Oct 6, 2014

Imagination and Intuitive Knowledge of Mathematics

From LinkedIn:

Do you think that students find difficulties for the imagination in mathematics especially in geometry? If you think so,what's the technics used for solving this situation?

Salim Mchennec Professeur de l'enseignement secondaire qualifiant de Mathématiques chez Ministère de l'éducation nationale Top Contributor

Marsigit Dr MA
Lecturer at Yogyakarta State University
Imagination lies in Intuitions, however teaching activities frequently have not developed intuitions yet or even have eliminated them.

Mehtamatics = mathematics with a difference
I am inclined to agree with Dr Marsigit. But I do think that there is a distinction to be made between geometrical visualisation and mathematical problem-solving in multi-dimensional space. I certainly cannot visualise 5-dimensional space but mathematically, I am perfectly comfortable working with 15 or even 500 dimensional spaces.

I have found that some of my pupils have good 3-d imagination and others don't. There appears to be no systematic difference between them otherwise. At first I had thought that people who were also interested in or studying art may have a better understanding of perspective and projections - from higher to lower dimensions. But that has not been the case.

I regret that I have no answers to Salim's second question, though.

3D Innovator / Educator / Computer Industry Veteran
Yes they do, however using tools like 3d visualization to graphically depict numerical constructs provides a trifecta of visual, audio, and tactile sensory experience for learners. The millennials learn different lyrics and it is up to educators to adapt their teaching styles to accommodate these new approach in the process of educating.

Professeur de l'enseignement secondaire qualifiant de Mathématiques chez Ministère de l'éducation nationale
Top Contributor
Thank you for your contribution to this subject.I think intuition plays a crucial role in mathematical work, it can be regarded as a form of intelligence. As stated by Mr James we may use tracking software or geometrical forms .But beyond the 3rd dimension it becomes more complicated, arriving to the infinite dimension where all notions of ordinary geometry changes completely

Lecturer at Yogyakarta State University
Imagination lies in Intuitions, and intuitions emerge through experiences. Experiences composes of spirit, motivation, activity, interaction, knowledge, skill, and minor experiences. So imagination and intuitions work not only for youngster but also for elders. For elders, mathematics is both formal mathematics and intuitive mathematics; but for youngsters (early childhood) mathematics is mainly intuitive mathematics. Intuitive mathematics is mathematics that you understand but you need not to define. The youngster understand well about the concept of big, small, close, tall, high,...without needed to define them. They emerge from their interaction both at home (family), school, and society. Most teachers behave arrogantly by introducing formal mathematics to the youngsters. It is bad!.

Research Guide Mathematics JJTUniversity
I agree to you Dr. Experiance in Maths is another form of practice which we lag behind. it needs constant struggle and time which youngesters dont have. Mathematics itself is intuitive.What do you mean by formal. please explain

3D Innovator / Educator / Computer Industry Veteran
Hi, To clarify, I was not proposing we (necessarily) teach linear algwbra, actually use the visual depth of 3d as a teaching medium for introducing concepts and providing spacial representation to math topics.

Lecturer at Yogyakarta State University
@Dr Prabha: I mean Formal Mathematics is Pure Mathematics/Axiomatic Mathematics in which mathematicians always perceive as a body of knowledge/structure of truth/logic. While for the younger learner it is better mathematics to be introduced as School Mathematics, in which mainly mathematics can be perceive as activities to find the pattern and relationship and to communicate their findings. However, we need intuitive knowledge to accomplish both of them.

Research Guide Mathematics JJTUniversity
@ Dr. Understood pure maths is too tough even teachers also find difficult to adjust it but there are fast developments day to day it is difficult to cope up and maths has become too vast to handle at school level also. We have to bring down Axiomatic approach to school level. To develop intitutional approach you need to absorb yourself in the subject where is the time. can we have any solution.
@James maths is a subject requires personal touch. It is very abstract yes 3D will help as a teaching medium but teacher should be good enough to representthe concepts in a friendly way otherwise maths is too hostile.

Mehtamatics = mathematics with a difference
Dr Rastogi, what you say at the end is true of any subject. There is beauty in mathematics and there is tedium. A good teacher is one who can inspire pupils with the first and help pupils deal with the second. I was lucky: I had two such teachers - one when I was around 9 years old and the other when I was 18. I am now in pay-back mode: using what inspired me to inspire others.

Lecturer at Yogyakarta State University
@Dr.Prabha: There is a huge gap between the ideas of pure mathematicians (the "first") and school math educators (the "second") in perceiving how the younger may learn mathematics. Your idea " We have to bring down Axiomatic approach to school level", is no problem for you and for pure mathematicians; however, it can be very big problem, strange, odd and absurd in sense of younger psychology of learning. The "first" strive to force their own math concepts to the youngster; while the "second" strive to communicate mathematics with the younger based on studying and understanding about "the way of the younger learner think". So the "second" try to creatively build a bridge e.g. by creating School Math in order to approach the younger learner gently. If you and the "first" try to force your method and are not willing to uncover the younger psychology of learning, there will be no solution. However, please note that for many centuries your method of teaching math can be perceived as fail and producing most of the youngster dislike math. Anand Mehta is only a few example of the success student, but all youngster have their right to learn mathematics based on their backgrounds.

Department Head - Communications/Mathematics
How can students use their imagination in mathematics when they aren't taught the fundamentals of problem solving correctly? Once they master topics and generalized solutions to problems, then they can move on to creating their own problems and becoming more imaginative.

Research Guide Mathematics JJTUniversity
@ Dr Marsigit. I understand the problem but do we have the solution.To teach addition and subtraction at tender age is very difficult. unless they have to byheart it . this tender age is very difficult to handle. So you cant bring down more to lower level but pressure at higher level increases the problems. That stage you feel helpless. Maths is not only for mathematician but applicable every where wether you likt the subject or not. May be we should use calculators or Ipads for calculations and abstract concepts should be taught thoroughly in schools but teachers should be trained enough.
@ Anand I agree to you good teacher makes an impact on the life of students. I was not lucky .I had to struggle thats why I became maths teacher but problem is when you get more of the students sitting in the class without interest. Your real test is to make concept simple and reach to them but time is detterent. You have to finish a lot in limited time

3D Innovator / Educator / Computer Industry Veteran
Dr. Prabha Rastogi,
Agreed a good instructor is required. that said, using 3d to illustrate concepts, I have seen pretest to post test increases of up to 30% regardless of class type. that includes visual learners, ADHD, ASD, and both average and a students. isn't the same 30% of course but is repeatable and measurable. key is the development of teaching materials by master teachers, and not by programmers. "Content is king" in that arena. 3d tech gets a bad name from poor implementations. does work well with good production team behind it.

Research Guide Mathematics JJTUniversity
@James I have the knowledge of maths but not much idea of programming. I am associated with educational publications as a writer but want to do somthing on e learning so that I can reach to more people. You are right when you say Content is King. I have seen the effects of visual learning on kids.If concepts are made simple student friendly you can reach easily to students

Lecturer at Yogyakarta State University
Dr Prabha and others: In the sense of Psychology and Pedagogy of learning mathematics the worst thing happened when Pure Mathematician strive to deal with education/teaching. Pure Mathematicians are frequently soliloquy express their own subjective perception about their experience in dealing with mathematics as a science, e.g. mathematics is beautiful (Anand), Content is King (Nord), bring down axiomatic approach (Prabha), absorb mathematics (Anand), introducing concepts (Nord), finish a lot in a limited time (Prabha)...All you have produced of your own notions without considering what happened to the younger learner of math. Again, all of those are about you (ambition of the adults), and not about your younger generation. Unluckily, your younger generations have not equal chances and right to express their own world. So all your claims and judgements about good teaching practice of math are unfair and meaningless for them. To solve the problems, please ask them how really to learn mathematics. I challenge you all to make your younger generations to be your real teacher!.

Research Guide Mathematics JJTUniversity
Dr I accept that I am not much related to younger generation but I would like to understand the mind of younger generation because even grown up students have same biockage for maths. How you deal with students.At college level also students have same hate to maths how much you simplify the concept

Research Guide Mathematics JJTUniversity
Need your sugesstions

Lecturer at Yogyakarta State University
Dear Dr Prabha, it is not an utopia or fiction that we need to ask to young learners on the way they think (math). Too much to be able to be indicated about the younger knowledge/concept in which they understand well but they can not define, e.g. the concept of big, small, long, short, high, short, near, far away, few, many, one, two, some, sad, happy, love...etc. Those all I call as Intuitive Knowledge. In fact, it is not only younger learner who employ Intuitive Knowledge but also the adults and even the elders. So our live really consists full of Intuitive Knowledge. The characteristics of Intuitive Knowledge i.e. when we understand something but we do not remember when and how we did so. Intuitive Knowledge emerge from the Context of life (family, society, and schools) through Interaction/activities. So that why mathematics for younger learner should be defined as Social Activities (Paul Ernest, 1995) and Activities to Search the Pattern, Problem Solving, Investigation and Communication (Ebbut and Straker, 1994). From social activities there will emerge a differentiation pattern of concepts in such a way that we get our Categories of Knowledge (math) in our Mind (Aristoteles and Immanuel Kant). Those categories make us be ready to think all new analytic, a priori, a posteriori and synthetic knowledge. Mathematics is said to be a Science if it is Synthetical a Priori. Thank


  1. Lana Sugiarti
    S2 Pendidikan Matematika D 2016

    Imajinasi dan intuitif dalam matematika diperlukan. Beberapa matematikawan juga mengakui adanya keterlibatan peran intuitif dalam matematika, misalnya Albert Einstein yang mengatakan bahwa satu – satunya yang berharga di dunia ini adalah intuisi. Menurut Einstein, bisa saja sebuah penemuan lahir melalui intuisi. Ketika suatu pengamatan atau observasi tidak dapat dilanjutkan dengan deduksi logis karena nampaknya tidak ada jalur logis yang menghubungkan fakta dengan ide teoritis, untuk itu diperlukan suatu lompatan imajinasi bebas melampaui suatu fenomena yang disebut intuisi. Oleh karena itu imajinasi dan intuisi dalam matematika juga beroeran penting untuk menemukan suatu pemikiran/penemuan baru di bidang matematika.

  2. Ardeniyansah
    S2 Pend. Matematika Kelas C_2016

    Assalamualaikum wr. . wb.
    Immanuel Kant (Henden, 2004) menyatakan bahwa pertimbangan sintetik relevan dengan intuisi dan dikatakan bahwa hasil pertimbangan sintetik dikarakterisasikan oleh tidak adanya kontradiksi dalam diri orang yang menyatakannya. Intinya, apa yang diucapkan atau divisualisasikan pada sikap bersifat konstan pada nilai kebenaran yang diyakini. Kontribusi akhir dari guru adalah mengurangi ketergantungan siswa padanya sehingga siswa dituntut untuk membentuk pemahaman matematisnya sendiri.

  3. Anwar Rifa’i
    PMAT C 2016 PPS

    Pengetahuan intuitif merupakan pengetahuan yang bersifat partikular. Jika kita berusaha menilai sebuah lukisan misalnya, dengan pengetahuan intuitif kita akan menilainya dengan berusaha memahami dengan baik lukisan tersebut sebagaimana adanya. Kebenaran intuitif ini sulit dikembangkan karena validitasnya yang sangat pribadi, memiliki watak yang tidak komunikatif, khusus untuk diri sendiri, subjektif, tidak terlukiskan, sehingga sulit untuk mengetahui apakah seseorang memilikinya atau tidak. Kebenaran tersebut tidak akan dapat diuji dengan observasi, perhitungan atau eksperimen karena kebenaran intuitif tidak berhipotesis. Karena pengetahuan intuitif itu bersifat aktif maka bisa kita pahami sebagai suatu bentuk ekspresi. Dengan kata lain, intuisi adalah ekspresi sejauh ekspresi tersebut bersifat menggubah berbagai kesan yang kita terima, melalui potensi imajinasi aktif (fantasia) ke dalam wujud berbagai kesatuan imaji maupun keberadaan keseluruhan secara esensial yang bersifat individual. Sedangkan imajinasi adalah pendahulu dari pengetahuan baru, yang belum berwujud saat ini tetapi akan segera muncul karena seseorang memiliki daya berpikir tinggi untuk merancang dan menemukan sesuatu.

  4. Syaifulloh Bakhri
    S2 Pendidikan Matematika C 2016

    Assalamu’alaikum wr.wb.
    Intuisi yang hanya bisa dirasakan tanpa ada definisi yang tepat tentangnya. Intuisi adalah kemampuan berpikir melewati batas-batas yang terpikirkan oleh orang lain, intuisi bukanlah kalkulasi. Intuisi sangat berperan dalam memahami pernyataan-pernyataan matematika dan dalam pemecahan masalah matematika. Oleh karena itu, dalam memecahkan masalah matematika diperlukan proses berpikir analitik dan logika. Intuisi didefinisikan sebagai kognisi yang secara subyektif kebenarannya terkandung di dalamnya, dapat diterima langsung, holistik, bersifat memaksa, ekstrapolatif, tidak analitis, tanpa suatu penalaran secara logis. Salah satu bentuk pembelajaran yang dapat mengembangkan intuisi anak adalah pembelajaran dengan teori belajar konstruktivisme. Konstruktivisme merupakan pembelajaran yang menjadikan siswa sebagai pusat (student centered). Menurut konstruktivisme, pengetahuan ada dalam diri seseorang yang sedang mengetahui. Pengetahuan merujuk pada pengalaman seseorang akan dunia, tetapi bukan dunia itu sendiri. Tanpa pengalaman, seseorang tidak dapat membentuk pengetahuan. Pengalaman tidak hanya diartikan sebagai pengalaman fisik, tetapi juga pengalaman kognitif dan mental.


  5. Kunny Kunhertanti
    PPs Pendidikan Matematika kelas C 2016

    Imaginasi merupakan aspek yang harus diasah oleh para siswa dan guru dalam proses belajar mengajar. Melalui pengembangan imajinasi, siswa memiliki kesempatan untuk mengkonstruksi berbagai pengetahuan dan ide dasar yang dimiliki menjadi sebuah hal baru, baik realistis maupun idealis. Proses konstruktif tersebut tentu saja didukung oleh pengalaman siswa mengenai konsep pengetahuan dan kemampuannya. Akan tetapi, bagaimana jika siswa tidak memiliki pengalaman yang cukup untuk dapat mengkonstruksi sebuah hal baru? Siswa akan menggunakan pengetahuan intuitifnya untuk memahami suatu hal baru secara tidak sadar. Ada hal yang mampu siswa mengerti, namun tidak bisa untuk dijelaskan. Seperti halnya dalam pembelajaran geometri, siswa memahami apa yang dimaksud dengan panjang, tinggi, dan lebar, namun cenderung tidak mampu mendefinisikannya

  6. Annisa Hasanah
    PPs Pendidikan Matematika C 2016

    Imajinasi dan intuisi membuat seseorang dapat berpikir secara luas dan kreatif, tidak dibatasi oleh apapun sehingga kadang seringkali tidak semua orang mampu menemukan ide kreatif yang muncul dari imajinasi dan intuisi.Jika dari konsep-konsep geometri kita hilangkan konsep-konsep empiris atau penginderaan, maka konsep konsep ruang dan waktu masih akan tersisa; yaitu bahwa konsep-konsep geometri bersifat a priori.


  7. Ahmad Wafa Nizami
    PPs Pendidikan Matematika D 2016

    Perbincangan antara prof marsigit, dan temen-temen beliau meggambarkan bahwa imaginasi dan intuisi dalam pengethauan matematika itu ada. Bahwa imaginasi itu terletak pada intuisi dengan intuisi kita akan tahu matematika itu. Dengan imaginasi kita bisa membayangkan matematika itu seperti apa. Ini juga berarti bahwa Imajinasi terletak pada intuisi, dan intuisi muncul melalui pengalaman. Pengalaman disusun dari semangat, motivasi, aktivitas, interaksi, pengetahuan, keterampilan, dan pengalaman minor. Jadi imajinasi dan intuisi bekerja tidak hanya untuk anak tetapi juga untuk orang tua. Untuk orang tua, matematika adalah kedua matematika formal dan matematika intuitif; tapi untuk anak-anak (anak usia dini) matematika terutama matematika intuitif. Jadi imaginasi dan intuisi selalu ada pada matematika.

  8. Helva Elentriana
    PPS Pend Matematika Kelas D 2016

    Imajinasi merupakan suatu gambaran (citra) yang dihasilkan oleh otak seseorang. Sedangkan intuisi merupakan ide yang muncul secara tiba-tiba tanpa disadari dari mana datangnya. Imajinasi dan intuisi memiliki peran tersendiri dalam membangun pengetahuan seseorang. Imajinasi dan intuisi berawal dari bagaimana seseorang berpikir secara luas dan kreatif, tidak dibatasi oleh apapun sehingga kadang seringkali tidak semua orang mampu menemukan ide kreatif yang muncul dari imajinasi dan intuisi. Begitu juga dalam mempelajari geometri yang tentu membutuhkan daya imajinasi dan intuisi yang nantinya dapat membantu membangun pengetahuan siswa dalam memahami materi tersebut. Sebagai usaha untuk mengembangkan daya imajinasi seseorang kita sebagai guru boleh menggunakan gambar-gambar atau yang dapat dilihat langsung oleh siswa. Karena benda-benda itu memungkinkan bisa meningkatkan daya pikir mereka. Intuisi juga dapat berkembang dengan membiasakan siswa untuk berpikir tentang suatu hal, kita sebagai guru bisa memberikan kesempatan kepada siswa untuk berpikir secara instensif dan ekstensif tentang sesuatu dengan tidak terlebih dahulu menjelaskannya. Atau dari penjelasan Bapak bahwa guru matematika yang menjelaskan matematika dengan definisi hal ini dapat menghambat daya intuisi siswa.

  9. Heni Lilia Dewi
    PPs Pendidikan Matematika Kelas C 2016

    Intuisi dan imajinasi merupakan komponen dalam filsafat pendidikan matematika yang sempat Prof. Marsigit petakan dalam sebuah diagram/bagan dalam blog ini juga. Intuisi dan imajinasi sangat berperan dalam pembentukan pengetahuan manusia. Melalui imajinasi, yang merupakan gambaran dari pemikiran awal manusia, merupakan asal-muasal dari pemerolehan pengetahuan tersebut. Dengan intuisi, manusia berusaha memahami secara lebih mendalam sehingga diperoleh pengetahuan baru. Jadi, intuisi dan imajinasi perlu dikombinasikan dengan baik agar manusia dapat mencapai logos menembus ruang dan waktu.

  10. Sylviyani Hardiarti
    S2 Pendidikan Matematika Kelas D 2016

    Imajinasi dan intuisi merupakan komponen penting dalam belajar matematika. Intuisi sangat penting untuk menghasilkan ide-ide/gagasan matematika. Imajinasi dan intuisi dapat muncul akibat adanya pengalaman. Misalnya dalam belajar geometri, masalah yang sering dialami siswa adalah kesulitan dalam berimajinasi. Sesuai dengan urutan belajar matematika untuk siswa SD, bahwa mereka belajar dimulai dengan benda-benda konkret, maka agar imajinasi anak dapat berkembang dengan baik, guru dapat memulai pembelajaran geometri dengan menggunakan benda-benda konkret terlebih dahulu. Sehingga mereka nantinya memiliki pengalaman yang dapat membantu mereka dalam berimajinasi ketika belajar matematika.