## Apr 5, 2013

### Elegi Menggapai "Intuitionism as the Epistemological Foundation of Mathematics"

By Marsigit
Yogyakarta State University

The intuitionist school originated about 1908 with the Dutch mathematician L. C. J. Brouwer.

The intuitίonist thesis 1 is that mathematics is to be built solely by finite constructive methods οn the intuitively given sequence of natural numbers.

According to this view, then, at the very base οf mathe¬matics lies a primitive intuition, allied, nο doubt, to our temporal sense of before and after, which allows us to conceive a single object, then one more, then one more, and so οn endlessly.

Ιn this way 2 we obtain unending sequences, the best known of which is the sequence of natural numbers.

From this intuitive base of the sequence of natural numbers, any other mathematical object must be built in a purely constructive manner, employing a finite number of steps or operations.

Important notion is expounded by Soehakso RMJT (1989) that for Brouwer, the one and only sources of mathematical knowledge is the primordial intuition of the “two-oneness” in which the mind enables to behold mentally the falling apart of moments of life into two different parts, consider them as reunited, while remaining separated by time.

For Eves H. and Newsom C.V., the intuitionists held that an entity whose existence is to be proved must be shown to be constructible in a finite number of steps.

It 3 is not sufficient to show that the assumption of the entity's nonexistence leads to a contradiction; this means that many existence proofs found in current mathematics are not acceptable to the intuitionists in which an important instance of the intuitionists’4 insistence upοn constructive procedures is in the theory of sets.

For the intúitίonists , a set cannot be thought of as a ready-made collection, but must be considered as a 1aw by means of which the elements of the set can be constructed in a step-by-step fashion.

This concept of set rules out the possibility of such contradictory sets as "the set of all sets."

Another remarkable consequence 5 of the intuίtionists' is the insistence upοn finite constructibility, and this is the denial of the unίversal acceptance of the 1aw of excluded middle.

Ιn the Prίncίpia mathematica, the 1aw of excluded middle and the 1aw of contradiction are equivalent.

For the intuitionists 6, this situation nο longer prevails; for the intuitionists, the law of excluded middle holds for finite sets but should not be employed when dealing with infinite sets.

This state of affairs is blamed by Brouwer οn the sociological development of logic.

The laws of logίc emerged at a time in man's evolution when he had a good language for dealing with finite sets of phenomena.

Brouwer then later made the mistake of applying these laws to the infinite sets of mathematics, with the result that antinomies arose.

Again, Soehakso RMJT indicates that in intuistics mathematics, existence is synonymous with actual constructability or the possibility in principle at least, to carry out such a construction.

Hence the exigency of construction 7 holds for proofs as well as for definitions.

For example let a natural number n be defined by “n is greatest prime such that n-2 is also a prime, or n-1 if such a number does not exists”.

We do not know at present whether of pairs of prime p, p+2 is finite or infinite.

The intuitίonists 8 have succeeded in rebuilding large parts of present-day mathematics, including a theory of the continuum and a set theory, but there ίs a great deal that is still wanting.

So far, intuίtionist 9 mathematics has turned out to be considerably less powerful than classical mathematics, and in many ways it is much more complicated to develop.

This is the fault found with the intuίtionist 10 approach-too much that is dear to most mathematicians is sacrificed.

This sίtuation 11 may not exist forever, because there remains the possίbility of an intuίtionist reconstruction of classical mathematics carried out in a dίfferent and more successful way.

And meanwhile, in spite of present objections raised against the intuitionist thesis, it is generally conceded that its methods do not lead to contradictions. 12

References:
1 Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston, p.287-288
2Ibid.p.288
3Ibid.p.288
4 Ibid.p.288
5 Ibid.p.288
6 Ibid.p.289
7 Soehakso, RMJT, 1989, “Some Thought on Philosophy and Mathematics”, Yogyakarta: Regional Conference South East Asian Mathematical Society, p.26
8 Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston. P.289
9 Ibid.p.289
10 Ibid.p.289
11bid.p. 289
12Ibid.p,289

1. Erni Anitasari
16709251007
S2 Pend. Matematika Kelas A

Matematika itu dibangun melalui intuisi, sehingga penting untuk anak-anak diberikan pengalamn-pengalaman belajar matematika. Dengan adanya pengalaman-pengalaman tersebut maka akan terbentuk intuisi matematika. Semakin banyak pengalamannya maka akan semakin kuat pula intuisi matematikanya. Sehingga sangat penting dalam pembelajaran matematika di sekolah yang memperbanyak pembelajaran matematika yang memrikan banyak pengalaman belajar matematika pada siswa.

2. Arifta Nurjanah
16709251030
PPs P Mat B

Epistemologi berhubungan dengan metode atau bisa juga berhubungan dengan sumber-sumber. Maka landasan matematika secara epistemologi berarti terkait dengan penggunaan metode dan sumber-sumbernya. Menurut elegi ini, landasan matematika secara epistemologi ialah dengan menggunakan intuisi. Intuisi merupakan kemampuan memahami sesuatu tanpa melalui penalaran rasional dan intelektualitas. Pemahaman tersebut datang dengan sendirinya di luar kesadaran pemiliknya. Maka dengan intuisi ini, proses belajar matematika akan menjadi lebih mudah. Oleh karena itu, intuisi ini penting untuk dimiliki oleh siswa dan juga penting untuk dikembangkan di dalam pembelajaran sehingga dapat mendukung pembelajaran yang lebih kompleks.

3. This comment has been removed by the author.

4. Misnasanti
16709251011
PPs PMAT A 2016

Intuisi adalah dasar epistemology yang lain selain logika dalam pembelajaran matematika. Intuisi dapat digunakan sebagai dasar untuk belajar matematika. Intuisi membantu seseorang untuk membangun matematika karena matematika belajar dalam hidupnya tidak bisa ditegakkan. Oleh karena itu kita perlu intuisi untuk membantu kita belajar dalam kehidupan ini

5. Devi Anggriyani
16701251023
S2 PEP B 2016

Berdasarkan elegi diatas, matematika dibangun melalui intuisi sehingga penting untuk memberikan pengalaman-pengalaman belajar matematika. Intuisi merupakan kemampuan memahami sesuatu tanpa melalui penalaran rasional dan intelektualitas. Pemahaman tersebut datang di luar kesadaran. Oleh karena itu, intuisi harus dipancing untuk ditumbuhkan dalam pembelajaran matematika agar anak mampu berkembang dan berinovasi dengan matematika.

6. Fevi Rahmawati Suwanto
16709251005
PMat A / S2

Landasan matematika secara epistemologi ialah dengan menggunakan intuisi. Pembelajaran matematika pada anak-anak bukanlah dengan pendefinisian tetapi dengan menggunakan intuisi. Anak-anak tidak akan mengerti bahwa lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang membentuk garis pada bidang dalam jarak tertentu. Tetapi anak bisa memahami lingkaran dari jam berbentuk lingkaran, tempat makan berbentuk lingkaran, dan contoh lingkaran lainnya.

7. RAIZAL REZKY
16709251029
S2 P.MAT B 2016

secara epistemologi bahwa intusi berperan sebagai fundamen dari matematika itu sendiri karena tanpa adanya intuisi yang timbul maka apa yang ada pada matematika akan sangat sulit dipahami. Seperti apa yang dikemukakan I Kant pada elegi-elegi sebelumnya bahwa matematika itu haruslah bersifat Sintetik a Priori yang dibangun berdasarkan Intuisi. dan menurut Immanuel Kant matematika itu dibangun di atas intuisi murni yaitu intuisi ruang dan waktu dimana konsep-konsep matematika dapat dikonstruksi secara sintetis.

8. RAHMANITA SYAHDAN
16709251013
PPs Pmat A 2016

Bismillahirrahmanirrahim
Dalam jurnal Theologia Vol 25, No 1 (2014) dengan judul INTUISI SEBAGAI SUMBER PENGETAHUAN: Tinjauan terhadap Pandangan Filosof Islam, ditulis oleh Bambang Irawan. Beliau menuliskan, Ibn Sina menyebut intuisi dengan al-ḥads\ al-qudsī(intuisi suci). Berbeda dengan pengetahuan rasional, pengenalan intuitif disebut juga ḥuḍūrī, karena objek penelitiannya hadir dalam jiwa penelitinya, sehingga ia menjadi satu dan identik dengannya. Di sinilah hubungan antara subjek dan objek terjembatani sehingga tidak menimbulkam jurang atau jarak antara subjek dan objek. Karena kesatuan yang tercapai dalam modus pengetahuan intuitif antar subjek (al-'alim) dan objek (al-ma'lum), seseorang akan mengetahui secara langsung dan akrab dengan objek yang sedang ditelitinya tanpa melalui konsep-konsep atau representasi apapun.
Dalam kitabnya Nihāyah al-Ḥikmah dan Bidāyah al-Ḥikmah, Thabathabai banyak menjelaskan berbagai persoalan metafisik dan mengeksplorasi metode intuitif dalam memperoleh pengetahuan. Pembahasan-pembahasan yang dimaksud mencakup: ilmu ḥuḍūrī, ilmu badīhī, teori kesatuan subjek dan objek pengetahuan, eksistensi mental, emanasi, alam mis\āl, pengetahuan Tuhan.
Berkaitan dengan intuisi, yang lebih mendasar dan funda-mental dalam meraih hakikat pengetahuan adalah pensucian jiwa dan tazkiyah hati, dan bukan dengan analisa pikiran dan demonstrasi rasional. Para urafa dan sufi beranggapan bahwa segala penge-tahuan yang bersumber dari intuisi-intuisi, musyāhadah, dan mukasyafah lebih sesuai dengan kebenaran daripada ilmu-ilmu yang digali dari argumentasi-argumentasi rasional dan akal. Mereka menyatakan bahwa indera-indera manusia dan fakultas akalnya hanya menyentuh wilayah lahiriah alam dan manifestasi-manifestasi-Nya, namun manusia dapat berhubungan secara langsung (directly) dan intuitif dengan hakikat tunggal alam (baca: Sang Pencipta) melalui dimensi-dimensi batiniahnya sendiri dan hal ini akan sangat berpengaruh ketika manusia telah suci, lepas, dan jauh dari segala bentuk ikatan-ikatan dan ketergantungan-keter-gantungan lahiriah. Pengetahuan seperti ini tidak dapat disamakan dengan pengetahuan ḥuṣūlī yang bersumber dari suatu konsepsi-konsepsi rasional, melainkan suatu pengetahuan syuhūdī, intuisi, immediate (langsung), kehadiran, dan ḥuḍūrī.
Dengan demikian, intuisi bisa melengkapi pengetahuan rasional dan inderawi sebagai suatu kesatuan sumber ilmu yang dimiliki manusia, dan memberi banyak tambahan informasi yang lebih akrab dan partikular tentang sebuah objek dengan cara yang berbeda dengan yang ditempuh oleh akal maupun indera.

9. Rospala Hanisah Yukti Sari
16790251016
S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

Dari elegi di atas, intuisi matematika perlu dikembangkan dalam proses pembelajaran. Intuisi didapat dari pengalaman2. Sehingga, dari pengalaman tersebut, ketika diberikan suatu stimulus, maka siswa akan memberikan respon yang cepat. Semakin banyak pengalaman yang diberikan, maka tingkat akurasi dalam merespon semakin baik.
Namun, sistem pendidikan kapitalisme yang diterapkan di negeri ini, nyatanya pembelajaran sekarang cenderung kurang memperhatikan perkembangan intuisi siswa. Hal ini terlihat dari banyaknya mata pelajaran yang harus dikuasai siswa, dan guru mengejar target pencapaian standar kompetensi, dengan kurang memperhatikan kondisi psikologis siswa.

Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

10. Azwar Anwar
16709251038
Pendidikan Matematika S2 Kelas B 2016

Intiusi sebenarnya memegang peranan penting dalam pembelajaran Matematika. Intuisi membantu siswa dalam memahami Matematika. Selain itu, Intuisi membantu siswa dengan memberi dugaan-dugaan perkiraan dari permasalahan-permasalahan matematika. Menurut Kant matematika bisa menjadi ilmu bisa juga tidka. Matematika menjadi ilmu jika dibangun dengan intuisi. Jadi intuisi hakekatnya tidak lain dan tidak bukan adalah ruang dan waktu.

11. Fatya Azizah
16709251039
Pendidikan Matematika B PPS UNY 2016

This sίtuation 11 may not exist forever, because there remains the possίbility of an intuίtionist reconstruction of classical mathematics carried out in a dίfferent and more successful way.
berarti intuisi tidak bertahan selamanya karena mungkin saja terjadi rekonstruksi baru yang mngehasilkan intuisi yang berbeda dan lebih baik.

12. Nuha Fazlussalam
13301244023
s1 pendidkan matematika c 2013

intusi dalam matematika itu diperluka sebagai fondasi untukk membangun, sama halnya dengan sebuah pertanyaan, pertanyaan ada sebagi bentuk gerpang menuju sebuah ilmu pengetahuan, dan intuisi sebagai langkah awal untuk menuju ilmu pengetahuan khususnya dalam matematika.

13. Wan Denny Pramana Putra
16709251010
PPs Pendidikan Matematika A

Matematika didefinisikan oleh Brouwer sebagai aktifitas berpikir secara bebas, namun eksak, suatu aktivitas yang ditemukan dari intuisi pada suatu saat tertentu. Dalam pandangan intuisionisme tidak ada realisme terhadap objek-objek dan tidak ada bahasa yang menjembatani, sehingga bisa dikatakan tidak ada penentu kebenaran matematika diluar aktivitas berpikir.

14. Siti Mufidah
13301241036
Pendidikan Matematika A 2013

Elegi Menggapai "Intuitionism as the Epistemological Foundation of Mathematics", Pendekatan kontruktivisme adalah salah satu pendekatan untuk membangun pengetahuan matematika. Membangun pengetahuan siswa dapat dilakukan dengan siswa menyelesaikan masalah atau soal matematika di kelas. Selain itu, juga diperlukan adnya intuisi.Dalam mengerjakan soal latihan matematika diperlukan intuisi agar dapat menyelesaikan soal tersebut. Maka, dalam mengembangkan matematika diperlukan intuisi yang kita miliki. Terima kasih.

15. RISKA AYU ARDANI
16709251021
PMAT KELAS B PPS UNY 2016

Epistemologi berasal dari bahasa Yunani yaitu episteme dan logos. episteme berarti suatu pengetahuan dan logos berarti ilmu. Sehingga, epistemologi bisa diartikan sebagai suatu ilmu pengetahuan. Pengetahuan dan ilmu pengetahuan memiliki perbedaaan, pengetahuan merupakan suatu kata yang digunakan untuk menunjuk kepada apa yang diketahui oleh seseorang tentang sesuatu atau dengan kata lain pengetahuan hanya sekedar untuk diketahui. Sedangkan ilmu pengetahuan adalah proses pengkajian, analisa dan penyimpulan yang dilakukan terhadap pengetahuan tersebut.elanjutnya Epistemologi matematika berusaha menjelaskan tentang pengetahuan dalam matematika. Matematika kemudian dipandang sebagai suatu ide yang ada di dalam pikiran kita. Sehingga keberadaan yang sebenarnya dari matematika bersifat lebih abstrak

16. Erlinda Rahma Dewi
16709251006
S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

Intuisi pada hakekatnya sudah dimiliki oleh masing-masing individu sejak mereka dilahirkan. Begitu juga halnya pada siswa, siswa telah memiliki intuisi sebelumnya dan mereka menggunakan informasi yang ada dan dibutuhkan sebelum mencoba memecahkan suatu masalah. Intuisi diterima sebagai feeling individu yang tidak membutuhkan pembuktian lebih lanjut, yang perlu dilakukan adalah mengembangkan intuisi yang telah ada. Intuisi tidak membutuhkan jastifikasi atau pembenaran atas hasilnya. Intuisi akan muncul selama individu memiliki keinginan untuk melakukan sesuatu. Begitu juga halnya dalam pembelajaran matematika, intuisi siswa akan muncul selama berusaha keras untuk memahami dan memecahkan suatu masalah (materi). Intuisi juga berelasi erat dengan keyakinan, seseorang yang memiliki keyakinan kuat akan sesuatu, berarti intuisinya terhadap hal tersebut juga kuat.

17. Rhomiy Handican
16709251031
PPs Pendidikan Matematika B 2016

Berdasarkan elegi diatas kita bisa menangkap bahwa matematika berkembang atas dasar pengalaman, atau matematika dibangun melalui intuisi sehingga penting untuk memberikan pengalaman-pengalaman belajar matematika yang sesuai dengan tingkatan perkembangan siswa. Intuisi merupakan kemampuan memahami sesuatu tanpa melalui penalaran rasional dan intelektualitas dan yang menjadi pemahamannya adalah melalui pengalaman mencoba. Pemahaman tersebut datang di luar kesadaran. Oleh karena itu, intuisi harus dipancing untuk ditumbuhkan dalam pembelajaran matematika agar anak mampu berkembang dan berinovasi dengan matematika. dari pemikiran kant ini bisa kita jadikan referensi unutk sumber belajar metode atau model mengajar yang baik.

18. Ummi Santria
16709251008
S2 Pend. Mat Kelas A – 2016

Menurut intuisionisme, matematika pada dasarnya adalah suatu kegiatan konstruksi. Dalam matematika, intusionisme menjadi aktivitas mental manusia yang bermakna, sehingga juga dijadikan sumber-sumber matematika itu sendiri. Karena intusionisme adalah pondasionis dan absolutis yang berusaha mencari pondasi atau dasar yang kuat untuk pengetahuan matematika melalui pembuktian-pembuktian intusionistik dan “ur-intuition” (Kalmar, 1967). Sehingga intuisi akan sangat terkait dengan peranannya pada pembelajaran matematika. Hal tersebut dibutuhkan siswa dalam menemukan konsep matematika.

19. Nikma Husna
13301244024
Pendidikan Matematika C 2013
Menurut epistemologi, setiap pengetahuan siswa merupakan hasil dari pemeriksaan dan penyelidikan benda hingga akhirnya diketahui olehnya. Hal ini berarti epistemologi ini membahas sumber, proses, syarat, batas fasilitas, dan hakikat pengetahuan yang memberikan kepercayaan dan jaminan bagi guru bahwa ia memberikan kebenaran kepada murid-muridnya.

20. Nikma Husna
13301244024
Pendidikan Matematika C 2013
Dalam pembelajaran matematika, epistemologi dikaitkan dengan bagaimana metode mengajarkan matematika sehingga matematika itu menjadi mudah dipahami oleh siswa. Dalam hal ini dapat digunakan alat peraga sesuai dengan materi yang sedang diajarkan.

21. Nikma Husna
13301244024
Pendidikan Matematika C 2013
Epistemologi adalah nama lain dari logika material atau logika mayor yang membahas dari isi pikiran manusia, yaitu pengetahuan. Epistemologi merupakan studi tentang pengetahuan, bagaimana mengetahui benda-benda. Jadi dalam hal pendidikan matematika, epistemologi pendidikan matematika ialah logika pikiran manusia untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan seperti bagaimana siswa memperoleh pengetahuan matematikanya.

22. Andina Nurul Wahidah
16701251019
PEP-S2 Kelas B

Saya memahami makna intuisi secara sederhana, dari sumber yang saya dapatkan intuisi disebut juga sebagai ilham atau inspirasi. Meskipun pengetahuan intuisi hadir secara tiba-tiba, namun ia juga tidak terjadi kepada semua orang melainkan hanya jika seseorang tersebut sudah berpikir keras mengenai suatu masalah.
Epistemologi intuisi sendiri menganggap tidak hanya indera yang terbatas, akal juga terbatas. Oleh sebab itu intuisi dikembangkan sebagai salah satu kemampuan manusia.

23. Siska Nur Rahmawati
16701251028
PEP-B 2016

Intuisi memiliki peran penting untuk membangun pengetahuan matematika. Bagi anak, memang sulit untuk mengembangkan intuisi karena intuisi itu tidak diperoleh secara langsung melainkan dari pengalaman-pengalaman juga. Secara epistemologis, matematika perlu dibahas dengan menggunakan metode-metode khusus yang bisa mengembangkan intuisi sehingga konsep matematika mudah terbentuk.

marsigitina@yahoo.com, marsigitina@gmail.com, marsigit@uny.ac.id