Nov 1, 2012

Kant on the Basis Validity of the Concept of Geometrical




By Marsigit
Yogyakarta State University

In his Critic of Pure Reason (1787) Kant elaborates that geometry is based upon the pure intuition of space; and, arithmetic accomplishes its concept of number by the successive addition of units in time; and pure mechanics especially cannot attain its concepts of motion without employing the representation of time. Kant stresses that both representations, however, are only intuitions; for if we omit from the empirical intuitions of bodies and their alterations (motion) everything empirical, or belonging to sensation, space and time still remain.


Therefore, Kant concludes that pure mathematics is synthetical cognition a priori. Pure mathematics is only possible by referring to no other objects than those of the senses, in which, at the basis of their empirical intuition lies a pure intuition of space and time which is a priori. Kant illustrates, that in ordinary and necessary procedure of geometers, all proofs of the complete congruence of two given figures come ultimately to to coincide; which is evidently nothing else than a synthetical proposition resting upon immediate intuition.

This intuition must be pure or given a priori, otherwise the proposition could not rank as apodictically certain, but would have empirical certainty only. Kant further claims that everywhere space has three dimensions. This claim is based on the proposition that not more than three lines can intersect at right angles in one point.
Kant argues that drawing the line to infinity and representing the series of changes e.g. spaces travers by motion can only attach to intuition, then he concludes that the basis of mathematics actually are pure intuitions; while the transcendental deduction of the notions of space and of time explains the possibility of pure mathematics.

Kant defines that geometry is a science which determines the properties of space synthetically, and yet a priori. What, then, must be our representation of space, in order that such a cognition of it may be possible? Kant explains that it must be originally intuition, for from a mere conception, no propositions can be deduced which go out beyond the conception, and yet this happens in geometry. But this intuition must be found in the mind a priori, that is, before any perception of objects, consequently must be pure, not empirical, intuition.

According to Kant , geometrical principles are always apodeictic, that is, united with the consciousness of their necessity; however, propositions as "space has only three dimensions", cannot be empirical judgments nor conclusions from them. Kant claims that it is only by means of our explanation that the possibility of geometry, as a synthetical science a priori, becomes comprehensible.

As the propositions of geometry are cognized synthetically a priori, and with apodeictic certainty. According to Kant , all principles of geometry are no less analytical; and it based upon the pure intuition of space. However, the space of the geometer would be considered a mere fiction, and it would not be credited with objective validity, because we cannot see how things must of necessity agree with an image of them, which we make spontaneously and previous to our acquaintance with them.

But if the image is the essential property of our sensibility and if this sensibility represents not things in themselves, we shall easily comprehend that all external objects of our world of sense must necessarily coincide in the most rigorous way with the propositions of geometry. The space of the geometer is exactly the form of sensuous intuition which we find a priori and contains the ground of the possibility of all external appearances.

In his own remarks on geometry, Kant regularly cites Euclid’s angle-sum theorem as a paradigm example of a synthetic a priori judgment derived via the constructive procedure that he takes to be unique to mathematical reasoning. Kant describes the sort of procedure that leads the geometer to a priori cognition of the necessary and universal truth of the angle-sum theorem as:

The object of the theorem—the constructed triangle—is in this case “determined in accordance with the conditions of…pure intuition.” The triangle is then “assessed in concreto” in pure intuition and the resulting cognition is pure and a priori, thus rational and properly mathematical. To illustrate, I turn to Euclid’s demonstration of the angle-sum theorem, a paradigm case of what Kant considered a priori reasoning based on the ostensive but pure construction of mathematical concepts.

Euclid reasons as follows: given a triangle ABC , extend the base BC to D. Then construct a line through C to E such that CE is parallel to AB. Since AB is parallel to CE and AC is a transversal, angle 1 is equal to angle 1'. Likewise, since BD is a transversal, angle 2

For Kant , the axioms or principles that ground the constructions of Euclidean geometry comprise the features of space that are cognitively accessible to us immediately and uniquely, and which precede the actual practice of geometry. Kant said that space is three dimensional; two straight lines cannot enclose a space; a triangle cannot be constructed except on the condition that any two of its sides are together longer than the third.

Kant takes the procedure of describing geometrical space to be pure, or a priori, since it is performed by means of a prior pure intuition of space itself. According to Kant, our cognition of individual spatial regions is a priori since they are cognized in, or as limitations on, the essentially single and all encompassing space itself.
Of the truths of geometry e.g. in performing the geometric proof on a triangle that the sum of the angles of any triangle is 180°, it would seem that our constructed imaginary triangle is operated on in such a way as to ensure complete independence from any particular empirical content.

So, in term of geometric truths, Kant might suggest that they are necessary truths or are they contingent viz. it being possible to imagine otherwise. Kant argues that geometric truth in general relies on human intuition, and requires a synthetic addition of information from our pure intuition of space, which is a three-dimensional Euclidean space. Kant does not claim that the idea of such intuition can be reduced out to make the truth analytic.

In the Prolegomena, Kant gives an everyday example of a geometric necessary truth for humans that a left and right hand are incongruent. The notion of "hand" here need not be understood as the empirical object hand. According to Kant, we can assume that our pure intuition filter has adequately abstracted our hand-experience into something detached from its empirical component, so we are merely dealing with a three-dimensional geometric figure shaped like a hand.

By “incongruent", the geometer simply means that no matter how we move one figure around in relation to the other, we cannot get the two figures to coincide, to match up perfectly. Kant points out, there is still something true about the 3-D Euclidean case that has some kind of priority over the other cases. Synthetically, it is necessarily true that the figures are incongruent, since the choice of view point in point of fact no choice at all.

References:

Kant, I, 1783. “Prolegomena to Any Future Metaphysic: , First Part Of The Transcendental Problem: How Is Pure Mathematics Possible? Sect.10, p. 34
2Ibid. p. 35
3 Kant, I., 1787, “The Critic Of Pure Reason: SS 9 General Remarks on Transcendental Aesthetic.” Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003
4 Ibid.
5 Ibid.
6 Ibid.
7 Ibid.
8Ibid.
9 Ibid.
10 Ibid.
11Ibid.
12Kant, I, 1783, “Prolegomena to Any Future Metaphysic: REMARK 1” Trans. Paul Carus.. Retrieved 2003
13Ibid.
14Ibid.
15Shabel, L., 1998, “Kant’s “Argument from Geometry”, Journal of the History of Philosophy, The Ohio State University, p.24
16Ibid. p. 28
17Ibid.p.30
18Ibid.p.30
19Ibid.p.32
20 …., 1987, “Geometry: Analytic, Synthetic A Priori, or Synthetic A Posteriori?”, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, Vol. I., "Geometry", , The MIT Press, p. 685
21Ibid. p. 686
22Ibid. p. 689
23Ibid. p.690
24Ibid. p.691
25Ibid. p.692

19 comments:

  1. Erlinda Rahma Dewi
    16709251006
    S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

    Menurut Kant , prinsip-prinsip geometris selalu apodeictic, yaitu, bersatu dengan kesadaran perlunya; Bagaimanapun juga, proposisi seperti "ruang hanya memiliki tiga dimensi" , tidak bisa dinilai secara empiris atau disimpulkan. Kant mengklaim bahwa hanya dengan cara penjelasan kita bahwa kemungkinan geometri, sebagai ilmu kimis apriori, akan lebih dipahami.

    ReplyDelete
  2. Aprisal
    16709251019
    PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Assalamu Alaikum Wr.Wb

    Pada Critic of Pure Reason (1787), Kant menguraikan bahwa geometri didasarkan pada intuisi murni ruang dan aritmatika menyelesaikan konsep bilangan dengan penambahan berturut. Kant, mengatakan bahwa ruang tiga dimensi, di mana dua buah garis lurus tidak dapat menyertakan sebuah ruang, sebuah segitiga tidak dapat dibentuk kecuali pada kondisi dua sisi terpendeknya lebih kecil dari sisi yang ketiga (sisi terpanjang). Oleh karena itu Kant menyatakan bahwa matematika murni adalah pengetahuan yang bersifat sintetik a priori. Kant mendefinisikan bahwa geometri adalah ilmu yang menentukan sifat-sifat ruang yang sintetik, namun bersifat apriori. Kant menjelaskan bahwa hal itu diawali oleh intuisi, karena dari konsepsi belaka, tidak ada proposisi sehingga dapat ditarik kesimpulan melampaui konsepsi, namun ini terjadi dalam geometri. Namun intuisi ini harus ditemukan dalam pikiran apriori, yaitu, sebelum persepsi objek, akibatnya harus murni, tidak empiris, dan oleh intuisi.

    Waalaikum salam wr.wb

    ReplyDelete
  3. Dita Nur Syarafina
    NIM. 16709251003
    PPs Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Kant menganggap bahwa matematika murni termasuk ke dalam kognisi sintetik a priori. Di dalam empiris intuisi terdapat intuisi murni dari ruang dan waktu. Kant mengilustrasikan bahwa kebiasan dan kepentingan dari prosedur geometers membutuhkan kekongruenan dari dua hal yang saling berkesinambungan. Kant juga menganggap bahwa ruang mempunyai tiga dimensi yaitu bisa bergerak ke kanan kiri, maju mundur, atas bawah. Maka dengan dasar keruangan dan waktu yang terus berubah, intuisi murni pun akan berkembang pada diri manusia.

    ReplyDelete
  4. Ummi Santria
    16709251008
    S2 Pend. Mat Kelas A – 2016

    Geometri merupakan ilmu yang menentukan sifat-sifat ruang secara sintetik dan a priori. Contoh lain dari yang diatas, misalnya dalam perhitungan garis lurus adalah jarak terpendek antara dua titik. Predikat ‘jarak terpendek antara dua titik’, tidak diperoleh dari data inderawi, melainkan a priori. Tidak juga predikat itu berisi di dalam subjeknya dan juga tidak dapat dari analisis atas subjeknya, sehingga bersifat sintetik. Oleh karena itu, tidak benar bahwa perhitungan geometri didapat dari pandangan relatif. Tapi berdasarkan pemikiran objektif tiap-tiap individu.

    ReplyDelete
  5. Asri Fauzi
    16709251009
    Pend. Matematika S2 Kelas A 2016
    Kant memaparkan bahwa geometri didasarkan pada intuisi murni ruang; dan, aritmatika menyelesaikan konsep bilangan dengan penambahan berturut unit dalam waktu; dan mekanik murni terutama tidak dapat mencapai konsep gerak tanpa menggunakan representasi waktu. Kant menekankan bahwa kedua representasi, bagaimanapun, hanya intuisi; karena jika kita menghilangkan dari intuisi empiris tubuh dan perubahan mereka (gerak) semua empiris, atau milik sensasi, ruang dan waktu masih tetap. Kant mengilustrasikan bahwa kebiasan dan kepentingan dari prosedur geometers membutuhkan kekongruenan dari dua hal yang saling berkesinambungan.

    ReplyDelete
  6. Achmad Rasyidinnur
    16701251032
    PEP S2 B

    Kant mendefinisikan bahwa geometri adalah ilmu yang menentukan sifat-sifat ruang sintetis, namun apriori. Kant menjelaskan bahwa hal tersebut harus diawali intuisi. karena hal itu berupa dari konsepsi belaka, yang terjadi dalam geometri. Namun intuisi ini harus ditemukan dalam pikiran apriori. yaitu sebelum persepsi objek, maka harus murni, tidak empiris, namun intuisi.

    ReplyDelete
  7. Siska Nur Rahmawati
    16701251028
    PEP-B 2016



    Kant menguraikan bahwa geometri didasarkan pada intuisi murni ruang dan aritmatika didasarkan pada konsep bilangan dengan penambahan berturut dalam kaitannya dengan waktu. Kant menekankan bahwa intuisi digunakan untuk merepresentasikan pengetahuan empiris dengan menggabungkan konsep dan intuisi.

    ReplyDelete
  8. MARTIN/RWANDA
    PPS2016PEP B
    Kant characterizes the distinctive role of our pure intuition of space in geometry in
    terms of what he calls “construction in pure intuition,” and he illustrates this role by
    examples of geometrical construction from Euclid’s Elements. It is natural, then, to turn
    to recent work on diagrammatic reasoning in Euclid—originating with Ken Manders—to
    elucidate Kant’s conception. In particular, when Kant says that spatial intuition plays a
    necessary role in the science of geometry, we might take him to mean that diagrammatic
    reasoning—in the sense of Manders and his followers—plays a necessary role.

    ReplyDelete
  9. Konstantinus Denny Pareira Meke
    NIM. 16709251020
    PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

    Kant berpendapat bahwa geometri seharusnya berlandaskan pada intuisi keruangan murni. Jika dari konsep-konsep geometri kita hilangkan konsep-konsep empiris atau penginderaan, maka konsep konsep ruang dan waktu masih akan tersisa; yaitu bahwa konsep-konsep geometri bersifat a priori. Namun Kant (ibid.) menekankan bahwa, seperti halnya pada matematika pada umumnya, konsep-konsep geometri hanya akan bersifat “sintetik a priori” jika konsep-konsep itu hanya menunjuk kepada obyek-obyek yang diinderanya. Jadi di dalam intuisi empiris terdapat intuisi ruang dan waktu yang bersifat a priori. Dalam karyanya Prolegomena, Kant menggambarkan penyimpulan geometri dalam kehidupan sehari-hari bahwa tangan kiri tidaklah konkruen dengan tangan kanan. Menurut Kant, konsep “tangan” di sini tidak cukup dipahami hanya dengan intuisi empiris, tetapi dalam intuisi empiris tersebut termuat abstraksi konsep tangan dan konsep tidak kongkruen diperoleh secara sintetis. Menurut Kant, proses ini dapat diterapkan untuk memahami konsep-konsep geometri

    ReplyDelete
  10. Nira Arsoetar
    16709251018
    PPS UNY Pendidikan Matematika
    Kelas A

    Geometri adalah ilmu mutlak, bukan karena geometri tersebut mewakili sebuah aspek universal dan keniscayaan dari dunia fisik tetapi karena mereka adalah konstruksi apriori jiwa manusia dan menerima adanyan universalitas dan keniscayaan. Geometri kemudian didasarkan pada ruang dan waktu. Akibatnya, mereka didasarkan pada bentuk-bentuk subyektif, serta aspek keseluruhan (universalitas) dan kondisi yang harus ada (necessity) yang kita temukan di dalamnya muncul atau dihasilkan dari bentuk-bentuk subyektif ini.

    ReplyDelete
  11. 16701251016
    PEP B S2

    Konsep ruang 3 dimensi menggambarkan keberadaan teori geometri pada bidang matamatika. Kebermaknaan terhadap pemahaman geometri didasarkan intuisi murni, yang bisa dikatakan bukan berasal dari indera, sehingga penelusuran berupa kognisi apriori. Konsep yang menyeluruh dan berhubungan menjelaskan sebab akibat adalah apodiktif, kebersatuan untuk satu pemahaman subbagian topuk geometri itu sendiri

    ReplyDelete
  12. Rospala Hanisah Yukti Sari
    16790251016
    S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

    Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    Dalam Critic of Pure Reason (1787) Kant menguraikan bahwa geometri adalah dasar dari intuisi alami dalam ruang, dan aritmatika menyelesaikan konsep bilangan dari pertambahan berturut-turut dalam satuan waktu; dan mekanik alami khususnya tidak bisa memperoleh konsep mereka dari gerak tanpa usaha merepresentasikan waktu. Kant menekankan kedua representasi, bagaimanapun hanya intuisi untuk kami tinggalkan dari intuisi empiris dari tubuh dan disebabkan (gerak) empiris secara keseluruhan atau memiliki sensasi, masih menyisakan ruang dan waktu.

    Adapun intuisi diperoleh berdasarkan akumulasi pengalaman, sehingga semakin banyak pengalaman maka semakin baik pula tingkat keakuratannya.

    Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

    ReplyDelete
  13. Rhomiy Handican
    16709251031
    PPs Pendidikan Matematika B 2016

    Menurut Kant, Geometri didasarkan pada intuisi murni ruang, mekanik murni terutama tidak dapat mencapai konsep gerak tanpa menggunakan representasi waktu. Kant menyimpulkan bahwa matematika murni, sebagai kognisi kimis apriori, hanya mungkin dengan mengacu ada benda selain yang indra, di mana, di dasar intuisi empiris mereka terletak sebuah intuisi murni (ruang dan waktu) yang apriori. Kant mengemukakan bahwa semua prinsip-prinsip geometri tidak kurang analitis, ia mengklaim bahwa atribut sesak karena itu sama sekali tambahan, dan tidak dapat diperoleh oleh himpunaniap analisis konsep, dan visualisasi yang harus datang untuk membantu kita, dan oleh karena itu saja membuat sintesis mungkin.

    ReplyDelete
  14. Saya kira dari uraian diatas dapat dipahami bahwa Kant berpendapat kebenaran geometris pada umumnya mengandalkan intuisi manusia, dan membutuhkan tambahan sintetis informasi dari intuisi ruang kita yang murni, yang merupakan ruang Euclidean tiga dimensi. Kant tidak mengklaim bahwa ide intuisi tersebut dapat dikurangi untuk membuat analisis kebenaran. dalam hal kebenaran geometris, Kant menyarankan bahwa mereka memerlukan kebenaran atau mereka adalah kontingen. itu menjadi mungkin untuk membayangkan sebaliknya.

    ReplyDelete
  15. Devi Anggriyani
    16701251023
    S2 PEP B 2016

    Berdasarkan artikel di atas, geometri didasarkan pada intuisi murni ruang dan aritmatika menyelesaikan konsep bilangan dengan penambahan berturut. Kant mendefinisikan bahwa geometri adalah ilmu yang menentukan sifat-sifat ruang yang sintetik, namun bersifat apriori. Kant menjelaskan bahwa hal itu diawali oleh intuisi, karena dari konsepsi belaka, tidak ada proposisi sehingga dapat ditarik kesimpulan melampaui konsepsi, namun ini terjadi dalam geometri. Namun intuisi ini harus ditemukan dalam pikiran apriori, yaitu sebelum persepsi objek akibatnya harus murni tidak empiris dan oleh intuisi.

    ReplyDelete
  16. Azwar Anwar
    16709251038
    Pendidikan Matematika S2 Kelas B 2016

    Kant berpendapat bahwa geometri seharusnya berlandaskan pada intuisi keruangan murni. Jika dari konsep-konsep geometri kita hilangkan konsep-konsep empiris atau penginderaan, maka konsep konsep ruang dan waktu masih akan tersisa yaitu bahwa konsep-konsep geometri bersifat a priori. Jadi landasan geometri adalah intuisi ruang kita yaitu intuisi yang bersifat sintetik a priori.

    ReplyDelete
  17. Mega Puspita Sari
    16709251035
    PPs Pendidikan Matematika
    Kelas B

    Dari bacaan di atas Kant menguraikan bahwa geometri berasal dari intuisi murni tentang ruang dan aritmatika penyelesaiannya berupa konsep angka dengan penambahan berturut-turut terhadap unit dan waktunya. Kant juga menyimpulkan bahwa matematika murni itu bersifat sintetik kognisi apriori yang berlandaskan intuisi. Menurut Kant kebenaran geometris pada umunya bergantung pada intuisi manusia dan memerlukan sintetik informasi dan intuisi keruangan.

    ReplyDelete
  18. Fevi Rahmawati Suwanto
    16709251005
    PMat A / S2

    Kant dalam kritikannya terhadap Pure of Reason (1987) menyimpulkan bahwa matematika murni adalah sintetik kognisi apriori. Geometri yang merupakan salah satu bagian dari matematika didasarkan pada intuisi murni ruang sehingga dapat didefinisikan bahwa geometri adalah ilmu yang menentukan sifat-sifat ruang sintetis, namun apriori serta memiliki prinsip selalu apodeictic, kurang analitik, dan berdasarkan intuisi ruang murni.

    ReplyDelete
  19. ULFA LU'LUILMAKNUN
    16709251022
    S2 Pendidikan Matematika 2016 Kelas B

    Assalamualaikum Wr.Wb.

    Kant mendefinisikan bahwa geometri adalah ilmu yang menentukan sifat-sifat ruang sintetis dan apriori. Menurut Kant, prinsip-prinsip geometris selalu apodeictic, yaitu bersatu dengan kesadaran mereka. Namun, proposisi sebagai ruang hanya memiliki tiga dimensi, tidak bisa dinilai empiris atau ditarik kesimpulan. Kant mengklaim bahwa hanya dengan cara penjelasan tentang geometri, sebagai ilmu sintesis apriori, maka menjadi mudah dipahami.

    Wassalamualaikum Wr.Wb.

    ReplyDelete

marsigitina@yahoo.com, marsigitina@gmail.com, marsigit@uny.ac.id