Nov 1, 2012

Kant on Mathematical Method




By Marsigit
Yogyakarta State University

Kant’s notions of mathematical method can be found in “The Critic Of Pure Reason: Transcendental Doctrine Of Method; Chapter I. The Discipline Of Pure Reason, Section I. The Discipline Of Pure Reason In The Sphere Of Dogmatism”. Kant recites that mathematical method is unattended in the sphere of philosophy by the least advantage that geometry and philosophy are two quite different things, although they go hand in hand in the field of natural science, and, consequently, that the procedure of the one can never be imitated by the other.


According to Kant 1, the evidence of mathematics rests upon definitions, axioms, and demonstrations; however, none of these forms can be employed or imitated in philosophy in the sense in which they are understood by mathematicians. Kant 2 claims that all our mathematical knowledge relates to possible intuitions, for it is these alone that present objects to the mind.

An a priori or non-empirical conception contains either a pure intuition that is it can be constructed; or it contains nothing but the synthesis of possible intuitions, which are not given a priori. Kant 3 sums up that in this latter case, it may help us to form synthetical a priori judgements, but only in the discursive method, by conceptions, not in the intuitive, by means of the construction of conceptions.

On the other hand, Kant 4 explicates that no synthetical principle which is based upon conceptions, can ever be immediately certain, because we require a mediating term to connect the two conceptions of event and cause that is the condition of time-determination in an experience, and we cannot cognize any such principle immediately and from conceptions alone.

Discursive principles are, accordingly, very different from intuitive principles or axioms. In his critic, Kant 5 holds that empirical conception can not be defined, it can only be explained. In a conception of a certain number of marks or signs, which denote a certain class of sensuous objects, we can never be sure that we do not cogitate under the word which.

The science of mathematics alone possesses definitions. According to Kant 6, philosophical definitions are merely expositions of given conceptions and are produced by analysis; while, mathematical definitions are constructions of conceptions originally formed by the mind itself and are produced by a synthesis.
Further, in a mathematical definition 7 the conception is formed; we cannot have a conception prior to the definition. Definition gives us the conception. It must form the commencement of every chain of mathematical reasoning.

In mathematics 8, definition can not be erroneous; it contains only what has been cogitated. However, in term of its form, a mathematical definition may sometimes error due to a want of precision. Kant marks that definition: “Circle is a curved line, every point in which is equally distant from another point called the centre” is faulty, from the fact that the determination indicated by the word curved is superfluous.

For there ought to be a particular theorem, which may be easily proved from the definition, to the effect that every line, which has all its points at equal distances from another point, must be a curved line (see Figure 22.)- that is, that not even the smallest part of it can be straight. 9

Kant (1781) in “The Critic Of Pure Reason: 1. AXIOMS OF INTUITION, The principle of these is: All Intuitions are Extensive Quantities”, illustrates that mathematics have its axioms to express the conditions of sensuous intuition a priori, under which alone the schema of a pure conception of external intuition can exist e.g. "between two points only one straight line is possible", "two straight lines cannot enclose a space," etc.

These 10 are the axioms which properly relate only to quantities as such; but, as regards the quantity of a thing, we have various propositions synthetical and immediately certain (indemonstrabilia) that they are not the axioms. Kant 11 highlights that the propositions: "If equals be added to equals, the wholes are equal"; "If equals be taken from equals, the remainders are equal"; are analytical, because we are immediately conscious of the identity of the production of the one quantity with the production of the other; whereas axioms must be a priori synthetical propositions.

On the other hand 12, the self-evident propositions as to the relation of numbers, are certainly synthetical but not universal, like those of geometry, and for this reason cannot be called axioms, but numerical formulae. Kant 13 proves that 7 + 5 = 12 is not an analytical proposition; for either in the representation of seven, nor of five, nor of the composition of the two numbers; “Do I cogitate the number twelve?” he said.

 Although the proposition 14 is synthetical, it is nevertheless only a singular proposition. In so far as regard is here had merely to the synthesis of the homogeneous, it cannot take place except in one manner, although our use of these numbers is afterwards general. Kant then exemplifies the construction of triangle using three lines as the following:

The statement: "A triangle can be constructed with three lines, any two of which taken together are greater than the third" is merely the pure function of the productive imagination, which may draw the lines longer or shorter and construct the angles at its pleasure; therefore, such propositions cannot be called as axioms, but numerical formulae
15

Kant in “The Critic Of Pure Reason: II. Of Pure Reason as the Seat of Transcendental Illusory Appearance, A. OF REASON IN GENERAL”, enumerates that mathematical axioms 16 are general a priori cognitions, and are therefore rightly denominated principles, relatively to the cases which can be subsumed under them. While in “The Critic Of Pure Reason: SECTION III. Of Opinion, Knowledge, and Belief; CHAPTER III.

The Arehitectonic of Pure Reason”, Kant propounds that 17mathematics may possess axioms, because it can always connect the predicates of an object a priori, and without any mediating term, by means of the construction of conceptions in intuition. On the other hand, in “The Critic Of Pure Reason: CHAPTER IV. The History of Pure Reason; SECTION IV. The Discipline of Pure Reason in Relation to Proofs” , Kant designates that in mathematics, all our conclusions may be drawn immediately from pure intuition. Therefore, mathematical proof must demonstrate the possibility of arriving, synthetically and a priori, at a certain knowledge of things, which was not contained in our conceptions of these things.

All 18 the attempts which have been made to prove the principle of sufficient reason, have, according to the universal admission of philosophers, been quite unsuccessful. Before the appearance of transcendental criticism, it was considered better to appeal boldly to the common sense of mankind, rather than attempt to discover new dogmatical proofs. Mathematical proof 19 requires the presentation of instances of certain concepts.

These instances would not function ex¬actly as particulars, for one would not be entitled to assert anything concerning them which did not follow from the general concept. Kant 20 says that mathematical method contains demonstrations because mathematics does not deduce its cognition from conceptions, but from the construction of conceptions, that is, from intuition, which can be given a priori in accordance with conceptions. Ultimately, Kant 21 contends that in algebraic method, the correct answer is deduced by reduction that is a kind of construction; only an apodeictic proof, based upon intuition, can be termed a demonstration.

References:

Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: Transcendental Doctrine Of Method; Chapter I. The Discipline Of Pure Reason, Section I. The Discipline Of Pure Reason In The Sphere Of Dogmatism”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003 ).
2 Ibid.
3 Ibid.
4 Ibid.
5 Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: Transcendental Doctrine Of Method, Chapter I, Section I .”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003
6 Ibid.
7 Ibid.
8 Ibid.
9 Ibid.
10 Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: 1. AXIOMS OF INTUITION, The principle of these is: All Intuitions are Extensive Quantities”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003).
11Ibid.
12Ibid.
13Ibid.
14Ibid.
15Ibid.
16Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: II. Of Pure Reason as the Seat of Transcendental Illusory Appearance, A. OF REASON IN GENERAL”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003).
17Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: SECTION III. Of Opinion, Knowledge, and Belief; CHAPTER III. The Arehitectonic of Pure Reason” Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003)
18Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: CHAPTER IV. The History of Pure Reason; SECTION IV. The Discipline of Pure Reason in Relation to Proofs” Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003)
19Kant in Wilder, R. L. , 1952, “Introduction to the Foundation of Mathematics”, New York
20Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: Transcendental Doctrine Of Method, Chapter I, Section I .”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003).
21 Ibid.

17 comments:

  1. Fany Isti Bigo
    18709251020
    PPs UNY PM A 2018

    Metode matematika merupakan proses berpikir menggunakan prinsip-prisip matematika dalam menyelesaikan setiap permasalahan dan bagaimana kemampuan pemecahan masalah matematika yang kita miliki. Permasalahan yang ada menimbulkan keingintahuan untuk memecahkannya melalui pertanyaan yang akan dicari bagaimana solusi dalam pemecahan masalah tersebut. Solusi-solusi tersebut berawal dari identifikasi, hipotesis, menganalisis, dan pada ahkirnya menarik kesimpulan dari setiap permasalahan yang ada.

    ReplyDelete
  2. Dini Arrum Putri
    18709251003
    S2 P Math A 2018

    Matematika diajarkan agar siswa memiliki kemampuan dan keterampilan dalam menyelesaikan masalah, masalah yang kita temui dalam matematika selalu berhubungan dengan masalah sehari hari. Keterampilan dalam menyelesaikan masalah matematika sangat penting diperlukan oleh setiap siswa contoh kemampuan pemecahan masalah yang setidaknya langkah langkahnya sudah diketahui oleh siswa itu.

    ReplyDelete
  3. Fabri Hidayatullah
    18709251028
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Kant menyatakan bahwa metode matematis mengandung demonstrasi karena matematika tidak menyimpulkan pengetahuannya dari pemikiran. Pengetahuan diperoleh dari pembentukan konsepsi. Hal tersebut diperoleh melalui intuisi yang kemudian dapat diberikan a priori sesuai dengan pemikiran. Kant beranggapan bahwa dalam metode aljabar, jawaban yang benar disimpulkan dari reduksi yang merupakan suatu pembentukan. Hanya pembuktian apodeiktik yang didasarkan pada intuisi dapat disebut sebagai demonstrasi.

    ReplyDelete
  4. Agnes Teresa Panjaitan
    S2 Pendidikan Matematika A 2018
    18709251013

    Berdasarkan pada apa yang dikemukakan oleh Kant I bahwa bukti matematika terletak pada definisi, aksioma, dab demonstrasinya, namun hal ini tidak dapat ditinjau secar filsafat, Berdasarkan 18 hal yang coba dikemukakan oleh Kant yang coba membuktikan prinsip dalam penalaran matematika yang berlandaskan pada pengakuan para filsuf tidak cukup sukses, dan pada pembuktiannya yang ke 19, Kant mengemukakan bahwa matematika membutuhkan presentasi akan konsep tertentu. Dan pada pembuktiannya Kant 20, menyatakan bahwa mteode matematika mengandung demonstrasi karena matematika tidak menyimpulkan kognisinya dari proses melainkan dari kontruksi terhadap konsep yang berasal dari intuisi.

    ReplyDelete
  5. Amalia Nur Rachman
    18709251042
    S2 Pendidikan Matematika B UNY 2018

    Matematika sebagai ilmu yang “sintetis apriori” dihasilkan dari konstruksi konsep matematika berdasarkan intuisi ruang dan waktu. Menurut Kant, matematika sebagai ilmu memungkinkan jika konsepnya dibangun berdasarkan intuisi matematika dan spasial waktu. Kant membandingkan metode sintesis dengan metode analitik dan konsep “priori” yang bertentangan dengan konsep “posteori”. Apabila matematika hanya dikembangkan dengan metode analitik, maka tidak akan menghasilkan konsep baru, namun hanyalah matematika sebagai fiksi ilmiah. Matematika tidak hanya dikembangkan dengan konsep “posteori” karena matematika akan menjadi empiris. Namun, data yang berasal dari pengalaman empiris diperlukan untuk penginderaan dalam mengeksplorasi konsep matematika yang “priori”. Di sinilah uniknya peran dari teori Kant yang berusaha untuk memberikan solusi dari ketidaksepakatan antara rasionalis dan empiris dalam membangun fondasi matematika.

    ReplyDelete
  6. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018
    Terkait topik bahasan mengenai Kant on Mathematical Method bahwa Sebuah konsepsi apriori atau non-empiris mengandung intuisi murni yang dapat dibangun; atau tidak mengandung apa pun kecuali sintesis dari intuisi yang mungkin, yang tidak diberikan apriori.

    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete
  7. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018
    Sehingga, pada gagasan selanjutnya, dikatakan Kant mengatakan bahwa metode matematika mengandung demonstrasi karena matematika tidak menyimpulkan kognisi dari konsepsi, tetapi dari konstruksi konsepsi, yaitu, dari intuisi, yang dapat diberikan apriori sesuai dengan konsepsi. Pada akhirnya, Kant berpendapat bahwa dalam metode aljabar, jawaban yang benar disimpulkan dengan reduksi yang merupakan jenis konstruksi; hanya bukti apodeiktik, yang didasarkan pada intuisi, dapat disebut demonstrasi.

    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete

  8. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018
    Seperti yang diutarakan oleh Saudari Fany bahwa "Permasalahan yang ada menimbulkan keingintahuan untuk memecahkannya melalui pertanyaan yang akan dicari bagaimana solusi dalam pemecahan masalah tersebut. Solusi-solusi tersebut berawal dari identifikasi, hipotesis, menganalisis, dan pada ahkirnya menarik kesimpulan dari setiap permasalahan yang ada", maksud dari pernyataan tersebut sepertinya mengarah pada resolusi dari penelitian ilmiah.
    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete
  9. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018
    Seperti yang dikatakan oleh saudari Dini bahwa "Keterampilan dalam menyelesaikan masalah matematika sangat penting diperlukan oleh setiap siswa contoh kemampuan pemecahan masalah yang setidaknya langkah langkahnya sudah diketahui oleh siswa itu", maksud dari pernyataan tersebut sepertinya mengarah pada skill siswa dalam menyelasaikan soal atau menjawab soal.
    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete
  10. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018
    Seperti yang dikatakan oleh Fabri bahwa "Hanya pembuktian apodeiktik yang didasarkan pada intuisi dapat disebut sebagai demonstrasi", maksud dari pernyataan tersbeut sepertinya mengarah pada sistem operasi nalar siswa.
    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete
  11. Assalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh
    Besse Rahmi Alimin
    18709251039
    S2 Pendidikan Matematika 2018

    Seperti yang dikatakan oleh saudari Amel bahwa "Di sinilah uniknya peran dari teori Kant yang berusaha untuk memberikan solusi dari ketidaksepakatan antara rasionalis dan empiris dalam membangun fondasi matematika". Maksud dari pernyataan ini sepertinya mengarah pada keistimewaan dari teori Kant dalam mengasumsikan dasar matematika.
    Terima Kasih
    Wassalamu Alaikum Warohmatullahi Wabarokatuh

    ReplyDelete
  12. Rosi Anista
    18709251040
    S2 Pendidikan Matematika B

    Menurut Kant, matematika sebagai ilmu memungkinkan jika konsepnya dibangun berdasarkan intuisi matematika dan spasial waktu. Pengetahuan diperoleh dari pembentukan konsepsi. Sehingga dalam pemilihan metode matematika harus mengandung demonstrasi karena matematika tidak menyimpulkan pengetahuannya dari pemikiran semata.

    ReplyDelete
  13. Septia Ayu Pratiwi
    18709251029
    S2 Pendidikan Matematika 2018

    Kant berpendapat bahwa bukti matematika berdasarkan pada definisi, aksioma, teorema, dan demonstrasi. Namun benteuk-bentuk tersebut tidak dapat digunakan dalam filsafat oleh ahli matematika. Kant mengklaim bahwa pengetahuan matematika berhubungan dengan kemampuan intuisi. Kant juga menjelaskan bahwa tidak ada prinsip sintetik yang didasarkan pada sebuah konsep, sehingga dibutuhkan dua konsepsi yang dapat dihubungkan melalui waktu dan pengalaman untuk dapat memahami prinsip yang terdapat dalam sebuah konsep.

    ReplyDelete
  14. Nur Afni
    18709251027
    S2 Pendidikan Matematika B 2018

    Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.
    Dalam matematika 8, definisi tidak dapat salah; itu hanya berisi apa yang telah dipikirkan. Namun, dalam hal bentuknya, definisi matematika kadang-kadang dapat salah karena keinginan presisi. Kant menandai definisi itu: "Lingkaran adalah garis lengkung, setiap titik di mana sama-sama jauh dari titik lain yang disebut pusat" salah, dari kenyataan bahwa penentuan yang ditunjukkan oleh kata melengkung adalah berlebihan.

    ReplyDelete
  15. Janu Arlinwibowo
    18701261012
    PEP 2018

    Menurut Kant, matematika tidak hanya dikembangkan dengan konsep “posteori” karena matematika akan menjadi empiris. Namun, data yang berasal dari pengalaman empiris diperlukan untuk penginderaan dalam mengeksplorasi konsep matematika yang “priori”. Di sinilah uniknya peran dari teori Kant yang berusaha untuk memberikan solusi dari ketidaksepakatan antara rasionalis dan empiris dalam membangun fondasi matematika.
    http://rosarianggun.blogspot.com/2011/12/kants-concepts-of-mathematics.html

    ReplyDelete
  16. Yoga Prasetya
    18709251011
    S2 Pendidikan Matematika UNY 2018 A
    Matematika memiliki banyak metode untuk menyelesaikan masalah dan persoalan yang ada. Metode matematika diberikan untuk memberikan keterampilan dan kreatifitas siswa dalam pembelajaran. Seorang guru harus memiliki ide dan metode dalam proses pembelajaran agar menjadi lebih efektif dan menyenangkan bagi siswa. Disinilah perlu kesadaran seorang guru menumbuhkan kesadarannya untuk selalu inovatif dan kreativ untuk proses pembelajaran matematika yang lebih baik.

    ReplyDelete
  17. Outstanding article! I want people to know just how good this information is in your article. Your views are much like my own concerning this subject. I will visit daily your blog because I know. It may be very beneficial for me. terapia pareja malaga

    ReplyDelete