## Oct 10, 2012

### Elegi Menggapai "Formalism as the Epistemological Foundation of Mathematics"

By Marsigit
Yogyakarta State University

The formalist school was founded by David Hilbert.

In his Grundlagen der Geometrίe (1899), Hilbert 1 had sharpened the mathematical method from the material axio¬matics of Euclid to the formal axίomatics of the present day.

The formalist point of view 2 is developed by Hilbert to meet the crisis caused by the paradoxes of set theory and the challenge to classical mathematics caused by intuitionistic criticism.

The formalist thesίs is that mathematics is concerned with formal symbolic systems.

In fact, mathematics 3 is regarded as a collection of such abstract developments, in which the terms are mere symbols and the statements are formulas involving these symbols; the ultimate base of mathematics does not lie in logic but only in a collection of prelogical marks or symbols and in a set of operations with these marks.

In a formal system, everything is reduced to form and rule .4

Since, from the formalist point of view, mathematics 5 is devoίd of concrete content and contains only ideal symbolic elements, the establishment of the consistency of the varίous branches of mathematics becomes an important and necessary part of the formalίst program.

Without such an accompanying consίstent proof 6, the whole study is essentially senseless.

Eves H. and Newsom C.V. explicates the following:
Ιn the formalist thesis we have the axίοmatίc development of mathematics pushed to its extreme. The success or failure of Hilbert's program to save classical mathematics hinges upοn the solution of the consistency problem. Freedom from contradiction is guaranteed only by consistency proofs, and the older consistency proofs based upοn interpretations and models usually merely shift the question of consistency from one domain of mathematics to another. Ιn other words, a consίstency proof by the method of models is only relative.

Hilbert 7, therefore, conceives a new direct approach to the consistency problem; much as one may prove, by the rules of a game that certain situations cannot occur within the game.

Hilbert hopes to prove, by a suίtable set of rules of procedure for obtaining acceptable formulas from the basic symbols, that a contradictory fοrmula can never occur.

If one can show that nο such contradictory formula is possible, then one has established the consistency of the system.

Hilbert calls a direct test for consίstency in mathematίcs as proof theory.

In Hilbert’s view 8, it mirrors the exact movement of the mathematicians mind.

For certain elementary systems, proofs of consistency were carried out, which illustrated what Hilbert would like to have done for all classical mathematics, but the problem of consistency remained refractory.

It 9 is impossible for a sufficiently rich formalized deductive system, such as Hilbert's system for all classical mathematics, to prove consistency of the system by methods belonging to the system.

Eves H. and Newsom C.V. ascertains that as to response that problem, this remarkable result is a consequence of an even more fundamental one, Godel proves the incompleteness of Hilbert's system viz. he established the existence within the system of "undecίdable" problems, of which cοnsistency of the system is one.

Godel 10 saw that the formal systems known to be adequate for the derivation of mathematics are unsafe in the sense that their consistency cannot be demonstrated by finitary methods formalized within the system, whereas any system known to be safe in this sense is inadequate.

Gödel 11 showed that there was no system of Hilbert's type within which the integers could be defined and which was both consistent and complete.

Gödel's dissertation proved the completeness of first-order logic; this proof became known as Gödel's Completeness Theorem.

Gödel showed anything that we can represent in a formal system of number theory is finitary.

Following is excerpted from Eves H. and Newsom C.V. (1964):
According to Godel, if S be a formal system for number theory and if S is consistent, then there is a sentence, G, such that neither G nor the negation of G is a theorem of S. Thus, any formal system sufficient to express the theorems of number theory has to be incomplete. Gödel showed that S can prove P(n) just in case n is the Gödel-number of a theorem of S; hence there exists k, such that k is a Gödel-number of the formula P(k)=G and this statement says of itself, it is not provable.

According to Gödel, even if we define a new formal system S = S + G, we can find G which isn't provable in S; thus, S can prove that if S is consistent, then G is not provable.

Gödel elaborated that if S can prove Cst(S), then S can prove G, but if S is consistent, it can't prove G, thus, it can't prove its consistency. Thus, Hilbert's Program does not work.

Ultimately, one cannot prove the consistency of a mathematical theory.

References:
1 Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston, p.287-288
2Ibid.p.290
3 Ibid.p.290
4 Soehakso, RMJT, 1989, “Some Thought on Philosophy and Mathematics”, Yogyakarta: Regional Conference South East Asian Mathematical Society, p.14
5Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston, p.289
6 Ibid.p.290
7 Ibid.p.290
8 Soehakso, RMJT, 1989, “Some Thought on Philosophy and Mathematics”, Yogyakarta: Regional Conference South East Asian Mathematical Society, p.15
9 Eves, H and Newsom, C.V., 1964, “An Introduction to the Foundation & Fundamental Concepts of Mathematics”, New York: Holt, Rinehart and Winston, pp.290
10 Ibid.p.290
11Folkerts, M., 2004, “Mathematics in the 17th and 18th centuries”, Encyclopaedia Britannica, Retrieved 2004

1. Rhomiy Handican
16709251031
PPs Pendidikan Matematika B 2016

Formalisme berpegang pada prinsip bahwa pernyataan matematik bisa diartikan sebagai pernyataan tentang konsekuensi dari aturan rangkaian manipulasi tertentu. Sebagai contoh, dalam "permainan" dari geometri Euclid (yang kelihatannya terdiri dari beberapa rangkaian yang disebut "aksioma-aksioma", dan beberapa "aturan inferensi" untuk membangun rangkaian baru dari rangkaian-rangkaian yang diketahui), salah satunya dapat dibuktikan memenuhi teorema Phytagoras (yaitu, dapat membangun string yang berkaitan dengan teorema Phytagoras). Menurut Formalisme, kebenaran matematik adalah bukan tentang bilangan dan himpunan dan segitiga dan semacamnya seperti kenyataannya.

2. Bismillah
Ratih Kartika
16701251005
PPS PEP B 2016

Assalamualaikumwarahmatulahiwabarrakatuh
Formalis menyatakan bahwa matematika berfokus pada system simbolik formal. Faktanya matematika adalah pengembangan dari abstrak yang symbol dan pernyataanya adalah sebuah formula. Dalam system formal, segalanya dibentuk dan ada aturannya. Begitu juga matematika.

Terimakasih.
Wassalamualaikumwarahmatulahiwabarakatuh

16701251032
PEP S2 B

Guna mengetahui filsafat matematika dapat dimulai dengan pertanyaan tradisional mengenai ontologi dan epistemologi, antara lain: apa itu pengetahuan matematika, bagaimana cara memperoleh pengetahuan matematika, apa landasan bagi pengetahuan matematika, apa yang dikaji filsafat matematika dan bagaimana eksistensi obyek-obyek matematika. semua tu dapat menjelaskan formalisme dalam matematika.

16701251032
PEP S2 B

Pada pembahasan formal matematika terdapat objek yang menjadi fokus perhatiannya. Obyek-obyek yang dikaji dalam matematika adalah fakta abstrak, konsep, definisi, relasi, operasi abstrak, serta prinsip abstrak. Misal konsep, konsep adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengkalisifikasikan sekumpulan obyek, misal segitiga merupakan konsep abstrak sebab sekumpulan benda dapat digolongkan sebagai segitiga atau bukan.

16701251032
PEP S2 B

Matematika adalah pengetahuan a priori, karena memuat proposisi yang diasersi melalui pemikiran, menggunakan logika deduktif dan definisi, konjungsi, aksioma atau postulat metamatika, sebagai dasar untuk memperoleh pengetahuan matematis. Berdasarkan hal ini, pengetahuan matematika terdiri dari seperangkat himpunan proposisi bersama-sama dengan pembuktiannya. Karena pembuktian matematika didasarkan pada cara berpikir, dan tidak menggunakan fakta-fakta empiris, maka pengetahuan matematika adalah pengetahuan yang bersifat paling pasti dari seluruh pengetahuan yang ada di dunia

6. Syahrial
16701251015
S2 PEP kelas B 2016
Para formalism sebenarnya mengagungkan matematika karena tersusun berdasarkan objek formal dari matematika tersebut sehingga, mereka tidak dapat melihat dari sisi lainnya. padahal matematika itu memiliki arti yang luas dan mendalam karena diperoleh dengan proses pemikiran yang panjang. dan pada akhirnya, seseorang tidak dapat membuktikan konsistensi teori matematika itu sendiri.

7. Rospala Hanisah Yukti Sari
16790251016
S2 Pendidikan Matematika Kelas A Tahun 2016

Assalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

Dari formalis, matematika ialah ketiadaan konten kongkrit dan mengandung hanya unsur simbolis yang ideal, pendirian dari konsistensi dari bermacam-macam cabang matematika menjadi sesuatu yang penting dan membutuhkan bagian dari program formalis.

Sehingga, guru hendaknya menyesuaikan dengan pola pikir siswa. Jika siswa tersebut masih dalam pendidikan SD dan SMP, maka yang digunakan adalah pembelajaran yang konkrit yang dekat dengan aktivitas hidup siswa dan menyadarkan posisi siswa sebagai hamba Allah yang memiliki kewajiban untuk menuntut ilmu dan mengamalkannya. Sehingga, ia akan merasa bahwa ia sadar dan perlu untuk mempelajari matematika dan memiliki keinginan untuk menyebarkan ilmunya untuk kemaslahatan bagi umat manusia. Metode inilah yang disebut dengan metode Talqiyyan Fikriyyan.

Wassalamu’alaikum warohmatullahi wabarokatuh.

8. MUTIARA KUSUMAWATI
16701251007
PEP S2 B

Formalisme berpegang pada prinsip bahwa pernyataan matematik bisa diartikan sebagai pernyataan tentang konsekuensi dari aturan rangkaian manipulasi tertentu. Sebagai contoh, dalam "permainan" dari geometri Euclid (yang kelihatannya terdiri dari beberapa rangkaian yang disebut "aksioma-aksioma", dan beberapa "aturan inferensi" untuk membangun rangkaian baru dari rangkaian-rangkaian yang diketahui), salah satunya dapat dibuktikan memenuhi teorema Phytagoras (yaitu, dapat membangun string yang berkaitan dengan teorema Phytagoras). Menurut Formalisme, kebenaran matematik adalah bukan tentang bilangan dan himpunan dan segitiga dan semacamnya seperti kenyataannya.

9. MUTIARA KUSUMAWATI
16701251007
PEP S2 B

Versi lain dari formalisme sering dikenal dengan nama deduktivisme. Dalam deduktivisme, teorema Pythagoras tidak benar secara absolut, tetapi relatif benar : jika Anda menetapkan arti strings sedemikian sehingga aturan-aturan permainan menjadi benar (contohnya, pernyataan yang benar diberikan untuk aksioma dan aturan-aturan inferensi adalah memelihara kebenaran), maka Anda harus menerima teorema, atau sebaliknya, interpretasi yang telah Anda berikan harus menjadi pernyataan yang benar. Jadi, formalisme tidak membutuhkan arti bahwa matematika tidak lebih dari permainan simbolis yang tidak berarti. Biasanya diharapkan ada suatu interpretasi dimana aturan-aturan permainan dipenuhi. (Bandingkan dengan posisi strukturalisme.) Tetapi formalism mempersilahkan para ahli matematika melanjutkan karya-karyanya dan meninggalkan masalah-masalah pada para ahli filsafat dan ilmu pengetahuan. Banyak para penganut formalisme akan mengatakan bahwa dalam prakteknya, sistem aksioma yang dipelajari akan dusulkan oleh peminat ilmu pengetahuan atau bidang matematika lain

10. Erlinda Rahma Dewi
16709251006
S2 PPs Pendidikan Matematika A 2016

Formalisme dipelopori oleh ahli matematika besar dari Jerman David Hilbert. Menurut aliran ini sifat alami dari matematika ialah sebagai sistem lambang yang formal, matematika bersangkut paut dengan sifat-sifat struktural dari symbol-simbol dan proses pengolahan terhadap lambang-lambang itu. Jadi David Hilbert menyimpulkan bahwa ilmu matematika adalah kesatuan yang konsisten, yaitu sebuah struktur yang tergantung pada vitalitas hubungan antara bagian-bagiannya, dan penemuan dalam matematika dibuat dengan penyederhanaan metode, menghilangnya prosedur lama yang telah kehilangan kegunaannya dan penyatuan kembali unsur-unsurnya untuk menemukan konsep baru.

11. Siska Nur Rahmawati
16701251028
PEP-B 2016

Matematika adalah ilmu yang abstrak yang sulit untuk direpresentasikan dalam kehidupan. Di dalam matematika itu sendiri terdapat form-form yang dapat digunakan untuk mengolah data. Penggunaan logika, rasio, simbol-simbol yang konsisten di dalam matematika membantu kita mereduksi matematika ke dalam pikiran kita dan dapat kita gunakan sebagai ilmu pengetahuan yang bermanfaat. Karena ilmu matematika itu tetap, dengan form yang konsisten, insyaallah kita dapat mempelajarinya sampai kapanpun.

12. 16701251016
PEP B S2

Munculnya kritis dalam suatu kondisi menyebabkan beberapa perubahan. Perubahan yang ada dalam kpnteks matemayika yang muncul adalah buah pikiran dari filsuf yang mana fari aksiomatik menjadi formal aksioma. Metode pengembangan berdasarkan pemikiran jenius ini adalah secara relatif yang mana tidak ada ukuran batu dalam sebuah sistem untuk berjalan sesuai kehendal, konten salah satunya adalah konsistensi simbol yang ada dalam matematika

13. Nira Arsoetar
16709251018
PPS UNY Pendidikan Matematika
Kelas A

Tokoh formalis dalam matematika yang memepertajam metode matematika dari axiomatic Euclid ke dalam axiomatic formal adalah David Hilbert. Hilbert memandang bahwa matematika dianggap sebagai kumpulan perkembangan abstrak di mana istilah simbol dan rumus yang melibatkan simbol-simbol memiliki dasar utama matematika yang tidak terletak pada logika tetapi hanya dalam kumpulan tanda pra-logis atau simbol dan seperangkat operasi. Akan tetapi apada akhirnya konsistensi teori matematika terhadap pandangan formalis tidak dapat dibuktikan.

14. ROFI AMIYANI
S2 P.MAT A 2016
16709251004

Sekolah formalis didirikan oleh David Hilbert. Hilbert 1 telah mempertajam metode matematika dari axio¬matics bahan Euclid ke axίomatics formal. Formalisme tidak membutuhkan arti bahwa matematika tidak lebih dari permainan simbolis yang tidak berarti. Biasanya diharapkan ada suatu interpretasi dimana aturan-aturan permainan dipenuhi. Tetapi formalism mempersilahkan para ahli matematika melanjutkan karya-karyanya dan meninggalkan masalah-masalah pada para ahli filsafat dan ilmu pengetahuan.

15. Niswah Qurrota A'yuni
NIM. 16709251023
PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas B 2016

Assalamu'alaikum Wr.Wb.,

Aliran formalisme dipelopori oleh ahli matematika dari Jerman, David Hilbert. Menurut aliran ini sifat alami dari matematika adalah sebagai sistem lambang yang formal. Matematika berkaitan dengan sifat-sifat struktural dari simbol-simbol dan proses pengolahan terhadap lambing-lambang tersebut. Symbol dianggap mewakili objek sasaran penelaahan dalam matematika. Berdasarkan landasan pemikiran tersebut, aliran ini merumuskan matematika sebagai ilmu tentang sistem-sistem formal.

Wassalamu'alaikum Wr.Wb.

16. Niswah Qurrota A'yuni
NIM. 16709251023
PPs S2 Pendidikan Matematika Kelas B 2016

Assalamu'alaikum Wr.Wb.,

Aliran formalisme dipelopori oleh ahli matematika dari Jerman, David Hilbert. Menurut aliran ini sifat alami dari matematika adalah sebagai sistem lambang yang formal. Matematika berkaitan dengan sifat-sifat struktural dari simbol-simbol dan proses pengolahan terhadap lambing-lambang tersebut. Symbol dianggap mewakili objek sasaran penelaahan dalam matematika. Berdasarkan landasan pemikiran tersebut, aliran ini merumuskan matematika sebagai ilmu tentang sistem-sistem formal.

Wassalamu'alaikum Wr.Wb.

17. Aliran formalisme dipelopori oleh ahli matematika dari Jerman, David Hilbert. Formalisme berpegang pada prinsip bahwa pernyataan matematik bisa diartikan sebagai pernyataan tentang konsekuensi dari aturan rangkaian manipulasi tertentu. Sebagai contoh, dalam "permainan" dari geometri Euclid (yang kelihatannya terdiri dari beberapa rangkaian yang disebut "aksioma-aksioma", dan beberapa "aturan inferensi" untuk membangun rangkaian baru dari rangkaian-rangkaian yang diketahui), salah satunya dapat dibuktikan memenuhi teorema Phytagoras (yaitu, dapat membangun string yang berkaitan dengan teorema Phytagoras). Menurut Formalisme, kebenaran matematik adalah bukan tentang bilangan dan himpunan dan segitiga dan semacamnya seperti kenyataannya.
Program formalis, seandainya berhasil, akan memberikan dukungan untuk sebuah pandangan kebenaran absolut matematika. Untuk bukti formal berbasis dalam konsistensi sistem matematika formalakan memberikan ujian untuk kebenaran matematika. Namun, dapat dilihat bahwa dalam kedua tuntutan formalisme telah disangkal. Tidak semua kebenaran matematika dapat dipresentasikan sebagai teorema dalam sistem formal, dan selanjtunya sistem itu sendiri tidak dapat dijamin kebenarannya.

18. Aliran formalisme dipelopori oleh ahli matematika dari Jerman, David Hilbert. Formalisme berpegang pada prinsip bahwa pernyataan matematik bisa diartikan sebagai pernyataan tentang konsekuensi dari aturan rangkaian manipulasi tertentu. Sebagai contoh, dalam "permainan" dari geometri Euclid (yang kelihatannya terdiri dari beberapa rangkaian yang disebut "aksioma-aksioma", dan beberapa "aturan inferensi" untuk membangun rangkaian baru dari rangkaian-rangkaian yang diketahui), salah satunya dapat dibuktikan memenuhi teorema Phytagoras (yaitu, dapat membangun string yang berkaitan dengan teorema Phytagoras). Menurut Formalisme, kebenaran matematik adalah bukan tentang bilangan dan himpunan dan segitiga dan semacamnya seperti kenyataannya.
Program formalis, seandainya berhasil, akan memberikan dukungan untuk sebuah pandangan kebenaran absolut matematika. Untuk bukti formal berbasis dalam konsistensi sistem matematika formalakan memberikan ujian untuk kebenaran matematika. Namun, dapat dilihat bahwa dalam kedua tuntutan formalisme telah disangkal. Tidak semua kebenaran matematika dapat dipresentasikan sebagai teorema dalam sistem formal, dan selanjtunya sistem itu sendiri tidak dapat dijamin kebenarannya.

19. Muhlis Malaka
16701269003
PEP A 2016

Epistemologi merupakan salah satu bagian dari filsafat dimana pemikiran reflektif terhadap segi dari pengetahuan seperti kemungkinan, asal-mula, sifat alami, batas-batas, asumsi dan landasan, validitas dan reliabilitas sampai kebenaran pengetahuan.

20. Muhlis Malaka
16701269003
PEP A 2016

Secara epistemologi, matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan kita untuk melakukan pengukuran secara kuantitatif. Dengan konsep-konsep yang kongkrit, kontektual, dan terukurdalam matematika sehingga dapat memberikan jawaban secara akurat. Perkembangan struktur mental seseorang bergantung pada pengetahuan yang diperoleh siswa melalui proses asimilasi dan akomodasi.

21. ULFA LU'LUILMAKNUN
16709251022
S2 Pendidikan Matematika 2016 Kelas B

Assalamualaikum Wr.Wb.

Dalam karyanya Grundlagen der Geometrίe (1899), Hilbert telah mempertajam metode matematika dari axiomatics bahan Euclid ke axίomatics formal yang digunakan sampai sekarang yaitu sering didengar dengan matematika untuk sekolah. Hilbert mengatakan bahwa matematika formal adalah matematika yang berkaitan dengan sistem simbolik formal. Maka matematika formal itu matematika yang berkaitan dengan simbol-simbol atau menggunakan simbol-simbol dalam pemecahan masalah.

Wassalamualaikum Wr.Wb.