Mar 22, 2013

Mathematics and Language 13

 Irene: I have a hypothesis -- just barely a hypothesis -- about "scientific" and "mathematical" language -- really, about any unfamiliar vocabulary. Maybe it's relevant to your case.

I believe -- tentatively, subject to refutation by empirical evidence -- that when we are learning a new subject, that it is advantageous if the vocabulary we use to speak about it is not new to us.

That is to say, that the words we will be learning are ones we have have often heard before, without having learned exactly what they mean. I believe that if you are having to become familiar with a new word at the same time that you are learning about the concept it stands for, your brain gets hung up on the new word and this prevents you from assimilating the concept. (This is not put very elegantly.)

An example: I believe that if you are going to study trigonometry at, say, 13, then at about 10 or 11, you should start hearing the words "sine", "cosine" and "tangent", in relation to triangles. You need not learn what they "mean" at this age, just that they are properties of an angle, in certain circumstances.

I believe that then, when you start learning what these words actually mean, how we may use them in mathematical problems, it will be significantly easier for you.

I know of no experimental evidence for this, and have never read of any research that addresses it (although there may well be some). It's just a hypothesis, based on my own (subjective, limited, selective) experience as both a tutor, and a learner. If it's true, I would expect that there is a neurological explanation, although perhaps beyond our current ability to isolate.

I believe that this is generally how we come to understand word meanings, as children. First we hear the word used, without understanding it. Then, as we hear examples of the word being used, we gradually come to that state we call "knowing the meaning". Very seldom is a word formally defined to us the first time we hear it, and almost never is it defined in the kind of emotional context that mathematical terms are usually presented in (which, for most children, is not a pleasant one).

I know also that mathematical terms are not necessarily like other words, in terms of there being a formal, precise quality to their proper use.

I would be very interested in others' comments on this, and in particular would appreciate hearing of any references to any relevant research (which does not necessarily have to be in the area of mathematics education).

@Doug: Just very small question:How you may define the meaning of BIG, SMALL, NEAR, FAR, LOW, HIGH, WIDE, MANY, FEW, NUMBER, PART, ...etc.

What is a number, that a man may know it, and a man, that he may know a number?

Look... a BIG tiger is coming NEAR. We had better get FAR away. (Except for those who believe reality is socially-constructed. They can remain.)

But I am stumped as to the definition of "etc".
And even if we all spoke Lojban, we would still have the "gavagai" problem.

When I was about 14 I discovered, like a host of similar teenagers before and after, the obnoxious pleasures to be found in asking people to "define their terms". When they tried to do so, they simply gave me targets for the Forward Observer's favorite command: "repeat!". Eventually I tired of this and went on to the delights of demanding a refutation of solipsism, or disproof of the no-free-will argument. Every child should do this!

But when we become adults, we should put aside childish things. If we wish to establish arithmetic on an axiomatic basis, a useful exercise, we will have to leave "zero", "successor", and "number" undefined, if we are not to have an infinite regress. A set is a collection and a collection is ....

This does not mean we should not seek to define, or at least clarify, our terms! Nor is it useless to follow arguments to their remorselessly 'logical' conclusions, beginning with Locke and ending with Hume.

By all means, awaken the dogmatic slumberers! But then we should agree with Hume that, although irrefutable, his scheme makes no practical difference in our daily lives.

While we teach children the truths of mathematics, we should also -- and not only in the mathematics classroom -- be teaching them how to think.

Does 1 + 1 = 2? Yes, in number bases higher than binary, and with a certain interpretation of the Hindu-Arabic numerals, but in binary 1 + 1 = 10. And of course, numbers are abstractions. In real life, we need to learn when to apply which set of abstractions. 55/10 is 5.5, but if I want to know how many ten-passenger mini-vans to hire to transport 55 pupils, 5.5 is not an answer. And 4/10 + 5/10 is 9/10 in some circumstances, and 9/20 in others.

Ideally, we should, in a sense, be teaching our children 'philosophy'. Their thinking should be flexible enough so that the mind-boggling results of assuming that the speed of light is a constant for all observers, will not boggle their minds, nor will the yet more mind-boggling results of our investigations of the world of electrons and photons.

If you can do that, well, te salud. For the time being, I'll settle for kids who know their times tables and can solve the sort of word problems that are routine for kids in Singapore. Perhaps a bit of Korzybski, so that they are not tangled up in metaphysical knots when faced with a question like "Is 4/3 a division, or is it a fraction?" (Hint: rephrase your question without using any form of the "to be" verb.)

But just as Donald Rumsfeld noted that "You go to war with the army you have," we have to teach mathematics with the teachers we have. We cannot jump over our own heads, and we cannot expect Mrs Smith who has been teaching 4th grade for the last 25 years, to take on board the sort of conceptual apparatus that would equip children for an easy acceptance of relativistic non-deterministic physics,

Some attention to our language, and even to the symbols we use for teaching mathematics, is, in my opinion, warranted, as is the encouragement of genuine critical thinking.

I think we could do more and better than we now do, in teaching children about what we have learned so far == so slowly and painfully! -- of the world and how it works.

But this assumes that what we have learned so far is worth teaching.

Many children know the numbers without knowing that they are “numbers”; because in my language they are called “bilangan”. They do not need definition to know the concept of Number, Big, Near, etc. You did exactly the same with the younger learner to know them.

You memorize well your age 14; but I believe you cannot memorize your age 3. Still my questions how you may be able to know the concept of Big, Near, Far, Two, ..etc at your age 3? I hope my questions lead you to go deep into the endlessly state of knowing activities.

And, I am happy that you strived to go to your childish in order to remember how to know the very basic concept of mathematics i.e. concrete mathematics. Again, that is exactly the same with what the younger learner in striving to know mathematics.

If I continue this story, I believe I will not find the term “adult”; so there is no choice for you to go to younger world if you want to introduce your mathematics. And you did the simulation very well. If you do not mind I wish to call your simulation as “developing younger mathematics intuition”. I do agree to apply your statement “Every child should do this!” to this context.

The next is how to implement or follow up your simulation to your real world in which now you are as an adult who wish to interact with younger learner?

At the realm of infinite regress, more than your stumping of definition of “etc”; I challenge you or any other scientist to define “is”?

Still in the realm of infinite regress, when you become adults there will be new younger generations. It will be irresponsible behavior when then you pu aside the childish world. As an adults you should have your responsibility not to throw away undefined “zero”, “successor” and “number”; but to make them meaningful for your younger generation.

You seemed to be the victim of your older generation by repeating to fulfill their commands. And here, I do not agree with your statement that every child should do like you.

By the way, I spy that you are still confuse with the nature of Socio-constructivist. You seemed to mean this as thinking together. However, I will not elaborate it more due there are too many related references.

I wish to say that different perspectives have their different aspect of life. While I found that to some extent you still use your adults’ criteria to judge the younger life by trying to teach mathematical Truth to them. In my perspective, mathematics for the young learner is not about Body of Truth, Science of Truth or Structure of Truth, rather they are searching the pattern, relationship; solving the problems, investigating activities and doing communications.

If the Pope of Franciscus said “Protect all people especially the pure”; I will say “Protect all people especially the younger/powerless from the adults/powerful misbehavior”. Teaching cannot totally be compared with soldiers going to war. No, no way; because there is no enemy outside there but clearly the biggest enemy is inside the adults-powerful-self ego-pure mathematicians-determined teachers.

I prefer to compare teaching with the farmer’s growing the seeds. Critical thinking can only be performed if they are free to think and free to grow.


  1. Yosepha Patricia Wua Laja
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Sebagai guru, bukan hanya terbatas pada mentransfer ilmu tapi bagaimana siswa tersebut mengkonstruk pikiran mereka sendiri untuk memahami hal-hal yang abstrak. Bilangan 2 itu hanya ada dalam pikiran kita, tapi bagaimana caranya siswa memahami bilangan 2 itulah yang perlu diberi perhatian lebih. Misalkan dua orang saling berhadapan, mulanya siswa menggunakan gambar yang menunjukan dua orang, kemudian menggunakan ikon seperti mengandaikan dua orang itu dengan ikon kotak, kemudian mengunakan simbol dua dengan 2. Hingga anak paham bilangan dua secara konkret seperti apa.

  2. This comment has been removed by the author.

  3. Ardeniyansah
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Pelajaran matematika yang menjadi salah satu mata pelajaran yang dianggap sulit oleh siswa. Semua mata pelajaran membutuhkan pemahaman konsep materi pelajaran bahkan konsep merupakan pondasi utama dalam memahamami tiap materi khususnya matematika dalam menjalankan kegiatan pembelajaran matematika guru hendaknya memperhatikan beberapa aspek yang harus didapatkan oleh siswa perlu mendapatkan pengalaman dalam mempelajari matematika.

  4. Supriadi / 16709251048
    Kelas C 2016 Pendidikan matematika – S2

    Dalam Kehidupan sehari-hari, tidak bisa dilepaskan dari permasalahan matematika. Dimana hampir semua permasalahan dalam kehidupan ini bisa dimodelkan dalam bentuk matematika. Matematika mengandung berbagai unsur dari yang menjadi kesepakatan bersama, sesuatu yang dapat dibuktikan sampai yang tidak perlu pembuktian karena diterima sebagai suatu kebenaran dan bersifat umum. Tetapi apabila yang matematika seperti langsung dijelaskan oleh guru pada siswa baik itu di tingkat menengah lebih-lebih di tingkat dasar bukannya membentuk konsep matematika yang baik dalam pemikiran siswa malah membuat siswa tidak tertarik dengan matematika. Oleh karena itu pembelajaran matematika pada anak adalah dimulai dengan hal-hal yang situasional dan kontekstual sehingga dengan pembelajaran yang situasional dan kontekstual tersebut dapat membantu anak menanamkan suatu konsep matematika yang bersifat abstrak ke dalam alam pikir mereka. Jika kita perhatikan anak-anak yang duduk di bangku sekolah dasar, mereka lebih senang belajar matematika daripada mata pelajaran lainnya. Disebabkan pembelajaran matematika pada sekolah dasar masih menggunakan pendekatan kehidupan sehari-hari yang bisa dirasakan dan dilihat langsung oleh siswa. Hal ini menunjukkan bahwa matematika erat dengan kehidupan sehari-hari.

  5. Bahasa sebagai alat komunikasi dapat memudahkan untuk memahami matematika. Dengan bahasa maka konsep-konsep matematika dapat disampaikan. Bahasa (baca, istilah, pengertian, notasi) matematika kadang sulit dipahami oleh siswa, karena bahasa tersebut tidak atau berbeda dengan bahasa dalam kehidupan sehari-hari. Ada istilah yang sama sekali berbeda antara pengertian matematika dan penggunakaan sehari-hari misal fungsi. Hal ini dapat memberi kebingungan atau kesulitan pada siswa untuk memahaminya. Juga siswa tentang operasi pembagian dengan pecahan, siswa kesulitan untuk kapan notasi per sebagai pembagian atau sebagai pecahan, atau pembegaian dengan titik dua atau sebagai perbandingan. Bahasa dapat memeudahkan tetapi kadang dapat menyulitkan jika mempunyai perbedaan makna.

  6. Syaifulloh Bakhri
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Assalamu’alaikum wr.wb.
    Bahasa merupakan alat komunikasi yang sangat penting khususnya dalam pembelajaran matematika, dimana matematika yang full rumus dan full simbol dibutuhkan alat komunikasi yaitu bahasa yang tepat agar mudah dipahami. Matematika ada di sekitar kita. Untuk memahami yang abstrak membutuhkan model matematika. Menjelaskan bukan diawali dari definisi, namun diawali dari hal yang konkrit melalui contoh-concoh yang ada dalam kehidupan kita.

  7. Hajarul Masi Hanifatur Rohman
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Kapan kita mengetahui konsep, makna atau definisi dari Besar, Kecil, Luas, Sempit, Jauh, Dekat, dll. Tentu kita akan kebingungan untuk menjawabnya. Hal ini merupakan suatu pengetahuan kita yang tidak berdasar, karena kita tidak mengetahui atau menyadari kapan kita memahami konsep-konsep tersebut. dengan kata lain, itu merupakan sebuah intuisi. Nha, seperti itulah cara anak-anak membangun pengetahuan mereka, berdasrkan intuisi. Sebagai seorang guru, bagaimana cara kita mengajarkan matematika dengan baik dan benar kepada anak? Karena anak membangun pengetahuan mereka berdasarkan intuisi, maka langkah awal untuk menanamkan konsep matematika yaitu dengan memberikan atau menunjukkan contoh yang sebanyak-banyaknya. Setelah itu kita juga harus memberikan benda-benda yang bukan termasuk contoh dari konsep agar siswa mampu membedakan. Sehingga siswa akan mampu pada tahap mengelompokkan, mengklasifikasi, atau menggolongkan.

  8. Rahayu Pratiwi
    PPS PM-D 2016

    Terima kasih atas informasi yang bermanfaat ini. Menurut sepahaman saya dalam tulisan ini guru harus mengajarkan filosofi sejak dini kepada siswanya. Mengapa demikian? Karena pemikiran siswa harus fleksibel. Dimana dapat melihat dari sisi ruang dan waktu. Dapat memposisikan apa pun, dimana pun dan kapan pun tanpa suatu kesalahan.

  9. Muh Ferry Irwansyah
    Pendidikan Matematika PPS UNY
    Kelas D
    Pembelajaran matematika yang hanya terfokus pada menghafalkan rumus-rumus saja ialah sangat tidak efektif. Karena hafalan terkadang bersifat sementara dan cenderung mudah lupa. Akan sangat berbeda apabila siswa menemukan rumus berdasarkan pemikirannya sendiri. Dengan siswa menemukan sendiri bagaimana memperoleh rumus tersebut maka pembelajaran ini akan sangat efektif karena beriringan dnegan bagaimana siswa akan menemukan suatu konsep. Siswa dibiarkan berkembang sendiri melalui pikirannya untuk membangun sendiri konsep matematika dalam dirinya dan guru hanya sebagai fasilitator. Jika siswa paham mengenai konsep, maka siswa tidak perlu menghafal rumus-rumus yang ada. Sehingga hal ini akan mempermudah siswa dalam memahami pelajaran. Pada dasarnya matematika bukanlah sebuah ilmu yang hanya dengan membaca dan menghafal akan tetapi matematika sebagai disiplin ilmu yang sarat logika dan menuntun untuk berfikir kritis.

  10. Loviga Denny Pratama
    S2 P.Mat D

    Kembali saya menuliskan bahwa guru matematika tak hanya pintar dalam mengerjakan, memberi, atau menjelaskan soal-soal dan masalah matematika. Dalam proses pembelajaran guru hendaknya harus dapat memahami peserta didiknya secara keseluruhan. Karena setiap peserta didik itu mempunyai karakteristik yang berbeda-beda dan mempunyai kemampuan yang berbeda-beda pula. Selain itu proses pembelajaran guru tidak dianjurkan menekankan siswa untuk menghafalkan definisi dalam matematika. Berilah siswa kebebasan untuk menemukan sendiri rumus/pola-pola/definisi dari matematika dalam pembelajaran sehingga peserta didik akan dengan mudah memahaminya dan juga hal ini akan mengakibatkan pemahaman konsep yang kuat pada diri siswa.

  11. Lana Sugiarti
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Dalam memahami banyak hal diperlukan bahasa. Begitupun dalam memahami matematika. dalam memahami matematika juga diperlukan bahasa. Bahasa yang tepat dalam penyampaian materi akan berpengaruh dalam penerimaan siswa terhadap materi yang disampaikan. Oleh karena itu bahasa memegang peranan penting dalam penyampaian suatu hal. Dalam matematika terdapat banyak simbol atau pun lambang – lambang. Simbol atau lambang tersebut juga merupakan bahasa. Maka sebagai guru haruslah mampu menyusun bahasa yang tepat dalam menyampaikan kepada siswa agar siswa mampu memahami materi dengan baik dan benar.

  12. Nama : Irna K.S.Blegur
    Nim : 16709251064
    kelas : PM D 2016(PPS)
    Matematika itu adalah komunikasi. Jadi matematika itu bukan hanya tentang angka dan notasi saja, tetapi juga tentang bahasa. Orang yang mempelajari matematika seharusnya kelak akan hebat dalam berkomunikasi, karena matematika itu adalah tentang komunikasi. Untuk berkomunikasi tentunya kita juga memerlukan bahasa. Bahasa seperti apa? Akan lebih baik jika dimulai dari bahasa ibu sendiri, bahasa dimana tempat kita tinggal, berada, dan menuntut ilmu. Yang kemudian dapat dikembangkan dengan bahasa yang lain. Bagaimana tentang perubahan bahasa dalam matematika? Apakah akan menjadi suatu kebingungan tersendiri bagi siswa jika bahasa yang sudah ia pelajari sejak lama tiba-tiba diubah begitu saja hanya karena ketidaksesuaian?? Bahasa matematika secara international seharusnya sudah ditetapkan, dan jika ada beberapa pihak yang ingin merubahnya cukuplah merubah bahasa tersebut dalam bahasa ibu mereka masing-masing.

  13. Ratih Eka Safitri
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Yang masih menjadi tantangan untuk guru dewasa ini adalah guru masih tidak bisa membeda kan cara mengajar yang efektif untuk matematika dewasa dan matematika anak-anak. Matematika yang diajarkan di sekolah masih berpatokan kepada matematika murni yang hanya mengandalkan rumus dan penyelesaiannya. Padahal untuk matematika tingkat sekolah pengaplikasian dalam kehidupan sehari-hari lah yang menjadi patokannya sehingga pembelajaran matematika bisa diubah persepsinya menjadi mata pelajaran yang disenangi yang tidak hanya memikirkan berhitung dan hitung. Cara menyampaikan matematika menjadi kemampuan yang harus dimiliki oleh guru, bahasa matematika yang pantas dan sesuai perlu di tingkatkan oleh guru dalam proses mengajar.

  14. Ahmad Wafa Nizami
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Kita tahu bahwa banyak yang menganggap matematika itu sulit, dan kita tahu bahwa guru bukan hanya terbatas pada mentransfer ilmu tapi bagaimana siswa tersebut mengkonstruk pikiran mereka sendiri untuk memahami hal-hal yang abstrak, akan tetapi bahasa dalam menjelaskan/ menyampaikan saat kita menernagkan kepada siswa juga salah satu faktor siswa dalam pemahaman konsep. Dengan bahasa yang mudah dimengerti dan dengan bahasa sebagai alat komunikasi dapat memudahkan untuk memahami matematika. Dengan bahasa maka konsep-konsep matematika dapat disampaikan.

  15. Heni Lilia Dewi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Saya teringat akan salah satu notion yang disebutkan oleh Dr. Maitree dalam kuliah umumnya bahwa ada yang lebih penting dari sekedar jawaban dari suatu masalah, yaitu tentang "Why". Proses observasi inilah yang menargetkan kemampuan komunikasi matematika siswa, bahwa antara matematika dan bahasa ini saling melengkapi. Bahasa ini mewakilkan konsep yang dipahami oleh siswa, bahkan dengan menjelaskan dan mengungkapkan kembali pemahaman matematika nya melalui bahasa.

  16. Annisa Hasanah
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Still in the realm of infinite regress, when you become adults there will be new younger generations. It will be irresponsible behavior when then you pu aside the childish world. As an adults you should have your responsibility not to throw away undefined “zero”, “successor” and “number”; but to make them meaningful for your younger generation.
    Disini bapak marsigit menekankan pentingnya untuk tidak mengesampingkan dunia anak-anak pada siswa. sangat tidak bertanggung jawab jika kita langsung memeberikan "nol", "bilangan" tanpa mendefinisikanya terlebih dahulu, karena seharusnya kita memberikan notasi-notasi tersebut kepada anak-anak dalam bahasa yang lebih bermakna.

  17. Sylviyani Hardiarti
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Bahasa diperlukan sebagai sarana komunikasi bagi siswa untuk memahami konsep matematika. Bahasa yang baik, mudah dimengerti dan sesuai dengan dunia anak diperlukan siswa sehingga dapat membantu mereka membangun pengetahuannya sendiri. Pembelajaran matematika yang diawali dengan tahap konkret ke tahap abstrak adalah salah satu bentuk pembelajaran yang dibutuhkan anak-anak. Sebagai contoh, bagaimana guru menjelaskan makna dibalik angka 0 (nol). Pemaknaan nol dapat menggunakan konteks kehidupan sehari-hari. Guru bisa menganalogikan dengan “Jika tidak ada burung di pohon, maka hal ini berarti jumlah burung di pohon adalah nol”.

  18. Saepul Watan
    S2 P.Mat Kelas C 2016

    Bismilahir rahmaanir rahiim..
    Assalamualaikum wr..wb...

    Dalam artikel ini, dalam mengajarkan anak-anak kebenaran matematika, kita harus dan tidak hanya mengajarkannya cara berpikir siswa di kelas matematika. Sebagai contoh, Apakah 1 + 1 = 2? Ya, jumlah basis lebih tinggi dari biner, dan dengan interpretasi tertentu dari angka Hindu-Arab, tapi dalam biner 1 + 1 = 10. Dan tentu saja, angka adalah abstraksi. Dalam kehidupan nyata, kita perlu belajar kapan menerapkan abstraksi mana. Makanya diperlukan pembelajaran yang bermakna untuk menyelesaikan kasus ini. Idealnya, kita harus, dalam arti tertentu, akan mengajarkan filosofi anak-anak kita. Pemikiran mereka harus cukup fleksibel dalam segala hal.