Mar 22, 2013

Mathematics and Language 13

 Irene: I have a hypothesis -- just barely a hypothesis -- about "scientific" and "mathematical" language -- really, about any unfamiliar vocabulary. Maybe it's relevant to your case.

I believe -- tentatively, subject to refutation by empirical evidence -- that when we are learning a new subject, that it is advantageous if the vocabulary we use to speak about it is not new to us.

That is to say, that the words we will be learning are ones we have have often heard before, without having learned exactly what they mean. I believe that if you are having to become familiar with a new word at the same time that you are learning about the concept it stands for, your brain gets hung up on the new word and this prevents you from assimilating the concept. (This is not put very elegantly.)

An example: I believe that if you are going to study trigonometry at, say, 13, then at about 10 or 11, you should start hearing the words "sine", "cosine" and "tangent", in relation to triangles. You need not learn what they "mean" at this age, just that they are properties of an angle, in certain circumstances.

I believe that then, when you start learning what these words actually mean, how we may use them in mathematical problems, it will be significantly easier for you.

I know of no experimental evidence for this, and have never read of any research that addresses it (although there may well be some). It's just a hypothesis, based on my own (subjective, limited, selective) experience as both a tutor, and a learner. If it's true, I would expect that there is a neurological explanation, although perhaps beyond our current ability to isolate.

I believe that this is generally how we come to understand word meanings, as children. First we hear the word used, without understanding it. Then, as we hear examples of the word being used, we gradually come to that state we call "knowing the meaning". Very seldom is a word formally defined to us the first time we hear it, and almost never is it defined in the kind of emotional context that mathematical terms are usually presented in (which, for most children, is not a pleasant one).

I know also that mathematical terms are not necessarily like other words, in terms of there being a formal, precise quality to their proper use.

I would be very interested in others' comments on this, and in particular would appreciate hearing of any references to any relevant research (which does not necessarily have to be in the area of mathematics education).

@Doug: Just very small question:How you may define the meaning of BIG, SMALL, NEAR, FAR, LOW, HIGH, WIDE, MANY, FEW, NUMBER, PART, ...etc.

What is a number, that a man may know it, and a man, that he may know a number?

Look... a BIG tiger is coming NEAR. We had better get FAR away. (Except for those who believe reality is socially-constructed. They can remain.)

But I am stumped as to the definition of "etc".
And even if we all spoke Lojban, we would still have the "gavagai" problem.

When I was about 14 I discovered, like a host of similar teenagers before and after, the obnoxious pleasures to be found in asking people to "define their terms". When they tried to do so, they simply gave me targets for the Forward Observer's favorite command: "repeat!". Eventually I tired of this and went on to the delights of demanding a refutation of solipsism, or disproof of the no-free-will argument. Every child should do this!

But when we become adults, we should put aside childish things. If we wish to establish arithmetic on an axiomatic basis, a useful exercise, we will have to leave "zero", "successor", and "number" undefined, if we are not to have an infinite regress. A set is a collection and a collection is ....

This does not mean we should not seek to define, or at least clarify, our terms! Nor is it useless to follow arguments to their remorselessly 'logical' conclusions, beginning with Locke and ending with Hume.

By all means, awaken the dogmatic slumberers! But then we should agree with Hume that, although irrefutable, his scheme makes no practical difference in our daily lives.

While we teach children the truths of mathematics, we should also -- and not only in the mathematics classroom -- be teaching them how to think.

Does 1 + 1 = 2? Yes, in number bases higher than binary, and with a certain interpretation of the Hindu-Arabic numerals, but in binary 1 + 1 = 10. And of course, numbers are abstractions. In real life, we need to learn when to apply which set of abstractions. 55/10 is 5.5, but if I want to know how many ten-passenger mini-vans to hire to transport 55 pupils, 5.5 is not an answer. And 4/10 + 5/10 is 9/10 in some circumstances, and 9/20 in others.

Ideally, we should, in a sense, be teaching our children 'philosophy'. Their thinking should be flexible enough so that the mind-boggling results of assuming that the speed of light is a constant for all observers, will not boggle their minds, nor will the yet more mind-boggling results of our investigations of the world of electrons and photons.

If you can do that, well, te salud. For the time being, I'll settle for kids who know their times tables and can solve the sort of word problems that are routine for kids in Singapore. Perhaps a bit of Korzybski, so that they are not tangled up in metaphysical knots when faced with a question like "Is 4/3 a division, or is it a fraction?" (Hint: rephrase your question without using any form of the "to be" verb.)

But just as Donald Rumsfeld noted that "You go to war with the army you have," we have to teach mathematics with the teachers we have. We cannot jump over our own heads, and we cannot expect Mrs Smith who has been teaching 4th grade for the last 25 years, to take on board the sort of conceptual apparatus that would equip children for an easy acceptance of relativistic non-deterministic physics,

Some attention to our language, and even to the symbols we use for teaching mathematics, is, in my opinion, warranted, as is the encouragement of genuine critical thinking.

I think we could do more and better than we now do, in teaching children about what we have learned so far == so slowly and painfully! -- of the world and how it works.

But this assumes that what we have learned so far is worth teaching.

Many children know the numbers without knowing that they are “numbers”; because in my language they are called “bilangan”. They do not need definition to know the concept of Number, Big, Near, etc. You did exactly the same with the younger learner to know them.

You memorize well your age 14; but I believe you cannot memorize your age 3. Still my questions how you may be able to know the concept of Big, Near, Far, Two, ..etc at your age 3? I hope my questions lead you to go deep into the endlessly state of knowing activities.

And, I am happy that you strived to go to your childish in order to remember how to know the very basic concept of mathematics i.e. concrete mathematics. Again, that is exactly the same with what the younger learner in striving to know mathematics.

If I continue this story, I believe I will not find the term “adult”; so there is no choice for you to go to younger world if you want to introduce your mathematics. And you did the simulation very well. If you do not mind I wish to call your simulation as “developing younger mathematics intuition”. I do agree to apply your statement “Every child should do this!” to this context.

The next is how to implement or follow up your simulation to your real world in which now you are as an adult who wish to interact with younger learner?

At the realm of infinite regress, more than your stumping of definition of “etc”; I challenge you or any other scientist to define “is”?

Still in the realm of infinite regress, when you become adults there will be new younger generations. It will be irresponsible behavior when then you pu aside the childish world. As an adults you should have your responsibility not to throw away undefined “zero”, “successor” and “number”; but to make them meaningful for your younger generation.

You seemed to be the victim of your older generation by repeating to fulfill their commands. And here, I do not agree with your statement that every child should do like you.

By the way, I spy that you are still confuse with the nature of Socio-constructivist. You seemed to mean this as thinking together. However, I will not elaborate it more due there are too many related references.

I wish to say that different perspectives have their different aspect of life. While I found that to some extent you still use your adults’ criteria to judge the younger life by trying to teach mathematical Truth to them. In my perspective, mathematics for the young learner is not about Body of Truth, Science of Truth or Structure of Truth, rather they are searching the pattern, relationship; solving the problems, investigating activities and doing communications.

If the Pope of Franciscus said “Protect all people especially the pure”; I will say “Protect all people especially the younger/powerless from the adults/powerful misbehavior”. Teaching cannot totally be compared with soldiers going to war. No, no way; because there is no enemy outside there but clearly the biggest enemy is inside the adults-powerful-self ego-pure mathematicians-determined teachers.

I prefer to compare teaching with the farmer’s growing the seeds. Critical thinking can only be performed if they are free to think and free to grow.


  1. Devi Anggriyani
    S2 PEP B 2016

    Kemampuan berpikir anak ditentukan oleh bagaimana guru memberikan keluwesan dalam pembelajaran. Jika guru mampu memfasilitasi dengan baik maka siswa akan berusaha untuk melakukan apa yang telah di arahkan. Maka hendaknya guru mengurangi ego nya untuk menjadi teacher –centered. Berpikir kritis dapat ditampilkan jika mereka diberikan kebebasan untuk berpikir dan kebebasan untuk berkembang.

  2. Misnasanti
    PPs PMAT A 2016

    Dalam mengajar matematika, komunikasi sangat penting agar apa yang guru sampaikan dapat diterima dengan baik oleh siswanya. Sehingga bahasa berperan penting untuk berkomunikasi dengan baik. Dalam mengajar, guru sebaiknya dapat membaur dengan pemikiran siswa agar dapat memperkenalkan matematika kepada mereka, sehingga mereka dapat menerima dengan apa yang kita sampaikan, jangan mendikte mereka untuk melakukan seperti apa yang guru inginkan, karena hal itu tidak benar, ajaklah mereka untuk bernalar, menyelesaikan permasalahan matematika, menyelidiki dan berkomunikasi antara siswa yang satu dengan siswa yang lain.

  3. Johanis Risambessy
    PPs PEP B 2016

    Penggunaaan bahasa yang tepat dalam pembelajaran matematika sangat penting. Karena melalui bahasa siswa akan memahami apa yang diajarkan oleh guru. Bahasa yang bagaimana!. Pastinya bahasa yang mudah dipahami siswa, yakni bahasa anak. Dengan mengkomunikasikan bahasa anak, maka setiap konsep yang diajarkan guru dapat dipahami oleh siswa, sehingga siswa dapat mengkonstruksi pengetahuannya berdasarkan pengalaman.

  4. Siti Mufidah
    Pendidikan Matematika A 2016

    Pemahaman siswa tentang matematika tergantung dari penyampaian pendidik atau guru. Sebaiknya guru menyampaikan materi tidah hanya sekedar karena tuntutan profesi, akan tetapi penyampaian materi yang lebih bermanfaat. Pembelajaran matematika tidak hanya pemberian rumus-rumus matematika kepada siswa dan mengerjakan soal terkait dengan rumus tersebut. Jadi, peran guru sangat penting bagi siswa dalam pembelajaran matematika.

    One of the best ways of teaching mathematics is to take heed to the terminology relating to mathematics. the teacher gives what he/she has, a teacher with low level of mathematical skills gives less to the students, but the one with enough bank of knowledge gives more to the students. I can confirm that when the students understand the theories in mathematics, the practice will undoubtedly understood. basing on my views, i support the following statements:
    Some attention to our language, and even to the symbols we use for teaching mathematics, is, in my opinion, warranted, as is the encouragement of genuine critical thinking.

    I think we could do more and better than we now do, in teaching children about what we have learned so far == so slowly and painfully! -- of the world and how it works.

  6. Fatya Azizah
    Pendidikan Matematika B PPS UNY 2016

    Still in the realm of infinite regress, when you become adults there will be new younger generations. It will be irresponsible behavior when then you pu aside the childish world. As an adults you should have your responsibility not to throw away undefined “zero”, “successor” and “number”; but to make them meaningful for your younger generation.
    disini bapak marsigit menekankan pentingnya untuk tidak mengesampingkan dunia anak-anak pada siswa. sangat tidak bertanggungjawab jika kita langsung memberikan "nol", "bilangan" tanpa mendefinisikannya telebih dahulu, karena seharusnya kita memberikan notasi-notasi tersebut kepada anak-anak dalam bahasa yang lebih bermakna.

  7. Fevi Rahmawati Suwanto
    PMat A / S2

    Sekali lagi artikel di atas mengingatkan agar guru atau calon matematika dapat menerapkan bukan matematika dewasa pada anak. Bercermin pada pengalaman kecil dulu, kita bisa mengenal konsep jauh-dekat, besar-kecil, bahkan nomor bilangan tanpa harus mendefinisikannya. Pengenalan ini lebih mudah dimengerti, bermakna serta teringat lama. Dengan pemahaman dan kebermaknaan ini, suatu konsep akan menjadi lebih gampang penerapannya dalam kehidupan.

  8. Azwar Anwar
    Pendidikan Matematika S2 Kelas B 2016

    Dalam langkah memajukan sebuah pendidikan maka harus ada upaya untuk meningkatkan kualitas dan mutunya, baik dari sekolah, guru dan siswa. Hal yang paling utama adalah pembelajaran yang dilaksanakan di kelas, bagaiamana seorang guru dapat menjelaskan materi nya dengan baik, bagaiamana siswa dapat menangkap materi yang disampaikan oleh guru serta apa yang harus dilakukan guru jika siswa belum paham. Ini menjadi pokok utama nya karena tujuan dari pembelajaran matematika itu bagaimana siswa dapat memahami konsep-konsep dan memecahkan masalah.

  9. Nuha Fazlussalam
    s1 pendidikan matematika c 2013

    mengaarkan matematia ke anak kecil/peserta didik itu bukan seperti menagajrak prajrit yang akan perang, para anak kecil/siswa itu tidak memiliki musuh di luar sana, musuhnya adalah dirinya sendiri, ego, ego orang dewasa.

  10. Kumala Kusuma Putri
    Pendidikan Matematika I 2013
    Assalamualaikum Wr. Wb.
    In my opinion, I agree with all of Mr. Marsigit's opinion that teacher should make learning become students domination (younger domination), and not teacher domination any more (adult domination). I also agree that teaching cannot totally be compared with soldiers going to war. No, no way; because there is no enemy outside there but clearly the biggest enemy is inside the adults-powerful-self ego-pure mathematicians-determined teachers. The best enemy in mathematics learning is our self, oue ego. Just let the children make their own mathematics. Let children think criticaly and creatively. Teacher is just facilitator for students. So, teacher should become close with their students. Communicate with language that can be understood by students. Mathematics is really related with language. We can explain mathematics with language. We can write language with mathematics. I think that is enough. Thank you.

    Wassalamualaikum Wr. Wb.

  11. Erni Anitasari
    S2 Pend. Matematika Kelas A

    Guru biasanya terlalu nyaman dengan Bahasa tingkat tinggi atau yang biasa disebut Bahasa formal. Guru yang tidak berusaha mengubah tingkat Bahasa formal tersebut ke tingkat yang sesuai dengan kondisi siswa, akan seolah memaksakan sesuatu ‘masuk’ tidak pada tempatnya. Akibatnya, siswa menjadi frustasi bahkan bisa menyerah dengan matematika yang coba dibawakan oleh guru. Sungguh irosnis.

  12. Rospala Hanisah Yukti Sari
    S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

    Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    Dalam pembelajaran matematika, guru perlu memperhatikan cara mengajar kepada siswa yang disesuaikan dengan taraf berpikir mereka. Karena masing-masing jenjang usia, memiliki taraf berpikir yang berbeda. Siswa yang masih duduk di SD dan SMP masih dalam taraf berpikir konkrit. Sehingga, guru memberikan contoh yang dekat dengan kehidupan mereka.

    Apabila guru mengajarkan cara berpikir abstrak kepada anak, maka akan membahayakan kinerja otak mereka, karena mereka belum bisa mencapai taraf berpikir abstrak.

    Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

  13. Wan Denny Pramana Putra
    PPs Pendidikan Matematika A

    Kita sebagai guru seharusnya memahami kebutuhan dari peserta didik. Dewasa ini beberapa guru mengajarkan matematika di sekolah dengan cara matematika murni. Sehingga memakai istilah “pokoknya” jika soalnya begini rumusnya begini. Peserta didik hanya tahu cara mencari hasilnya dengan menghapal bukan mengerti dari konsep dan makna dari perhitungan tersebut. Maka tidak heran timbulnya persepsi bahwa matematika itu pelajaran yang paling membingungkan, tidak jelas, menyusahkan dan sebagainya.


    Untuk menghadapi masalah matematika, yang seharusnya matematika dewasa diberikan pada matematika anak maka dapat diatasi dengan bagaiamana mengubah persepsi dan pemanfaatan pengetahuan tersebut. Andai keadaan bisa dirubah, kurikulum masih fleksibel untuk meninjau kembali, dunia menerima apa yang dapat dirubah dan disesuaikan maka mari kita rubah. Namun jika semua yang terjadi, aturan main proses pembelajaran seperti ini, maka hanya perlu bagaiamna mengubah keadaan tersebut, bagaimana pikiran ini mengendalikan keadaan tersebut. Guru dapat memberikan inovasi, guru lebih memperhatikan depth understanding more important than spend time.

  15. Erlinda Rahma Dewi
    S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

    "I prefer to compare teaching with the farmer’s growing the seeds. Critical thinking can only be performed if they are free to think and free to grow. " Ini adalah pernyataan yang menarik. Ini berarti bahwa ajaran seperti tumbuh benih, kita tidak bisa menentukan bagaimana mereka akan tumbuh, karena tergantung pada benih itu sendiri. Berpikir kritis hanya dapat dilakukan jika mereka bebas untuk berpikir dan bebas untuk tumbuh.

    PPs Pmat A 2016

    Yang menarik dalam percakapan ini adalah poin penting bagaimana cara membuat matematika dapat dipahami oleh peserta didik yang masih muda, yang pengajarannya berbeda dengan yang dewasa. Guru mempunyai peran penting dalam merancang pengalaman belajar di kelas sehingga siswa mempunyai kesempatan bervariasi untuk berkomunikasi secara matematis. Tugas menulis merupakan salah satu cara untuk membentuk kecakapan komunikasi matematik. Tugas menulis diartikan sebagai tugas bagi siswa untuk mengorganisasi, merangkum, dan mengkomunikasikan pemikiran mereka secara tertulis. Menulis dapat meningkatkan daya ingat mengenai konsep dan memberikan kesempatan kepada siswa untuk merefleksi pemikiran mereka. Tugas menulis dapat juga mencakup pengungkapan apa yang sudah diketahui/dipahami dan yang belum dipahami siswa. Selain itu, tugas menulis dapat pula berupa penyelesaian masalah. Penyelesaian masalah melibatkan beberapa kemampuan strategis sepertimengkoordinasikan berbagai informasi atau ide-ide matematika danmenggunakannya untuk menyelesaikan masalah.
    Proses komunikasi akan terjadi apabila terjadi interaksi dalam pembelajaran. Guru perlu merancang pembelajaran yang memungkinkan terjadinya interaksi positif sehingga memungkinkan siswa dapat berkomunikasi dengan baik. Guru dapat memberikan beberapa pertanyaan-pertanyaan pemicu bagi tumbuhnya kemauan dan kemampuan berkomunikasi siswa. Terdapat beberapa teknik bertanya yang dapat digunakan membantu siswa mengembangkan kemampuan komunikasi matematik (LACOE, 2004).
    Kemampuan berkomunikasi menjadi salah satu syarat yang memegang peranan penting karena membantu dalam proses penyusunan pikiran, menghubungkan gagasan dengan gagasan lain sehingga dapat mengisi hal-hal yang kurang dalam seluruh jaringan gagasan siswa. Sejalan dengan itu, Edi (2010) menyatakan bahwa kita memerlukan komunikasi dalam matematika jika hendak meraih secara penuh tujuan sosial, seperti melek matematika, belajar seumur hidup, dan matematika untuk semua orang.

  17. Rhomiy Handican
    PPs Pendidikan Matematika B 2016

    Yang masih menjadi tantangan untuk guru dewasa ini adalah guru masih tidak bisa membeda kan cara mengajar yang efektif untuk matematika dewasa dan matematika anak-anak. matematika yang di ajarkan disekolah masih berpatokan kepada matematika murni yang hanya mengandalkan rumus dan pneyelesaiannya. padahal untuk matematika tingkat sekolah pengaplikasian dalam kehidupan sehari-hari lah yang menjadi patokannya sehingga pembelajaran matematika bisa diubah persepsinya menjadi mata pelajaran yang disenangi yang tidak hanya memikirkan berhitung dan hitung. cara menyampaikan matematika menjadi kemampuan yang harus dimiliki oleh guru, bahasa matematika yang pantas dan sesuai perlu di tingkatkan oleh guru dalam proses mengajar.

  18. Arifta Nurjanah
    PPs P Mat B

    Dalam proses belajar maupun mengenali dunianya, anak-anak kecil tidak memerlukan definisi dan pengetahuan mereka tidak diawali dengan definisi. Seiring perkembangan proses belajar, pengalaman dan interaksinya dengan lingkungan, mereka bisa membuat suatu definisi sendiri. Tidak mungkin anak kecil bisa bersepeda yang dimulai dengan definisi dan teori bersepeda, proses belajarnya akan lebih baik ketika mereka berlatih langsung melalui interaksinya dengan sepeda. Demikian halnya dalam pembelajaran matematika, mengajarkan matematika yang dimulai dengan definisi tidak akan mudah dipahami oleh siswa. Siswa akan lebih mudah memahaminya bila mereka diberikan kesempatan untuk berinteraksi dengan objek maupun dengan orang disekitarnya. Di samping itu, guru juga tidak cukup hanya berhenti pada membangun konsep, guru juga harus menciptakan pembelajaran yang bermakna dan juga membuat siswa mampu menggunakan pengetahuannya secara otomatis. Dengan demikian siswa menggunakan pengetahuannya dalam aktivitas yang lebih tinggi.