## Oct 13, 2012

### The System of Mathematics: Peterson’s and Hempel’s Notions

By Marsigit
Yogyakarta State University

Peterson, I., 1998, elaborated that at the beginning of the 20th century, the great German mathematician David Hilbert (1862-1943) advocated an ambitious program to formulate a system of axioms and rules of

inference that would encompass all mathematics, from basic arithmetic to advanced calculus; his dream was to codify the methods of mathematical reasoning and put them within a single framework. Hilbert1 insisted that such a formal system of axioms and rules should be consistent, meaning that one can't prove an assertion and its opposite at the same time; he also wanted a scheme that is complete, meaning that one can always prove a given assertion either true or false. Hilbert2 argued that there had to be a clear-cut mechanical procedure for deciding whether a certain proposition follows from a given set of axioms; hence, given a well-defined system of axioms and appropriate rules of inference, it would be possible, though not actually practical, to run through all possible propositions, starting with the shortest sequences of symbols, and to check which ones are valid. In principle, such a decision procedure would automatically generate all possible theorems in mathematics.3

On the other hand, it was elaborated that formal mathematics builds on formal logic; 4it reduces mathematical relationships to questions of set membership; the only undefined primitive object in formal mathematics is the empty set that contains nothing at all. It was claimed that almost every mathematical abstraction that has ever been investigated can be derived as a set of the axioms of set theory and almost every mathematical proof ever constructed can be made assuming nothing beyond those axioms. 5It was also stated that if infinity is a potential and never a completed reality then infinite sets do not exist; therefore, mathematicians try to define the most general infinite structures imaginable because that seems to give the most bang for the buck; if no infinite sets exist this would be the construction of a fantasy. Further, 6it was claimed that mathematics should be directly connected to properties of nondeterministic programs in a potentially infinite universe; this would limit extensions to a fragment of the countable ordinals and the sets that can be constructed from them. The objects definable within a formal mathematical system no matter what axioms of infinity it includes are countable; and that a formal system can be interpreted as a computer program for generating theorems in which such a program can output all of the names of the objects or sets definable with the system. Further, all real numbers and for that matter larger cardinals that can ever be defined in any mathematical system that finite creatures create will be countable; they will not be countable from within the system.7

Peterson, I., 1998, noted that what Hilbert was saying is that we can solve a problem if we are clever enough and work at it long enough; and mathematician Gregory J. Chaitin and Thomas J. Watson didn't believe that in principle there was any limit to what mathematics could achieve. However, in the 1930s, 8Kurt Godel (1906-1978) proved that no such decision procedure is possible for any system of logic made up of axioms and propositions sufficiently sophisticated to encompass the kinds of problems that mathematicians work on every day; he showed that if we assume that the mathematical system is consistent, then we can show that it is incomplete. 9Peterson said that in Godel's realm, no matter what the system of axioms or rules is, there will always be some assertion that can be neither proved nor invalidated within the system; indeed, mathematics is full of conjectures assertions awaiting proof with no assurance that definitive answers even exist.

Chaitin10 proved that no program can generate a number more complex than itself; in other words, a 1-pound theory can no more produce a 10-pound theorem than a 100-pound pregnant woman can birth a 200-pound child. Conversely, Chaitin11 also showed that it is impossible for a program to prove that a number more complex than the program is random; hence, to the extent that the human mind is a kind of computer, there may be a type of complexity so deep and subtle that our intellect could never grasp it; whatever order may lie in the depths would be inaccessible, and it would always appear to us as randomness. At the same time, proving that a sequence is random also presents insurmountable difficulties; there's no way to be sure that we haven't overlooked a hint of order that would allow even a small compression in the computer program that produces the sequence. Peterson, I., 1998, stated that Chaitin's result suggests that we are far more likely to find randomness than order within certain domains of mathematics; indeed, his complexity version of Godel's theorem states that although almost all numbers are random, there is no formal axiomatic system that will allow us to prove this fact.

Further, Peterson, I., 1998, concluded that Chaitin's work suggests that there is an infinite number of mathematical statements that one can make about, say, arithmetic that can't be reduced to the axioms of arithmetic, so there's no way to prove whether the statements are true or false by using arithmetic; in Chaitin's view, that's practically the same as saying that the structure of arithmetic is random. Chaitin12 summed up that they are mathematical facts which are analogous to the outcome of a coin toss and we can never actually prove logically whether they are true; he added that in the same way that it is impossible to predict the exact moment at which an individual atom undergoes radioactive decay, mathematics is powerless to answer particular questions; while physicists can still make reliable predictions about averages over large ensembles of atoms, mathematicians may in some cases be limited to a similar approach; that makes mathematics much more of an experimental science than many mathematicians would be willing to admit.

Hempel, C.G., 2001, argued that any self-consistent postulate system of mathematics admits, nevertheless, many different interpretations of the primitive terms , whereas a set of definitions in the strict sense of the word determines the meanings of the definienda in a unique fashion. The much broader system of Peano’s postulate thus obtained is still incomplete in the sense that not every number in it has a square root, and more generally, not every algebraic equation whose coefficients are all numbers of the system has a solution in the system; this suggests further expansions of the number system by the introduction of real and finally of complex numbers. Hempel13 concluded that on the basis of this postulate the various arithmetical and algebraic operations can be defined for the numbers of the new system, the concepts of function, of limit, of derivative and integral can be introduced, and the familiar theorems pertaining to these concepts can be proved, so that finally the huge system of mathematics as here delimited rests on the narrow basis of Peano's system; every concept of mathematics can be defined by means of Peano's three primitives, and every proposition of mathematics can be deduced from the five postulates enriched by the definitions of the non-primitive terms; these deductions can be carried out, in most cases, by means of nothing more than the principles of formal logic; the proof of some theorems concerning real numbers, however, requires one assumption which is not usually included among the latter and this is the so-called axiom of choice in which it asserts that given a class of mutually exclusive classes, none of which is empty, there exists at least one class which has exactly one element in common with each of the given classes.

Hempel, C.G., 2001, claimed that by virtue of this principle and the rules of formal logic, the content of all of mathematics can thus be derived from Peano's modest system i.e. a remarkable achievement in systematising the content of mathematics and clarifying the foundations of its validity. According to him, the Peano system permits of many different interpretations, whereas in everyday as well as in scientific language, we attach one specific meaning to the concepts of arithmetic. Hempel14 insisted that if therefore mathematics is to be a correct theory of the mathematical concepts in their intended meaning, it is not sufficient for its validation to have shown that the entire system is derivable from the Peano postulates plus suitable definitions; rather, we have to inquire further whether the Peano postulates are actually true when the primitives are understood in their customary meaning. If the definitions here characterized are carefully written out i.e. this is one of the cases where the techniques of symbolic, or mathematical, logic prove indispensable, it is seen that the definiens of every one of them contains exclusively terms from the field of pure logic. In fact, it is possible to state the customary interpretation of Peano's' primitives, and thus also the meaning of every concept definable by means of them, and that includes every concept of mathematics:

-- in terms of the following seven expressions (in addition to variables such as "x" and "C"): not, and, if -- then; for every object x it is the case that . . .; there is some object x such that . . .; x is an element of class C; the class of all things x such that . . . And it is even possible to reduce the number of logical concepts needed to a mere four: The first three of the concepts just mentioned are all definable in terms of "neither--nor," and the fifth is definable by means of the fourth and "neither--nor." Thus, all the concepts of mathematics prove definable in terms of four concepts of pure logic.The definition of one of the more complex concepts of mathematics in terms of the four primitives just mentioned may well fill hundreds or even thousands of pages; but clearly this affects in no way the theoretical importance of the result just obtained; it does, however, show the great convenience and indeed practical indispensability for mathematics of having a large system of highly complex defined concepts available. 15

Hempel, C.G., 2001, notified that a stable self-contained system of basic principles is the distinctive feature of mathematical theories; a mathematical model of some natural process or a technical device is essentially a stable model that can be investigated independently of its "original" and, thus, the similarity of the model and the "original" is only a limited one; only such models can be investigated by mathematicians. Hempel16 thought that any attempt to refine the model i.e. to change its definition in order to obtain more similarity with the "original", leads to a new model that must remain stable again, to enable a mathematical investigation of it; hence, mathematical theories are the part of science we could continue to do if we woke up tomorrow and discovered the universe was gone. Hempel17 argued that a mathematical model, because it is stable, is not bound firmly to its "original" source; it may appear that some model is constructed badly, in the sense of the correspondence to their "original" source, yet its mathematical investigation goes on successfully. According to him, since a mathematical model is defined very precisely, it "does not need" its "original" source any more. One can change some model or obtaining a new model not only for the sake of the correspondence to the "original" source, but also for a mere experiment. In this way people may obtain easily various models that do not have any real "originals", an even entire branches of mathematics have been developed that do not have and cannot have any applications to real problems. Hempel18 claimed that the stable self-contained character of mathematical models makes such "mutations" possible and even inevitable and no other branch of science knows such problems.

Hempel, C.G., 2001, noted that, in mathematics, theorems of any theory consist, as a rule, of two parts - the premise and the conclusion; therefore, the conclusion of a theorem is derived not only from a fixed set of axioms, but also from a premise that is specific to this particular theorem; and this premise is it not an extension of the fixed system of principles. He perceived that Mathematical theories are open for new notions; thus, in the Calculus after the notion of continuity the following connected notions were introduced: break points, uniform continuity, Lipschitz's conditions, etc. and all this does not contradict the thesis about the fixed character of principles axioms and rules of inference, yet it does not allow "working mathematicians" to regard mathematical theories as fixed ones. On the other hand, 19Burris, 1997, believed that the science of mathematics finds itself necessarily and essentially based on abstraction, since mathematicians never empirically test, for example, putting 200 mice and 200 mice to create 400 mice; the fact that all of mathematics is abstract was one of the motives of intuitionists to think mathematics is a sole product of the mind; however, their inference that because we do not empirically prove a mathematical statement, it is only a figment of imagination, was wrong. While 20Shapiro, S., 2000, indicated that Mathematical logic and, in particular, model theory can perhaps be construed as a theory that quantifies over structures; to say that a class of sentences is satisfiable may be to say that there is a structure that satisfies it. It is more common to construe the variables of model theory as ranging over sets. According to him, sets are currently taken to be places within the set-theoretical-hierarchy-structure. Thus, like any other branch of mathematics, model theory is seen as the study of a particular structure; the thesis that mathematics can be reduced to set theory amounts to a claim that any given mathematical structure except that of set theory itself can be modeled in the set-theoretic structure and, moreover, that the latter captures the relevant relationships between structures.21

References:
1 In Peterson, I., 1998, The Limits of Mathematics, The Mathematical Association of America, http://www.sciencenews.org/)
2Ibid.
3 Ibid.
4 In -------, 2004,Formal mathematics, Mountain Math Software, webmaster@mtnmath.com
5 Ibid.
6 Ibid.
7 Ibid.
8 In Peterson, I., 1998, The Limits of Mathematics, The Mathematical Association of America,9 http://www.sciencenews.org/)
10 Ibid.
11Ibid.
12Ibid.
13Ibid.
14Hempel, C.G., 2001, On the Nature of Mathematical Truth, http://www.ltn.lv/ ~podniek/gt.htm
15Ibid.
16Ibid.
17Ibid.
18Ibid.
19 Ibid.
20 Ibid.
21 Ibid

1. ROFI AMIYANI
S2 P.MAT A 2016
16709251004

Dari postingan diatas dikatahui bahwa sistem formal aksioma dan aturan harus konsisten, yang berarti bahwa seseorang tidak dapat membuktikan sebuah pernyataan dan sebaliknya pada saat yang sama, ia juga ingin skema yang lengkap, yang berarti bahwa seseorang dapat selalu membuktikan pernyataan yang diberikan benar atau salah. Harus ada prosedur mekanis yang jelas untuk memutuskan apakah proposisi tertentu berikut dari himpunan aksioma, maka mengingat sistem yang jelas dari aksioma dan aturan inferensi yang tepat, itu akan mungkin, meskipun tidak sebenarnya praktis, untuk menjalankan melalui semua proposisi mungkin, mulai dengan urutan terpendek simbol, dan untuk memeriksa mana yang berlaku. Pada prinsipnya, prosedur keputusan tersebut secara otomatis akan menghasilkan semua kemungkinan teorema.

2. Bismillah
Ratih Kartika
16701251005
PPS PEP B 2016

Assalamualaikumwarahmatulahiwabarrakatuh

Petersons mengatakan bahwa matematika itu lemah untuk menjawab pertanyaan pertanyaan tertentu. Seperti hal hal kefisikaan. Sehingga ilmu yang dianggap ilmu eksperimental adalah fisika bukan matematika. Sedangkan Hempel menjelaskan bahwa matematika mempunyai banyak teorema yang digunakan sebagai peraturan dari dua bagian (premis dan kesimpulan). Oleh karena itu, kesimpulan dari sebuah teorema didapatkan tidak hanya dari seperangkat aksioma tetap tapi juga dari premis yang juga spesifik pada teorema tertentu.

Terimakasih.
Wassalamualaikumwarahmatulahiwabarakatuh

3. MUTIARA KUSUMAWATI
16701251007
PEP S2 B

Peterson (1998) menjelaskan bahwa pada awal abad ke-20, matematika Jerman David Hilbert (1862-1943) menganjurkan program untuk merumuskan suatu sistem aksioma dan aturan. Sedangkan Hempel (2001) mencatat bahwa dalam matematika, teorema sebagai aturan dari dua bagian - premis dan kesimpulan sehingga kesimpulan dari teorema tidak hanya berasal dari satu bagian tetap aksioma, tetapi juga dari premis yang khusus untuk ini teorema tertentu. Hempel (2001) berpendapat bahwa mengakui setiap sistem matematika diri postulat memiliki kekonsistenan, banyak interpretasi yang berbeda dari istilah primitif, sedangkan satu bagian definisi dalam arti kata yang baku menentukan arti dari definisi secara unik.

4. Erlinda Rahma Dewi
16709251006
S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

Peterson , I. , 1998 , mencatat bahwa apa yang Hilbert katakan adalah bahwa kita dapat memecahkan masalah jika kita cukup pintar dan bekerja cukup lama ; dan matematikawan Gregory J. Chaitin dan Thomas J. Watson tidak percaya bahwa pada prinsipnya ada batas untuk apa yangmatematika bisa capai. Namun, di tahun 1930-an , Kurt Godel ( 1906-1978 ) membuktikan bahwa tidak ada prosedur keputusan yang mungkin untuk sistem logika apapun terdiri dari aksioma dan proposisi cukup canggih untuk mencakup jenis masalah yang digeluti matematikawan ; ia menunjukkan bahwa jika kita menganggap bahwa sistem matematika konsisten , maka kita dapat menunjukkan bahwa itu tidak lengkap . 9Peterson mengatakan bahwa dalam ranah Godel , tidak peduli apa sistem aksioma atau aturannya, akan selalu ada beberapa pernyataan yang bisa tidak terbukti atau tidak valid dalam sistem ; memang , matematika penuh dugaan pernyataan menunggu bukti tanpa jaminan bahwa jawaban yang pasti ada.

16701251032
PEP S2 B

Objek dalam sistem matematika dapat diartikan sebagai suatu program komputer untuk menghasilkan teorema di mana program tersebut dapat mengeluarkan semua nama-nama benda, atau objek pada suatu sistem komputer. Atau teorema tersebut juga didefinisikan sebagai sebuah sistem secara substansi.

16701251032
PEP S2 B

Matematika sebagai suatu sistem tidak dapat disebut sebagai sistem yang tetap, atau konsisten. Dengan kata lain bahwa matematika apabila tetap seperti keadaannya dan tidak mengalami perubahan, maka sebenarnya matematika itu tidak lengkap

7. Aprisal
16709251019
PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

Assalamu Alaikum Wr.Wb

Berdasarkan tulisan di atas mengenai sistem matematika oleh Hempel dan Peterson, ada dibahas mengenai model sistem Peano. Sistem Peano atau biaanya disebut juga aksioma Peano adalah sebuah contoh sistem aritmetika postulatsional. Aksioma Peano sangat mengagumkan. Perangkat aksioma ini terdiri dari 5 postulat dengan definisi rekursif (maju atau mundur) bilangan-bilangan alam, misalnya 4 = 3´ = (2´ )´ = ((1´ )´ )´ = (((0´ )´ )´ )´ ,. Atau 0´ = 1, 1´ = 2, 2´ = 3, dst. Dengan mendefinisikan bilangan positif, negatif, rasional, dan kompleks dengan cara-cara yang sesuai hanya dengan mengambil term-term primitif yang termuat dalam aksioma, semua sistem bilangan memenuhi aksioma. Demikian pula fungsi aljabar seperti fungsi kontinu, limit, kalkulus dsb. Dengan hasil ini maka dikatakan bahwa aksioma Peano merupakan basis matematika. Aksioma Peano memuat tiga term tak didefinisikan: ’0′, ‘bilangan’, dan ‘pengikut’ dan 5 buah aksioma. Term-term tak didefinisikan dapat diberi makna biasa, dan secara teoretis dalam takhingga cara. Tetapi makna biasa ini harus mengubah kelima aksioma menjadi proposisi-proposisi yang bernilai benar. Selanjutnya dapat diciptakan definisi kata-kata baru dari term-term yang telah diberi makna biasa itu. Syaratnya definisi ini harus menjadi proposisi yang bernilai benar. Dari definisi dan aksioma dalam makna biasa akan diperoleh teori-teori melalui deduksi logis. Dengan demikian teori yang telah diperoleh dengan makna biasa ini menjadi sistem matematika yang letak kebenarannya ada pada definisi-definisi itu.

Waalaikum salam wr.wb

8. Syahrial
16701251015
S2 PEP kelas B 2016
Peterson mengatakan bahwa dalam ranah Godel, tidak peduli apa sistem aksioma atau aturan adalah, akan selalu ada beberapa pernyataan yang bisa tidak terbukti atau tidak valid dalam sistem; memang, matematika penuh dugaan pernyataan menunggu bukti tanpa jaminan bahwa jawaban yang pasti bahkan ada. seperti itu juga lah sistem dari matematika, walaupun ada aksioma, teorema, dst. tetap saja masih menimbulkan perbedaan dikalangan para ahli matematika, karena memahami sistem matematika bukan hanya dari segi prosedurnya tetapi dari intuisi dan pengalaman dalam permasalahan tersebut.

9. Syahrial
16701251015
S2 PEP kelas B 2016
sepertihalnya perkataan Albert Einstein. Albert Einstein Menyatakan bahwa “sejauh hukum matematika mengacu pada realitas, mereka tidak yakin, dan sejauh mereka yakin, mereka tidak mengacu pada realitas.” maka seperti itu jugalah memahami permasalahan dan perdebatan mengenai sistem matematika tersebut.

10. Dita Nur Syarafina
NIM. 16709251003
PPs Pendidikan Matematika Kelas A 2016

Peterson mengemukakan beberapa pendapat para ahli tentang matematika, sebagai berikut: (1) Hilbert berpendapat bahwa harus ada prosedur yang jelas untuk memutuskan sutau proporsisi tertentu dari himpunan aksioma, (2) Godel berpendapat bahwa tidak peduli apa sistem aksioma atau aturannya, akan selalu ada beberapa pernyataan yang tidak dapat terbukti atau tidak valid dalam suatu sistem, (3) Chaitin menunjukkan bahwa ada jumlah tak terbatas dalam pernyataan matematika sepanjang itu logis. Sedangkan Hempel mengmukakan sistem Peano yang memungkinkan interpretasi yg berbeda.

11. Siska Nur Rahmawati
16701251028
PEP-B 2015

Peterson mengatakan bahwa matematika tersusun dari aturan-aturan yang belum valid, belum pasti. Berbeda dengan Hempel yang menyebutkan bahwa matematika itu terdiri dari dua bagian yaitu premis dan kesimpulan. Teori dalam matematika dapat digunakan untuk menguji sebuah gagasan baru dan didasarkan pada empirisme manusia.

12. Nira Arsoetar
16709251018
PPS UNY Pendidikan Matematika
Kelas A

Teorema dari sebuah teori dalam matematika terdiri dari dua bagian yaitu premis dan kesimpulan. Kesimpulan dari sebuah teorema tidak hanya diperoleh dari aksioma-aksioma sebelumnya, tetapi memperhatikan pula premis-premis yang menyertainya. Teori-teori matematika terbuka untuk setiap gagasan baru. Semakin berkembangnya waktu semakin berkembang pula berbagai teorema-teorema dalam matematika. Hal ini menunjukkan bahwa pengembangan matematika tidak terbatas pada ruang dan waktu. Mengingat objek dari matematika sendiri yang juga bersifat abstrak sehingga tidak terbatas pada sebuah ruang.

13. MARTIN/RWANDA
PPS2016PEP B
Here, i would like to give an example of mathematics system which is EQUATION, A system of equations is a collection of two or more equations with a same set of unknowns. In solving a system of equations, we try to find values for each of the unknowns that will satisfy every equation in the system.

14. MARTIN/RWANDA
PPS2016PEP B
Here, i would like to give an example of mathematics system which is EQUATION, A system of equations is a collection of two or more equations with a same set of unknowns. In solving a system of equations, we try to find values for each of the unknowns that will satisfy every equation in the system.

15. Muh. Faathir Husain M.
16701251030
PPs PEP B 2016

Peterson menyimpulkan bahwa ada jumlah tak terbatas dari pernyataan matematika contohnya, aritmatika yang tidak dapat direduksi menjadi aksioma aritmatika, sehingga tidak ada cara untuk membuktikan apakah pernyataan benar atau salah dengan menggunakan aritmatika; Sementara Hempel, menyatakan bahwa, dalam matematika, teorema dari teori apapun terdiri atas suatu aturan dua bagian - premis dan kesimpulan; Oleh karena itu, kesimpulan dari teorema berasal tidak hanya dari suatu himpunan aksioma, tetapi juga dari premis yang khusus untuk teorema tertentu; dan premis ini bukanlah sistem tetap dari sebuah prinsip.

16. Mifta Tyas Laksita Sari
Pend. Matematika A 2013
13301241005

Berdasarkan Peterson, hampir setiap abstraksi matematika yang telah dipelajari dapat diturunkan sebagai seperangkat aksioma dari teori himpunan dan hampir setiap bukti matematis yang pernah dibangun dapat dibuat dengan asumsi bahwa tidak ada yang diluar aksioma. Aksioma adalah premis atau titik awal penalaran. Prinsip

17. Mifta Tyas Laksita Sari
Pend. Matematika A 2013
13301241005]
Berdasarkan Peterson, hampir setiap abstraksi matematika yang telah dipelajari dapat diturunkan sebagai seperangkat aksioma dari teori himpunan dan hampir setiap bukti matematis yang pernah dibangun dapat dibuat dengan asumsi bahwa tidak ada yang diluar aksioma. Aksioma adalah premis atau titik awal penalaran. Prinsip atau yang jelas diterima sebagai kebenaran tanpa bukti sebagai dasar argumen.

18. Mifta Tyas Laksita Sari
Pend. Matematika A 2013
13301241005

Menurut Godel, sistem aksioma atau aturan apapun akan selalu ada beberapa pernyataan yang bisa tidak terbukti atau tidak valid dalam sistem. Matematika itu menunggu bukti tanpa jaminan bahwa jawaban yang pasti bahkan ada.

19. 16701251016
PEP B S2

Pengambilan kesimpulan yang berlaku dalam konsep matematika tidaklah jauh dari logika. Logika yang berkembang juga meliputi pemikiran rasional, dan yang tentunya bisa dibuktikan. Dari ke dua premis yang ada sebagai pernyataam dalam sebuah kondiai dengan kesimpulan yang menjawab atas dasar keduanya tersebut

20. Asri Fauzi
16709251009
Pend. Matematika S2 Kelas A 2016
Peterson menjelaskan bahwa program yang ambisius untuk merumuskan suatu sistem aksioma dan aturan inferensi yang akan mencakup semua matematika, dari dasar aritmatika hingga mahir kalkulus; impiannya adalah menyusun metode penalaran matematika dan menempatkan mereka dalam kerangka tunggal. Hempel, CG, 2001, berpendapat bahwa setiap sistem postulat matematika yang konsisten, bagaimanapun, mempunyai interpretasi yang berbeda dari istilah primitifnya, sedangkan satu himpunan definisi dalam arti kata yang kaku menentukan arti dari definienda dengan cara yang unik .

21. Rospala Hanisah Yukti Sari
16790251016
S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

Dari elegi tersebut, peterson (1998) menyatakan bahwa matematikawan Jerman David Hilbert untuk membuat sebuah program untuk bagaimana cara merumuskan sebuah sistem aturan dan aksioma matematika yang terjadi pada abad ke-20. Adapun Hempel (2001) menyatakan bahwa matematika memiliki postulat yang bersifat konsisten, serta memiliki jumlah yang banyak dalam interpretasi suatu istilah yang masih primitif.

Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

16701251001
PPs PEP B 2016

Peterson mengatakan bahwa dalam pikiran Godel, tidak peduli apa sistem aksioma atau aturannya, akan selalu ada beberapa pernyataan yang dapat tidak terbukti atau tidak valid dalam sistem. Memang, matematika penuh dengan pernyataan dugaan dan menunggu bukti dengan jaminan bahwa jawaban tertentu telah pernah ada.Hempel mencatat bahwa, dalam matematika, teorema dari teori apapun terdiri dari dua bagian - premis dan kesimpulan, karena itu, kesimpulan dari teorema berasal tidak hanya dari himpunan aksioma, tetapi juga dari premis yang khusus untuk teorema tertentu; dan premis ini bukan perpanjangan dari sistemnya

23. Niswah Qurrota A'yuni
NIM. 16709251023
PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas B 2016

Assalamu'alaikum Wr.Wb.,

Peterson mengatakan bahwa dalam pikiran Godel, tidak peduli apa sistem aksioma atau aturannya, akan selalu ada beberapa pernyataan yang dapat tidak terbukti atau tidak valid dalam sistem. Sedangkan Hempel berpendapat bahwa setiap sistem postulat matematika yang konsisten, bagaimanapun, mempunyai interpretasi yang berbeda dari istilah primitifnya. Dari kedua pendapat tersebut dapat kita asumsikan bahwa sistem mtematika tidak tunggal.

Wassalamu'alaikum Wr.Wb.

24. ULFA LU'LUILMAKNUN
16709251022
S2 Pendidikan Matematika 2016 Kelas B

Assalamualaikum Wr.Wb.

Peterson mengatakan bahwa dalam pikiran Godel, tidak peduli apa sistem aksioma atau aturannya,akan selalu ada beberapa pernyataan yang dapat tidak terbukti atau tidak valid dalam sistem. Memang, matematika penuh dengan pernyataan dugaan dan menunggu bukti dengan jaminan bahwa jawaban tertentu telah pernah ada. Hempel, CG, 2001, berpendapat bahwa setiap sistem postulat matematika yang konsisten, bagaimanapun, mempunyai interpretasi yang berbeda dari istilah primitifnya, sedangkan satu himpunan definisi dalam arti kata yang kaku menentukan arti dari definienda dengan cara yang unik.

Wassalamualaikum Wr.Wb.

25. Azwar Anwar
16709251038
Pendidikan Matematika S2 Kelas B 2016

Hilbert berpendapat bahwa harus ada prosedur mekanis yang jelas untuk memutuskan apakah proposisi tertentu dari himpunan aksioma dalam mengingat sistem yang didefinisikan dengan aksioma dan aturan yang sesuai inferensi. Sementara Hempel mencatat bahwa dalam matematika teorema teori apapun sebagai suatu peraturan dari dua bagian-premis dan kesimpulan. Dalam hal ini maka dalam teori dipandang sebagai studi tentang struktur tertentu yang dapat digunakan untuk menetapkan teori dalam mengingat struktur matematika.

26. Konstantinus Denny Pareira Meke
NIM. 16709251020
PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

Peterson, I., 1998, menjelaskan bahwa pada awal abad ke-20, Jerman yang hebat matematika David Hilbert (1862-1943) menganjurkan program yang ambisius untuk merumuskan suatu sistem aksioma dan aturan inferensi yang akan mencakup semua matematika, dari dasar aritmatika hingga mahir kalkulus; impiannya adalah menyusun metode penalaran matematika dan menempatkan mereka dalam kerangka tunggal. matematika penuh dengan pernyataan dugaan dan menunggu bukti dengan jaminan bahwa jawaban tertentu telah pernah ada. Hempel, CG, 2001, berpendapat bahwa setiap sistem postulat matematika yang konsisten, bagaimanapun, mempunyai interpretasi yang berbeda dari istilah primitifnya, sedangkan satu himpunan definisi dalam arti kata yang kaku menentukan arti dari definienda dengan cara yang unik. Hempel menyimpulkan bahwa pada dasar dari dalil operasi aritmatika dan aljabar berbagai dapat didefinisikan untuk jumlah sistem baru, konsep fungsi, limit, turunan dan integral dapat diperkenalkan, dan teorema berkaitan erat dengan konsep-konsep ini dapat dibuktikan, sehingga akhirnya sistem besar matematika seperti di sini dibatasi bertumpu pada dasar yang sempit dari sistem Peano itu.

27. dari tulisan diatas, dikemukakan bahwa Peterson, I., 1998, mencatat bahwa apa yang Hilbert katakan adalah bahwa kita dapat memecahkan masalah jika kita cukup pintar dan bekerja dalam waktu yang cukup lama. dan matematika Gregory J. Chaitin dan Thomas J. Watson tidak percaya bahwa pada prinsipnya ada batas untuk apa matematika bisa dicapai. Namun, di tahun 1930-an, Kurt Godel (1906-1978) mengatakan “that no such decision procedure is possible for any system of logic made up of axioms and propositions sufficiently sophisticated to encompass the kinds of problems that mathematicians work on every day” ia menunjukkan bahwa jika kita menganggap bahwa sistem matematika konsisten, maka kita dapat menunjukkan bahwa itu tidak lengkap. peterson mengatakan bahwa dalam ranah Godel, tidak peduli apa sistem aksioma atau aturan, akan selalu ada beberapa pernyataan yang bisa tidak terbukti atau tidak valid dalam system. memang, matematika penuh pernyataan dugaan yang menunggu bukti tanpa jaminan bahwa jawaban yang pasti bahkan ada.

28. Bismillah
Ratih Kartika
16701251005
PPS PEP B 2016

Assalamualaikumwarahmatulahiwabarrakatuh

Petersons mengatakan bahwa matematika itu lemah untuk menjawab pertanyaan pertanyaan tertentu. Pengambilan kesimpulan yang berlaku dalam konsep matematika tidaklah jauh dari logika. Logika yang berkembang juga meliputi pemikiran rasional
Terimakasih.
Wassalamualaikumwarahmatulahiwabarakatuh

marsigitina@yahoo.com, marsigitina@gmail.com, marsigit@uny.ac.id