Apr 5, 2013

Elegi Menggapai "Ontological Foundation of Mathematics"




By Marsigit
Yogyakarta State University

Relating to ontological foundation of mathematics, Litlang (2002) views that in mathematical realism, sometimes called Platonism, the existence of a world of mathematical objects independent of humans is postulated; not our axioms, but the very real world of mathematical objects forms the foundation.

The obvious question, then, is: how do we access this world? Some modern theories in the philosophy of mathematics deny the existence of foundations in the original sense.

Some theories tend to focus on mathematical practices and aim to describe and analyze the actual working of mathematicians as a social group.

Others try to create a cognitive science of mathematics, focusing on human cognition as the origin of the reliability of mathematics when applied to the 'real world'.

These theories 1 would propose to find the foundations of mathematics only in human thought, not in any 'objective' outside construct, although it remains controversial.

Litlang indicates that although mathematics might seem the clearest and most certain kind of knowledge we possess, there are problems just as serious as those in any other branch of philosophy.

It is not easy to elaborate the nature of mathematics and in what sense do mathematics propositions have meaning?.

Plato 2 believes, in Forms or Ideas, that there are eternal capable of precise definition and independent of perception.

Plato includes, among such entities, numbers and the objects of geometry such as lines, points or circles which were apprehended not with the senses but with reason.

According to Plato 3, the mathematical objects deal with specific instances of ideal Forms.

Since the true propositions of mathematics 4 are true of the unchangeable relations between unchangeable objects, they are inevitably true, which means that mathematics discovers pre-existing truths out there rather than creates something from our mental predispositions; hence, mathematics dealt with truth and ultimate reality.

Litlang (2002) indicates that Aristotle disagreed with Plato. According to Aristotle, Forms were not entities remote from appearance but something that entered into objects of the world.

That we abstract mathematical object does not mean that these abstractions represent something remote and eternal. However, mathematics is simply reasoning about idealizations.

Aristotle 5 looks closely at the structure of mathematics, distinguishing logic, principles used to demonstrate theorems, definitions and hypotheses.

Litlang implies that while Leibniz brought together logic and mathematics, Aristotle uses propositions of the subject- predicate form.

Leibniz argues that the subject contains the predicate; therefore the truths of mathematical propositions are not based on eternal or idealized entities but based on their denial is logically impossible.

According to Leibniz 6, the truth of mathematics is not only of this world, or the world of eternal Forms, but also of all possible worlds.

Unlike Plato, Leibniz sees the importance of notation i.e. a symbolism of calculation, and became very important in the twentieth century mathematics viz. a method of forming and arranging characters and signs to represent the relationships between mathematical thoughts.

On the other hand, Kant 7 perceives that mathematical entities were a-priori synthetic propositions on which it provides the necessary conditions for objective experience.

According to Kant 8, mathematics is the description of space and time; mathematical concept requires only self-consistency, but the construction of such concepts involves space having a certain structure.

On the other hand, Frege, Russell and their followers 9 develop Leibniz's idea that mathematics is something logically undeniable.

Frege 10 uses general laws of logic plus definitions, formulating a symbolic notation for the reasoning required. Inevitably, through the long chains of reasoning, these symbols became less intuitively obvious, the transition being mediated by definitions.

Russell 11 sees the definitions as notational conveniences, mere steps in the argument. While Frege sees them as implying something worthy of careful thought, often presenting key mathematical concepts from new angles.

For Russell 12, the definitions had no objective existence; while for Frege, it is ambiguous due to he states that the definitions are logical objects which claim an existence equal to other mathematical entities.

Eves H. and Newsom C.V. write that the logistic thesis is that mathematics is a branch of logic.

All mathematical concepts are to be formulated in terms of logical concepts, and all theorems of mathematics are to be developed as theorems of logic.

The distinction between mathematics and logic 13 becomes merely one of practίcal convenience; the actual reduction of mathematical concepts to logical concepts is engaged in by Dedekind (1888) and Frege (1884-1903), and the statement of mathematical theorems by means of a logical symbolism as undertaken by Peano (1889-1908).

The logistic thesis arises naturally from the effort to push down the foundations of mathematics to as deep a level as possible. 14

Further, Eves H. and Newsom C.V. (1964) state:

The foundations of mathematics were established in the real number system, and were pushed back from the real number system to the natural number system, and thence into set theory. Since the theory of classes is an essential part of logic, the idea of reducing mathematics to logίc certainly suggests itself.

The logistic thesis is thus an attempted synthesization suggested why an important trend in the history of the application of the mathematical method.

Meanwhile, Litlangs determines that in geometry, logic is developed in two ways.

The 15 first is to use one-to-one correspondences between geometrical entities and numbers.

Lines, points, circle, etc. are matched with numbers or sets of numbers, and geometric relationships are matched with relationships between numbers.

The second is to avoid numbers altogether and define geometric entities partially but directly by their relationships to other geometric entities.

Litlangs comments that such definitions are logically disconnected from perceptual statements so that the dichotomy between pure and applied mathematics continues.

It is somewhat paralleling Plato's distinction between pure Forms and their earthly copies.

Accordingly, alternative self-consistent geometries can be developed, therefore, and one cannot say beforehand whether actuality is or is not Euclidean; moreover, the shortcomings of the logistic procedures remain, in geometry and in number theory.

Furthermore, Litlangs (2002) claims that there are mathematicians perceiving mathematics as the intuition of non-perceptual objects and constructions.

According to them, mathematics is introspectively self-evident and begins with an activity of the mind which moves on from one thing to another but keeps a memory of the first as the empty form of a common substratum of all such moves.

Next, he states:
Subsequently, such constructions have to be communicated so that they can be repeated clearly, succinctly and honestly. Intuitionist mathematics employs a special notation, and makes more restricted use of the law of the excluded middle viz. that something cannot be p' and not-p' at the same time. A postulate, for example, that the irrational number pi has an infinite number of unbroken sequences of a hundred zeros in its full expression would be conjectured as un-decidable rather than true or false. 16

The law of excluded middle, tertium non datur in Latin, states that for any proposition P, it is true that “P or not P”. For example, if P is “Joko is a man” then the inclusive disjunction “Joko is a man, or Joko is not a man” is true.

P not P P or not P
True False True
False True True


Litlangs (2002), further, adds that different writers perceive mathematics as simply what mathematicians do; for them, mathematics arises out of its practice, and must ultimately be a free creation of the human mind, not an exercise in logic or a discovery of preexisting fundamentals.

Mathematics 17 does tell us, as Kant points out, something about the physical world, but it is a physical world sensed and understood by human beings.

On the other hand 18, relativists remind that nature presents herself as an organic whole, with space, matter and time.

Humans have in the past analyzed nature, selected certain properties as the most important, forgotten that they were abstracted aspects of a whole, and regarded them thereafter as distinct entities; hence, for them, men have carried out mathematical reasoning independent of sense experience.

References:
1. Ibid
2Litlangs, 2002-2004, “Math Theory” Retrieved 2004
3 Ibid.
4 Ibid.
5 Ibid.
6 Ibid.
7 Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston, p.70
8 Ibid.p.70
9 Ibid.p.286
10 Litlangs, 2002-2004, “Math Theory” Retrieved 2004
11Ibid.
12Ibid.
13Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston, p. 286
14Ibid.p.286
15Litlangs, 2002-2004, “Math Theory” Retrieved 2004
16Ibid.
17Ibid.
18Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston, p.289
19Ibid.p. 290

17 comments:

  1. Erni Anitasari
    16709251007
    S2 Pend. Matematika Kelas A

    Matematika perlu diterapkan dalam kehidupan nyata. Melalui praktek-praktek matematika dapat mendeskripsikan dan menganalisis kebenaran dari ilmu matematika. Matematika yang setiap harinya dipelajari, tidak hanya berada di dalam dunia pikiran, tetapi juga diterapkan dalan dunia nyata.

    ReplyDelete
  2. Arifta Nurjanah
    16709251030
    PPs P Mat B

    Terdapat berbagai macam ideologi pendidikan matematika. Berdasarkan elegi ini, ideologi tersebut terdiri dari ideologi radikal, konservatif, liberal, dan demokrasi. Penggunaan ideologi tersebut pada biasanya dipengaruhi oleh politik, kebutuhan, tujuan, situasi dan kondisi dimana ideologi tersebut diterapkan. Masing-masing ideologi tersebut akan mempengaruhi bagaimana matematika dikembangkan, bagaimana matematika diorganisasikan, bagaimana matematika dibelajarkan, bagaimana matematika dipelajari, dan bagaimana pembelajaran matematika dilaksanakan di sekolah.

    ReplyDelete
  3. Misnasanti
    16709251011
    PPs PMAT A 2016

    Secara filsafat, ontologi pendidikan matematika mengkaji bagaimana mencari inti yang yang cermat dari setiap kenyataan yang ditemukan, membahas apa yang kita ingin ketahui, seberapa jauh kita ingin tahu, menyelidiki sifat dasar dari apa yang nyata secara fundamental. Dan artikel ini membahas dasar ontologis matematika. dasar matematika dalam pikiran manusia. Matematika memiliki dimensi ruang dan waktu. konsep matematika membutuhkan konsistensi. Hal ini seperti yang dijelaskan oleh Kant.

    ReplyDelete
  4. Devi Anggriyani
    16701251023
    S2 PEP B 2016

    Berdasarkan elegi di atas, terdapat ideologi radikal, konservatif, liberal, dan demokrasi. Ideologi tersebut akan mempengaruhi bagaimana matematika dikembangkan sampai bagaimana pembelajaran matematika dilaksanakan di sekolah. Karena matematika tidak hanya hitungan angka belaka tapi matematika memiliki manfaat dan makna dalam kehidupan sehari-hari, dalam bidang apapun matematika banyak diaplikasikan.

    ReplyDelete
  5. RAHMANITA SYAHDAN
    16709251013
    PPs Pmat A 2016

    Bismillahirrahmanirrahim
    Menurut Marion Reba’i dalam makalahnya di www.academia.edu tentang ontologi. Beliau menuliskan bahwa, pengertian ini mencakup pengertian yang diungkapkan berbagai aliran filsafat khusus mengenai ontologi dalam mempelajari matematika, yaitu (1) aliran logistik yang dipelopori oleh Immanuel Kant (1724-1804) yang mengatakan bahwa matematika merupakan cara logis (logistik) yang salah atau benarnya dapat ditentukan tanpa mempelajari dunia empiris; (2) aliran intuisionis yang dipelopori oleh Jan Brouwer (1881–1966) mengatakan bahwa matematika bersifat intuisionis; (3) aliran formalis yang dipelopori oleh David Hilbert (1862-1943) mengatakan bahwa matematika merupakan pengetahuan tentang struktur formal dari lambang. Kaum formalis menekankan pada aspek formal dari matematika sebagai bahasa lambang dan mengusahakan konsistensi dalam penggunaan matematika sebagai bahasa lambang. Maksudnya, matematika bersifat logis karena berfungsi sebagai sarana berfikir. Matematika bersifat intuisi karena hakekat sebuah bilangan harus dapat dibentuk melalui kegiatan intuitif dalam berhitung dan menghitung. Terakhir matematika juga bersifat formal karena merupakan abstraksi yang ditulis dalam bahasa lambang.
    Dengan memahami ontologi (hakikat) matematika sebagaimana dijelaskan di atas, pendidikan matematika di sekolah seyogyanya diarahkan kepada peningkatan kemampuan bernalar (berfikir) dan pemecahan masalah. Hal ini seperti tertuang dalam tujuan pembelajaran matematika (Depdiknas, 2006) yaitu:
    (1) memahami konsep matematika,
    (2) mengembangkan penalaran,
    (3) mengmbangkan kemampuan pemecahan masalah,
    (4) mengembangkan kemampuan komunikasi matematis, dan
    (5) memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan.
    Di samping itu, pendidikan matematika di sekolah juga harus mempertimbangkan tahapan perkembangan peserta didik. Sehubungan dengan ini perlu difahami ontologi matematika sekolah, di antaranya karakteristik matematika sekolah. Menurut Sumardyono (2004:43) ada 4 (empat) karakteristik matematika sekolah yang sekaligus membedakannya dengan matematika sebagai “ilmu pengetahuan”, yaitu (1) penyajian, (2) pola fikir, (3) keterbatasan semesta, dan (4) tingkat keabstrakan. Penyajian matematika sekolah tidak harus diawali dengan teorema dan definisi tetapi harus disesuaikan dengan tingkat intelektual siswa. Hal ini diperlukan agar pembelajaran matematika bermakna dan bermanfaat bagi siswa. Untuk ini pembelajaran matematika dimulai hal-hal yang bersifat kongkrit kemudian secara bertahap menuju ke arah yang lebih formal dan abstrak. Berikutnya pola fikir dikembangkan mulai dari pola fikir induktif untuk anak Sekolah Dasar kemudian secara bertahap mengarah kepada penekanan pola fikir deduktif pada siswa Sekolah Lanjutan dan Menengah. Perluasan semesta pembicaraan matematika juga dilakukan secara bertahap, semakin meningkat intelektualitas siswa maka semakin luas semesta pembicaraannya. Demikian juga tingkat keabstrakan matematika, dimulai dengan memperkenalkan benda-benda kongkrit pada siswa SD kemudian bertahap kepada situasi formal dan abstrak kepada siswa SMP dan SMA.

    ReplyDelete
  6. Rospala Hanisah Yukti Sari
    16790251016
    S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

    Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    Dari elegi tersebut, keberadaan sebuah ideologi akan mempengaruhi rancangan dan pelaksanaan pembelajaran. Dengan keberadaan ideologi, maka akan memunculkan sebuah metode atau tindakan yang khas tentang pembelajaran tersebut berdasarkan pandangan ideologi tersebut. Sebuah ideologi akan menuntut para pengembannya untuk mengamalkan dan menyampaikan kepada khalayak.

    Namun saat ini, pembelajaran cenderung hanya bersifat teoritis tetapi minim dari sisi amaliyah. Karena pendidikan sekarang memang kurang sesuai dengan fitrah manusia. Sehingga, harapannya ada ideologi alternatif yang shahih yang memandang pembelajaran bukan hanya dari aspek teoritis semata tetapi juga amaliyah praktis.

    Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    ReplyDelete
  7. Azwar Anwar
    16709251038
    Pendidikan Matematika S2 Kelas B 2016

    Ontologi adalah teori mengenai apa yang ada, dan membahas tentang yang ada. Atau dalam matematika dapat dikatakan sebagai memahami keseluruhan dan kenyataan matematika yaitu matematika yang mengada. Dengan ontologi ini kita dapat mengetahui hakekat matematika, pondasi matematika, intuisi matematika dan kontradiksi dalam matematika. Jadi dengan hakekat, pondasi, intuisi dan kontradiksi kita dapat mengkaji bagaimana mengetahui dan menyelidiki sifat objek-objek matematika.

    ReplyDelete
  8. Fatya Azizah
    16709251039
    Pendidikan Matematika B PPS UNY 2016

    teori ontologi matematika ini adalah megenai matematika yang benar bena berada pada kehidupan nyata sehingga berbeda dengan aksiologi yang merupakan konsep dari matematika itu sendiri. sesuai dengan pendapat Kant, mathematics is the description of space and time; mathematical concept requires only self-consistency, but the construction of such concepts involves space having a certain structure. yang maksudnya konstruksi konsep dari aksiologi juga membutuhkan ruang dan waktu yang tercakup dalam teori ontologi.

    ReplyDelete
  9. Nuha Fazlussalam
    13301244023
    s1 pedidikan matematika c 2013

    fondasai otologi matematika berawal dari realisme matematika platoisme, dari matemtika yenag bersifat kongkit, matematika yang masih banyak kontradiski, berawal dari plato kemudan arostistotelses danseterusny hinga matematika yang bersifat absatrak ideal, mengikuti axioma-axoma atau axiomatics, memuat definisi dan konsep-konsep yang ada pada matematika.

    ReplyDelete
  10. Siti Mufidah
    13301241036
    Pendidikan Matematika A 2013

    Matematika sebagai dasar dari segala ilmu yang ada, misalnya ilmu fisika, kimia, ekonomi, dan lainnya. Terdapat dua unsur pokok yang menjadi landasan matematika yaitu logika matematika dan teori himpunan. Sedangkan landasan ontologi matematika berkaitan dengan objek matematika tersebut, keberadaan dan hubungan di dalamnya.

    ReplyDelete
  11. Wan Denny Pramana Putra
    16709251010
    PPs Pendidikan Matematika A

    Pendekatan ontologis digunakan untuk menerima kenyataan dalam matematika. Pendekatan ini berusaha untuk memahami kembali pemahaman paling dalam tentang kenyataan dari matematika konkretnya. Pada akhirnya ontologi matematika bergerak melalui dua kutub yaitu dari sisi kenyataan matematika dan dari sisi matematika yang mengada (Anwar, 2012).

    ReplyDelete
  12. This comment has been removed by the author.

    ReplyDelete
  13. RISKA AYU ARDANI
    16709251021
    PMAT KELAS B PPS UNY 2016

    Ontologi berasal dari Bahasa Yunani, yaitu on / ontos = being atau ada, dan logos = logic atau ilmu. Jadi, ontologi bisa diartikan : The theory of being qua being (teori tentang keberadaan sebagai keberadaan), atau Ilmu tentang yang ada. Ontologi adalah ilmu yang membahas tentang hakikat yang ada, yang merupakan ultimate reality yang berbentuk jasmani / kongkret maupun rohani / abstrak (Bakhtiar, 2004). Sehingga ontologi matematika adalah suatu teori yang berusaha untuk memahami bidang matematika yang abtrak dan tinggi. yang kemudian perlu dipahami secara sederhana untuk mematahkan masalah kehidupan.

    ReplyDelete
  14. Erlinda Rahma Dewi
    16709251006
    S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

    Ontologi adalah teori mengenai apa yang ada, dan membahas tentang yang ada, yang tidak terikat oleh satu perwujudan tertentu. Jadi, matematika ditinjau dari aspek ontologi, dimana aspek ontologi telah berpandangan untuk mengkaji bagaimana mencari inti yang yang cermat dari setiap kenyataan yang ditemukan, membahas apa yang kita ingin ketahui, seberapa jauh kita ingin tahu, menyelidiki sifat dasar dari apa yang nyata secara fundamental. Adapun metode-metode yang digunakan antara lain adalah:abstraksi fisik yang dimana berpusat pada suatu obyek, Abstrksi bentuk adalah sekumpulan obyek yang sejenis dan Abstraksi metafisik adalah sifat obyek yang general.

    ReplyDelete
  15. Rhomiy Handican
    16709251031
    PPs Pendidikan Matematika B 2016

    Keberadaan sebuah ideologi akan sangat mempengaruhi rancangan dan pelaksanaan pembelajaran yang dilakukan oleh seseorang dalam belajar. Dengan keberadaan ideologi, maka akan memunculkan sebuah metode atau tindakan yang khas tentang pembelajaran tersebut berdasarkan pandangan ideologi tersebut. Sebuah ideologi akan menuntut para pengembannya untuk mengamalkan dan menyampaikan kepada khalayak. ideologi tersebut terdiri dari ideologi radikal, konservatif, liberal, dan demokrasi. Penggunaan ideologi tersebut pada biasanya dipengaruhi oleh politik, kebutuhan, tujuan, situasi dan kondisi dimana ideologi tersebut diterapkan.

    ReplyDelete
  16. Ummi Santria
    16709251008
    S2 Pend. Mat Kelas A – 2016

    Ontologi membahas mengenai apa yang ada, dan membahas tentang yang ada, yang tidak terikat oleh satu perwujudan tertentu. Eksistensi dari entitas-entitas matematika juga menjadi bahan pemikiran filsafat. Matematika ditinjau dari aspek ontologi, dimana aspek ontologi telah berpandangan untuk mengkaji bagaimana mencari inti yang yang cermat dari setiap kenyataan yang ditemukan, membahas apa yang kita ingin ketahui, seberapa jauh kita ingin tahu, menyelidiki sifat dasar dari apa yang nyata secara fundamental.

    ReplyDelete
  17. Andina Nurul Wahidah
    16701251019
    PEP-S2 Kelas B

    Ontologi adalah ilmu yang ada, mempelajari tentang yang ada dan keberadaan. Ontologi matematika berusaha memahami keseluruhan dan kenyataan matematika, yaitu sesuatu yang mengada. Pendekatan ontologis matematika adalah dengan mencari pengertian menurut akar dan dasr terdalam dari kenyataan matematika. Pendekatan ontologis matematika digunakan untuk menerima kenyataan dalam matematika.

    ReplyDelete

marsigitina@yahoo.com, marsigitina@gmail.com, marsigit@uny.ac.id