## Oct 10, 2012

### Elegi Menggapai "Kant on the Construction of Mathematical Concepts and Cognition"

By Marsigit
Yogyakarta State University

In his Critic of Pure Reason, Kant ascribes that mathematics deals with conceptions applied to intuition. Mathematics is a theoretical sciences which have to determine their objects a priori. To demonstrate the properties of the isosceles triangle, it is not sufficient to meditate on the figure but that it is necessary to

produce these properties by a positive a priori construction. According to Kant, in order to arrive with certainty at a priori cognition, we must not attribute to the object any other properties than those which necessarily followed from that which he had himself placed in the object. Mathematician 1 occupies himself with objects and cognitions only in so far as they can be represented by means of intuition; but this circumstance is easily overlooked, because the said intuition can itself be given a priori, and therefore is hardly to be distinguished from a mere pure conception.
The conception of twelve 2 is by no means obtained by merely cogitating the union of seven and five; and we may analyze our conception of such a possible sum as long as we will, still we shall never discover in it the notion of twelve. Kant 3 says that we must go beyond these conceptions, and have recourse to an intuition which corresponds to one of the two-our five fingers, add the units contained in the five given in the intuition, to the conception of seven.
Further Kant states:

For I first take the number 7, and, for the conception of 5 calling in the aid of the fingers of my hand as objects of intuition, I add the units, which I before took together to make up the number 5, gradually now by means of the material image my hand, to the number 7, and by this process, I at length see the number 12 arise. That 7 should be added to 5, I have certainly cogitated in my conception of a sum = 7 + 5, but not that this sum was equal to 12. 4

Arithmetical propositions 5 are therefore always synthetical, of which we may become more clearly convinced by trying large numbers. For it 6 will thus become quite evident that it is impossible, without having recourse to intuition, to arrive at the sum total or product by means of the mere analysis of our conceptions, just as little is any principle of pure geometry analytical.
In a straight line between two points 7, the conception of the shortest is therefore more wholly an addition, and by no analysis can it be extracted from our conception of a straight line. Kant 8 sums up that intuition must therefore here lend its aid in which our synthesis is possible. Some few principles expounded by geometricians are, indeed, really analytical, and depend on the principle of contradiction. Further, Kant says:
They serve, however, like identical propositions, as links in the chain of method, not as principles- for example, a = a, the whole is equal to itself, or (a+b) > a, the whole is greater than its part. And yet even these principles themselves, though they derive their validity from pure conceptions, are only admitted in mathematics because they can be presented in intuition. 9

Kant (1781), in “The Critic Of Pure Reason: Transcendental Analytic, Book I, Analytic Of Conceptions. Ss 2” , claims that through the determination of pure intuition we obtain a priori cognitions of mathematical objects, but only as regards their form as phenomena. According to Kant, all mathematical conceptions, therefore, are not per se cognition, except in so far as we presuppose that there exist things which can only be represented conformably to the form of our pure sensuous intuition. Things 10, in space and time are given only in so far as they are perceptions i.e. only by empirical representation. Kant insists that the pure conceptions of the understanding of mathematics, even when they are applied to intuitions a priori , produce mathematical cognition only in so far as these can be applied to empirical intuitions. Consequently 11, in the cognition of mathematics, their application to objects of experience is the only legitimate use of the categories.
In “The Critic of Pure Reason: Appendix”, Kant (1781) elaborates that in the conceptions of mathematics, in its pure intuitions, space has three dimensions, and between two points there can be only one straight line, etc. They 12 would nevertheless have no significance if we were not always able to exhibit their significance in and by means of phenomena. It 13 is requisite that an abstract conception be made sensuous, that is, that an object corresponding to it in intuition be forth coming, otherwise the conception remains without sense i.e. without meaning. Mathematics 14 fulfils this requirement by the construction of the figure, which is a phenomenon evident to the senses; the same science finds support and significance in number; this in its turn finds it in the fingers, or in counters, or in lines and points. The mathematical 15 conception itself is always produced a priori, together with the synthetical principles or formulas from such conceptions; but the proper employment of them, and their application to objects, can exist nowhere but in experience, the possibility of which, as regards its form, they contain a priori.
Kant in “The Critic Of Pure Reason: SECTION I. The Discipline of Pure Reason in the Sphere of Dogmatism.”, propounds that, without the aid of experience, the synthesis in mathematical conception cannot proceed a priori to the intuition which corresponds to the conception. For this reason, none of these conceptions can produce a determinative synthetical proposition. They can never present more than a principle of the synthesis of possible empirical intuitions. Kant 16 avows that a transcendental proposition is, therefore, a synthetical cognition of reason by means of pure conceptions and the discursive method. Iit renders possible all synthetical unity in empirical cognition, though it cannot present us with any intuition a priori. Further, Kant 17 explains that the mathematical conception of a triangle we should construct, present a priori in intuition and attain to rational-synthetical cognition. Kant emphasizes the following:
But when the transcendental conception of reality, or substance, or power is presented to my mind, we find that it does not relate to or indicate either an empirical or pure intuition, but that it indicates merely the synthesis of empirical intuitions, which cannot of course be given a priori. 18

To make clear the notions, Kant sets forth the following:
Suppose that the conception of a triangle is given to a philosopher and that he is required to discover, by the philosophical method, what relation the sum of its angles bears to a right angle. He has nothing before him but the conception of a figure enclosed within three right lines, and, consequently, with the same number of angles. He may analyze the conception of a right line, of an angle, or of the number three as long as he pleases, but he will not discover any properties not contained in these conceptions. But, if this question is proposed to a geometrician, he at once begins by constructing a triangle. He knows that two right angles are equal to the sum of all the contiguous angles which proceed from one point in a straight line; and he goes on to produce one side of his triangle, thus forming two adjacent angles which are together equal to two right angles. 19

Mathematical cognition 20 is cognition by means of the construction of conceptions. The construction of a conception is the presentation a priori of the intuition which corresponds to the conception. Mathematics 21 does not confine itself to the construction of quantities, as in the case of geometry. It occupies itself with pure quantity also, as in the case of algebra, where complete abstraction is made of the properties of the object indicated by the conception of quantity. In algebra 22, a certain method of notation by signs is adopted, and these indicate the different possible constructions of quantities, the extraction of roots, and so on. Mathematical cognition 23 can relate only to quantity in which it is to be found in its form alone, because the conception of quantities only that is capable of being constructed, that is, presented a priori in intuition; while qualities cannot be given in any other than an empirical intuition.

References:

Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: Preface To The Second Edition”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003
2 Ibid.
3 Ibid.
4 Ibid.
5 Ibid.
6 Ibid.
7 Ibid.
8 Ibid.
9 Ibid.
10 Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: Transcendental Analytic, Book I, Analytic Of Conceptions. Ss 2”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003).
11Ibid.
12Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: Appendix.”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003
13 Ibid.
14Ibid.
15Ibid.
16Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: SECTION I. The Discipline of Pure Reason in the Sphere of Dogmatism.”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003
17Ibid.
18Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: Transcendental Doctrine Of Method; Chapter I. The Discipline Of Pure Reason, Section I. The Discipline Of Pure Reason In The Sphere Of Dogmatism”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003
19Ibid.
20Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: Transcendental Doctrine Of Method, Chapter I, Section I .”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003).
21Ibid.
22Ibid.
23Kant, I., 1781, “The Critic Of Pure Reason: SECTION I. The Discipline of Pure Reason in the Sphere of Dogmatism.”, Translated By J. M. D. Meiklejohn, Retrieved 2003)

1. Dita Nur Syarafina
NIM. 16709251003
PPs Pendidikan Matematika Kelas A 2016

Kant beranggapan dalam membangun konsep dan kognisi matematika, kita perlu membangun a priori dan juga intuisi. Intuisi memudahkan siswa dalam membangun objek matematika dalam pikirannya. Contoh kita bertanya pada siswa 2 SD tentang hasil dari penjumlahan 8 dan 5. Maka siswa akan mengacungkan kedelapan jarinya, lalu dia memikirkan 5 di dalam pikirannya. 5 disini nanti akan dipanggil oleh siswa, inilah yang disebut intuisi dalam memutuskan 5 sebagai yang berkedudukan di dalam pikiran bukannya 8. Maka setelah itu dia mulai menambahkan 8 dan 5 sehingga menghasilkan 12. Perolehan 12 inilah sebagai hasil dari penjumlahan 8 dan 5. Ini yang disebut siswa membangun konsep penjumlahan dan kognisi berfikir matematis.

2. MUTIARA KUSUMAWATI
16701251007
PEP S2 B

Kant (1781), dalam "The Critic Of Pure Reason: Transendental Analytic, Buku I, Analytic Of Konsepsi. Ss 2 ", mengklaim bahwa melalui penentuan intuisi murni kita memperoleh kognisi apriori dari objek matematika, tetapi hanya mengenai bentuk mereka sebagai fenomena. Menurut Kant, semua konsepsi matematika, oleh karena itu, tidak kognisi, kecuali sejauh kita mengandaikan bahwa terdapat hal-hal yang hanya dapat diwakili selaras dengan bentuk intuisi sensual murni kami. dalam ruang dan waktu yang diberikan hanya sejauh mereka persepsi yaitu hanya dengan representasi empiris. Kant menegaskan bahwa konsepsi murni dari pemahaman matematika, bahkan ketika mereka diterapkan untuk intuisi apriori, menghasilkan kognisi matematika hanya sejauh ini dapat diterapkan untuk intuisi empiris. dalam kognisi matematika, aplikasi mereka ke obyek pengalaman adalah satu-satunya penggunaan yang sah dari kategori.

3. ROFI AMIYANI
S2 P.MAT A 2016
16709251004

Kant mengenalkan kerangka konseptual melalui tiga distingsi. Distingsi tersebut adalah distingsi epistemik antara pengetahuan a priori dan pengetahuan empiris, distingsi metafisis antara proposisi niscaya dan kontingen, dan distingsi semantik antara pernyataan analitik dan sintetik. Kant juga menganggap bahwa dalam belajar matematika haruslah mempertajam a priori dan intuisi. Karena matematika adalah ilmu teoritis yang harus menentukan objek mereka a priori.

4. Rhomiy Handican
16709251031
PPs Pendidikan Matematika B 2016

Dalam “Kritik atas Rasio Murni” Kant menjelaskan bahwa ciri pengetahuan bersifat umum, mutlak, dan memberi pengertian baru. Untuk itu ia terlebih dahulu membedakan adanya tiga macam pengetahuan atau keputusan yakni pertama, keputusan analitis a priori yang menempatkan predikat tidak menambah sesuatu yang baru pada subjek, karena sudah termuat di dalamnya (misalnya, setiap benda menempati ruang).

Kedua, keputusan sintesis aposteriori dengan predikat dihubungkan subjek berdasarkan pengalaman inderawi, karma dinyatakan setelah mempunyai pengalaman dengan aneka ragam meja yang pernah diketahui.Misalnya meja itu bagus.

Ketiga, keputusan apriori menggunakan sumber pengetahuan yang bersifat sintesis tetapi bersifat apriori juga. Misalnya keputusan “segala kejadian mempunyai sebabnya”. Ilmu eksakta, mekanika, dan ilmu pengetahuan alam disusun atas putusan sintesis bersifat apriori. Kant menyebut keputusan jenis ketiga sebagai syarat dasar sebuah pengetahuan (ilmiah) dipenuhi yakni bersifat umum dan mutlak serta memberi pengetahuan baru.

5. Bismillah
Ratih Kartika
16701251005
PPS PEP B 2016

Assalamualaikumwarahmatulahiwabarrakatuh
Kant mendiskripsikan bahwa matematika dibangun dari konsep intuisi. Matematika adalah ilmu yang menentukan objeknya dengan a priori. Dengan intuisi dan a priori, siswa lebih termotivasi untuk belajar, berkembang dan memecahkan permasalah permasalahan dalam matematika. Intuisi memudahkan siswa dalam mengkonstruk matematika dalam pikirannya.

Terimakasih.
Wassalamualaikumwarahmatulahiwabarakatuh

16701251032
PEP S2 B

Membangun konsep matematika sebagai konsepnya sama dengan bagaimana membangun konsep filsafat matematika. menciptakan sintesisnya sendiri dengan sebab dan akibat yang melibatkan analitik apriori. Olah pikir sebagai sumber penciptaan pengetahuan baru.

16701251032
PEP S2 B

Mathematical is cognition by means of the construction of conceptions. The construction of a conception is the presentation a priori of the intuition which corresponds to the conception. Mathematics does not confine itself to the construction of quantities, as in the case of geometry.

8. Syahrial
16701251015
S2 PEP kelas B 2016
dalam membangun konsep matematika yang sesuai denagn konsep kognisi ialah bahwa kita harus menggunakan intuisi dalam matematika karena itu merupakan bagian dari matematika, namun perlu diperhatikan juga bahwa dalam belajar matematika kita harus menyadari analitik dan a priori dari matematika tersebut untuk membngun konsep abstrak, namun dalam proses tersebut juga diperlukan yang namanya sintetik dan a posteriori, sehingga pembelajaran matematika denagn proses kognitif akan berbeda pada setiap tingkatan maupun jenjang peserta didik tersebut, maka harus ada penyesuaian konsep matematika dengan kognisi siswa.

9. Erlinda Rahma Dewi
16709251006
S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

Kant ( 1781 ) , dalam " The Critic Of Pure Reason : Transendental Analytic , Buku I , Analytic Of Conception . Ss 2 " , mengklaim bahwa melalui penentuan intuisi murni kita memperoleh kognisi apriori dari objek matematika, tetapi hanya mengenai bentuk mereka sebagai fenomena. Menurut Kant, semua konsepsi matematika bukan lah per-kognisi, melainkan sejauh mana kita mengandaikan bahwa terdapat hal-hal yang hanya dapat diwakili selaras dengan bentuk intuisi sensual murni kita. Kant menegaskan bahwa konsepsi murni dari pemahaman matematika, bahkan ketika mereka diterapkan untuk intuisi apriori, menghasilkan kognisi matematika hanya sejauh ini dapat diterapkan untuk intuisi empiris. Akibatnya dalam kognisi matematika, aplikasi mereka ke obyek pengalaman adalah satu-satunya penggunaan yang sah dari kategori.

10. Siska Nur Rahmawati
16701251028
PEP-B 2016

Matematika merupakan ilmu teoritis yang dengan konsepsi diterapkan sebuah intuisi. Sebagai contoh, untuk mengetahui siafat-sifat segitiga sama kaki, kita tidak cukup untuk merenungkan dan membayangkan saja. Namun kita perlu untuk menggunakan pengalaman kita untuk menghasilkan sifat-sifat tersebut. Untuk memperoleh pengetahuan yang lebih bermakna, kita harus melakukan sintetik apriori dengan menggabungkan pengetahuan dan pengalaman yang kita miliki.

11. Niswah Qurrota A'yuni
NIM. 16709251023
PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas B 2016

Assalamu'alaikum Wr.Wb.,

Menurut Kant pemahaman maupun konstruksi matematika diperoleh dengan cara terlebih dulu menemukan “intusi murni” pada akal atau pikiran kita. Selanjutnya matematika yang bersifat “sintetik a priori” dapat dikonstruksi melalui 3 tahap intuisi yaitu “intuisi penginderaan”, “intuisi akal”, dan “intuisi budi”. Intuisi penginderaan terkait dengan objek matematika yang dapat dicerap sebagai unsur a posteriori. Intuisi akal (Verstand) mengsintesiskan hasil intuisi penginderaan ke dalam intuisi “ruang” dan “waktu”. Dengan intuisi budi “vernuft”, rasio kita dihadapkan pada putusan-putusan argumentasi matematika.

Wassalamu'alaikum Wr.Wb.

12. 16701251016
PEP B S2

Matematika adalah bidang ilmu teoritis. Untuk menggambarkan bentuj sebuah bidang diperlukan atribut lain, yang tidak semata mata dengan angka saja. Secara sintetic apriori pengetahuan tentang matenatika adalah yang sebenarnya karena obyek yang ada tersebut tidak hanya dibayangkan dalam fikiran saja, namun juga terwujudkan secara jelas melalui sebuah pengalaman

13. 16701251016
PEP B S2

Berbagai obyek matematika memerlukan kognisi yang terekplisit dalam berbagai fenonenanya sendiri. Itulah intuitif murni yang sebenarnya tumbuh melalui kognisi dan pengalaman diri. Pengetahuan tanpa pengalaman, maka sintetic berbagai konsep tidak akan terwujud. Sehingga dalam penggambaran bentuk segitiga yabg melibatkan atribut lain didefinisikan pada sudut yang berdampingan adalah bersudut sama ubtuk segitiga sama kaki.

14. MARTIN/RWANDA
PPS2016PEP B
Kant's philosophy of mathematics is of interest to a variety of scholars for multiple reasons. First, his thoughts on mathematics are a crucial and central component of his critical philosophical system, and so they are illuminating to the historian of philosophy working on any aspect of Kant's corpus. Additionally, issues of contemporary interest and relevance arise from Kant's reflections on the most fundamental and elementary mathematical disciplines, issues that continue to inform important questions in the metaphysics and epistemology of mathematics. Finally, disagreements about how to interpret Kant's philosophy of mathematics have generated a fertile area of current research and debate.

15. Rospala Hanisah Yukti Sari
16790251016
S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

Menurut Kant, untuk membangun konsep dan kognisi matematika diperlukan pengetahuan yang dibangun berdasarkan intuisi dan a priori. Intuisi perlu dibangun berdasarkan pengalaman-pengalaman yang diperoleh siswa. Semakin banyak pengalaman diberikan maka semakin baik pula tingkat keakuratan konsep tersebut. Adapun a priori dibangun dengan memberi permasalahan yang berkaitan dengan kehidupannya kemudian memberi solusi berdasarkan logika.

Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

16. Muh. Faathir Husain M.
16701251030
PPs PEP B 2016

Kognisi matematika adalah kognisi dengan cara pebangunan konsepsi. Pembangunan konsepsi adalah presentasi apriori dari intuisi yang sesuai dengan konsepsi. Matematika tidak membatasi diri pada pembangunan kuantitas, seperti dalam kasus geometri. Ini menempati sendiri dengan kuantitas murni juga, seperti dalam kasus aljabar, di mana abstraksi lengkap terbuat dari sifat-sifat dari objek yang ditunjukkan oleh konsepsi kuantitas.

16701251001
PPs PEP B 2016

Menurut Kant, Geometri didasarkan pada intuisi murni ruang, dan, aritmatika menyelesaikan konsep angka dengan penambahan berurutan dari unit dalam waktu; dan mekanik murni terutama tidak dapat mencapai konsep gerak tanpa menggunakan representasi waktu. Kant menyimpulkan bahwa matematika murni, sebagai kognisi kimis apriori, hanya mungkin dengan mengacu ada benda selain yang indra, di mana, di dasar intuisi empiris mereka terletak sebuah intuisi murni (ruang dan waktu) yang apriori

18. Asri Fauzi
16709251009
Pend. Matematika S2 Kelas A 2016
Kant menyepakati bahwa matematika dengan konsep diterapkan pada intuisi. Matematika adalah ilmu teoritis yang harus menentukan objeka apriori nya. Kant menemukan bahwa semua kognisi matematika memiliki keganjilan ini dan pertama kali harus menunjukkan konsep dalam intuisi visual dan memang apriori, oleh karena itu dalam intuisi yang tidak empiris, tetapi murni; tanpa ini, matematika tidak dapat mengambil satu langkah, oleh karena keputusan-keputusannya selalu visual, yaitu, intuitif.

19. ULFA LU'LUILMAKNUN
16709251022
S2 Pendidikan Matematika 2016 Kelas B

Assalamualaikum Wr.Wb.

Menurut Immanuel Kant, matematika harus dipahamai dan dikonstruksi menggunakan intuisi ruang dan waktu. Matematika yang bersifat sintetik a priori dapat dikonstruksi melalui tahapan intuisi yaitu Intuisi penginderaan terkait dengan obyek matematika yang dapat diserap sebagai unsur a posteriori. Intuisi akal mensintetiskan hasil intuisi penginderan ke dalam intuisi ruang dan waktu yang kemudian rasio kita dihadapkan pada putusan-putusan argumentasi matematika. Menurut Kant matematika merupakan suatu penalaran yang berifat mengkonstruksi konsep-konsep secara synthetik a priori dalam konsep ruang dan waktu. Dan untuk mengembangkan intuisi juga memerlukan pengalaman bermakna yang diperoleh siswa salah satunya melalui kegiatan mengkonstruksi pengetahuannya.

Wassalamualaikum Wr.Wb.

20. Azwar Anwar
16709251038
Pendidikan Matematika S2 Kelas B 2016

Kant berpandapat bahwa dalam membangun konsep dan kognisi matematika kita membutuhkan intuisi, karena matematika merupakan suatu penalaran yang berifat mengkonstruksi konsep-konsep secara sintetik a priori dalam konsep ruang dan waktu. Selain itu melalui penentuan intuisi murni kita memperoleh kognisi a priori dari objek matematika, tetapi hanya mengenai bentuk sebagai fenomena. Dalam membangun konsep dan kognisi matematika dengan cara pembangunan konsepsi. Pembangunan konsepsi adalah presentasi a priori dari intuisi yang sesuai dengan konsepsi dan kuantitas.

21. Konstantinus Denny Pareira Meke
NIM. 16709251020
PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas A 2016

Immanuel Kant menganggap entitas matematika sebagai proposisi sintetik apriori-, yang tentu saja memberikan kondisi yang diperlukan untuk pengalaman objektif; matriks ruang dan waktu, dan wadah memegang bahan pengubah persepsi. Menurut Kant, matematika adalah gambaran ruang dan waktu, jika terbatas pada pikiran, konsep-konsep matematika diperlukan hanya konsistensi diri, tapi pembangunan konsep-konsep tersebut melibatkan ruang yang memiliki struktur tertentu.

marsigitina@yahoo.com, marsigitina@gmail.com, marsigit@uny.ac.id