Mar 9, 2013

Mathematics and Language 3

Edited by Marsigit
From Linked In

Doug Hainline:

Teachers who are themselves poor at mathematics will be poor teachers of mathematics. The best teachers of mathematics are confident about their mathematical abilities (with good reason), and enjoy mathematics.

They need not be mathematicians, but they should take pleasure in beautiful proofs and demonstrations, and in showing these to their students. They should be the kind of people who like to read popularized mathematics books, such as the kind the late Martin Gardner wrote, or that Ian Stewart or Keith Devlin write.

Of course, this is a counsel of perfection. We have to start where we are, and try to ensure, for the moment, that every child is exposed to at least one teacher like this in his or her first years of school, and that there is then some institutionalized path that children who become interested in mathematics can follow: Maths Clubs, for instance.

Of course, good teachers will know, and use, whatever mathematical abilities they discover latent in their students. But mathematics has to be taught. The idea that it is just lying, latent, in our pupils, is wrong (despite Socrates' famously, supposedly, demonstrating this the Meno).

Marsigit Dr MA :

@ Doug: Yes I agree that the teachers who are themselves poor at mathematics will be poor teachers of mathematics. Also I do agree that the best teachers of mathematics are confident about their mathematical abilities (with good reason), and enjoy mathematics.

By the way, I should be very careful with your term "beautiful proofs and demonstrations".

"Beautiful" proofs is your perception; but, your students may perceive that it is very "bad" proofs.

"Demonstrations" is your behave; but, what your students should behave?

"Showing the formula" is also your behave; and, it's a pity that your students just to look passively.

You seemed to force your life (math) to your students. From my perspective, it is dangerous for your students. So, again I have proved that the problems of math teaching are coming from the adults and not from the younger (students).

For me, the students need to learn mathematics; and not as your notion " But mathematics has to be taught". It is the students who NEED to learn math.

Your last notion indicate that your students are shadowed by your ambition to implant math to young generations.

For me, the younger students are free to learn; it is okay if they do not like math and they do not want to learn math. The problems, again, are not coming from the students but from the adults (teachers)

It is better if the students themselves (not the teacher) who claim beautiful math/formulas and demonstrate them to their mate or even to the teacher.

So, the problem is how the teacher are to facilitate their students in order to learn math happily.

David Reid:

Doug's point that school mathematics teachers need not be mathematicians is very realistic: most mathematics teachers never do any mathematics. Mathematicians rarely teach at the school level; most school mathematics teachers are only trained to apply mathematics, and after university they rarely do this beyond the level of school mathematics. However, loving mathematics is indeed a help, because a teacher who doesn't is likely to pass this dislike on to his/her students.

Marsigit has a point that beauty is in the eye of the beholder, and Doug's point that mathematical knowledge is not inborn is complementary to Marsigit's implicit point that the ability to find beauty in math is also not inborn. Alas, the world seems to be designing curricula which downplay or eliminate proof altogether, so that the student never gets much chance to judge whether he/she finds a proof beautiful. The reason is not only the tendency to teach what industry wants, but also that proof, when it was taught, has usually been taught in a way that led more to memorization that to thinking, especially with the school culture of learning for tests.

The dichotomy between teachers-teaching and students-learning is an artificial one: a student will not learn without being taught, and the teaching will be for naught if the students doesn't try to learn. There is effort needed on both sides. And it is an effort: we have to teach to the math-lovers, the math-indifferent, and the math-haters.

Marsigit is rather harsh on Doug, reading psychological tendencies between the lines that are not justified from the text: a rather strange practice for someone who is involved in mathematics, with its axiomatic method.

Marsigit accuses Doug of wishing to force mathematics on to students. This leads to the very thorny question as to how much mathematics, and which mathematics, is needed. Most of the students will not need more than a small percentage of the mathematics they need, whereas a small percentage of the students will need a large percentage of the mathematics. The problem is how to decide who will need what, and which mathematics to teach. Some school systems start splitting up the children according to ability and desire early in primary school, whereas most systems take the easy way out and teach everyone more or less the same mathematics. This is an unresolved problem, and I don't pretend to offer a solution here. But as long as the society requires the teaching/learning of more mathematics than most people need, then simply allowing the students to choose their own way of learning will not work, since most students will choose not to learn, due to a number of unfortunate factors. Therefore, although the word "facilitate" is now a very modish word in education, it is not clear what is really meant by it.
Doug Hainline :

 I'm not sure that I understand what Dr Marsigit is saying.

I have seen a fair amount of writing, among academics infected with the post-modernist disease, which seem at least congruent to some of the things Dr Marsigit seems to be advocating. I have to force myself to read these things.

What I believe is that there is an objective reality independent of human consciousness, that mathematical truths are absolute, that understanding them does not come easy to most people, but that it is worth understanding as much as you can. (Not so that your country's economy will grow faster, although that may be an outcome, but because expanding this sort of knowledge and ability is what it means to be human.)

I believe the truths of mathematics, and the skills involved in problem-solving and proofs, should be taught to all of our children, regardless of their wishes, until they become old enough to decide for themselves what they want to learn, which in our current culture is some time around 16 years of age.

How children learn the truths of mathematics and how they become, when they do, proficient mathematicians, is still an open question.
We as yet know little of how the brain works, and there are multiple ambiguities when it comes to discussing teaching and learning mathematics.

I favour Direct Instruction, including learning things by heart, as well as guided discovery and open-ended problems, collaborative learning, what have you. Whatever works, which may be different across cultures, and in any case has to be implemented by what are often very imperfect human agents and in social contexts which are not conducive to learning.

You can spend days reading about different approaches to teaching mathematics. I think many of these debates are sterile, and that the people who love to conduct them have little experience of actual classrooms.

The children we encounter there range from the highly intelligent, intellectually curious, across to those who are ... not. We have a duty to all of them.

I cannot see how any reasonable person would disagree with this.
David Reid :

I agree with the pedagogical side of Doug's last post. There are a couple of philosophical points about which his last line "I cannot see how any reasonable person would disagree with this " is unjustified. That is, he takes the side of Philosophical Materialism and the side of Classical Platonism. Whereas both of these sides have good arguments, so do their opposites, Philosophical Idealism and Neo-Formalism, respectively. (The "Neo-" is used to distinguish it from the Formalism of Hilbert's Program, which was discredited by the results of Kurt Gödel.)

Actually, most mathematicians and physicists take a golden mean between these extremes, since each extreme, while having their merits, also have their defaults. So, whatever your philosophical stance in these matters, it is simply not fair to say that your opponents are not reasonable. In any case, whichever your philosophical stance, it will not affect the pedagogical methods or aims below university level that Doug is discussing.
David Reid :

Dr. Marsigit, I am familiar with Prof. (emer.) Ernest's philosophy. On one side, any good logician (which Prof. Ernest studied for a while) or student of Model Theory clearly knows that mathematics rests upon the axioms chosen, that the axioms are chosen by human mathematicians, and that these mathematicians are a product of their genetic and social background. So far is obvious, and so I do not defend the straw man (Aunt Sally, if you are British) of naive mathematical absolutism that Prof. Ernest argues against.

On the other hand, the common misinterpretation of Prof. Ernest's social constructivism that mathematics depends entirely on social constructs is also flawed, since mathematics contains strong filters to restrict these choices. (Hence mathematics differs strongly from sociology.) In other words, given the infinite amount of mathematics possible, we choose part of it, but what is chosen would probably be found to be valid also by intelligent mathematicians from another planet. This is a far cry from the silliest social constructivism (not Prof. Ernest's, even though his theories easily give way to misinterpretation) which simply says that mathematics is invalid because it is a social construct.

In any case, the position that most practicing mathematicians adopt is somewhat in the middle between the naive absolutism and the extreme social constructivism which was so popular in the 1960's and 1970's. Unfortunately, it is not the more nuanced and realistic theories that are behind many of the theories of education which are practiced today because, as has been repeatedly pointed out, most teachers, as well as those who set the curricula or write the textbooks are not mathematicians. Nonetheless, most major theories -- social constructivism and others -- have yielded some good pedagogical practices (and, alas, a lot of rubbish as well), and one should take the best from each.

In general, the proof of the pudding is in the eating. Unfortunately, so far no one pedagogical theory has come up with a pudding worth eating, and so we will be depending on the ad hoc hybrids that characterize most education today -- including in those schools which give lip service to a singular concept but are then forced to alter these ideas in the face of the reality of the classroom.
Doug Hainline :

David: I agree absolutely with what you have said here, although I would be interested to learn more about the good pedagogical practices which have come from social constructivism. (I've recently been reading through back issues of Paul Ernest's journal, looking for useful work. I haven't found much yet, but I have not finished. I did come across an interesting piece on why we should teach logic along with mathematics, which, in the light of our discussion above, I thought made a lot of sense.)

I keep reading, from one side, that 'consructivism is a theory of learning, not of teaching'. I don't think it's even a theory, because it's not testable, but I have no objection to someone calling themselves a constructionist, if their kids learn maths.

I just want to see the evidence. I can well believe that some form of 'discovery-learning' by bright, motivated students under the guidance of a wise teacher, especially among older kids, can yield very good results. I think it's probably the best way to teach the last year or two of undergraduate maths (wasn't there a fellow named Moore at the University of Texas who did this -- his students were given proofs to do by themselves, as I recall, and became very good mathematicians as a result).

I doubt it works in inner-city classrooms among nine year olds. And I think there have been several meta-analyses of studies of 'constructivist' teaching vs 'direct instruction' which have shown that the former doesn't really get the results that the latter does.
Marsigit Dr MA :

@Reid: O yea great. I think Ernest's work is very great, because he produced something like a map of educational philosophy/ideology. I think you are very good reader of his works. Although, I still found that we have different interpretation of some of his points. I found that you still used a certain criteria from a certain dimension of life to judge the criteria from different dimension. It lead to a condition in which you seemed unfair in making some judgements.

In my point of view, your claimed that mathematics contains strong filters to restrict the choices based on the position of axiomatic mathematics. Again, in the case of younger learner, there are different world of life (learning math). There will be many mistakes if we judge them from the world of pure math. The young students do not learn the infinite amount of math possible. It is also not about the validity from other planet. The criteria for validity, truth, proof, construct, etc.are totally different. The children are the victims of naive absolutist who intervene much on the younger learner.
@Reid and Doug: I wish to argue the validity of the ground of pure math in developing school math curriculum and its textbooks. According to me, they are not accountable in doing so. I did not find any reason for pure math for their intervention in primary or secondary math teaching. It is clear that pure mathematicians will also teach pure mathematics to younger children. It is wrong. The younger learner must not learn pure mathematics. As Ebbutt and Straker (1995) suggested that the solution is that there should be School Mathematics i.e. mathematics that the student should learn.
David Reid :

For readability, I will make one post to answer Doug, and another to answer Marsigit. This one is addressed to Doug. You are referring to the late Prof. Robert Lee Moore, who developed a method which is still used in some universities in selected courses. A follower of the social constructivist school would have been proud to claim that Moore's method followed from social constructivism, but that would have been false; nor could it have, since there are important differences: the social constructivist would conclude that the students' final proofs would be valid proofs for that group, albeit perhaps not for another group.

That position, of course, would be rubbish, and this was not the position of Prof. Moore. However, there have been other spin-offs from social constructivism that are more worthwhile and not as naive. A good example is "Computer-supported collaborative learning" which is useful, for a couple of reasons. First, there is a trend in many Western secondary school classrooms for the students to think that the classroom is a chat room in which the teacher is just an annoying bit of noise that one can ignore most of the time.

However, these students are more willing to listen to one of their peers than the teacher. This is the "collaborative learning" part which is useful; in fact, I often use this trick: I get a student to say more or less the same that I would, but the students listen. In these cases I just insert necessary corrections or questions. Works like a charm. (Again, in secondary school. I haven't tried this in primary school.) Then, there is the computer part. Pupils above a certain age will more willingly listen to, and follow the instructions of, a computer than a human. (Some psychology student should do his doctoral thesis on this phenomenon.)

This is true even if the computer is just carrying a human's presentation. As well, then, an interactive computer lesson (once you figure out how to stop students from switching to Facebook) has other advantages, such as being able to have quick references. But apparently this method need not be reserved for undisciplined students: I have seen some research in South Korea (but I am afraid I cannot give you a reference at this moment) reporting some positive results from this method (although going under a different name, and practiced at university level). However, in South Korea the method was mixed with other methods, so the results were largely anecdotal. Nonetheless, I figure that this would have a place, not as the unique method of instruction, but as one element in a school mathematics program. That is, there is no reason not to mix this with the Direct Instruction method.
Finally, I fully agree that logic, when taught correctly (which it rarely is, in my view), should be taught at school level. Since we are in agreement, I will say no more in this post; however, I will comment a bit further on this in my post to Marsigit, since he does not agree.
David Reid :

To Dr. Marsigit: first, we must separate mathematics from mathematics education. As I pointed out in my post to Doug, Prof. Ernest's work has had some good spin-offs, even if indirect, for mathematics education. With respect to mathematics, his conclusions can be separated into two categories: the obvious ones about the limitations of mathematics, and the ones that are fuzzy enough to easily give rise to erroneous interpretations of the complex relationships between mathematics and society.

You refer to mathematics education, so I will say no more about his ideas on mathematics per se. Here, Prof. Ernest's main conclusion is that student's learning styles will depend on their respective social backgrounds, and that one must take this into consideration. I have taught in a large number of different cultures, and in each one I adapted my teaching style to the student's society's; even in a single school, my teaching styles for two different groups will usually differ. But this conclusion is not unique to the style of social constructivism espoused by the followers of Prof. Ernest.

Therefore Prof. Ernest's philosophy cannot always take credit for this conclusion. I understand what you mean when you say that the criteria for proof and truth are different in different environments. But you need to separate the ways of learning from mathematics per se. For mathematics per se, these criteria are not society-dependent, but the way a student to be convinced of something without formal proof is society-dependent.

The problem is that eventually the two concepts of truth and proof -- one subjective, one mathematical, need to eventually brought together. Students should eventually learn that their subjective ideas are not necessarily correct. I fully agree with you that one cannot start immediately in a topic in primary school with this synthesis, especially in primary school (and you seem to concentrate on primary education), as one needs to first appeal to their intuition. But even in primary school one can, little by little, impress upon the students that, whereas their intuitions are a useful starting point, and whereas one can develop this intuition quite a ways, one cannot always rely on intuition to take you where you want to go.

Mathematics partly uses intuition, but also partly uses methods which are no longer intuitive, nor which can be made to be so. It is especially important in secondary to get away from the pure subjective approach. This is also why pure mathematicians could be useful in organizing a curriculum -- both at primary and secondary level. An important aspect of mathematics which could be profitable for all students, regardless of their eventual professions, would be introducing concepts from logic, to help students think clearly. But not the formal notation of logic; rather the concepts. This can start in primary, and continue in secondary.

However, every time it has been introduced, it has been a fiasco, as most teachers below university level themselves do not have a clear idea of these concepts, and have made a mess of it. The solution has, alas, been to strip school mathematics of the very essence of mathematics, that of clear analysis. I am not sure what you consider pure mathematics, but at university level, pure mathematics includes Mathematical Logic, and some of the more useful and learnable aspects of Mathematical Logic would be more useful, if put into a form which students could understand and practice, than most of the formulas which are presently memorized by students.


  1. Yosepha Patricia Wua Laja
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Dalam mempelajari matematika guru perlu menyadari bahwa siswa tidak akan belajar tanpa diajarkan, dan ketika siswa tidak ada niat untuk belajar matematika maka pengajaran yang dilakukan guru akan sia-sia. Oleh karena itu, sebelum mempelajari matematika guru perlu mempersiapkan siswa sebaik mungkin sebelum mempelajari matematika apalagi mempelajari pembuktian dalam matematika. Ibarat seni, matematika itu indah. Ketika seseorang merasa perlu membuktikan sesuatu dan ternyata terbukti maka akan memberikan kepuasaan sendiri bagi orang tersebut.

  2. Wahyu Lestari
    PPS P.Mat D

    perubahan tentang pembelajaran dari tradisional menuju inovatif sangat diperlukan. Untuk dapat mewujudkan perubahan tersebut terdapat 2 hal pokok yang dapat menjadi dasar, yaitu accountability dan sustainability. Accountability yaitu terkait bagaimana seseorang agar dapat dipercaya. Sementara sustainability terkait dengan agar kepercayaan tersebut terus bertahan.

  3. Ardeniyansah
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Sebetulnya setiap guru memiliki potensi untuk berhasil menjalankan tugasnya sebagai agen pembelajaran yang handal, keberhasilan guru ini secara nyata dapat dilihat dari keberhasilan murid-murid ketika mengikuti proses dan mencapai tujuan pembelajaran seorang guru harus memiliki dua hal pokok, yaitu Accountability dan Sustainability. Keduanya sangat berhubungan erat dan tidah bisa dipisahkan. Accountability merupakan keadaan dimana seseorang dapat dipercaya, dalam hal ini adalah dipercaya untuk membagi ilmunya pada peserta didik. Accountability menimbulkan Sustainability, yaitu suatu kepercayaan yang dapat dijaga secara terus-menerus.

  4. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2

    Keyakianan seorang guru merupakan modal utama untuk menjalani profesinya. Dalam hal ini, keyakinan yang diharapkan dimiliki seorang guru adalah keyakinan terhadap bidang keahliannya, keyakinan mempelajarinya, dan keyakinan dalam mengajarkannya. Sebab dengan keyakinan ini, seorang guru akan termotivasi untuk meningkatkan kompetensi dan menyadari bahwa menjadi seorang guru bukan sebatas mentransfer ilmu namun lebih dari itu. Khususnya dalam bidang pendidikan matematika atau proses pembelajaran matematika, seorang guru matematika khususnya harus memiliki keyakinan dalam bidang matematika, setidaknya memiliki tiga keyakinan, yaitu : keykinan hakikat matematika, keyakinan belajar matematika dan keyakinan mengajar matematika.

  5. Komunikasi yang dilakukan dengan bahasa yang bukan bahasa asalnya akan mempunyai perbedaan pemahaman dan pengertian. Menurut saya matematika walaupun dari awal sekolah itu ada sampai nanti tetap akan diberikan kepada siswa dari sekolah dasar sampai tingkat tinggi, tetapi belum dianggap sebagai sesuatu yang sudah terterima. Matematika masih dianggap asing bagi siswa walaupun waktu belajarnya lebih dari mata pelajaran lain. Bahasa, istilah, pengrtian, notasi dalam matematika sangat asing untuk dimengerti oleh sebagian besar siswa apalagi dikuasai, hanya sebagian kecil siswa saja yang dapat mengikuti pembelajaran atau mengerti apa yang disampaikan atau sedang dipelajari. Matematika masih dianggap sebagai bahasa asing oleh sebagian besar siswa, sehingga sering terjadi kesulitan memahaminya.

  6. Hajarul Masi Hanifatur Rohman
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Seorang guru memang harus mutlak tahu tentang ilmu matematika, namun hal itu juga tidak menjamin bahwa guru tersebut mampu mengajarkan matematika kepada siswa yang nota bene adalah anak-anak. Pembelajaran matematika yang diperoleh seorang guru dalam bangku perkuliahan sangatlah berbeda dengan yang harus diajarkan kepada siswa. di perguruan tinggi, matematika yang diajarkan merupakan pure mathematics, sedangkan untuk anak sekolah yaitu matematika sekolah. Karenanya, guru juga harus menguasai teori-teori atau filsafat-filsafat pembelajaran matematika. filsafat pembelajaran matematika ada empat, yaitu mekanistik, strukturalistik, empiristik, dan realistik. dan diantara keempat filsafat pembelajaran matematika tersebut, yang paling dekat dengan siswa adalah realistik. yang mana memandang bahwa matematics is human life. Matematika itu dekat dengan kehidupan sehari-hari siswa. karena siswa mengambangkan pengetahuannya dengan menggunakan intuisi berdasarkan dengan apa yang dia amati, maka pembelajaran relistik ini sangat cocok untuk mereka.

  7. Windi Agustiar Basuki
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Diambil dari kuasi-empirisme, epistemologi fallibilist, termasuk pandangan bahwa pengetahuan dan konsep matematika berkembang dan berubah. Dasar pengetahuan matematika adalah pengetahuan linguistik, kesepakatan dan aturan; sedangkan bahasa adalah konstruksi sosial, Proses sosial interpersonal diperlukan untuk mengubah pengetahuan matematika subyektif individu, setelah publikasi, dalam menerima pengetahuan matematika secara objektif. Pengetahuan matematika baru yang dihasilkan dapat berupa pengetahuan subjektif ataupun objektif, dan memberi ciri khusus pada konstruktivisme sosial dengan menganggap keduanya merupakan bentuk pengetahuan, dan menghubungkan keduanya dalam siklus kreatif.

  8. Loviga Denny Pratama
    S2 P.Mat D

    Seorang guru matematika sebaiknya jangan memaksakan kehendaknya pada siswa untuk menyukai matematika. karena idealnya, tugas guru adalah menfasilitasi siswanya dalam kegiatan pembelajaran matematika. Selebihnya biarlah siswa yang menentukan sendiri apakah dia menyukai matematika atau tidak. Jika guru tetap bersikeras memaksa siswanya untuk menyukai matematika, hal tersebut malah membuat siswa menjadi tertekan. Hal tersebut juga dapat menghilangkan intuisi siswa itu dalam belajar matematika. Selain itu guru harus memperhitungkan bahwa pembelajaran di kelas, siswa bukanlah papan tulis kosong yang akan ditulisi sepenuhnya oleh guru. Siswa yang akan belajar memiliki berbagai level pemahaman (mengerti atau tidak mengerti) mengenai apa yang akan diajarkan. Siswa sudah memiliki pengetahuan sendiri mengenai segala sesuatu berdasarkan pengalaman belajar yang dialami sebelumnya.

  9. Saepul Watan
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Dari diskusi tersebut, bahwa seorang guru dengan kemampuan matematika yang baik sebenarnya dapat menjadi guru yang terbaik dalam kelas. Akan tetapi, mengajar adalah sebuah keterampilan, setiap guru memiliki pengalaman berbeda dalam memperoleh ilmu, baik itu diperkuliahan maupun ketika masih jadi siswa dan ketika menjadi guru di tempat lain misalnya. Semuanya itu akan dapat mempengaruhi bagaimana keterampilan guru dalam mengajar dikelas. Matematika adalah kegiatan pemecahan masalah; matematika adalah sarana komunikasi; matematika adalah pencarian dan hubungan; dan matematika adalah kegiatan penyidikan. Apapun itu matematika, akan tetapi yang terpenting yang menjadi dasar bagaimana praktek pengajaran guru dikelas adalah keyakinan guru itu sendiri dalam mengajarkan dan belajar matematika.

  10. Rahayu Pratiwi
    PPS PM-D 2016

    Seorang guru matematika sekolah dasar tidaklah harus mengusaia materi integral dan turunan yang akan dipelajari ketika di sekolah menengah ke atas. NAmun bagiamana membuat siswa belajar matematika dengan kesenangan. Teknik apa yang akan digunakan, materi yang harus mereka kuasai harus ‘dibungkus’ bagaimana agar mereka tertarik dan penasaran dengan ilmu pengetahuan baru tersebut. Oleh karena itu seorang pendidik matematika tidak harus menjadi matematikawan. Namun pendidik matematika harus menguasai materi yang akan diajarkannya kepada siswanya.

  11. Muh Ferry Irwansyah
    Pendidikan Matematika PPS UNY
    Kelas D
    Membelajarkan matematika pada tingkat sekolah dasar berbeda dengan cara membelajarkan tingkan perguruan tinggi. Metode yang digunakan untuk siswa SD dapat melalui pendekatan pada benda-benda konkret. Benda-benda konkret yang ada dilingkungan sekitar siswa akan memudahkan siswa untuk memahami konsep matematika yang bersifat abstrak. Jika seorang anak tidak suka matematika dan mereka tidak ingin belajar matematika, kemungkinan masalah ini berasal dari orang dewasa (guru). Jadi, hendaknya seorang guru dapat memfasilitasi siswanya untuk belajar matematika dengan senang hati. Sehingga pelan-pelan siswa akan mulai memahami dan mencintai belajar matematika.

  12. Lana Sugiarti
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Dalam mengajarkan matematika tentunya membutuhkan keterampilan. Seseorang yang kemampuan matematikanya baik belum tentu dapat mengajarkan matematika dengan benar. Mengajar merupakan suatu keterampilan. Untuk mendapatkan keterampilan itu tentunya perlu usaha yang terus – menerus dan kerja keras. Guru harus mampu membahasakan matematika dengan baik agar siswa menyukai matematika dan dapat belajar dengan baik. Penyampaian materi matematika yang abstrak menggunakan bahasa yang baik diharapkan akan mendorng siswa untuk lebig giat lagi dalam belajar matematika.

  13. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)
    Guru yang baik adalah guru yang mampu menunjukkan sumber-sumber belajar kepada siswanya. Apabila guru tidak mampu menunjukkan sumber-sumber belajar tersebut, maka guru tersebut dapat dikatakan tidak accountable. Seorang guru yang baik juga tidak boleh memaksakan kehendaknya pada siswa untuk menyukai matematika. Idealnya, tugas guru adalah menfasilitasi siswanya dalam kegiatan pembelajaran matematika. Selebihnya biarlah siswa yang menentukan sendiri apakah dia menyukai matematika atau tidak. Jika guru tetap bersikeras memaksa siswanya untuk menyukai matematika, hal tersebut malah membuat siswa menjadi tertekan. Hal tersebut juga dapat menghilangkan intuisi siswa itu dalam belajar matematika. Oleh karena itu, guru yang baik harus bijaksana dalam membimbing, mengarahkan, dan melayani siswanya. dengan begitu, ke depannya tidak ada lagi istilah paksaan dalam belajar matematika. Yang ada hanyalah siswa memiliki keinginan yang berasal dari diri mereka pribadi untuk senantiasa belajar matematika. Selain itu Untuk memenuhi tuntutan zaman, seorang guru harus memiliki dua hal pokok, yaitu Accountability dan Sustainability. Keduanya sangat berhubungan erat dan tidah bisa dipisahkan. Accountability merupakan keadaan dimana seseorang dapat dipercaya, dalam hal ini adalah dipercaya untuk membagi ilmunya pada peserta didik. Accountability menimbulkan Sustainability, yaitu suatu kepercayaan yang dapat dijaga secara terus-menerus. Hal inilah yang belum ada dalam pendidikan kita. Guru atau pendidik hanyalah sebagai lebel dalam pekerjaan. Sedangkan kualitasnya tergantung kepentingan. Artinya, apabila guru mempunyai suatu kepentingan (naik jabatan) maka proses belajar akan dibuat sebaik mungkin. Tapi, itu tidak akan bertahan lama. Semua itu karena mereka masih beranggapan bahwa profesi sebagai pendidik bukanlah sebuah hobi, tapi sebuah kepentingan.

  14. Ratih Eka Safitri
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Matematika sebagian menggunakan intuisi, tetapi juga sebagian menggunakan metode yang tidak lagi intuitif, atau yang dapat dibuat menjadi begitu. Hal ini terutama penting dalam sekunder untuk menjauh dari pendekatan subjektif murni. Ini juga mengapa matematika murni dapat berguna dalam mengatur kurikulum - baik di tingkat primer dan sekunder. Sebuah aspek penting dari matematika yang bisa menguntungkan bagi semua siswa, terlepas dari profesi akhirnya mereka, akan memperkenalkan konsep dari logika, untuk membantu siswa berpikir jernih. Tapi tidak notasi formal logika; bukan konsep. Hal ini dapat dimulai pada primer, dan terus di sekunder.

  15. Ahmad Wafa Nizami
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Mungkin dapat saya katakan bahwa guru sekrang ini harus menjadi AOC kepanjangan dari agent of change, agen pembawa perubahan untuk sekarang ini, dan juga karena guru adalah pembawa perubahan artinya guru juga harus menjadi tanggung jawab yang sangat besar yaitu mencerdaskan anak bangsa. Dalam pembelajaran matematika juga guru harus memanag benar-benar menjelaskan karena siswa kita tidak akan mungkin paham sebelum di jelaskan walaupun ada siswa yang juga sudah ada yangmengerti sebelum di jelaskan. Karena pasti ada siswa yang males dan ada siswa yang rajin.

  16. Heni Lilia Dewi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Kemampuan matematika memang menjadi bekal guru dalam membelajarkan matematika. Jika guru saja tidak memahami materi, bagaimana dia akan menjadi guru matematika. Namun yang perlu digarisbawahi, sebenar-benar kecantikan matematika adalah kecantikan yang dirasakan oleh siswa. Jika kecantikan dipandang dari guru, maka ini sebenarnya adalah ambisi dari guru. Sedangkan matematika itu perlu dipikirkan, sehingga siswa bisa mengklaim bahwa rumus dan materi itu menyenangkan bagi siswa. Ini yang menjadi PR besar bagi para guru untuk membuat siswa bahagia dalam belajar matematika.

  17. Annisa Hasanah
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Untuk memenuhi tuntutan zaman, seorang guru harus memiliki dua hal pokok, yaitu Accountability dan Sustainability. Keduanya sangat berhubungan erat dan tidah bisa dipisahkan. Accountability merupakan keadaan dimana seseorang dapat dipercaya, dalam hal ini adalah dipercaya untuk membagi ilmunya pada peserta didik. Accountability menimbulkan Sustainability, yaitu suatu kepercayaan yang dapat dijaga secara terus-menerus. Hal inilah yang belum ada dalam pendidikan kita. Guru atau pendidik hanyalah sebagai lebel dalam pekerjaan. Sedangkan kualitasnya tergantung kepentingan. Artinya, apabila guru mempunyai suatu kepentingan (naik jabatan) maka proses belajar akan dibuat sebaik mungkin. Tapi, itu tidak akan bertahan lama. Semua itu karena mereka masih beranggapan bahwa profesi sebagai pendidik bukanlah sebuah hobi, tapi sebuah kepentingan. Semoga bermanfaat.

  18. Sylviyani Hardiarti
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Pembelajaran bukanlah “transfer of knowledge” tapi “bagaimana siswa membangun pengetahuannya dengan fasilitasi dari guru”. Tapi di lapangan, beberapa guru masih menerapkan pembelajaran yang bersifat “transfer of knowledge”. Perubahan paradigma pembelajaran dari transfer of knowledge menuju pembelajaran yang kreatif dan inovatif sangat diperlukan. Untuk dapat mewujudkan perubahan tersebut terdapat 2 hal pokok yang dapat menjadi dasar, yaitu accountability dan sustainability. Accountability yaitu terkait bagaimana seorang guru agar dapat dipercaya. Sementara sustainability terkait dengan agar kepercayaan tersebut terus bertahan.

  19. Helva Elentriana
    PPS Pend Matematika Kelas D 2016

    Pada sumber di atas dijelaskan bahwa guru yang kemampuan matematisnya kurang akan kurang bagus juga kualitas gurunya. Guru harus berusaha menunjukkan kepada siswa bahwa matematika itu tidak sesulit yang mereka bayangkan. Guru harus menunjukkan bahwa matematika dapat dibuat menyenangkan seperti pelajaran yang lain. Karena di lapangan dalam persepsi siswa bahwa matematika itu pelajaran yang sulit dan membosankan. Bagaimana caranya guru dapat mengubah persepsi tersebut.

  20. Lihar Raudina Izzati
    P. Mat C 2016 PPs UNY

    Guru memegang berbagai keyakinan yang mempengaruhi sikap dan perilaku mereka di dalam kelas. Keyakinan ini sering melibatkan asumsi tersirat tentang siswa, pembelajaran, materi yang akan diajarkan, dan organisasi kelas dan beragam persepsi tentang efikasi diri, sikap subjektif mengenai konten pengetahuan, dan bagaimana hal itu dapat diajarkan secara efektif. Keyakinan guru sering mempengaruhi interaksi antara guru dan siswa serta perencanaan pembelajaran. Keyakinan guru tentang materi pelajaran terlihat dalam pembelajaran di kelas.

  21. Desy Dwi Frimadani
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Bahasa sebagai sarana komunikasi, dalam hal matematika sarana komunikasi matematis yang dilakukan guru dan siswa. Komunikasi ideal yang diharapkan tentu saja adalah membuat siswa tidak hanya megerti materi matematika namun lebih jauh lagi, siswa diharapkan dapat menemukan pengetahuan matematikanya sendiri. Peran guru sebagai fasilitato hharus ditingkatkan kemampuan komunikasinya. Dalam mencapai tujuan agar siswa menyuaki matematika, guru seharusnya memberikan contoh yang baik namun wajar dalam pemberian motivasi dan pendekatan personal.

  22. Primaningtyas Nur Arifah
    Pend. Matematika S2 kelas C 2016
    Assalamu’alaikum. untuk mengubah paradigma pembelajaran guru dari pembelajaran tradisional ke pembelajaran inovative maka guru perlu menyadari bahwa siswa harus merasa membutuhkan matematika. keindahan matematika perlu dirasakan oleh siswa, sehingga rasa ingin tahu dan keinginan untuk memecahkan masalah pada diri siswa dapat tumbuh. Jika rasa ingin tahu itu ada maka siswa akan termotivasi belajar matematika.

  23. Ahmad Bahauddin
    PPs P.Mat C 2016

    Assalamualaikum warohmatullahi wabarokatuh.
    Mempelajari matematika sebagian menggunakan intuisi, sebagian lagi tidak dengan intuisi. Sehingga perlu menguasai keduanya. Namun sebelum menuju ke intuisi atau non intuisi, kita harus melalui bahasa terlebih dahulu. Dalam tulisan ini, yang lebih banyak dibahas adalah landasan filosofi dalam belajar dan pengajaran matematika dari pada penggunaan bahasa. Namun sempat juga disinggung mengenai pendapat Ernest yang memetakan landasan filosofi matematika, dan pendidikan matematika. Dalam pendapat ernest sendiri ia menempatkan linguistik sebagai salah satu landasan atau pilar dalam mempelajari matematika.

    PPS-MAT D 2016
    Ada tiga tugas guru sebagai profesi, yakni mendidik, mengajar, dan melatih. Sebagai guru tidaklah cukup hanya menjejalkan materi pelajaran kepada anak didiknya. Pengertian mendidik adalah meneruskan dan mengembangkan nilai-nilai hidup, sedangkan mengajar adalah meneruskan dan mengembangkan ilmu pengetahuan. Bagaimana pengertian melatih? Melatih berarti mengembangkan keterampilan-keterampilan untuk kehidupan anak didiknya. Untuk dapat melaksanakan tugas dan tanggung jawab profesi guru untuk mendidik, mengajar, dan melatih guru dituntut memiliki beberapa kompetensi tertentu. Kompetensi diartikan sebagai kemampuan atau kecakapan.

    PPS-MAT D 2016
    Agar proses pembelajaran matematika berkualitas, maka diperlukan sosok guru yang profesional dalam semua aspek, baik keilmuan maupun sikap dan perilaku. Hal ini diharapkan melahirkan sosok guru ideal sehingga mampu mengantarkan peserta didik mencapai kompetensi matematika sebagai pengetahuan maupun sikap sehingga bisa diterapkan dalam kehidupannya sehari-hari. Identifikasi tentang sosok guru matematika profesioanl terangkum dalam empat komponen profesional di berbagai aspek : pengetahuan dan pendidikan matematika, perencanaan dan pelaksanaan pembelajaran, profesi kependidikan matematika, dan stabilitas pribadi.

  26. Wahyu Berti Rahmantiwi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Guru yang baik ialah guru yang menghargai proses yang dilakukan siswa dan bukan hanya menghargai hasil yang diperoleh siswa. Siswa yang pandai berasal dari guru yang pandai pula begitu pula untuk siswa yang kurang pandai pasti dibaliknya ada guru yang kurang memperhatikan kemampuan siswa-siswanya dikelas. Setiap siswa mempunyai kemampuan yang berbeda-beda dengan demikian guru harus benar-benar mengerti karakteristik siswanya masing-masing. Jangan pernah memberikan rumus tanpa pembuktian atau perolehan rumus tersebut kepada siswa tanpa siswa berdiskusi terlebih dahulu karena hanya akan membuat siswa pasif. Sehingga yang benar-benar diperhatikan guru dalam proses pembelajaran ialah bagaimana guru memfasilitasi siswa agar dapat belajar matematika dengan menyenangkan.

  27. Syahlan Romadon
    PM C 2016 / 16709251047

    Guru matematika memang harus menguasai ilmu matematika yang akan digunakan pada pembelajaran. Mengapa? Guru matematika yang tidak menguasai materi matematika tidak akan mampu untuk menjadi fasilitator dengan maksimal. Namun hal ini tiak berarti guru matematika menggunakan matematika murni dalam pembelajaran. Matematika murni berbeda dengan matematika sekolah. Jadi, dalam pembelajaran, guru harus menggunakan pandangan matematika sekolah, yang mana salah satunya berarti bahwa memandang matematika sebagai suatu aktivitas.

  28. Ujang Herlan Permana
    S1 Pendidikan Matematika I 2014

    Sebagai seorang pendidik yang akan mengajarkan materi kepada siswa dengan cara memfasilitasi siswa untuk mengonstruk pengetahuannya, guru juga harus siap materi pengajarannya guru diharapkan mampu menguasai materi yang akan diajarkan sehingga ketika siswa bertanya kepada guru, guru dapat dengan percaya diri menjawab pertanyaannya sehingga dapat tercapai seorang guru yang accountabilitas atau dapat dipercaya karena menguasai materi yang diajarkan.

  29. Fatmawati
    PM.D 2016
    Dalam membuat kebijakan di dunia pendidikan, terutama dalam pendidikan matematika, hendaknya para matematikawan murni tidak terlalu ikut campur dalam hal tersebut, karena matematika murni memiliki ranah berbeda dengan matematika pendidikan atau matematika sekolah. Yang akan dipelajari para siswa adalah matematika sekolah bukan matematika murni. Maka guru haru mampu memilah materi mana yang sesuai dan dapat dimengerti siswa.

    16709251056_PMC 2016
    Pendidikan Matematika-S2

    Yang harus digarisbawahi adalah guru dengan kemampuan matematika yang baik akan menjadi guru yang hebat. Namun mengajar juga merupakan sebuah keterampilan, maka guru akan berusaha mengolah matematika itu menjadi lebih mudah dan menyenangkan untuk dipelajari oleh siswa. Karena sesungguhnya matematika adalah sebuah pemecahan masalah dan aktivitas menemukan.

  31. Kunny Kunhertanti
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Kemampuan memang tidak bisa disamakan dalam masing-masing orang, dengan ini khususnya matematika. Memang matematika memiliki peran yang penting apalagi dalam logika pemecahan masalahannya yang bisa digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Namun jika melihat kemampuan orang yang berbeda-beda maka tidak bisa memaksakan setiap individu untuk mampu dalam hal yang tidak sesuai dengan kemampuannya. Sehingga dalam pembelajaran matematika di dalam kelas pun harus adil bagi para siswanya.

  32. Sehar Trihatun
    S2 Pend. Mat Kelas C – 2016

    Matematika murni berbeda dengan matematika sekolah, apa yang siswa pelajari bukanlah matematika murni seperti yang dipelajari oleh para matematikawan. Pemikiran siswa mengenai matematika tidak akan sampai pada pemahaman matematika murni yang sangat abstrak. Oleh karena itu, matematika yang dipelajari siswa terutama siswa-siswa yang berada di sekolah dasar dan menengah bukanlah matematika murni, melainkan matematika sekolah yang dapat dipelajari sesuai dengan tingkat perkembangan mereka.

  33. Cendekia Ad Dien
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Tak jarang ditemui siswa masih merasa kesulitan menggunakan simbol-simbol matematika karena simbol tersebut dianggap abstrak seperti yang digunakan oleh kaum pure mathematics sehingga membuat siswa kurang menjadi tertarik dan termotivasi dalam belajar matematika. Oleh karena itu, untuk membelajarkan simbol-simbol tersebut kepada siswa dengan cara yang menarik adalah dengan memandang matematika sebagai school mathematics yang dekat dengan keseharian siswa bukan matematika murni.