menganalisis kerja yang sebenarnya, dari matematikawan sebagai kelompok sosial.Ada juga yang mengatakan matematika merupakan ilmu kognitif, matematika fokus pada kognisi dan diterapkan ke dunia nyata.

  8. Gamarina Isti R
    Pendidkan Matematika Kelas B (Pascasarjana)

    Postingan ini membahas mengenai pandangan-pandangan para filsuf terhdap dasar ontologis matematika. Namun dari berbagai pendapat tersebut saya ingin mengomentari pendaat dari Leibniz yang menyatakan bahwa” the subject contains the predicate; therefore the truths of mathematical propositions are not based on eternal or idealized entities but based on their denial is logically impossible” Di mana kebenaran matematika tidak didasarkan ada entitas abadi. Sehingga kebenaran ini sejatinya memang harus selalu dibuktikan apakah segala teorema-teorema yang ada saling terhubung dan membentuk kebenaran matematika. Dalam pembelajaran biasanya siswa mengalami keseulitan dalam membuktikan kebenaran tersebut padahal hal ini dapat diminimalisasi dengan memulai menggunakan simbol perhitungan dan mencari hubungan antara logika-logika yang terbentuk.

  9. Gina Sasmita Pratama
    S2 P.Mat A 2017

    Ontologi membahas membahas tentang keberadaan sesuatu yang bersifat konkret. Ontologi matematika berarti membahas hakikat matematika itu sendiri. Berdasarkan postingan di atas, semua konsep matematika dirumuskan dalam bentuk konsep logis dan semua teorema matematika harus dikembangkan sebagai teorema logika. Sehingga, perlu berhermenutika untuk memahami ontologi matematika secara menyeluruh, terutama untuk para pakar matematika dan siapapun yang bergerak di bidang pendidikan matematika.

  10. Luthfi Nur Azizah
    PPS P.Mat A

    Ontologi sebagai salah satu kajian dalam filsafat membahas tentang keberadaan hal-hal yang bersifat konkret. Dalam pendidikan matematika, hal konkret tersebut merupakan segala aspek dalam proses pembelajaran matematika yang bersifat ada atau konkret. Menurut hemat saya, proses pembelajaran matematika memiliki beberapa hal yang bisa dijadikan contoh ontologi. Salah satunya yaitu pemanfaatan media pembelajaran matematika yang digunakan sebagai bahan pendamping sumber belajar untuk mengajarkan konsep matematika pada siswa.

  11. Putri Solekhah
    S2 Pend. Matematika A

    Assalamu'alaikum wr wb,

    Terdapat berbagai tokoh terkenal yang memiliki pandangan bersifat ontologies yakni Thales, Aristoteles dan Plato. Ontology matematika berusaha memahami dari kenyataan matematika. Dari beberapa pendapat filsuf mengenai ontology matematika, Ernest berpendapat bahwa aliran empiris memandang hakekat atau ontology matematika sebagai pengambilan kesimpulan berdasarkan langkah-langkah empiris. Yaitu dapat ditarik dua kesimpulan dari elegi ini yang pertama, pemahaman matematika mempunyai landasan secara empiris. Yang kedua, kebenaran matematika mempunyai pembenaran secara empiris yaitu diturunkan dari pengamatan terhadap benda-benda nyata atau konkret.

  12. Insan A N/PPs PmC 2017/17709251052

    Ontologi matematika berasal dari landasan berpikir subject matematika itu sendiri, bukan diluar object matematika. Ontologi matematika sering di empiriskan dengan objek konkret dalam matematika, sehingga dapat beraneka ragam macam ontology matematika. Sebagai contoh, pola matematika, berpikir matematis, media matematika adalah beberapa contoh ontology matematika.

  13. Arina Husna Zaini
    PEP S2 B
    Assalamualaikum Wr.Wb
    Berbagai pendapat disampaikan para ahli seperti plato, litlang, aristoteles, Leibniz dan Kant tentang ontology dari matematika itu sendiri. Berbagai pendapat tersebut tidak terlepas daeri latar belakang masing tokoh oleh karena itu dari berbagai pendapat tokoh tersebut tidak ada yang salah dan yang paling benar. Oleh karena itu, berdasarkan bacaan diatas kami mencoba memahami bahwa intologi matematika itu sendiri berkaitan dengan entitas matematika yang apa adanya. Dimanapun matematika itu baik di dalam kehidupan sehari-hari, sekolah, universitas ataupun yang lainnya matematika harus dirasakan ada dan nyata aplikasinya. Oleh karenanya pentingnya bagi kita untuk bisa mengkontekstualkan matematika yang salama ini sering dianggap abstrak. Terima Kasih.

  14. Latifah Fitriasari
    PM C

    Ontologi matematika adalah hakekat matematika, pondasi matematika yang berusaha memahami keseluruhan matematika secara mendalam. Dalam ontologi matematika ini terdapat dua aspek. Yaitu aspek ekstensi dan komprehensi. Ontologi matematika juga memuat hakikat matematika, pondasi matematika, intuisi matematika, dan kontradiksi dalam matematika. Matematika bersifat metodis, sistematis, koheren, rasional, komprehensif, radikal dan universal. Hal berarti bahwa matematika telah memenuhi aspek ontologi dalam filsafat ilmu

  15. Mariana Ramelan
    S2 Pend. Matematika C 2017

    Menurut referensi yang saya baca, Ontologi matematika adalah hakekat matematika, pondasi matematika yang berusaha memahami keseluruhan matematika secara mendalam, yaitu matematika yang mengada. Aliran Platonism, berpendapat bahwa hakekat matematika besasal dari kebenaran-kebenaran obyeknya. Menurutnya, obyek matematika berada dalam keadaan riil (nyata). Menurut aliran empirisme, hakekat matematika adalah pengambilan kesimpulan berdasarkan pengalaman. Ontologi matematika mencakup definisi matematika dengan prinsip Identitas (Marsigit, dkk: 2015).

  16. Muh Wildanul Firdaus
    Pendidikan matematika S2 kls C

    Matematika adalah pengetahuan paling jelas dari pengetahuan lainnya. Sebuah objek matematika abstrak dengan penalaran tentang idealisasi tersebut. Apa yang membedakan matematika dari yang lain adalah cabang dari logika. Obyek matematika adalah abstrak sehingga untuk memahami matematika kita harus memiliki intuisi dan kebenaran bahwa aksioma dan teorema dalam matematika adalah benar . Beberapa yang diberikan bukti tapi yang lain tidak bisa memberikan membuktikan jadi kita harus membayangkan bahwa bukti itu benar dan itu adalah abstrak tetapi logika dan dapat dianalisi.

  17. Nur Dwi Laili Kurniawati
    PPs Pendidikan Matematika C

    Menurut Kant, matematika adalah deskripsi ruang dan waktu. Konsep matematika hanya membutuhkan konsistensi diri, namun konstruksi konsep semacam itu melibatkan ruang yang memiliki struktur tertentu. Matematika murni pada dasarnya memang dibangun dengan kekonsistenan. Karena itulah dalam matemaika murni sesuatu itu benar jika dapat konsisten antara satu teorema dengan teorema lain. Tetapi matematika murni berbeda dengan matematika sekolah dimana dalam matematika sekolah tidak dapat terlepas dari ruang dan waktu.

  18. Ulivia Isnawati Kusuma
    PPs Pend Mat A 2017

    Ontologi merupakan hakikat dari sesuatu yang dapat diketahui atau hakikat dari suatu realitas. Secara lebih sederhana, ontologi dapat dikatakan mempertanyakan tentang hakikat suatu realitas, atau lebih konkret lagi. Maka ontologi mempertanyakan hakikat suatu fenomena. Sehingga ontologi dapat merupakan landasan ilmu yang menanyakan apa yang dikaji oleh pengetahuan dan biasanya berkaitan dengan alam kenyataan dan keberadaan. Sedangkan matematika menurut landasan ontologisnya merupakan metode, sistem, koheren, rasioanal, komprehensif, radikal, universal. Jadi untuk belajar matematika itu berawal dari sebuah fenomena, realitas yang kongkret untuk membentuk atau membangun sebuah konsep untuk dijadikan sebuah landasan.

  19. Novita Ayu Dewanti
    S2 PMat C 2017

    Dalam elegi tersebut membahas tentang ontology matematika. ontology merupakan ilmu tentanf yang ada. Sehingga ontology tersebut membahas tentnag kebenaran suatu fakta. Sedangkan kebenran matematika mempunyai landasan secara empiris. Kebenran empiris tersebut diturunkandari pengamatan terhadap benda benda konkret.

  20. Metia Novianti
    PPs P.Mat A

    Apa yang membedakan matematika dari yang lain adalah cabang dari logika. Obyek matematika adalah abstrak sehingga untuk memahami matematika kita harus memiliki intuisi dan kebenaran bahwa aksioma dan teorema dalam matematika adalah benar. Ontologi Matematika merupakan segala aspek yang ada dalam ilmu matematika yang bersifat kongkrit. Contoh dari ontologi matematika adalah segala sesuatu yang ada dalam matematika, seperti misalnya teorema-teorema. Teorema di dalam matematika akan dibuktikan secara logis, terstruktur, dan sistematis. Pembuktian teorema inilah yang merupakan salah satu contoh ontologi matematika.

  21. Kartika Pramudita
    PEP S2 B

    Seringkali beberapa teori berfokus pada praktek tentang matematika, sehingga landasan matematika sering tidak menjadi pembahasan. Pada elegi tersebut dijelaskan tentang dasar matematika dari banyak tokoh, tokoh empiris maupun tokoh logika. Untuk menetapkan dasar ontologis matematika, para ilmuwan mengungkapkan argumen masing-masing. plato berpendapat bahwa dasar dari matematika adalah dunia nyata dari obyek matematika sedangkan yang lain berpendapat bahwa dasar matematika hanya ada di dalam pikiran manusia.

  22. Fitri Ni'matul Maslahah
    PPs PM C

    Menukil pendapat dari Leibniz bahwa matemtika tidak hanya terkait pada aksiologi dari dunia yang ditemui melainkan terkait pula dengan dunia yang mungkin ada atau yang mungkin ditemui oleh anak. Sehingga guru sebaiknya dapat mengarahkan siswa agar mereka dapat berkembang dalam semua aspek kehidupan tidak hanya apa yang ada di depan matanya maupun yang ada id dalam buku yang dibacanya. Wallahu a'lam

  23. Nama: Dian Andarwati
    NIM: 17709251063
    Kelas: Pendidikan Matematika (S2) Kelas C

    Assalamu’alaikum. menurut ontologi dari fondasi matematika, keberadaan objek matematka yang terbebas dari manusia merupakan postulat. Litlang menunjukkan bahwa meskipun matematika mungkin tampak sebagai jenis pengetahuan paling jelas dan paling pasti yang kita miliki, ada masalah yang sama seriusnya dengan cabang filsafat lainnya. Litlangs mengklaim bahwa ada matematikawan yang menganggap matematika sebagai intuisi objek dan konstruksi non-perseptual. Menurut mereka, matematika secara introspektif terbukti dengan sendirinya dan dimulai dengan aktivitas pikiran yang berpindah dari satu hal ke hal lain namun tetap mengingat yang pertama sebagai bentuk kosong dari substratum umum dari semua gerakan semacam itu

  24. This comment has been removed by the author.

  25. Nama : Rosyita Anindyarini
    NIM : 17701251031
    Kelas : PEP B S2 2017

    Ontologi matematika berarti membahas tentang keberadaan matematika, dan lebih kepada hakikat matematika itu sendiri. Beberapa ahli memiliki pandangan yang berbeda tentang hal ini. Sebagian orang menganggap bahwa matematika adalah ilmu yg abstrak karena definisi-definisi matematika tidak dapat direalisasika dalam kehidupan sehari-hari. Sehingga penting bagi kita untuk bisa mengkontekstualkan matematika yang salama ini sering dianggap abstrak. Namun pendapat lain mengatakan bahwa matematika lah yang paling berkaitan erat dengan filsafat. Sehingga hermeneutika tentang ontologi matematika setiap orang memanglah berbeda dan perlu pembahasan lanjutan agar pemikiran dan landasan matematika yang sesungguhnya dapat ditemukan dan disatukan dalam sebuah pandangan yang sama.